2.2: Знову експоненціальні оператори

Протягом усієї нашої роботи ми будемо використовувати експоненціальні оператори форми\(\hat {T} = e^{- i \hat {A}}\) Ми побачимо, що ці експоненціальні оператори діють на хвильову функцію, щоб перемістити її в часі та просторі. Особливий інтерес для нас представляє пропагатор часу або оператор еволюції часу\(\hat {U} = e^{- i \hat {H} t / h},\), який поширює хвильову функцію у часі. Зверніть увагу,\(\hat {T}\) що оператор є функцією оператора,\(f(\hat{A})\). Функція оператора визначається шляхом її розширення в ряді Тейлора, наприклад

\[\hat {T} = e^{- i \hat {A}} = \sum _ {n = 0}^{\infty} \frac {( - i \hat {A} )^{n}} {n !} = 1 - i \hat {A} - \frac {\hat {A} \hat {A}} {2} - \cdots \label{1.13}\]

Оскільки ми використовуємо їх так часто, давайте розглянемо властивості експоненціальних операторів, які можна встановити за допомогою Equation\ ref {1.13}. Якщо оператор\(\hat{A}\) Ерміт, то\(\hat {T} = e^{- i \hat {A}}\) є унітарним, т. Е\(\hat {T}^{\dagger} = \hat {T}^{- 1}\). Таким чином, гермітієвий кон'югат з\(\hat{T}\) змінює дію\(\hat{T}\). Для розповсюджувача часу часто\(U^{†}\) називають оператором\(\hat{U}\) часового розвороту.

Власні стани оператора\(\hat{A}\) також є власними станами\(f(\hat{A})\), а власні значення є функціями власних значень\(\hat{A}\). А саме, якщо ви знаєте власні значення та власні вектори\(\hat{A}\), тобто\(\hat {A} \varphi _ {n} = a _ {n} \varphi _ {n}\), ви можете показати, розгорнувши функцію, що

\[f ( \hat {A} ) \varphi _ {n} = f \left( a _ {n} \right) \varphi _ {n} \label{1.14}\]

Наше найпоширеніше застосування цієї властивості буде до експоненціальних операторів за участю гамільтоніана. З огляду на власні стани\(\varphi _ {n}\), то\(\hat {H} | \varphi _ {n} \rangle = E _ {n} | \varphi _ {n} \rangle\) мається на увазі

\[e^{- i \hat {H} t / \hbar} | \varphi _ {n} \rangle = e^{- i E _ {n} t / \hbar} | \varphi _ {n} \rangle \label{1.15}\]

Так само, як\(\hat {U} = e^{- i \hat {H} t / h}\) і оператор часової еволюції, який витісняє хвильову функцію в часі,\(\hat {D} _ {x} = e^{- i \hat {p} _ {x} x / \hbar}\) є оператором просторового переміщення, який рухається\(\psi\) уздовж\(x\) координати. Якщо ми визначимо,\(\hat {D} _ {x} ( \lambda ) = e^{- i \hat {p} _ {x} \lambda / h},\) то дія полягає в зміщенні хвильової функції на суму.\(\lambda\)

\[| \psi ( x - \lambda ) \rangle = \hat {D} _ {x} ( \lambda ) | \psi (x) \rangle \label{1.16}\]

Також, звернення\(\hat {D} _ {x} ( \lambda )\) до посади оператор зміщує оператора на\(\lambda\)

\[\hat {D} _ {x}^{\dagger} \hat {x} \hat {D} _ {x} = \hat {x} + \lambda \label{1.17}\]

Таким чином,\(e^{- i \hat {p} _ {x} \lambda / h} | x \rangle\) є власним\(\hat{x}\) вектором з власним значенням\(x + \lambda\) замість\(x\). Оператор\(\hat {D} _ {x} = e^{- i \hat {p} _ {x} \lambda / \hbar}\) є оператором переміщення координат\(x\) положення. Аналогічним чином\(\hat {D} _ {y} = e^{- i \hat {p} _ {y} \lambda / \hbar}\) генерує переміщення в\(y\) і\(\hat{D}_z\) в\(z\). Подібно до тимчасового\(\hat{U}\) пропагатора,\(hta{D}\) оператор переміщення повинен бути унітарним, так як дія повинна залишити систему без змін. Тобто якщо\(\hat{D}\) зсуває систему на з, то зміщує систему зі\(x\) спини на\(x_0\).

