7.6: Додаток - Огляд вільного електромагнітного поля

Тут ми розглядаємо виведення векторного потенціалу для плоської хвилі у вільному просторі. Почнемо з рівнянь Максвелла (СІ):

\[\begin{align} \overline {\nabla} \cdot \overline {B} &= 0 \label{6.78} \\[4pt] \overline {\nabla} \cdot \overline {E} &= \rho / \varepsilon _ {0} \label{6.79} \\[4pt] \overline {\nabla} \times \overline {E} &= - \dfrac {\partial \overline {B}} {\partial t} \label{6.80} \\[4pt] \overline {\nabla} \times \overline {B} &= \mu _ {0} \overline {J} + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial \overline {E}} {\partial t} \label{6.81} \end{align}\]

Тут змінними є:\(\overline {E}\), електричне поле;\(\overline {B}\), магнітне поле;\(\overline {J}\), щільність струму;\(\rho\), щільність заряду;\(\mathcal {E} _ {0}\), електрична діелектрична проникність;\(\mu _ {0}\), магнітна діелектрична проникність. Нас цікавить опис\(\overline {E}\) і з\(\overline {B}\) точки зору вектора і скалярного потенціалу,\(\overline {A}\) і\(\varphi\).

Далі розглянемо деякі основні властивості векторів і скалярів. Як правило, векторне поле\(\overline {F}\) призначає вектор кожній точці простору. розбіжність поля

\[\overline {\nabla} \cdot \overline {F} = \dfrac {\partial F _ {x}} {\partial x} + \dfrac {\partial F _ {y}} {\partial y} + \dfrac {\partial F _ {z}} {\partial z} \label{6.82}\]

є скаляром. Для скалярного поля\(\phi\) градієнт

\[\nabla \phi = \dfrac {\partial \phi} {\partial x} \hat {x} + \dfrac {\partial \phi} {\partial y} \hat {y} + \dfrac {\partial \phi} {\partial z} \hat {z} \label{6.83}\]

вектор швидкості зміни в одній точці простору. Тут

\[\hat {x}^{2} + \hat {y}^{2} + \hat {z}^{2} = \hat {r}^{2}\]

є одиничними векторами. Також локон

\[\overline {\nabla} \times \overline {F} = \left| \begin{array} {l l l} {\hat {x}} & {\hat {y}} & {\hat {z}} \\ {\dfrac {\partial} {\partial x}} & {\dfrac {\partial} {\partial y}} & {\dfrac {\partial} {\partial z}} \\ {F _ {x}} & {F _ {y}} & {F _ {z}} \end{array} \right|\]

вектор\(x\)\(y\), і\(z\) компоненти якого є циркуляцією поля про цю складову. Деякі корисні ідентичності з векторного обчислення, які ми будемо використовувати:

\[\begin{align} \overline {\nabla} \cdot ( \overline {\nabla} \times \overline {F} ) &= 0 \label{6.85} \\[4pt] \nabla \times ( \nabla \phi ) &= 0 \label{6.86} \\[4pt] \nabla \times ( \overline {\nabla} \times \overline {F} ) &= \overline {\nabla} ( \overline {\nabla} \cdot \overline {F} ) - \overline {\nabla}^{2} \overline {F} \label{6.87} \end{align}\]

калібр перетворює

Введемо векторний потенціал\(\overline {A} ( \overline {r} , t )\) і скалярний потенціал\(\varphi ( \overline {r} , t )\), до яких ми будемо ставитися\(\overline {E}\) і\(\overline {B}\). Так як

\[\overline {\nabla} \cdot \overline {B} = 0\]

і

\[\overline {\nabla} ( \overline {\nabla} \times \overline {A} ) = 0,\]

ми можемо відразу зв'язати векторний потенціал і магнітне поле

\[\overline {B} = \overline {\nabla} \times \overline {A} \label{6.88}\]

Вставивши це в Equation\ ref {6.80} і переписуючи, ми можемо зв'язати електричне поле і векторний потенціал:

\[\overline {\nabla} \times \left[ \overline {E} + \dfrac {\partial \overline {A}} {\partial t} \right] = 0 \label{6.89}\]

