2.3: Дворівневі системи

Давайте використаємо пропагатор часу в розрахунку моделі, на який ми будемо посилатися часто. Загальноприйнято зменшувати або відображати квантові проблеми на дворівневу систему (2LS). Ми підберемо найважливіші держави для нашої проблеми і знайдемо стратегії відкидання або спрощення впливу інших ступенів свободи. Розглянемо 2LS з двома незбуренними або «нульовим порядком» станів\(| \varphi _ {a} \rangle\) і\(| \varphi _ {b} \rangle\) з енергіями\( {\varepsilon} _ {a}\) і\( {\varepsilon} _ {b}\), які описуються гамільтоном нульового порядку\(H_0\):

\[\begin{align} \hat {H} _ {0} &= | \varphi _ {a} \rangle \varepsilon _ {a} \left\langle \varphi _ {a} | + | \varphi _ {b} \right\rangle \varepsilon _ {b} \langle \varphi _ {b} | \\[4pt] &= \left( \begin{array} {l l} {\varepsilon _ {a}} & {0} \\[4pt] {0} & {\varepsilon _ {b}} \end{array} \right) \label{1.33} \end{align}\]

Ці стани взаємодіють через зв'язок форми\(V\)

\[\begin{align} \hat {V} &= | \varphi _ {a} \rangle V _ {a b} \left\langle \varphi _ {b} | + | \varphi _ {b} \right\rangle V _ {b a} \langle \varphi _ {a} | \\[4pt] &= \left( \begin{array} {l l} {0} & {V _ {a b}} \\[4pt] {V _ {b a}} & {0} \end{array} \right) \label{1.34} \end{align}\]

Повний гамільтоніан для двох з'єднаних станів\(\hat{H}\):

\[\begin{align} \hat {H} & = \hat {H} _ {0} + \hat {V} \\[4pt] & = \left( \begin{array} {c c} {\varepsilon _ {a}} & {V _ {a b}} \\[4pt] {V _ {b a}} & {\varepsilon _ {b}} \end{array} \right) \label{1.35} \end{align} \]

Стани нульового порядку є\(| \varphi _ {a} \rangle\) і\(| \varphi _ {b} \rangle\). Зв'язок змішує ці стани, приводячи до двох власних станів\(\hat{H}\),\(| \varphi _ {+} \rangle\) і\(| \varphi _ {-} \rangle\), з відповідною енергією власних значень\( {\varepsilon} _ {+}\) і\( {\varepsilon} _ {-}\), відповідно.

Ми запитаємо: Якщо ми підготуємо систему в стані\(| \varphi _ {a} \rangle\), яка залежна від часу ймовірність її спостереження\(| \varphi _ {b} \rangle\)? Оскільки\(| \varphi _ {a} \rangle\) і не\(| \varphi _ {b} \rangle\) є власними станами\(\hat{H}\), і оскільки наше поширення часу буде виконуватися у власному базисі за допомогою Equation\ ref {1.29}, нам потрібно буде знайти перетворення між цими базами.

Почнемо з пошуку власних значень гамільтоніана (Equation\ ref {1.35}). Так як гамільтоніан - ерміт, (\(H _ {i j} = H _ {j i}^{*}\)), пишемо

\[V _ {a b} = V _ {b a}^{*} = V e^{- i \varphi} \label{1.36}\]

\[\hat {H} = \left( \begin{array} {c c} {\varepsilon _ {a}} & {V e^{- i \varphi}} \\[4pt] {V e^{+ i \varphi}} & {\varepsilon _ {b}} \end{array} \right) \label{1.37}\]

Часто описані нами муфти справжні, і ми можемо знехтувати фазовим фактором\(\phi\). Тепер ми визначаємо змінні для середньої енергії та енергетичного розщеплення між незв'язаними станами.

\[E = \frac {\varepsilon _ {a} + \varepsilon _ {b}} {2}\]

\[\Delta = \frac {\varepsilon _ {a} - \varepsilon _ {b}} {2} \label{1.39}\]

Потім ми можемо отримати власні значення зв'язаної системи, розв'язавши світське рівняння.

\[\operatorname {det} ( H - \lambda I ) = 0\]

подача

\[\varepsilon _ {\pm} = E \pm \Omega \label{1.41}\]

Тут я визначив іншу змінну

\[\Omega = \sqrt {\Delta^{2} + V^{2}} \label{1.42}\]

