1.1: Механічний опис квантової системи

В якості відправної точки корисно переглянути постулати квантової механіки та використати це як можливість детальніше зупинитися на деяких визначеннях та властивостях квантових систем.

1. хвильова функція

Квантова механічна речовина проявляє подвійність хвильових частинок, в якій властивості частинок підкреслюють класичні аспекти положення, маси та імпульсу об'єкта, а хвильові властивості відображають його просторову делокалізацію та здатність конструктивно чи руйнівно втручатися іншим частинкам або хвилям. В результаті в квантовій механіці фізичні властивості системи описуються хвильовою функцією\(\Psi\). Хвильова функція - це залежна від часу комплексна амплітудна функція ймовірності, яка сама по собі не спостерігається; однак вона кодує всі властивості частинок і полів системи. Залежно від контексту, частинка - це термін, який буде стосуватися різноманітних об'єктів, таких як електрони, нуклони та атоми, які заповнюють простір і мають масу, але також зберігають хвилеподібні властивості. Поля відносяться до різноманітних фізичних величин, які є безперервними в часі і просторі, які мають енергію і впливають на поведінку частинок.

У загальному сенсі хвильова функція, або стан, відноситься не до тривимірного фізичного простору, в якому існують квантові частинки, а скоріше нескінченно розмірний лінійний векторний простір, або гільбертовий простір, який враховує всі можливі спостережувані властивості системи. Ми можемо уявити хвильову функцію у фізичному просторі,\(\Psi(\mathbf{r})\) виконавши проекцію на потрібні просторові координати. Як амплітудна функція ймовірності хвильова функція описує статистичну ймовірність розташування частинок або полів у просторі та часі. Зокрема, ми стверджуємо, що квадрат хвильової функції пропорційний щільності ймовірності (ймовірність на одиницю об'єму). В одному вимірі ймовірність знаходження частинки в просторі між x і x+dx в конкретний момент часу t дорівнює

\[P(\mathbf{x}, \mathbf{t}) d x=\Psi^{*}(\mathbf{x}, \mathbf{t}) \Psi(\mathbf{x}, \mathbf{t}) \mathrm{d} \mathrm{x}\]

Ми завжди будемо вважати, що хвильові функції для частинки належним чином нормалізовані, так що\(\int \mathrm{P}(\mathbf{x}, \mathrm{t}) \mathrm{dx}=1\).

2. Оператори

Квантова механіка паралельна формулюванню Гамільтона класичної механіки, в якій властивості частинок і полів описуються з точки зору їх положення і моментів. Кожна частинка, описана хвильовою функцією, буде мати пов'язані з нею один або кілька ступенів свободи, які визначаються розмірністю задачі. Для кожного ступеня свободи частинки, які класично описуються позицією x та імпульсом,\(p_{x}\) будуть пов'язані з ним квантово-механічний оператор,\(\hat{x} \text { or } \hat{p}_{x}\) який буде використовуватися для опису фізичних властивостей та експериментальних спостережуваних. Оператори відповідають динамічним змінним, тоді як статичні змінні, такі як маса, не мають пов'язаних з ними операторів. На практиці існує квантово/класична відповідність, яка передбачає, що квантову механічну поведінку часто можна вивести з класичних динамічних рівнянь шляхом підстановки квантового механічного оператора відповідними класичними змінними. У випадку з позицією та моментами ці оператори є\(x \rightarrow \hat{x} \text { and } \hat{p}_{x}=-i \hbar(\partial / \partial x)\). У таблиці 1 перераховані деякі важливі оператори, які ми будемо використовувати. Зверніть увагу, що time не має пов'язаного з ним оператора, і для наших цілей вважається незмінною змінною, яка застосовується рівномірно до всієї системи.

Таблиця\(\PageIndex{1}\): перераховані деякі важливі оператори, які ми будемо використовувати. Зверніть увагу, що time не має пов'язаного з ним оператора, і для наших цілей вважається незмінною змінною, яка застосовується рівномірно до всієї системи.

\ begin {рівняння}
\ begin {масив} {|l|l|l|}
\ hline & &\ text {Класична змінна} &\
текст {Оператор}\\ hline\ текст {Позиція} & (1\ mathrm {D}) & x &\ hat {x}
\\ hline & (3\ mathrm {D}) & r &\ hat {r}\
\ рядок\ текст {Лінійний імпульс} & (1\ mathrm {D}) & p_ {\ mathrm {x}} &\ hat {p} _ {x} =-i\ hbar (\ часткова/\ часткова х)\
\ лінія & (3\ mathrm {D}) & p &\ hat {p} =-i\ hbar\ nabla\\ hline
\ begin {масив} {l}
\ text {Функція позиції}\
\ текст {і імпульс}
\ кінець {масив} & (1\ mathrm {D}) & f\ ліворуч (x, p_ {\ mathrm {x}}\ праворуч) & f\ left (\ hat {x},\ hat {p} _ {x}\ праворуч)
\\ hline\ text {Кутовий момент} & (3\ mathrm {D}) &\ бар {L} =\ бар {r}\ раз\ бар {p} &\ hat {L} =-i\ hbar\ hbar {r}\ час\ бар {\ nabla}\
\ hline\ begin {масив} {l}
\ текст {z-компонент орбітальної}\
\ текст {кутовий момент}
\ кінець {масив} & &\ hat {L} _ {z} =-i\ hbar (\ частковий/\ частковий\ phi)\\ hline

