15.2: Перше резонансна передача енергії (FRET)

Резонансна передача енергії Ферстера (ФРЕТ) відноситься до невипромінювальної передачі електронного збудження від молекули донора до молекули акцептора:

\[\ce{D}^{*} + \ce{A} \rightarrow \ce{D} + \ce{A}^{*} \label{14.1}\]

Ця електронна передача збудження, практичний опис якої вперше дав Фьорстер, виникає внаслідок дипольно-дипольної взаємодії між електронними станами донора та акцептора і не передбачає випромінювання та реабсорбції світлового поля. Перенесення відбувається, коли коливання оптично індукованої електронної когерентності на донорі резонансні з електронним енергетичним проміжком акцептора. Сила взаємодії залежить від величини перехідної дипольної взаємодії, яка залежить від величини донорного і акцепторного перехідних елементів матриці, а також вирівнювання і поділу диполів. Різка\(1/r^6\) залежність від відстані часто використовується при спектроскопічній характеристиці близькості донора і акцептора.

Електронне заземлення та збуджені стани молекул донора та акцептора відіграють певну роль у FRET. Розглядаємо випадок, коли у нас збуджений донорський електронний перехід, а акцептор знаходиться в наземному стані. Поглинання світла донором при рівноважному енергетичному розриві супроводжується швидкою коливальною релаксацією, яка розсіює енергію реорганізації донора\(\lambda _ {D}\) протягом пікосекунд. Це залишає донора в когерентності, яка коливається при енергетичному розриві в збудженому донорському стані\(\omega _ {e g}^{D} \left( q _ {D} = d _ {D} \right)\). Шкала часу для FRET зазвичай становить наносекунди, тому цей етап підготовки, як правило, набагато швидший, ніж фаза передачі. Для резонансної передачі енергії потрібна умова резонансу, щоб коливання збудженої донорської когерентності було резонансним з електронним енергетичним розривом основного стану акцептора\(\omega _ {e g}^{A} \left( q _ {A} = 0 \right)\). Передача енергії на акцептор призводить до вібраційної релаксації і подальшої акцепторної флуоресценції, яка спектрально зміщується від донорської флуоресценції. На практиці ефективність передачі енергії отримують шляхом порівняння флуоресценції, що випромінюється від донора і акцептора.

Цей опис проблеми піддається природному лікуванню з DHO гамільтоніан, Однак альтернативна картина також застосовна, яка може бути описана через EG Гамільтоніан. ФРЕТ виникає внаслідок резонансу, який виникає, коли коливається електронний енергетичний проміжок донора в його збудженому стані збігається з енергетичним розривом акцептора в його наземному стані. Іншими словами

\[\underbrace {\hbar \omega _ {e g}^{D} - \lambda _ {D}} _ {\Omega _ {D} (t)} = \underbrace {\hbar \omega _ {e g}^{A} - \lambda _ {A}} _ {\Omega _ {A} (t)} \label{14.2}\]

Ці енергетичні прогалини залежать від часу з нагоди перетинів, які дозволяють передавати енергію.

Наша система включає в себе наземний і збуджений потенціали молекул донора і акцептора. Чотири можливі електронні конфігурації системи

\[| G _ {D} G _ {A} \rangle , | E _ {D} G _ {A} \rangle , | G _ {D} E _ {A} \rangle , | E _ {D} E _ {A} \rangle\]

Тут позначення відноситься до основного (\(G\)) або збудженого (\(E\)) вібронічних станів або донора (\(D\)), або акцептора (\(A\)). Більш явно до станів відносять і коливальне збудження:

\[| E _ {D} G _ {A} \rangle = | e _ {D} n _ {D} ; g _ {A} n _ {A} \rangle\]

При цьому система може мати відсутність збудження, одне збудження на донорі, одне збудження на акцепторі, або одне збудження як на донорі, так і на акцепторе. Для наших цілей розглянемо лише дві електронні конфігурації, близькі за енергією, і, ймовірно, зіграють певну роль у передачі резонансу в Equation\ ref {14.2} і

\(| E _ {D} G _ {A} \rangle\)і\(| G _ {D} E _ {A} \rangle\)