Для визначення власних векторів зв'язаної системи виявляється великим спрощенням визначення кута змішування\(| \varphi _ {\pm} \rangle\),\(\theta\) який описує відносну величину зв'язку щодо розщеплення енергії нульового порядку через

\[\tan 2 \theta = \frac {V} {\Delta} \label{1.43}\]

Ми бачимо, що кут змішування приймає такі значення, що\(0 \leq \theta \leq \pi / 4\). Також відзначимо, що

\[\sin 2 \theta = V / \Omega \label{1.44}\]

\[\cos 2 \theta = \Delta / \Omega \label{1.45}\]

У цьому поданні гамільтоніан (Equation\ ref {1.37}) стає

\[\hat {H} = E \overline {I} + \Delta \left( \begin{array} {l l} {1} & {\tan 2 \theta e^{- i \varphi}} \\[4pt] {\tan 2 \theta e^{+ i \varphi}} & {- 1} \end{array} \right) \label{1.46}\]

і ми можемо висловити власні значення як

\[\varepsilon _ {\pm} = E \pm \Delta \sec 2 \theta \label{1.47}\]

Далі ми хочемо знайти перетворення\(S\), яке діагоналізує гамільтоніан і яке перетворює коефіцієнти хвильової функції від основи нульового порядку до власної основи. Власні стани можуть бути розширені в основі нульового порядку у вигляді

\[| \varphi _ {\pm} \rangle = c _ {a} | \varphi _ {a} \rangle + c _ {b} | \varphi _ {b} \rangle \label{1.48}\]

Так що перетворення може бути виражено в матричній формі як

\[\left( \begin{array} {l} {\varphi _ {+}} \\[4pt] {\varphi _ {-}} \end{array} \right) = S \left( \begin{array} {l} {\varphi _ {a}} \\[4pt] {\varphi _ {b}} \end{array} \right)\label{1.49}\]

Щоб знайти\(S\), використовуємо рівняння Шредінгера\(\hat {H} | \varphi _ {\pm} \rangle = \varepsilon _ {\pm} | \varphi _ {\pm} \rangle\)

підставляючи рівняння\ ref {1.48}. Це дає

\[S = \left( \begin{array} {l l} {\cos \theta} & {e^{- i \varphi / 2}} & {\sin \theta} & {e^{i \varphi / 2}} \\[4pt] {- \sin \theta} & {e^{- i \varphi / 2}} & {\cos \theta} & {e^{i \varphi / 2}} \end{array} \right) \label{1.50}\]

Зверніть увагу, що\(S\) є унітарним, так як\(S^{\dagger} = S^{- 1}\) і\(\left( S^{T} \right)^{*} = S^{- 1}\). Також власна основа є ортонормальною:

\[\left\langle \varphi _ {+} | \varphi _ {+} \right\rangle + \left\langle \varphi _ {-} | \varphi _ {-} \right\rangle = 1.\]

Тепер давайте розглянемо власні стани в двох межах:

1. Слабка муфта (\(| {V} / \Delta | \ll 1\)). Тут\(\theta \approx 0\) і\(| \varphi _ {+} \rangle\) відповідає\(| \varphi _ {a} \rangle\) слабо збурене\(V_{ab}\) взаємодією. \(| \varphi _ {-} \rangle\)відповідає\(| \varphi _ {b} \rangle\). По-іншому, як\(\theta \rightarrow 0\), знаходимо\[| \varphi _ {+} \rangle \rightarrow | \varphi _ {a} \rangle\] і\[| \varphi _ {-} \rangle \rightarrow | \varphi _ {b} \rangle.\]
2. Міцне зчеплення (\(| V / \Delta | \gg 1\)). У цьому межі\(\theta = \pi / 4\) і основні\(a/b\) стани нерозрізнені. Власні стани є симетричними та антисиметричними комбінаціями:\[| \varphi _ {\pm} \rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} ( | \varphi _ {b} \rangle \pm | \varphi _ {a} \rangle ) \label{1.51}\] Зверніть увагу на Equation\ ref {1.50}, що знак\(V\) диктує,\(| \varphi _ {+} \rangle\) чи\(| \varphi _ {-} \rangle\) відповідає симетричному або антисиметричному власному стану. Для негативних\(V \gg \Delta\)\(\theta = - \pi / 4\), і відповідність в Equation\ ref {1.51} змінюється на\(\mp\).

