7.4: Релаксація та розширення ліній

Давайте опишемо поглинання до стану, пов'язаного з континуумом. Що відбувається з ймовірністю поглинання, якщо збуджений стан розпадається в геометричній прогресії?

Ми можемо почати з виразу першого порядку

\[\frac {\partial} {\partial t} b _ {k} = - \frac {i} {\hbar} e^{i \omega _ {k l} t} V _ {k \ell} (t) \label{6.56}\]

де ми робимо наближення\(b _ {\ell} (t) \approx 1\). Ми можемо додати незворотне розслаблення до опису\(b_k\) використання нашого попереднього виразу для розслаблення

\[b _ {k} (t) = \exp \left[ - \overline {w} _ {n k} t / 2 - i \Delta E _ {k} t / \hbar \right].\]

В цьому випадку ми нехтуємо корекцією на енергію\(\Delta E _ {k} = 0\), тому

\[\frac {\partial} {\partial t} b _ {k} = - \frac {i} {\hbar} e^{i \omega _ {\mu l} t} V _ {k \ell} (t) - \frac {\overline {w} _ {n k}} {2} b _ {k} \label{6.57}\]

Або за допомогою\(V (t) = - i E _ {0} \overline {\mu} _ {k l} \sin \omega t\)

\[\begin{align} \frac {\partial} {\partial t} b _ {k} & = \frac {- i} {\hbar} e^{i \omega _ {k t} t} \sin \omega t V _ {k \ell} - \frac {\overline {w} _ {n k}} {2} b _ {k} (t) \\[4pt] & = \frac {E _ {0} \omega _ {k \ell}} {2 i \hbar \omega} \left[ e^{i \left( \omega _ {k \ell} + \omega \right)} - e^{i \left( \omega _ {k \ell} - \omega \right) t} \right] \overline {\mu} _ {k \ell} - \frac {\overline {w} _ {n k}} {2} b _ {k} (t) \label{6.58} \end{align}\]

Розв'язок диференціального рівняння

\[\dot {y} + a y = b e^{i \alpha t} \label{6.59}\]

є

\[y (t) = A e^{- a t} + \frac {b e^{i \alpha t}} {a + i \alpha} \label{6.60}\]

із

\[b _ {k} (t) = A e^{- \overline {w} _ {n k} t / 2} + \frac {E _ {0} \overline {\mu} _ {k \ell}} {2 i \hbar} \left[ \frac {e^{i \left( \omega _ {k t} + \omega \right) t}} {\overline {w} _ {n k} / 2 + i \left( \omega _ {k \ell} + \omega \right)} - \frac {e^{i \left( \omega _ {k l} - \omega \right) t}} {\overline {w} _ {n k} / 2 + i \left( \omega _ {k \ell} - \omega \right)} \right] \label{6.61}\]

Давайте подивимося лише на поглинання, протягом тривалого терміну:

\[b _ {k} (t) = \frac {E _ {0} \overline {\mu} _ {k \ell}} {2 \hbar} \left[ \frac {e^{i \left( \omega _ {k l} - \omega \right) t}} {\omega _ {k \ell} - \omega - i \overline {w} _ {n k} / 2} \right] \label{6.62}\]

Для чого ймовірність переходу\(k\) на

\[P _ {k} = \left| b _ {k} \right|^{2} = \frac {E _ {0}^{2} \left| \mu _ {k \ell} \right|^{2}} {4 \hbar^{2}} \frac {1} {\left( \omega _ {k \ell} - \omega \right)^{2} + \overline {w} _ {n k}^{2} / 4} \label{6.63}\]

Частотна залежність ймовірності переходу має Лоренціанський вигляд:

Ширина лінії FWHM дає швидкість розслаблення від до\(k\) континууму\(n\). Також ширина лінії пов'язана з системою, а не з способом введення збурень. Ширина лінії або форма лінії є додатковою особливістю, яку ми інтерпретуємо в наших спектрах, і зазвичай походить від незворотного розслаблення або інших процесів, які руйнують когерентність, спочатку встановлену світловим полем.