Порівняння рівнянь\ ref {6.89} і\ ref {6.86} дозволяє нам стверджувати, що скалярний добуток існує з

\[\overline {E} = \dfrac {\partial \overline {A}} {\partial t} - \nabla \varphi \label{6.90}\]

Отже, підсумовуючи наші результати, ми бачимо, що потенціали\(\overline {A}\) і\(\varphi\) визначаємо поля\(\overline {B}\) і\(\overline {E}\):

\[\begin{align} \overline {B} ( \overline {r} , t ) &= \overline {\nabla} \times \overline {A} ( \overline {r} , t ) \label{6.91} \\[4pt] \overline {E} ( \overline {r} , t ) &= - \overline {\nabla} \varphi ( \overline {r} , t ) - \dfrac {\partial} {\partial t} \overline {A} ( \overline {r} , t ) \label{6.92} \end{align}\]

Нас цікавить визначення класичного хвильового рівняння для\(\overline {A}\) і\(\varphi\). Використовуючи рівняння\ ref {6.91}, диференціюючи рівняння\ ref {6.92}, і підставляючи в рівняння\ ref {6.81}, отримаємо

\[\overline {\nabla} \times ( \overline {\nabla} \times \overline {A} ) + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \left( \dfrac {\partial^{2} \overline {A}} {\partial t^{2}} + \overline {\nabla} \dfrac {\partial \varphi} {\partial t} \right) = \mu _ {0} \overline {J} \label{6.93}\]

Використовуючи рівняння\ ref {6.87},

\[\left[ - \overline {\nabla}^{2} \overline {A} + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial^{2} \overline {A}} {\partial t^{2}} \right] + \overline {\nabla} \left( \overline {\nabla} \cdot \overline {A} + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial \varphi} {\partial t} \right) = \overline {\mu} _ {0} \overline {J} \label{6.94}\]

З рівняння\ ref {6.90}, ми маємо

\[\overline {\nabla} \cdot \overline {E} = - \dfrac {\partial \overline {\nabla} \cdot \overline {A}} {\partial t} - \overline {\nabla}^{2} \varphi \label{6.95}\]

і використовуючи рівняння\ ref {6.79},

\[\dfrac {- \partial \overline {V} \cdot \overline {A}} {\partial t} - \overline {\nabla}^{2} \varphi = \rho / \varepsilon _ {0} \label{6.96}\]

Зверніть увагу з Рівняння\ ref {6.91} і\ ref {6.92}, що нам потрібно вказати лише чотири компоненти поля (\(A_{x}, A_{y}, A_{z}, \varphi\)щоб визначити всі шість\(\bar{E}\) і\(\bar{B}\) компоненти. Але\(\bar{E}\) і однозначно\(\bar{B}\) не визначають\(\bar{A}\) і\(\varphi\). Таким чином, ми можемо побудувати\(\bar{A}\) і\(\varphi\) в будь-якій кількості способів, не змінюючи\(\bar{E}\) і\(\bar{B}\). Зверніть увагу, що якщо ми змінимо\(\bar{\nabla} \chi \),\(\bar{A}\) додавши де\(\chi\) є будь-яка функція,\(\bar{r}\) і\(t\) це не зміниться\(\bar{B} \quad(\nabla \times(\nabla \cdot B)=0)\). Це\(E\) зміниться\(\left(-\frac{\partial}{\partial t} \bar{\nabla} \chi\right)\), але ми можемо\(\varphi\) змінити на\(\varphi^{\prime}=\varphi-(\partial \chi / \partial t)\). Тоді\(\bar{E}\) і\(\bar{B}\) буде і те, і інше незмінним. Це властивість зміни подання (калібру) без зміни\(\bar{E}\) і\(\bar{B}\) є калібрувальною інваріантністю. Ми можемо визначити калібрувальну трансформацію за допомогою

\[\bar{A}^{\prime}(\bar{r}, t)=\bar{A}(\bar{r}, t)+\bar{\nabla} \cdot \chi(\bar{r}, t) \label{6.97}\]

\[\varphi^{\prime}(\bar{r}, t)=\varphi(\bar{r}, t)-\frac{\partial}{\partial t} \chi(\bar{r}, t) \label{6.98}\]