Так як донор і акцептор слабо пов'язані, ми можемо написати наш гамільтоніан для цієї задачі в формі, яку можна вирішити теорією збурень (\(H = H _ {0} + V\)). Працюючи з підходом DHO. наш матеріал Hamiltonian має чотири електронні колектори для розгляду:

\[\underbrace {\hbar \omega _ {e g}^{D} - \lambda _ {D}} _ {\Omega _ {D} (t)} = \underbrace {\hbar \omega _ {e g}^{A} - \lambda _ {A}} _ {\Omega _ {A} (t)} \label{14.3}\]

Кожен з них визначається, як ми це робили раніше, з електронною енергією та залежністю від зміщеної ядерної координати. Наприклад

\[\begin{align} H _ {D}^{E} &= | e _ {D} \rangle E _ {e}^{D} \langle e _ {D} | + H _ {e}^{D} \label{14.4} \\[4pt] H _ {e}^{D} &= \hbar \omega _ {0}^{D} \left( \tilde {p} _ {D}^{2} + \left( \tilde {q} _ {D} - \tilde {d} _ {D} \right)^{2} \right) \label{14.5} \end{align}\]

\(E _ {e}^{D}\)це електронна енергія збудженого стану донора.

Тоді, що таке\(V\)? Класично це кулонівське взаємодія форми,

\[V = \sum _ {i j} \frac {q _ {i}^{D} q _ {j}^{A}} {\left| r _ {i}^{D} - r _ {j}^{A} \right|} \label{14.6}\]

Тут сума знаходиться над усіма електронами і ядрами донора (\(i\)) і акцептора (\(j\)).

Як є, з цим важко працювати, але при великому поділі між молекулами ми можемо переробити це як дипольно-дипольну взаємодію. Визначимо систему відліку для молекули донора і акцептора, і припустимо, що відстань між молекулами велике. Тоді дипольні моменти для молекул

\[\begin{aligned} \overline {\mu}^{D} & = \sum _ {i} q _ {i}^{D} \left( r _ {i}^{D} - r _ {0}^{D} \right) \\ \overline {\mu}^{A} & = \sum _ {j} q _ {j}^{A} \left( r _ {J}^{A} - r _ {0}^{A} \right) \end{aligned} \label{14.7}\]

Взаємодія між донором і акцептором набуває форми дипольно-дипольної взаємодії:

\[V = \dfrac {3 \left( \overline {\mu} _ {A} \cdot \hat {r} \right) \left( \overline {\mu} _ {D} \cdot \hat {r} \right) - \overline {\mu} _ {A} \cdot \overline {\mu} _ {D}} {\overline {r}^{3}} \label{14.8}\]

де\(r\) - відстань між донорським і акцепторним диполями і\(\hat{r}\) являє собою одиничний вектор, який позначає напрямок між ними. Дипольні оператори тут прийнято діяти лише на електронні стани і бути незалежними від ядерної конфігурації, тобто наближення Кондона. Записуємо перехідні дипольні матричні елементи, які з'єднують заземлення і збуджені електронні стани для донора і акцептора, як

\[ \begin{align} \overline {\mu} _ {A} &= | A \rangle \overline {\mu}_{AA^{*}} \left\langle A^{*} | + | A^{*} \right\rangle \overline {\mu} _ {A^{*} A} \langle A | \label{14.9} \\[4pt] \overline {\mu} _ {D} &= | D \rangle \overline {\mu} _ {D D^{*}} \left\langle D^{*} | + | D^{*} \right\rangle \overline {\mu} _ {D^{*} D} \langle D | \label{14.10} \end{align} \]

Для дипольного оператора ми можемо розділити скалярний та орієнтаційний внески як

\[\overline {\mu} _ {A} = \hat {u} _ {A} \mu _ {A} \label{14.11}\]

Це дозволяє записати дипольну взаємодію переходу в Equation\ ref {14.8} як

\[V = \mu _ {A} \mu _ {B} \frac {\kappa} {r^{3}} [ | D^{*} A \rangle \left\langle A^{*} D | + | A^{*} D \right\rangle \left\langle D^{*} A | \right] \label{14.12}\]

