11.2: Квантові лінійні функції відгуку

Для розробки квантового опису функції лінійної відповіді ми починаємо з визнання того, що реакція системи на застосований зовнішній агент - це проблема, яку ми можемо вирішити в картині взаємодії. Наш залежний від часу гамільтоніан

\[ \begin{align} H (t) &= H _ {0} - f (t) \hat {A} \\[4pt] &= H _ {0} + V (t) \label{10.48} \end{align}\]

\(H_o\)є матеріалом Гамільтоніан для системи рівноваги. Зовнішній агент діє на систему рівноваги через\(\hat{A}\), оператор в системі станів, з часовою залежністю\(f(t)\). Ми\(V(t)\) вважаємо невеликою зміною, і розглядаємо цю проблему теорією збурень у картині взаємодії.

Ми хочемо описати нерівноважну відповідь\(\overline {A(t)}\), яку ми отримаємо шляхом усереднення ансамблевого значення очікування\( \hat{A}\), тобто\(\overline {\langle A (t) \rangle}\). Пам'ятайте, що значення очікування для чистого стану в картині взаємодії є

\[ \begin{align} \langle A (t) \rangle & = \left\langle \psi _ {I} (t) \left| A _ {I} (t) \right| \psi _ {I} (t) \right\rangle \\[4pt] & = \left\langle \psi _ {0} \left| U _ {I}^{\dagger} A _ {I} U _ {I} \right| \psi _ {0} \right\rangle \label{10.49} \end{align} \]

Картинка взаємодії гамільтоніана для рівняння\ ref {10.48} дорівнює

\[\left.\begin{aligned} V _ {I} (t) & = U _ {0}^{\dagger} (t) V (t) U _ {0} (t) \\[4pt] & = - f (t) A _ {I} (t) \end{aligned} \right. \label{10.50}\]

Для обчислення середнього ансамблю стану системи після застосування зовнішнього потенціалу ми визнаємо, що нерівноважний стан системи, що характеризується описуваним, насправді\(| \psi _ {I} (t) \rangle\) пов'язаний з початковим рівноважним станом системи\(| \psi _ o\rangle\) через часовий пропагатор, як видно в Рівняння\ ref {10.49}. Отже, нерівноважне\(\overline {A (t)}\) очікуване значення фактично отримується середнім рівновагою над очікуваним значенням\(U _ {I}^{\dagger} A _ {I} U _ {I}\):

\[ \overline {A (t)} = \sum _ {n} p _ {n} \left\langle n \left| U _ {I}^{\dagger} A _ {I} U _ {I} \right| n \right\rangle \label{10.51}\]

Знову ж таки\(| n \rangle \) є власні стани\(H_o\). Робота з першим рішенням замовлення\(U_I(t)\)

\[ U _ {I} \left( t - t _ {0} \right) = 1 + \dfrac {i} {\hbar} \int _ {t _ {0}}^{t} d t^{\prime} f \left( t^{\prime} \right) A _ {I} \left( t^{\prime} \right)\label{10.52}\]

тепер ми можемо обчислити значення оператора\(\hat{A}\) в часі\(t\), інтегруючи по історії прикладної взаємодії\(f(t')\):

\[\left.\begin{aligned} A (t) & = U _ {I}^{\dagger} A _ {I} U _ {I} \\ & = \left\{1 - \frac {i} {\hbar} \int _ {t _ {0}}^{t} d t^{\prime} f \left( t^{\prime} \right) A _ {I} \left( t^{\prime} \right) \right\} A _ {I} (t) \left\{1 + \frac {i} {\hbar} \int _ {t _ {0}}^{t} d t^{\prime} f \left( t^{\prime} \right) A _ {I} \left( t^{\prime} \right) \right\} \end{aligned} \right. \label {10.53} \]

Тут відзначимо, що\(f\) це залежність від часу зовнішнього агента. Він не залучає операторів\(H_o\) і їздить з\(A\). Працюючи в напрямку лінійної функції відгуку, ми просто зберігаємо терміни лінійні в

\[ \left.\begin{aligned} A (t) & \cong A _ {I} (t) + \dfrac {i} {\hbar} \int _ {t _ {0}}^{t} d t^{\prime}\, f \left( t^{\prime} \right) \left\{A _ {I} (t) A _ {I} \left( t^{\prime} \right) - A _ {I} \left( t^{\prime} \right) A _ {I} (t) \right\} \\[4pt] & = A _ {I} (t) + \dfrac {i} {\hbar} \int _ {t _ {0}}^{t} d t^{\prime} \,f \left( t^{\prime} \right) \left[ A _ {I} (t) , A _ {I} \left( t^{\prime} \right) \right] \end{aligned} \right. \label{10.54}\]