Ми інтуїтивно знаємо, що лінійні переміщення комутують. Наприклад, якщо ми хочемо зрушити частку в двох вимірах\(y\),\(x\) причому, порядок переміщення не має значення. Ми опиняємося в тому ж положенні. Ці оператори переміщення їздять на роботу, як і очікувалося від\([\hat{p}_x,\hat{p}_y] = 0\)

Подібно до оператора переміщення, ми можемо визначити оператори обертання, які залежать від операторів кутового моменту\(L_x\),\(L_y\), і\(L_z\). Наприклад,\(\hat {R} _ {x} ( \phi ) = e^{- i \phi L _ {x} / \hbar}\) дає поворот на кут\(\phi\) навколо осі x. На відміну від лінійного переміщення, обертання навколо різних осей не коммутують. Наприклад, розглянемо стан, що представляє частинку, зміщену вздовж осі z,\(| \mathrm {Z} 0 \rangle\). Тепер дія двох обертань\(\hat{R}_x\) і\(\hat{R}_y\) на кут\(\pi/2\) на цю частку відрізняється в залежності від порядку роботи.

Результати цих двох обертань, прийнятих у протилежному порядку, відрізняються обертанням навколо осі z. Таким чином, оскільки обертання навколо різних осей не коммутують, ми повинні очікувати, що оператори кутового імпульсу, які генерують ці обертання, не комутують. Дійсно, ми знаємо, що\([L_x,L_y] = i\hbar L_z\) де комутатор обертань навколо осей x і y пов'язаний обертанням осі z. Як і у випадку з операторами обертання, нам потрібно бути обережними з розповсюджувачами часу, щоб визначити, чи має значення порядок поширення часу. Це, в свою чергу, буде залежати від того, чи будуть гамільтонці в два моменти часу їздити на роботу.

Корисні властивості експоненціального оператора

Наостанок варто відзначити деякі відносини, які важливі при оцінці дії експоненціальних операторів:

1. Відносини Бейкер - Хаусдорф:\[\left. \begin{array} {r l} {\exp ( i \hat {G} \lambda ) \hat {A} \exp ( - i \hat {G} \lambda ) = \hat {A} + i \lambda [ \hat {G} , \hat {A} ] + \left( \frac {i^{2} \lambda^{2}} {2 !} \right) [ \hat {G} , [ \hat {G} , \hat {A} ] ] + \ldots} \\ {+ \left( \frac {i^{n} \lambda^{n}} {n !} \right) [ \hat {G} , [ \hat {G} , [ \hat {G} , \hat {A} ] ] ] \ldots ]} & {+ \dots} \end{array} \right. \label{1.18}\]
2. Якщо\(\hat {A}\) і\(\hat {B}\) не їздити на роботу, а\([ \hat {A} , \hat {B} ]\) їздити з\(\hat {A}\) і\(\hat {B}\), то\[e^{\hat {A} + \hat {B}} = e^{\hat {A}} e^{\hat {B}} e^{- \frac {1} {2} [ \hat {A} , \hat {B} ]}\label{1.19}\]
3. \[e^{\hat {A}} e^{\hat {B}} = e^{\hat {B}} e^{\hat {A}} e^{- [ \hat {B} , \hat {A} ]} \label{1.19B}\]

Оператор еволюції часу

Оскільки TDSE є детермінованим і лінійним за часом, ми можемо визначити оператор, який описує динаміку хвильової функції:

\[\psi (t) = \hat {U} \left( t , t _ {0} \right) \psi \left( t _ {0} \right) \label{1.20}\]

\(U\)is - це оператор часової еволюції або час еволюції, який еволюціонує квантову систему як функцію часу. Він являє собою розв'язання залежного від часу рівняння Шредінгера. Для дослідження його форми розглянуто TDSE для незалежного від часу гамільтоніана:

\[\frac {\partial} {\partial t} \psi ( \overline {r} , t ) + \frac {i \hat {H}} {\hbar} \psi ( \overline {r} , t ) = 0 \label{1.21}\]

Щоб вирішити це, ми визначимо експоненціальний оператор\(\hat {T} = \exp ( - i \hat {H} t / \hbar )\), який визначається через його розширення в серії Тейлора:

\[ \begin{align} \hat {T} &= \exp ( - i \hat {H} t / \hbar ) \\[4pt] &= 1 - \frac {i \hat {H} t} {\hbar} + \frac {1} {2 !} \left( \frac {i \hat {H} t} {\hbar} \right)^{2} - \cdots \end{align} \label{1.22}\]

