1.2: Матрична механіка
- Page ID
- 21585
Велика частина нашої роботи буде використовувати матричну механіку формулювання квантової механіки. Хвильова функція записується як\(|\Psi\rangle\) і називається кетовим вектором. Складний кон'югат\(\Psi^{*}=\langle\Psi|\) - це бюстгальтер вектор, де\(\langle a \Psi|=a^{*}\langle\Psi|\). Виріб бюстгальтера і ket вектор, тому\(\langle\alpha \mid \beta\rangle\) є внутрішнім продуктом (скалярним), тоді як продукт ket і бюстгальтер\(|\beta\rangle\langle\alpha|\) є зовнішнім продуктом (матрицею). Використання векторів bra—ket є позначенням Дірака в квантовій механіці.
У матричному поданні\(|\Psi\rangle\) представлений у вигляді стовпчастого вектора для коефіцієнтів розширення\(c_{i}\) в певній базовій множині.
\ [|\ Psi\ rangle=\ left (\ begin {масив} {c}
c_ {1}\\
c_ {2}\\
c_ {3}\
\ vdots
\ end {масив}\ справа)\ мітка {14}\]
Вектор бюстгальтера\(\langle\Psi|\) відноситься до рядового вектора сполучених коефіцієнтів розширення\(c_{i}^{*}\). Так як хвильові функції нормалізуються,\(\langle\Psi \mid \Psi\rangle=1\). Позначення Дірака має перевагу стислості, часто скорочуючи хвильову функцію до простого скороченого позначення відповідних квантових чисел у задачі. Наприклад, ми можемо написати екв. (1.1.7) як
\[|\Psi\rangle=\sum_{i} c_{i}|i\rangle \label{15} \]
де сума знаходиться над усіма власними станами і\(i^{\text {th}} \text { eigenstate }|i\rangle=\psi_{i}\). Неявним в цьому рівнянні є те, що коефіцієнт розширення для\(i^{\text {th }} \text { eigenstate is } c_{i}=\langle i \mid \Psi\rangle\). З цією стислістю виникає тенденція приховувати деякі змінні, важливі для опису хвильової функції. Потрібно знати про це, і хоча ми будемо використовувати позначення Дірака для більшості наших робіт, де потрібна деталізація, буде використано позначення Шредінгера.
Зовнішній продукт\(|i\rangle\langle i|\) відомий як оператор проекції, оскільки він може бути використаний для проектування хвильової функції\(i^{\mathrm{th}}\) системи на власний стан системи як\(|i\rangle\langle i \mid \Psi\rangle=c_{i}|i\rangle\). Крім того, якщо підсумувати оператори проекції над повною базовою множиною, то отримаємо оператор ідентичності
\[\sum_{i}|i\rangle\langle i|=1 \label{16} \]
яка є заявою про повноту базового набору. Ортогональність власних функцій (ур. (1.1.8)) узагальнено як\(\langle i \mid j\rangle=\delta_{i j}\).
Оператор\(\hat{A}\) являє собою квадратну матрицю, яка відображає з одного стану в інший
\[\hat{A}\left|\Psi_{0}\right\rangle=\left|\Psi_{A}\right\rangle \label{17} \]
а від ур. (1.1.6) ТІСЕ становить
\[\hat{H}|\Psi\rangle=E|\Psi\rangle \label{18} \]
де Е - діагональна матриця власних значень, рішення якої виходить з характеристичного рівняння.
\[\operatorname{det}(H-E \mathbf{I})=0 \label{19}\]
Записується очікуване значення, переписка екв. (1.1.10)
\[\langle A\rangle=\langle\Psi|\hat{A}| \Psi\rangle \label{20}\]
або від ур. (\ ref {15})
\[\langle A\rangle=\sum_{i} \sum_{j} c_{i}^{*} c_{j} A_{i j} \label{21}\]
де\(A_{i j}=\langle i|A| j\rangle\) - матричні елементи оператора\(\hat{A}\). Як ми побачимо пізніше, матриця коефіцієнтів розширення\(\rho_{i j}=c_{i}^{*} c_{j}\) відома як матриця щільності. Від ур. (\ ref {18}), ми бачимо, що очікувана величина гамільтоніана - енергія системи,
\[E=\langle\Psi|H| \Psi\rangle \label{22}\]
У квантовій механіці особливу роль відіграють ермітові оператори. Ермітієвий суміжний оператор\(\hat{A} \text { is written } \hat{A}^{\dagger}\), і визначається як сполучений транспонування\(\hat{A}: \hat{A}^{\dagger}=\left(\hat{A}^{T}\right)^{*}\). З цього ми бачимо\(\langle\hat{A} \psi \mid \phi\rangle=\left\langle\psi \mid \hat{A}^{\dagger} \phi\right\rangle\). Ермітієвим оператором є той, який є самоспряженим, тобто\(\hat{A}^{\dagger}=\hat{A}\). Для ермітієвого оператора існує унікальна унітарна трансформація, яка діагоналізує його.
Кожен базовий набір забезпечує різний шлях до представлення тієї ж фізичної системи, а перетворення подібності S перетворює матрицю з однієї ортонормальної основи в іншу. А перетворення від держави\(|\Psi\rangle \text { to the state }|\Phi\rangle\) може виражатися як
\[|\Theta\rangle=S|\Psi\rangle\]
де знаходяться елементи матриці\(S_{i j}=\left\langle\theta_{i} \mid \psi_{j}\right\rangle\). Тоді зворотне перетворення - це
\[|\Psi\rangle=S^{\dagger}|\Theta\rangle\]
Якщо\(S^{-1} = S^{\dagger}\), то\(S^{\dagger} S=1\) і перетворення, як кажуть, унітарне. Унітарне перетворення відноситься до перетворення подібності в гільбертовому просторі, яке зберігає скалярний твір, тобто довжину вектора. Перетворення оператора з однієї основи в іншу отримано з\(S^{\dagger} A S\) і діагоналізація відноситься до знаходження унітарного перетворення, яке ставить матрицю А в діагональну форму.
