7.7: Додаток - магнітні дипольні та електричні квадрупольні переходи

Другий термін в розширенні в екв. (6.39) призводить до магнітних дипольних і електричних квадрупольних переходів, які ми опишемо тут. Потенціал взаємодії є

\(V^{(2)}(t)=-\frac{q}{m}\left[i A_{0}(\hat{\varepsilon} \cdot \bar{p})(\bar{k} \cdot \bar{r}) e^{-i \omega t}-i A_{0}^{*}(\hat{\varepsilon} \cdot \bar{p})(\bar{k} \cdot \bar{r}) e^{i \omega t}\right]\)

Ми можемо використовувати ідентичність

\ (\ почати {вирівняний}
(\ капелюх {\ varepsilon}\ точка\ бар {p}) (\ бар {k}\ точка\ бар {r}) &=\ капелюх {\ varepsilon}\ dot (\ overline {p r})\ точка\ бар {k}\
&=\ frac {1} {2}\ капелюх {\\ varepsilon} (\ оверлайн {p r} -\ оверлайн {r p})\ бар {k} +\ frac {1} {2}\ hat {\ varepsilon} (\ overline {p} +\ overline {r p})\ бар {k}
\ end {вирівняний}\)

розділити V (t) на два різних терміни взаємодії світло - матерія:

\[V^{(2)}(t)=V_{m a g}^{(2)}(t)+V_{Q}^{(2)}(t) \label{6.112} \]

\[V_{m a g}^{(2)}(t)=\frac{-i q}{2 m} \hat{\varepsilon} \cdot(\overline{p r}-\overline{r p}) \cdot \bar{k}\left(A_{0} e^{-i \omega t}+A_{0}^{*} e^{i \omega t}\right) \label{6.113} \]

\[V_{Q}^{(2)}(t)=\frac{-i q}{2 m} \hat{\varepsilon} \cdot(\overline{p r}+\overline{r p}) \cdot \bar{k}\left(A_{0} e^{-i \omega t}+A_{0}^{*} e^{i \omega t}\right) \label{6.114} \]

де перший\(V_{\operatorname{mag}}^{(2)}\) породжує магнітні дипольні переходи, а другий\(V_{Q}^{(2)}\) призводить до електричних квадрупольних переходів.

Для позначення вище,\(\overline{p r}\) представляє зовнішній добуток (тензорний добуток\(\bar{p}: \bar{r}\)), так що

\ [\ капелюх {\ varepsilon}\ cdot (\ overline {p r})\ cdot\ бар {k} =\ лівий (\ почати {масив} {lll}
\ varepsilon_ {x} &\
varepsilon_ {y} &
\ varepsilon_ {z}\ кінець {масив}\ праворуч)\ лівий (\ почати {масив} {cc} p_ x} r_ {x} & p_ {x} r_ {y} & p_ {x} r_ {z}\\
p_ {y} r_ {x} & p _ {y} r_ {y} & p_ {y} r_ {z}\\
p_ {z} r_ {x} & p_ {z} r_ {y} & p_ {z} r_ {z}
\ кінець {масив}\ вліво (\ початок {масив} {c} k_ {x}\ k_ {y}\\
k_ {y}\\
k_ {z}\
k_ {z}
\ кінець {масив}\ праворуч)\]

Цей вираз має на увазі, що компонент r, який лежить уздовж k, може впливати на величину p уздовж\(\varepsilon\). Як варіант, цей термін може бути написаний\(\sum_{a, b=x, y, z} \varepsilon_{a}\left(p_{a} r_{b}\right) k_{b}\). Ці потенціали взаємодії можна спростити та зробити більш інтуїтивними. Розглядаючи перший ур. \ ref {6.113}, ми можемо використовувати векторну ідентичність\((\bar{A} \times \bar{B}) \cdot(\bar{C} \times \bar{D})=(\bar{A} \times \bar{C})(\bar{B} \times \bar{D})-(\bar{A} \times \bar{D})(\bar{B} \times \bar{C})\) для показу