\ end {масив}
\ кінець {рівняння}

 

Що роблять оператори? Оператори відображають один стан системи на інший, також відомий як діють на хвильову функцію:

\[\hat{\mathrm{A}} \Psi_{0}=\Psi_{\mathrm{A}} \label{2}\]

\(\Psi_{0}\)Ось початкова хвильова функція і\(\Psi_{\mathrm{A}}\) відноситься до хвильової функції після дії оператора\(\hat{\mathrm{A}}\). Тоді як змінна x представляє позицію у фізичному просторі, оператор\(\hat{x}\) відображає хвильову функцію з гільбертового простору на фізичний простір. Оператори також представляють математичну операцію над хвильовою функцією, яка впливає або змінює її, наприклад, переміщення в часі та просторі. Оператори можуть бути просто мультиплікативними, як у оператора\(\hat{x}\), а можуть приймати диференціальні або інтегральні форми. Градієнт\(\bar{\nabla}\), дивергенція\(\nabla \cdot, \text {and curl} \nabla \times\) є прикладами диференціальних операторів, тоді як перетворення Фур'є та Лапласа є інтегральними операторами.

Під час написання оператора завжди розуміється, що він діє на хвильову функцію праворуч. Наприклад, оператор\(\hat{p}_{x}\) каже, що слід диференціювати хвильову функцію праворуч від неї,\(x\) а потім помножити результат на\(-i \hbar\). Оператор\(\hat{x}\) просто означає помножити хвильову функцію на x. Оскільки оператори зазвичай не їздять на роботу, послідовність операторів повинна бути застосована у встановленому порядку справа наліво.

\[\hat{\mathrm{B}} \hat{\mathrm{A}} \Psi_{0}=\hat{\mathrm{B}} \Psi_{A}=\Psi_{\mathrm{B}, \mathrm{A}} \label{3}\]

Однією особливою характеристикою операторів, яку ми будемо шукати, є чи є оператори Ермітіаном. Ермітівський оператор підкоряється рівності\(\hat{A}=\hat{A}^{*}\).

Особливий інтерес представляє гамільтоніан\(\hat{H}\), оператор, відповідний сумарної енергії системи. Гамільтоновий оператор описує всі взаємодії між частинками і полями, і тим самим визначає стан системи. Гамільтоніан є сумою загальної кінетичної та потенційної енергії для системи, що цікавить\(\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}\), і отримується шляхом підстановки операторів позиції та імпульсу на класичний гамільтоніан. Для однієї частинки під впливом потенціалу,

\[\hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+V(\hat{r}, t) \label{4}\]

Позначення: У наступних розділах ми будемо позначати оператори з циркумфлексом лише тоді, коли ми намагаємось явно відзначити його роль як оператора, але в іншому випадку ми беремо різницю між змінними та операторами, які слід зрозуміти.

3. власні значення та власні функції

Властивості системи, описаної картографуванням з оператором,\(\hat{A}\) можуть приймати тільки значення a, які задовольняють рівнянню власного значення.

\[\hat {A \Psi} = a \Psi \label{5}\]

Наприклад, якщо стан системи є\(\Psi (x) = e^{i p x / \hbar}\), оператор імпульсу\(\hat {p} _ {x} = - i \hbar ( \partial / \partial x )\) повертає власне значення\(p\) (скалярне), що перевищує вихідну хвильову функцію. Тоді\(\Psi (x)\) х, як кажуть, є власною функцією\(\hat {p} _ {x}\). Для гамільтоніана розв'язки рівняння власних значень

\[\hat {H} \Psi = E \Psi \label{6}\]

дають можливі енергії системи. Множина всіх можливих власних векторів також відома як власні стани\(\psi_{1}\). Рівняння (6) - це незалежне від часу рівняння Шредінгера (TISE).

4. Лінійна суперпозиція

У власних станах\(\hat{A}\) утворюється повна ортонормальна основа. У гільбертовому просторі хвильова функція виражається у вигляді лінійної комбінації ортонормальних функцій,

\[\Psi = \sum _ {i = 0}^{\infty} c _ {i} \psi _ {i} \label{7}\]

де\(c _ {i}\) комплексні числа. Свої вектори\(\psi_{1}\) є ортогональними і повними:

\[\int _ {- \infty}^{+ \infty} d \tau \psi _ {i}^{*} \psi _ {j} = \delta _ {i j} \label{8}\]

і

\[\sum _ {i = 0}^{\infty} \left| c _ {i} \right|^{2} = 1 \label{9}\]

Вибір ортонормальних функцій, в яких представляти систему, не є унікальним і називається вибором базової множини. Зміна базової множини є фактично перетворенням, яке обертає хвильову функцію в гільбертовому просторі.