Всі орієнтаційні фактори зараз у терміні\(\kappa\)

\[\kappa = 3 \left( \hat {u} _ {A} \cdot \hat {r} \right) \left( \hat {u} _ {D} \cdot \hat {r} \right) - \hat {u} _ {A} \cdot \hat {u} _ {D} \label{14.13}\]

Тепер ми можемо отримати швидкості передачі енергії за допомогою Золотого правила Фермі, вираженого як кореляційна функція у взаємодії гамільтоніана:

\[w _ {k \ell} = \frac {2 \pi} {\hbar^{2}} \sum _ {\ell} p _ {\ell} \left| V _ {k \ell} \right|^{2} \delta \left( \omega _ {k} - \omega _ {\ell} \right) = \frac {1} {\hbar^{2}} \int _ {- \infty}^{+ \infty} d t \left\langle V _ {I} (t) V _ {I} ( 0 ) \right\rangle \label{14.14}\]

Зауважте, що це не перетворення Фур'є! Оскільки ми використовуємо кореляційну функцію, існує припущення, що у нас є система рівноваги, хоча ми спочатку перебуваємо в збудженому донорському стані. Це обґрунтовано в тому випадку, коли існує чітке поділ шкали часу між коливальною релаксацією ps і термізацією в збудженому донорському стані і шкалою часу (або зворотною швидкістю) процесу передачі енергії.

Тепер підставляючи початковий стан\(\ell = | D^{*} A \rangle\) і кінцевий стан\(k = | A^{*} D \rangle\), знаходимо

\[w _ {E T} = \frac {1} {\hbar^{2}} \int _ {- \infty}^{+ \infty} d t \frac {\left\langle \kappa^{2} \right\rangle} {r^{6}} \left\langle D^{*} A \left| \mu _ {D} (t) \mu _ {A} (t) \mu _ {D} ( 0 ) \mu _ {A} ( 0 ) \right| D^{*} A \right\rangle \label{14.15}\]

де

\[\mu _ {D} (t) = e^{i H _ {D} t / \hbar} \mu _ {D} e^{- i H _ {D} t / \hbar}.\]

Тут ми знехтували обертальним рухом диполів. Найзагаліше орієнтаційне середнє значення

\[\left\langle \kappa^{2} \right\rangle = \langle \kappa (t) \kappa ( 0 ) \rangle \label{14.16}\]

Однак цей фактор легше оцінити, якщо диполі статичні, або якщо вони швидко обертаються, щоб стати ізотропно розподіленими. Для статичного корпусу\(\left\langle \kappa^{2} \right\rangle = 0.475\). Для випадку швидкої втрати орієнтації:

\[\left\langle \kappa^{2} \right\rangle \rightarrow \langle \kappa (t) \rangle \langle \kappa ( 0 ) \rangle = \langle \kappa \rangle^{2} = \dfrac{2}{3}\]

Оскільки дипольні оператори діють лише на\(A\) або\(D^{*}\), а\(D\) та\(A\) ядерні координати ортогональні, ми можемо розділити терміни в донорському та акцепторному станах.

\[\begin{aligned} w _ {E T} & = \frac {1} {\hbar^{2}} \int _ {- \infty}^{+ \infty} d t \frac {\left\langle \kappa^{2} \right\rangle} {r^{6}} \left\langle D^{*} \left| \mu _ {D} (t) \mu _ {D} ( 0 ) \right| D^{*} \right\rangle \left\langle A \left| \mu _ {A} (t) \mu _ {A} ( 0 ) \right| A \right\rangle \\ & = \frac {1} {\hbar^{2}} \int _ {- \infty}^{+ \infty} d t \frac {\left\langle \kappa^{2} \right\rangle} {r^{6}} C _ {D^{*} D^{*}} (t) C _ {\mathrm {AA}} (t) \end{aligned} \label{14.17}\]