Ви також можете підтвердити з розширення, що\(\hat {T}^{- 1} = \exp ( i \hat {H} t / \hbar ),\) відзначаючи, що\(\hat{H}\) це Ермітіан і їздить з\(\hat{T}\). Помноживши рівняння\ ref {1.21} зліва на\(\hat {T}^{- 1}\), ми можемо записати

\[\frac {\partial} {\partial t} \left[ \exp \left( \frac {i \hat {H} t} {\hbar} \right) \psi ( \overline {r} , t ) \right] = 0 \label{1.23}\]

і інтегруючи\(t _ {0} \rightarrow t\), ми отримуємо

\[\exp \left( \frac {i \hat {H} t} {\hbar} \right) \psi ( \overline {r} , t ) - \exp \left( \frac {i \hat {H} t _ {0}} {\hbar} \right) \psi \left( \overline {r} , t _ {0} \right) = 0 \label{1.24}\]

\[\psi ( \overline {r} , t ) = \exp \left( \frac {- i \hat {H} \left( t - t _ {0} \right)} {\hbar} \right) \psi \left( \overline {r} , t _ {0} \right) \label{1.25}\]

Отже, порівнюючи з Equation\ ref {1.20}, ми бачимо, що пропагатор часу

\[\hat {U} \left( t , t _ {0} \right) = \exp \left( \frac {- i \hat {H} \left( t - t _ {0} \right)} {\hbar} \right) \label{1.26}\]

Для незалежного від часу гамільтоніана, для якого ми знаємо власні\(\phi_n\) стани та власні значення\(E_n\), ми можемо висловити це у практичній формі за допомогою Equation\ ref {1.14}

\[\psi _ {n} ( \overline {r} , t ) = e^{- i E _ {n} \left( t - t _ {0} \right) / \hbar} \psi _ {n} \left( \overline {r} , t _ {0} \right) \label{1.27}\]

Крім того, якщо ми підставимо оператор проекції (або відношення ідентичності)

\[\sum _ {n} | \varphi _ {n} \rangle \langle \varphi _ {n} | = 1 \label{1.28}\]

в рівняння\ ref {1.26}, ми бачимо

\[\begin{align} \hat {U} \left( t , t _ {0} \right) &= e^{- i \hat {H} \left( t - t _ {0} \right) / \hbar} \sum _ {n} | \varphi _ {n} \rangle \langle \varphi _ {n} | \\[4pt] &= \sum _ {n} e^{- i \omega _ {n} \left( t - t _ {0} \right)} | \varphi _ {n} \rangle \langle \varphi _ {n} | \end{align}\]

\[\omega _ {n} = \frac {E _ {n}} {\hbar}\]

Так що тепер ми можемо написати наш час розвивається хвиля функція як

\[\begin{align} | \psi _ {n} ( \overline {r} , t ) \rangle & = | \varphi _ {n} \rangle \sum _ {n} e^{- i \omega _ {n} \left( t - t _ {0} \right)} \left\langle \varphi _ {n} | \psi _ {n} \left( \overline {r} , t _ {0} \right) \right\rangle \\ & = \sum _ {n} e^{- i \omega _ {n} \left( t - t _ {0} \right)} c _ {n} \\ & = \sum _ {n} c _ {n} (t) | \varphi _ {n} \rangle \end{align} \label{1.30}\]

Як написано в Equation\ ref {1.20}, ми бачимо, що пропагатор часу\(\hat {U} \left( t , t _ {0} \right)\), діє праворуч (на кетах), щоб еволюціонувати систему в часі. Еволюція сполучених хвильових функцій (бюстгальтерів) знаходиться під гермітовим кон'югатом\(\hat {U} \left( t , t _ {0} \right)\), діючи зліва:

\[\langle \psi (t) | = \langle \psi \left( t _ {0} \right) | \hat {U}^{\dagger} \left( t , t _ {0} \right) \label{1.31}\]

З його визначення як розширення та визнання\(\hat{H}\) Ермітіаном можна побачити, що

\[\hat {U}^{\dagger} \left( t , t _ {0} \right) = \exp \left[ \frac {i \hat {H} \left( t - t _ {0} \right)} {\hbar} \right] \label{1.32}\]

Відзначаючи, що\(\hat{U}\) є унітарним\(\hat {U}^{\dagger} = \hat {U}^{- 1}\), ми часто\(\hat {U}^{\dagger}\) називаємо оператором реверсу часу.