11.3: Функція відгуку та поглинання енергії
- Page ID
- 21801
Досліджуємо взаємозв'язок між функцією лінійної відгуку і поглинанням енергії від зовнішнього агента - в даному випадку електромагнітного поля. Ми будемо співвідносити це з коефіцієнтом поглинання\(\alpha = \dot {E} / I\), який ми описали раніше. Для цього випадку
\[ H = H _ {0} - f (t) A = H _ {0} - \mu \cdot E (t) \label{10.64}\]
Цей вираз дає енергію системи, тому швидкість поглинання енергії, усереднена над нерівноважним ансамблем, описується:
\[ \dot {E} = \dfrac {\partial \overline {H}} {\partial t} = - \dfrac {\partial f} {\partial t} \overline {A (t)} \label{10.65} \]
Ми хочемо, щоб циклічне середнє це по коливальному полю, так що усереднена за часом швидкість поглинання енергії
\[ \begin{align} \dot {E} & = \dfrac {1} {T} \int _ {0}^{T} d t \left[ - \dfrac {\partial f} {\partial t} \overline {A (t)} \right] \\[4pt] & = \dfrac {1} {T} \int _ {0}^{T} d t \dfrac {\partial f (t)} {\partial t} \left[ \langle A \rangle + \int _ {0}^{\infty} d \tau R ( \tau ) f ( t - \tau ) \right] \label{10.66} \end{align}\]
Тут функція відгуку
\[R ( \tau ) = - i \langle [ \mu ( \tau ) , \mu ( 0 ) ] \rangle / \hbar.\]
Для монохроматичного електромагнітного поля ми можемо записати (і розширювати)
\[ \begin{align} f (t) &= E _ {0} \cos \omega t \\[4pt] &= \dfrac {1} {2} \left[ E _ {0} e^{- i \omega t} + E _ {0}^{*} e^{i \omega t} \right] \label{10.67} \end{align}\]
що призводить до наступного для другого члена у рівнянні\ ref {10.66}:
\[ \dfrac {1} {2} \int _ {0}^{\infty} d \tau R ( \tau ) \left[ E _ {0} e^{- i \omega ( t - \tau )} + E _ {0}^{*} e^{i \omega ( t - \tau )} \right] = \dfrac {1} {2} \left[ E _ {0} e^{- i \omega t} \chi ( \omega ) + E _ {0}^{*} e^{i \omega t} \chi ( - \omega ) \right] \label{10.68}\]
Диференціюючи рівняння\ ref {10.67} та використовуючи його з рівнянням\ ref {10.68} у Рівнянні\ ref {10.66}, ми маємо
\[ \dot {E} = - \dfrac {1} {T} \langle A \rangle [ f ( T ) - f ( 0 ) ] - \dfrac {1} {4 T} \int _ {0}^{T} d t \left[ - i \omega E _ {0} e^{- i \omega t} + i \omega E _ {0}^{*} e^{i \omega t} \right] \left[ E _ {0} e^{- i \omega t} \chi ( \omega ) + E _ {0}^{*} e^{i \omega t} \chi ( - \omega ) \right] \label{10.69}\]
Тепер ми будемо циклічно усереднити цей вираз, встановивши\(T = 2 \pi / \omega\). Перший термін зникає, а перехресні терміни у другому інтегралі зникають, тому що
\[\dfrac {1} {T} \int _ {0}^{T} d t e^{- i \omega t} e^{+ i \omega t} = 1\]
і
\[\int _ {0}^{T} d t e^{- i \omega t} e^{- i \omega t} = 0.\]
Швидкість поглинання енергії з поля дорівнює
\[ \left.\begin{aligned} \dot {E} & = \dfrac {i} {4} \omega \left| E _ {0} \right|^{2} [ \chi ( - \omega ) - \chi ( \omega ) ] \\[4pt] & = \dfrac {\omega} {2} \left| E _ {0} \right|^{2} \chi^{\prime \prime} ( \omega ) \end{aligned} \right. \label{10.70}\]
Отже, поглинання енергії системою пов'язане з уявною частиною сприйнятливості. Тепер, від інтенсивності падаючого поля,
\[I = \dfrac{c \left| E _ {0} \right|^{2}}{8 \pi}\]
коефіцієнт поглинання дорівнює
\[ \alpha ( \omega ) = \dfrac {\dot {E}} {I} = \dfrac {4 \pi \omega} {c} \chi^{\prime \prime} ( \omega ) \label{10.71} \]
Читання
- Маккуаррі, Д. А., Статистична механіка. Харпер і Роу: Нью-Йорк, 1976.