Члени цього рівняння представляють дипольну кореляційну функцію донора, що ініціює у збудженому стані, та акцепторну кореляційну функцію, що ініціюється в основному стані. Тобто це кореляційні функції для донорської емісії (флуоресценції) і акцепторного поглинання. Пам'ятаючи, що\(| D^{*} \rangle\) представляє електронну та ядерну конфігурацію\(| d^{*} n _ {D^{*}} \rangle\), ми можемо використовувати зміщений гармонічний генератор гамільтоніана або гамільтоніана енергетичного розриву для оцінки кореляційних функцій. Для випадку статистики Гаусса ми можемо написати

\[C _ {D _ {D}^{*}} \cdot (t) = \left| \mu _ {D D^{*}} \right|^{2} e^{- i \left( \omega _ {D D^{*}} - 2 \lambda _ {D} \right) t^{*} - g _ {D}^{*} (t)} \label{14.18}\]

\[C _ {A A} (t) = \left| \mu _ {A A} \right|^{2} e^{- i \omega _ {A A} t - g _ {A} (t)} \label{14.19}\]

Тут ми скористалися

\[ \omega _ {D^{*} D} = \omega _ {D D^{*}} - 2 \lambda _ {D}\label{14.20}\]

яка виражає частоту випромінювання як зсув частоти\(2 \lambda _ {D}\) відносно частоти поглинання донора. Дипольні кореляційні функції можуть бути виражені через зворотні перетворення Фур'є флуоресценції або поглинання лінії:

\[C _ {D^{*} D^{\cdot}} (t) = \frac {1} {2 \pi} \int _ {- \infty}^{+ \infty} d \omega e^{- i \omega t} \sigma _ {f l u o r}^{D} ( \omega ) \label{14.21}\]

\[C _ {A A} (t) = \frac {1} {2 \pi} \int _ {- \infty}^{+ \infty} d \omega e^{- i \omega t} \sigma _ {a b s}^{A} ( \omega ) \label{14.22}\]

Для вираження швидкості передачі енергії в терміні її загальної практичної форми використано теорему Парсіваля, яка стверджує, що якщо для двох функцій визначена пара перетворення Фур'є, інтеграл над добутком цих функцій рівний чи оцінений у часовій чи частотній області:

\[\int _ {- \infty}^{\infty} f _ {1} (t) f _ {2}^{*} (t) d t = \int _ {- \infty}^{\infty} \tilde {f} _ {1} ( \omega ) \tilde {f} _ {2}^{*} ( \omega ) d \omega \label{14.23}\]

Це дозволяє висловити швидкість передачі енергії як інтеграл перекриття\(J_{DA}\) між спектрами флуоресценції донора та акцепторного абсо:

\[w _ {E T} = \frac {1} {\hbar^{2}} \frac {\left\langle \kappa^{2} \right\rangle} {r^{6}} \left| \mu _ {D D^{*}} \right|^{2} \left| \mu _ {A A^{\prime}} \right|^{2} \int _ {- \infty}^{+ \infty} d \omega \sigma _ {a b s}^{A} ( \omega ) \sigma _ {f u o r}^{D} ( \omega ) \label{14.24}\]

Ось лінійна форма, нормована до перехідного елемента матриці в квадраті:\(\sigma = \sigma / | \mu |^{2}\). Інтеграл перекриття є мірою резонансу між донорним і акцепторним переходами.

Отже, швидкість передачі енергії масштабується як\(r^{-6}\), залежить від сильних сторін електронних переходів для донорських і акцепторних молекул, і вимагає резонансу між донорською флуоресценцією і поглинанням акцептора. Однією з речей, якими ми знехтували, є те, що швидкість передачі енергії також залежатиме від швидкості розслаблення збудженої донорської держави. Оскільки в цій релаксації, як правило, переважає швидкість флуоресценції донора, швидкість передачі енергії зазвичай пишеться з точки зору ефективної відстані\(R_0\) та життя флуоресценції донора\(\tau_D\):

\[w _ {E T} = \frac {1} {\tau _ {D}} \left( \frac {R _ {0}} {r} \right)^{6} \label{14.25}\]

На критичній відстані\(R_0\) передачі швидкість (або ймовірність) передачі енергії дорівнює швидкості флуоресценції. \(R_0\)визначається термінами шостого кореня членів у Equation\ ref {14.24}, і зазвичай записується як

\[R _ {0}^{6} = \frac {9000 \ln ( 10 ) \phi _ {D} \left\langle \kappa^{2} \right\rangle} {128 \pi^{5} n^{4} N _ {A}} \int _ {0}^{\infty} d \overline {\nu} \frac {\sigma _ {\text {fluur}}^{D} ( \overline {V} ) \varepsilon _ {A} ( \overline {v} )} {\overline {V}^{4}} \label{14.26}\]