До цього моменту\(A^{\prime} \text {and} \varphi^{\prime}\) не визначені. Давайте виберемо\(\chi\) таке, що:

\[\overline {\nabla} \cdot \overline {A} + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial \varphi} {\partial t} = 0 \label{6.99}\]

який відомий як стан Лоренца. Потім з Рівняння\ ref {6.93}:

\[- \nabla^{2} \overline {A} + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial^{2} \overline {A}} {\partial t^{2}} = \mu _ {0} \overline {J} \label{6.100}\]

Права частина цього рівняння може бути встановлена на нуль, коли струмів немає. З Рівняння\ ref {6.96} ми маємо:

\[\varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial^{2} \varphi} {\partial t^{2}} - \nabla^{2} \varphi = \dfrac {\rho} {\varepsilon _ {0}} \label{6.101}\]

Рівняння\ ref {6.100} і\ ref {6.101} є хвильовими рівняннями для\(\overline {A}\) і\(\varphi\). У межах датчика Лоренца ми все ще можемо довільно додати інший\(\chi\); він повинен задовольняти лише рівняння\ ref {6.99}. Якщо ми підставимо рівняння\ ref {6.97} і\ ref {6.98} на рівняння\ ref {6.101}, ми побачимо

\[\nabla^{2} \chi - \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial^{2} \chi} {\partial t^{2}} = 0 \label{6.102}\]

Таким чином, ми можемо зробити подальший вибір/обмеження до тих\(\bar{A} \text {and} \varphi\) пір, поки він підпорядковується Equation\ ref {6.102}. Тепер ми вибираємо\(\varphi=0\), калібр Кулона, і з Рівняння\ ref {6.99} ми бачимо

\[\overline {\nabla} \cdot \overline {A} = 0 \label{6.103}\]

Отже, хвильове рівняння для нашого векторного потенціалу, коли поле є далекими струмами (\(J= 0\))

\[- \overline {\nabla}^{2} \overline {A} + \varepsilon _ {0} \mu _ {0} \dfrac {\partial^{2} \overline {A}} {\partial t^{2}} = 0 \label{6.104}\]

Розв'язками цього рівняння є плоскі хвилі:

\[\overline {A} = \overline {A} _ {0} \sin ( \omega t - \overline {k} \cdot \overline {r} + \alpha ) \label{6.105}\]

де\(\alpha\) - фаза. \(k\)- хвильовий вектор, який вказує уздовж напрямку поширення і має величину

\[k^{2} = \omega^{2} \mu _ {0} \varepsilon _ {0} = \omega^{2} / c^{2} \label{6.106}\]

Оскільки\(\overline {\nabla} \cdot \overline {A} = 0\) (Рівняння\ ref {6.103}), то

\[- \overline {k} \cdot \overline {A} _ {0} \cos ( \omega t - \overline {k} \cdot \overline {r} + \alpha ) = 0\]

і

\[\overline {k} \cdot \overline {A} _ {0} = 0 \label{6.107}\]

Так напрямок векторного потенціалу перпендикулярно напрямку поширення хвилі (\(\overline {k} \perp \overline {A _ {0}}\)). З рівнянь\ ref {6.91} і\ ref {6.92} ми бачимо, що для\(\varphi = 0\):

\[\begin{align} \overline {E} &= - \dfrac {\partial \overline {A}} {\partial t} \\[4pt] &= - \omega \overline {A} _ {0} \cos ( \omega t - \overline {k} \cdot \overline {r} + \alpha ) \label{6.108} \\[4pt] \overline {B} &= \overline {\nabla} \times \overline {A} \\[4pt] &= - \left( \overline {k} \times \overline {A} _ {0} \right) \cos ( \omega t - \overline {k} \cdot \overline {r} + \alpha ) \label{6.109} \end{align}\]

Тут електричне поле паралельно векторному потенціалу, а магнітне поле перпендикулярно електричному полю і напрямку поширення (\(\overline {k} \perp \overline {E} \perp \overline {B}\)). Вектор Пойнтінга, що описує напрямок поширення енергії,

\[\overline {S} = \varepsilon _ {0} c^{2} ( \overline {E} \times \overline {B} )\]

і його середнє значення, інтенсивність, становить

\[I = \langle S \rangle = \dfrac {1} {2} \varepsilon _ {0} c E _ {0}^{2}.\]