властивості операторів
1. \(\hat{A}\left(\text { written } \hat{A}^{-1}\right)\)Обернене визначається
\[\hat{A}^{-1} \hat{A}=\hat{A} \hat{A}^{-1}=1\]
2. Транспонування\(\hat{A}\left(\text { written } A^{T}\right)\) є
\[\left(A^{T}\right)_{n q}=A_{q n}\]
Якщо\(A^{T}=-A\) тоді матриця антисиметрична.
3. Слід\(\hat{A}\) визначається як
\[\operatorname{Tr}(\hat{A})=\sum_{q} A_{q q}\]
Слід матриці є інваріантним до операції подібності.
4. Ермітіанський примик\(\hat{A}\left(\text { written } \hat{A}^{\dagger}\right)\) є
\ [\ begin {масив} {l}
\ капелюх {A} ^ {\ кинджал} =\ лівий (\ капелюх {A} ^ {T}\ праворуч) ^ {*}\
\ лівий (\ капелюх {A} ^ {\ кинджал}\ праворуч) _ {n q} =\ left (\ капелюх {A} _ {q n}\ праворуч) ^ {*}
\ кінець {масив}\
5. \(\hat{A}\)це Ерміціан, якщо\(\hat{A}^{\dagger}=\hat{A}\)
\[\left(\hat{A}^{T}\right)^{*}=\hat{A}\]
Якщо\(\hat{A}\) Ерміт,\(\hat{A}^{n}\) то\(e^{\hat{A}}\) Ерміт і Ерміт. Для ермітієвого оператора,\(\langle\psi \mid \hat{A} \varphi\rangle=\langle\psi \hat{A} \mid \varphi\rangle\). Очікувані значення ермітових операторів є реальними, тому всі фізичні спостережувані дані пов'язані з ермітовими операторами.
6. \(\hat{A}\)є унітарним оператором, якщо його суміжний також є його зворотним:
\ [\ begin {масив} {l}
\ капелюх {A} ^ {\ кинджал} =\ капелюх {A} ^ {-1}
\\ лівий (\ капелюх {A} ^ {T}\ праворуч) ^ {*} =\ капелюх {A}\
\ капелюх {A} ^ {\ кинджал} =1\ quad\ Rightarrow\ quad\ left (капелюх {A}\ hat {A} ^ {\ кинджал}\ право) _ {n q} =\ delta_ {n q}
\ end {масив}\]
7. \(\hat{A}^{\dagger}=-\hat{A} \text { then } \hat{A}\)Кажуть, що це анти-ерміт. Антигерметські оператори мають уявні значення очікувань. Будь-який оператор може бути розкладений на його ермітієву і антиермітійську частини як
\ [\ почати {масив} {л}
\ капелюх {A} =\ капелюх {A} _ {H} +\ капелюх {A} _ {A H}\
\ капелюх {A} _ {H} =\ frac {1} {2}\ ліворуч (\ капелюх {A} +\ капелюх {A} ^ {\ кинджал}\ праворуч)
\\ капелюх {A}\ розрив {1} {2}\ ліворуч (\ капелюх {A} -\ капелюх {A} ^ {\ кинджал}\ праворуч)
\ end {масив}\]
властивості комутаторів
З визначення комутатора:
\[[\hat{A}, \hat{B}]=\hat{A} \hat{B}-\hat{B} \hat{A}\]
ми вважаємо, що це антисиметрично обмінюватися:
\[[\hat{A}, \hat{B}]=-[\hat{B}, \hat{A}]\]
та дистрибутивні:
\[[\hat{A}, \hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A}, \hat{B}]+[\hat{B}, \hat{C}]\]
Ці властивості призводять до ряду корисних ідентичностей:
\[\left[\hat{A}, \hat{B}^{n}\right]=n \hat{B}^{n-1}[\hat{A}, \hat{B}]\]
\[\left[\hat{A}^{n}, \hat{B}\right]=n \hat{A}^{n-1}[\hat{A}, \hat{B}]\]
\[[\hat{A}, \hat{B} \hat{C}]=[\hat{A}, \hat{B}] \hat{C}+\hat{B}[\hat{A}, \hat{C}]\]
\[[[\hat{C}, \hat{B}], \hat{A}]=[[\hat{A}, \hat{B}], \hat{C}]\]
\ [\ begin {масив} {l}
{[\ капелюх {A}, [\ капелюх {B},\ капелюх {C}]] + [\ капелюх {B}, [\ капелюх {C},\ капелюх {A}]]}\\
\ квад+ [\ капелюх {C}, [\ капелюх {A},\ капелюх {B}]] =0
\ кінець {масив}\]
Герметський кон'югат комутатора - це
\[[\hat{A}, \hat{B}]^{\dagger}=\left[\hat{B}^{\dagger}, \hat{A}^{\dagger}\right]\]
Також комутатором двох ермітієвих операторів є також Ермітіан. Антикомутатор визначається як
\[[\hat{A}, \hat{B}]_{+}=\hat{A} \hat{B}+\hat{B} \hat{A}\]
і є симетричним для обміну. Для двох ермітієвих операторів їх продукт може бути записаний у терміні комутатора та антикомутатора як
\[\hat{A} \hat{B}=\frac{1}{2}[\hat{A}, \hat{B}]+\frac{1}{2}[\hat{A}, \hat{B}]_{+}\]
Антикомутатор - це реальна частина добутку двох операторів, тоді як комутатор - уявна частина.