Оскільки наша система спочатку знаходиться в рівновазі, ми встановлюємо\(t _ {0} = - \infty\) і перемикаємо змінні на часовий інтервал\(\tau = t - t^{\prime} \) і використовуючи

\[A _ {I} (t) = U _ {0}^{\dagger} (t) A U _ {0} (t)\]

для отримання

\[ A (t) = A _ {I} (t) + \dfrac {i} {\hbar} \int _ {0}^{\infty} d \tau \,f ( t - \tau ) \left[ A _ {I} ( \tau ) , A _ {I} ( 0 ) \right] \label{10.55}\]

Тепер ми можемо обчислити значення очікування,\(A\) виконавши ансамбль середнього, описаного в Equation\ ref {10.51}. Відзначивши, що сила застосовується однаково до кожного учасника ансамблю, ми маємо

\[\overline {A (t)} = \langle A \rangle + \dfrac {i} {\hbar} \int _ {0}^{\infty} d \tau f ( t - \tau ) \left\langle \left[ A _ {I} ( \tau ) , A _ {I} ( 0 ) \right] \right\rangle \label{10.56}\]

Перший термін не залежить від\(f\), і тому він походить від рівноважного ансамблю середнього значення\(A\).

\[ \langle A (t) \rangle = \sum _ {n} p _ {n} \left\langle n \left| A _ {I} \right| n \right\rangle = \langle A \rangle \label{10.57}\]

Другий термін - це просто рівноважний ансамбль середнього над комутатором у\(A_I(t)\):

\[ \left\langle \left[ A _ {I} ( \tau ) , A _ {I} ( 0 ) \right] \right\rangle = \sum _ {n} p _ {n} \left\langle n \left| \left[ A _ {I} ( \tau ) , A _ {I} ( 0 ) \right] \right| n \right\rangle \label{10.58}\]

Порівнюючи рівняння\ ref {10.56} з виразом для функції лінійної відповіді, ми виявимо, що квантова лінійна функція відгуку дорівнює

\[ \left. \begin{array} {r l} {R ( \tau )} & {= - \dfrac {i} {\hbar} \left\langle \left[ A _ {I} ( \tau ) , A _ {I} ( 0 ) \right] \right\rangle} & {\tau \geq 0} \\[4pt] {} & {= 0} & {\tau < 0} \end{array} \right. \label{10.59}\]

або як це іноді пишеться з функцією Unit step для забезпечення причинно-наслідкового зв'язку:

\[ R ( \tau ) = - \dfrac {i} {\hbar} \Theta ( \tau ) \left\langle \left[ A _ {I} ( \tau ) , A _ {I} ( 0 ) \right] \right\rangle \label{10.60}\]

Важливо відзначити, що часовий розвиток системи з прикладеним зовнішнім потенціалом регулюється динамікою системи рівноваги. Вся залежність часу у функції відгуку знаходиться під\(H_o\).

Таким чином, лінійна функція відгуку є сумою двох кореляційних функцій з порядком взаємозамінних операторів, що є уявною частиною кореляційної функції.\(C''(\tau)\)

\[ \left.\begin{aligned} R ( \tau ) & = - \dfrac {i} {\hbar} \Theta ( \tau ) \left\{\left\langle A _ {I} ( \tau ) A _ {I} ( 0 ) \right\rangle - \left\langle A _ {I} ( 0 ) A _ {I} ( \tau ) \right\rangle \right\} \\[4pt] & = - \dfrac {i} {\hbar} \Theta ( \tau ) \left( C _ {A A} ( \tau ) - C _ {A A}^{*} ( \tau ) \right) \\[4pt] & = \dfrac {2} {\hbar} \Theta ( \tau ) C^{\prime \prime} ( \tau ) \end{aligned} \right.\label{10.61}\]

Як ми очікуємо для спостережуваного, функція відповіді реальна. Якщо висловити кореляційну функцію в описі власної держави:

\[ C (t) = \sum _ {n , m} p _ {n} \left| A _ {m n} \right|^{2} e^{- i \omega _ {m n} t} \label{10.62}\]

потім

\[ R (t) = \dfrac {2} {\hbar} \Theta (t) \sum _ {n , m} p _ {n} \left| A _ {m n} \right|^{2} \sin \omega _ {m n} t \label{10.63}\]

\(R(t)\)завжди можна розширити в синусах - непарна функція часу. Це відображає той факт, що імпульсна характеристика повинна мати значення 0 (відхилення від рівноваги) в\(t = t_o\), і віддалятися від 0 в точці, де застосовується зовнішній потенціал.

Читання

1. Мукамель С., Принципи нелінійної оптичної спектроскопії. Преса Оксфордського університету: Нью-Йорк, 1995; гл. 5.

Автори та атрибуція

• Template:ContribTokmakoff