Це практичне визначення, яке враховує частотну залежність перехідно-дипольної взаємодії та нерадіаційної донорської релаксації на додаток до вираження в загальних одиницях. \(\overline {V}\)являє собою одиниці частоти в см ^-1. Спектр флуоресценції\(\sigma_{\text {fluor}}^{D}\) повинен бути нормований до одиниці площі, так щоб at\(\sigma_{\text {fluor }}^{D}(\bar{v})\) виражався в см (зворотні хвильові числа). Спектр поглинання\(\varepsilon_{A}(\bar{v})\) повинен бути виражений в молярних одиницях коефіцієнта декадичного екстинкції (літр/моль* см). \(n\)є показником заломлення розчинника,\(N_A\) є числом Авагадро і\(\phi_D\) є квантовим виходом донорської флуоресценції.

Перехідна дипольна взаємодія

FRET є одним із прикладів квантового механічного переходу дипольної взаємодії. Взаємодія між двома диполями,\(A\) і\(D\), в Equation\ ref {14.12} дорівнює

\[V = \frac {\kappa} {r^{3}} \left\langle e \left| \mu _ {A} \right| g \right\rangle \left\langle g \left| \mu _ {D} \right| e \right\rangle \label{14.27}\]

Ось\(\left\langle g \left| \mu _ {D} \right| e \right\rangle\) перехідний дипольний момент у Дебі для переходу молекули від землі до збудженого стану\(A\). \(r\)відстань між центрами точкових диполів, і\(\kappa\) є безодиничним орієнтаційним фактором

\[\kappa = 3 \cos \theta _ {1} \cos \theta _ {2} - \cos \theta _ {12}\]

На малюнку нижче ілюструється ця функція для випадку двох паралельних диполів, як функція кута між диполем і вектором, що визначає їх поділ.

У разі вібраційного зв'язку дипольний оператор розширюється в коливальній нормальній координаті:\(\mu = \mu _ {0} + \left( \partial \mu / \partial Q _ {A} \right) Q _ {A}\) і гармонічні перехідні дипольні матричні елементи

\[\left\langle 1\left|\mu_{A}\right| 0\right\rangle=\sqrt{\frac{\hbar}{2 c \omega_{A}}} \frac{\partial \mu}{\partial Q_{A}} \label{14.28}\]

де\(\omega _ {A}\) - частота коливань. Якщо частота\(V _ {A}\) задана в см ^-1, а перехідний\(\partial \mu / \partial Q _ {A}\) дипольний момент задається в одиницях\(\begin{equation}\text { D } Å^{-1} \text {amu }^{-1 / 2}\end{equation}\), то елемент матриці в одиницях\(D\) дорівнює

\[\left| \left\langle 1 \left| \mu _ {A} \right| 0 \right\rangle \right| = 4.1058 v _ {A}^{- 1 / 2} \left( \partial \mu / \partial Q _ {A} \right)\]

Якщо відстань між диполями вказано в Ångstroms, то перехідна дипольна зв'язок з Equation\ ref {14.27} в см ^-1 дорівнює

\[V \left( c m^{- 1} \right) = 5034 \kappa r^{- 3}.\]

Експериментально можна визначити перехідний дипольний момент від поглинання\(A\) як

\[A = \left( \frac {\pi N _ {A}} {3 c^{2}} \right) \left( \frac {\partial \mu} {\partial Q _ {A}} \right)^{2} \label{14.29}\]

Читання

1. Cheam, T.C.; Krimm, S., Перехідна дипольна взаємодія в поліпептидах: Ab initio розрахунок параметрів перехідного диполя. Листи хімічної фізики 1984, 107, 613-616.
2. Форстер, Т., Передавальні механізми електронного збудження. Дискусії Товариства Фарадея 1959, 27, 7-17.
3. Ферстер, Т., Звішенмолекулярне енергія і флуоресценц. Аннален дер Фізика 1948, 437, 55-75.
4. Förster, T., Експериментальний і теоретичний унтерсунг des zwischen молекулярних Uebergangs фон Електронна енергія. З. натурфорш 1949, 4А, 321—327