\ [\ почати {вирівняний}
\ frac {1} {2}\ hat {\ varepsilon}\ cdot (\ overline {p r} -\ перекриття {r p})\ dot\ бар {k} &=\ frac {1} {2} [(\ капелюх {\ varepsilon}\ cdot\ бар {p}) (\ бар {r}\ cdot\ бар {k}) - (\ капелюх {\ varepsilon}\ точка\ бар {r}) (\ бар {p}\ точка\ бар {k})] =\ frac {1} {2} [(\ бар {k}\ dot\ капелюх {\ varepsilon})\ dot (\ бар {r}\ раз \ бар {p})]\\
&=\ frac {1} {2} (\ бар {k}\ раз\ капелюх {\ varepsilon})\ точка\ бар {L}
\ кінець {вирівняний}\ мітка {6.16}\]

Для електронної спектроскопії,\(\bar{L}\) це орбітальний момент моменту. Так як вектор\(\bar{k} \times \hat{\varepsilon}\) описує напрямок магнітного поля\(\bar{B}, \text {and since} A_{0}=B_{0} / 2 i k\)

\[V_{m d}^{(2)}(t)=\frac{-q}{2 m} \bar{B}(t) \cdot \bar{L} \quad \bar{B}(t)=\bar{B}_{0} \cos \omega t\]

\(\bar{B} \cdot \bar{L} \text {more generally is} \bar{B} \cdot(\bar{L}+2 \bar{S})\)при розгляді віджиму ступенів свободи. У випадку з електроном,

\[\frac{q \bar{L}}{m}=\frac{2 c}{\hbar} \beta \bar{L}=\frac{2 c}{\hbar} \bar{\mu}_{m a g}\]

де магнетон Бора -\[\beta=\sum_{i} e \hbar / 2 m_{i} c, \text {and} \bar{\mu}_{m a g}=\beta \bar{L}\] магнітний дипольний оператор. Отже, ми маємо форму для магнітної дипольної взаємодії.

\[V_{m a g}^{(2)}(t)=-\frac{c}{\hbar} \bar{B}(t) \cdot \bar{\mu}_{m a g}\]

Для електричних квадрупольних переходів один раз можна спростити еквалайзер. \ ref {6.114} шляхом обчислення елементів матриці для оператора\((\overline{p r}+\overline{r p})\).

\[\overline{p r}+\overline{r p}=\frac{i m}{\hbar}\left[\left[H_{0}, \bar{r}\right] \bar{r}-\bar{r}\left[\bar{r}, H_{0}\right]\right]=\frac{-i m}{\hbar}\left[\bar{r} \bar{r}, H_{0}\right]\]

і

\[V_{Q}^{(2)}(t)=\frac{-q}{2 \hbar} \hat{\varepsilon} \cdot\left[\bar{r} \bar{r}, H_{0}\right] \cdot \bar{k}\left(A_{0} e^{-i \omega t}+A_{0}^{*} e^{i \omega t}\right) \label{6.121}\]

\(\bar{r} \bar{r}\)Ось зовнішній добуток векторів. Для системи багатьох зарядів (i) визначено квадрупольний момент, безслідний тензор другого рангу

\ [\ почати {масив} {л}
\ бар {Q} =\ sum_ {i} q_ {i}\ бар {r}\ час\ бар {r}\\
Q_ {м n} =\ sum_ {i} q_ {i}\ ліворуч (3 r_ {m i}\ cdot r_ {n i} -r_ {i} ^ {2}\ delta_ {m n}\ право)\ квадрат m, n=x, y, z
\ end {масив}\]

Тепер за допомогою\(A_{0}=E_{0} / 2 i \omega\) eq. (\ ref {6.121}) стає

\[V(t)=-\frac{1}{2 i \hbar \omega} \bar{E}(t) \cdot\left[\overline{\bar{Q}}, H_{0}\right] \cdot \hat{k} \quad \bar{E}(t)=\bar{E}_{0} \cos \omega t \label{6.123}\]

Оскільки елемент матриці\(\left\langle k\left|\left[Q, H_{0}\right]\right| \ell\right\rangle=\hbar \omega_{k \ell} \overline{\bar{Q}}_{k \ell}\), ми можемо записати електричний квадрупольний перехідний момент як

\ [\ почати {вирівняний}
V_ {k\ ell} &=\ frac {i E_ {0}\ омега_ {k\ ell}} {2\ омега}\ лангель k|\ капелюх {\ varepsilon}\ cdot\ overline {\ bar {Q}}\ cdot\ капелюх {k} |\ ell\ діапазон\\
&=\ frac {я {0}\ омега_ {k\ ell}} {2\ omega}\ overline {\ bar {Q}} _ {k\ ell}
\ end {вирівняний}\]