7.2: Теоретичний опис КЗ ЕПР

Цей розділ перетинається з розділом\(2.7\) конспектів лекцій ЯМР.

Форма лінії віджиму пакетів

Всі спини в зразку, які мають однакову резонансну частоту, утворюють спіновий пакет. Далі ми також припускаємо, що всі спини спінового пакета мають однаковий поздовжній і поперечний час релаксації\(T_{1}\) і\(T_{2}\), відповідно. Якщо кількість обертань в спинові пакеті досить велике, ми можемо призначити спіновий пакет вектор намагніченості. Динаміка цього вектора намагніченості з рівноважною намагніченістю\(M_{0}\) при мікрохвильовому опроміненні описується рівняннями Блоха в обертовій рамці. У спектроскопії ЕПР незвично використовувати гіромагнітне співвідношення. Значить, позначимо зміщення резонансу

\[\Omega_{S}=\frac{g \mu_{\mathrm{B}}}{\hbar} B_{0}-2 \pi \nu_{\mathrm{mw}}\]

де\(\nu_{\mathrm{mw}}\) - частота НВЧ в одиницях частоти. Рівняння Блоха з обертовим кадром для трьох компонентів вектора намагніченості потім можна записати як

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} M_{x}}{\mathrm{~d} t} &=-\Omega_{S} M_{y}-\frac{M_{x}}{T_{2}} \\[4pt] \frac{\mathrm{d} M_{y}}{\mathrm{~d} t} &=\Omega_{S} M_{x}-\omega_{1} M_{z}-\frac{M_{y}}{T_{2}} \\[4pt] \frac{\mathrm{d} M_{z}}{\mathrm{~d} t} &=\omega_{1} M_{y}-\frac{M_{z}-M_{0}}{T_{1}} \end{aligned}\]

де\(\omega_{1}=g_{\perp} \mu_{\mathrm{B}} B_{1} / \hbar\) - амплітуда поля НВЧ в кутових одиницях частоти і\(g_{\perp}\) середнє\(g\) значення в площині, перпендикулярній статичному магнітному полю. Очевидна різниця знаків для\(\omega_{1}\) термінів\(\Omega_{S}\) і виникає через різне відчуття прецесії спина для електронних спінів порівняно з ядерними спинами з позитивним гіромагнітним співвідношенням.

Якщо спіновий пакет опромінюється з постійною мікрохвильовою частотою, постійною мікрохвильовою потужністю та постійним статичним магнітним\(B_{0}\) полем протягом досить тривалого часу (приблизно\(5 T_{1}\)), вектор намагніченості досягає сталого стану. Хоча статичне поле змітається в експерименті CW EPR, припускаючи, що сталий стан є хорошим наближенням, оскільки розгортка поля зазвичай повільна порівняно з\(T_{2}\) і\(T_{1}\). Більш швидкі розгортки відповідають режиму швидкого сканування, який не лікується в цьому лекційному курсі. У сталому стані ліві сторони диференціальних рівнянь (7.2) для компонентів вектора намагніченості повинні бути нульовими,

\[\begin{aligned} 0 &=-\Omega_{S} M_{y}-\frac{M_{x}}{T_{2}} \\[4pt] 0 &=\Omega_{S} M_{x}-\omega_{1} M_{z}-\frac{M_{y}}{T_{2}} \\[4pt] 0 &=\omega_{1} M_{y}-\frac{M_{z}-M_{0}}{T_{1}} \cdot\langle\text { stationary state }\rangle \end{aligned}\]

Ця лінійна система рівнянь має рішення

\[\begin{aligned} M_{x} &=M_{0} \omega_{1} \frac{\Omega T_{2}^{2}}{1+\Omega^{2} T_{2}^{2}+\omega_{1}^{2} T_{1} T_{2}} \\[4pt] M_{y} &=-M_{0} \omega_{1} \frac{T_{2}}{1+\Omega^{2} T_{2}^{2}+\omega_{1}^{2} T_{1} T_{2}} \\[4pt] M_{z} &=M_{0} \frac{1+\Omega^{2} T_{2}^{2}}{1+\Omega^{2} T_{2}^{2}+\omega_{1}^{2} T_{1} T_{2}},\langle\text { stationary state }\rangle \end{aligned}\]

де\(M_{z}\) зазвичай не виявляється,\(M_{x}\) знаходиться в фазі з збуджуючим мікрохвильовим опроміненням і відповідає сигналу дисперсії, і\(M_{y}\) знаходиться поза фазою з збуджуючим опроміненням і відповідає лінії поглинання. Незбурені форми ліній отримують в лінійному режимі, де параметр насичення

\[S=\omega_{1}^{2} T_{1} T_{2}\]

виконує\(S \ll 1\). З екв. (7.4) можна легко встановити, що в лінійному режимі\(M_{y}\) зростає лінійно зі збільшенням\(\omega_{1}\), що відповідає пропорційності сигналу квадратному кореню НВЧ потужності. \(M_{z}\)дуже близька до рівноважної намагніченості. В рамках цього режиму зменшення СВЧ-загасання, тобто збільшення потужності на\(6 \mathrm{~dB}\), збільшує амплітуду сигналу в 2 рази.\(6 \mathrm{~dB}\) Лінійна форма не залежить\(\omega_{1}\) від лінійного режиму. Тому хорошою практикою є вимірювання при найвищій мікрохвильовій потужності, яка все ще добре знаходиться в межах лінійного режиму, оскільки це відповідає максимальному співвідношенню сигнал/шум. Для більшої потужності лінія розширена.