5. Значення очікувань

Результат квантового вимірювання не може бути відомий з довільною точністю; однак ми можемо статистично описати ймовірність вимірювання певної величини. Вимірювання значення, пов'язаного з оператором, отримують шляхом обчислення очікуваного значення оператора

\[\langle A\rangle=\int d \tau \Psi^{*} \hat{A} \Psi \label{10}\]

Тут інтеграція відбувається над гільбертовим простором. Дужки\(\langle\ldots\rangle\) відносяться до середнього значення, яке виникне в результаті великої серії вимірювань на ідентично підготовлених системах. Тоді як\(\langle A\rangle\) середнє значення, дисперсію в розподілі вимірюваних значень можна обчислити з\(\Delta A=\left\langle A^{2}\right\rangle-\langle A\rangle^{2}\). Оскільки спостережуваний повинен бути реальним значенням, операторами, що відповідають спостережуваним, є Ерміціан:

\[\int d \tau \Psi^{*} \hat{A} \Psi=\int d \tau \hat{A}^{*} \Psi^{*} \Psi \label{11}\]

Як наслідок, оператор Ерміта повинен мати дійсні власні значення та ортогональні власні функції.

6. Комутатори

Оператори асоціативні, але не обов'язково комутативні. Комутатори визначають, чи їздять два оператори. Комутатор двох операторів\(\hat{A} \text {and} \hat{B}\) визначається як

\[[\hat{A}, \hat{B}]=\hat{A} \hat{B}-\hat{B} \hat{A} \label{12}\]

Якщо ми спочатку зробимо спостереження за власним значенням a for\(\hat{A}\), не можна бути впевненим у визначенні унікального власного значення b для другого оператора\(\hat{B}\). Це можливо тільки в тому випадку, якщо система є власнимстаном обох\(\hat{A}\) і\(\hat{B}\). Це дозволило б заявити, що\(\hat{A} \hat{B} \psi=\hat{B} \hat{A} \psi\) або альтернативно\([\hat{A}, \hat{B}] \psi=0\). Якщо оператори коммутують, комутатор дорівнює нулю,\(\hat{A}\) і\(\hat{B}\) мають одночасні власні функції. Якщо оператори не їздять на роботу, не можна точно вказати a і b, однак дисперсію в їх невизначеності можна виразити як\(\Delta A^{2} \Delta B^{2} \geq\left\langle\frac{1}{2}[\hat{A}, \hat{B}]\right\rangle^{2}\). Як приклад ми бачимо, що\(\hat{p}_{x} \text {and} \hat{p}_{y}\) їздити на роботу, але\(\hat{x} \text {and} \hat{p}_{x}\) ні. Таким чином, ми можемо точно вказати імпульс частинки в координатах x та y, але не можемо вказати як імпульс, так і положення частинки в x вимірі до довільної роздільної здатності. Ми знаходимо, що\(\left[\hat{x}, \hat{p}_{x}\right]=i \hbar\) і\(\Delta x \Delta p_{x} \geq \hbar / 2\).

Зверніть увагу, що для випадку, коли гамільтоніан може бути записаний як сума комутуючих термінів, як це стосується набору незалежних або відокремлюваних координат або моментів, то загальна енергія є адитивною у власних значеннях для кожного члена, а загальні власні функції можуть бути записані як добукові стани у власних функціях. для кожного терміну.

7. Залежність від часу

Хвильова функція розвивається в часі, як описано залежним від часу рівнянням Шредінгера (TDSE):

\[- i \hbar \frac {\partial \Psi} {\partial t} = \hat {H} \Psi \label{13}\]

У наступному розділі ми побачимо міркування, які призводять до цього рівняння.

8. Читання

1. Аткінс і Р.Фрідман, Молекулярна квантова механіка, 4-е изд. (Преса Оксфордського університету, Оксфорд; Нью-Йорк, 2005)
2. Баєм, Лекції з квантової механіки. (Видавництво книги Персея, ТОВ, Нью-Йорк, 1969)
3. Коен-Таннуджі, Б. Діу та Ф. Лале, Квантова механіка. (Вілі-Міжнауковий, Париж, 1977)
4. Дж. Гріффітс, Вступ до квантової механіки, 2-е видання. (Пірсон Прентіс Холл, Верхня річка Сідла, Нью-Джерсі, 2005)
5. Мерцбахер Е., Квантова механіка, 3-е видання. (Вілі, Нью-Йорк, 1998); Месія, Квантова механіка. (Публікації Дувра, 1999)
6. Дж. Сакурай, Сучасна квантова механіка, переглянуте видання. (Аддісон-Веслі, Редінг, Массачусетс, 1994)