Ми можемо схематично зобразити енергії цих станів за допомогою наступної діаграми. Тут ми досліджуємо асортимент\( {E} _ {\pm}\) наявних з урахуванням фіксованої муфти\(V\) і варіюючи розщеплення\(\Delta\).

Ця діаграма ілюструє ефект уникнення перетину. Сильна межа зв'язку еквівалентна точці виродження (\(\Delta = 0\)) між станами\(| \varphi _ {a} \rangle\) і\(| \varphi _ {b} \rangle\). Власні стани повністю змішують незбурені стани, але залишаються розщепленими силою взаємодії\(2V\). Ми повернемося до обговорення уникнених перетинів, коли опишемо потенційні енергетичні поверхні та адіабатичне наближення, де\(R\) слід враховувати залежність\(V\) і\(\Delta\) від положення.

Тепер можна переходити до опису динаміки. Час еволюції цієї системи задається часом-пропагандатором

\[U (t) = | \varphi _ {+} \rangle e^{- i \omega , t} \left\langle \varphi _ {+} | + | \varphi _ {-} \right\rangle e^{- i \omega t} \langle \varphi _ {-} | \label{1.52}\]

де\(\omega _ {\pm} = \varepsilon _ {\pm} / \hbar\). Оскільки\(\varphi _ {a}\) і не\(\varphi _ {b}\) є власними державами, підготовка системи в державі\(\varphi _ {a}\) призведе до еволюції часу! Давайте підготуємо систему так, щоб вона була спочатку в\(\varphi _ {a}\).

\[| \psi ( 0 ) \rangle = | \varphi _ {a} \rangle \label{1.53} \nonumber\]

Оцінюючи залежні від часу амплітуди початкового і кінцевого станів за допомогою\(S\), знайдемо

\[\begin{align*} c _ {a} (t) & = \left\langle \varphi _ {a} | U (t) | \varphi _ {a} \right\rangle \\[4pt] & = e^{- i E t} \left[ \cos^{2} \theta e^{i \Omega _ {R} t} + \sin^{2} \theta e^{- i \Omega _ {R} t} \right] \label{1.54} \\[4pt] c _ {b} (t) & = \left\langle \varphi _ {b} | U (t) | \varphi _ {a} \right\rangle \\[4pt] & = 2 \sin \theta \cos \theta e^{- i E t} \sin \Omega _ {R} t \label{1.55} \end{align*}\]

Отже, яка ймовірність того, що вона виявлена в стані\(| \varphi _ {b} \rangle\) в часі\(t\)?

\[\begin{aligned} P _ {b a} (t) & = \left| c _ {b} (t) \right|^{2} \\[4pt] & = \frac {V^{2}} {V^{2} + \Delta^{2}} \sin^{2} \Omega _ {R} t \end{aligned} \label{1.56}\]

де

\[\Omega _ {R} = \frac {1} {\hbar} \sqrt {\Delta^{2} + V^{2}} \label{1.57}\]

\(\Omega _ {R}\), Частота Рабі, являє собою частоту, з якою амплітуда ймовірності коливається між\(\varphi _ {a}\) і\(\varphi _ {b}\) станами.

Зверніть увагу на слабку межу зв'язку (\(V \rightarrow 0\)),\(\varphi _ {\pm} \rightarrow \varphi _ {a , b}\) (власні стани нагадують стаціонарні стани), і залежність від часу зникає. У сильній границі зв'язку (\(V \gg \Delta\)) амплітуда повністю обмінюється між станами нульового порядку зі швидкістю, заданою муфтою:\(\Omega _ {R} \rightarrow V / \hbar\). Навіть у цій межі потрібно кінцева кількість часу для переміщення амплітуди між станами. Для отримання\(P=1\) потрібен час\(\tau\):

\[\tau = \pi / 2 \Omega _ {R} = \hbar \pi / 2 V. \nonumber\]

Читання

1. Коен-Таннуджі, К.; Діу, Б.; Лале, Ф., Квантова механіка. Вілі-Міжнаукові: Париж, 1977; стор. 405-420.
2. Лібофф, Р.Л., Вступна квантова механіка. Аддісон-Веслі: Читання, Массачусетс, 1980; стор. 77.
3. Мукамель С., Принципи нелінійної оптичної спектроскопії. Преса Оксфордського університету: Нью-Йорк, 1995; гл. 2.
4. Сакурай, Дж., Сучасна квантова механіка, переглянуте видання. Еддісон-Уеслі: Читання, Массачусетс, 1994.