У межах лінійного режиму\(M_{y}\) набуває вигляду лінії поглинання Лоренціана

\[M_{y}(\Omega)=M_{0} \omega_{1} T_{2} \frac{1}{1+\Omega^{2} T_{2}^{2}},\langle\text { linear regime }\rangle\]

з шириною лінії\(1 / T_{2}\) в одиницях кутової частоти. Ширина лінії від піку до піку першої похідної лінії поглинання дорівнює\(\Gamma_{\mathrm{pp}}=2 / \sqrt{3} T_{2}\). Оскільки спектри\(\mathrm{CW}\) ЕПР вимірюються магнітним полем, нам потрібно перетворити в одиниці магнітного поля,

\[\Gamma_{\text {pp,field sweep }}=\frac{2}{\sqrt{3} T_{2}} \cdot \frac{\hbar}{g \mu_{\mathrm{B}}}\]

Ширина лінії спінового пакета називається однорідною шириною лінії. Якщо\(T_{2}\) однакова для всіх спінових пакетів, ця однорідна ширина лінії пропорційна\(1 / \mathrm{g}\), факт, який потрібно враховувати при моделюванні лінійної форми для систем з великою\(g\) анізотропією. Для більшості зразків додаткове розширення лінії виникає внаслідок нерозв'язаних надтонких муфт і, в твердому стані,\(g\) анізотропії. Тому зазвичай\(T_{2}\) неможливо отримати, застосувавши Eq. (7.7) до експериментально спостережуваної ширини лінії від піку до піку.

Насиченість

Для мікрохвильової потужності більшої, ніж у лінійному режимі, ширина лінії від піку до піку збільшується в рази\(1+S\). Якщо слабкий сигнал потрібно виявити з максимальним співвідношенням сигнал/шум, вигідно збільшити потужність поза лінійним режимом, але не обов'язково до максимально доступного рівня. Для дуже сильного опромінення терміном 1 можна знехтувати в знаменнику Eqs. (7.4) для компонентів вектора намагніченості.\(S \gg 1\) Потім он-резонансна амплітуда лінії поглинання задається

\[M_{y}(\Omega=0)=M_{0} / \omega_{1} T_{1},\left\langle\omega_{1}^{2} T_{1} T_{2} \gg 1\right\rangle\]

тобто вона обернено пропорційна\(\omega_{1}\). При цьому режимі амплітуда зменшується зі збільшенням потужності мікрохвильового опромінення.

Рисунок 7.5: Прогресивне вимірювання насичення на мембранному білку LHCII, солюбілізованому в мицелах миючого засобу в атмосфері азоту. Залишок V229 був мутований до цистеїну і спін-маркується йодоацетамідопроксилом. Експериментальні дані точок (червоного кольору) були отримані при СВЧ-загасаннях\(23,20,17,11\), причому\(8 \mathrm{~dB}\) з повною\((0 \mathrm{~dB})\) потужністю\(200 \mathrm{~mW}\). Підгонка Eq. (7.9) (чорна лінія) забезпечує\(P_{1 / 2}=3 \mathrm{~mW}\) і\(\epsilon=1.24\).

Напівкількісну інформацію про спінову релаксацію можна отримати за допомогою експерименту прогресивного насичення потужності, де спектр ЕПР вимірюється як функція мікрохвильової потужності\(P_{\text {mw }}\). Зазвичай амплітуда від піку до піку найбільшого сигналу в спектрі будується як функція\(\sqrt{P_{\mathrm{mw}}}\). Такі криві насичення можуть бути встановлені рівнянням

\[A\left(P_{\mathrm{mw}}\right)=\frac{I \sqrt{P_{\mathrm{mw}}}}{\left[1+\left(2^{1 / \epsilon}-1\right) P_{\mathrm{mw}} / P_{1 / 2}\right]^{\epsilon}}\]

де параметр неоднорідності\(\epsilon\) приймає значення\(1.5\) в гомогенній межі і\(0.5\) в неоднорідній межі. Зазвичай, заздалегідь не\(\epsilon\) відомий і розглядається як параметр fit. Інші параметри пристосування - це нахил збільшення амплітуди з квадратним коренем мікрохвильової потужності в лінійному режимі, і\(P_{1 / 2}\), що є потужністю напівнасичення.\(I\) Точніше,\(P_{1 / 2}\) це падаюча потужність МВт, де\(A\) зменшується до половини її ненасиченого значення. \(7.5\)На малюнку показані експериментальні дані прогресивного вимірювання насичення на спін-міченому мутанті V229C основного рослинного легкого збирального комплексу LHCII, солюбілізованого в миючих міцелах в атмосфері азоту, і відповідність цих даних еквалайзером (7.9).