21.4: Теорія Атома Бора
- Page ID
- 23480
У класичній статті, опублікованій в 1913 році, молодий Нільс Бор, який потім працював з Резерфордом в Манчестері, Англія, приступив до того, щоб показати, як формулу Рідберга можна пояснити з точки зору дуже простої моделі атома водню. Модель базувалася на ядерному погляді на атомну структуру, яку щойно запропонував Резерфорд. Модель Бора показана на малюнку\(\PageIndex{1}\). Електрон заряду — е і маси\(m\) рухається навколо важкого ядра заряду + е. Зазвичай електрон рухався по прямій лінії, але тяжіння ядра згинає його шлях так, що воно рухається з постійною швидкістю\(u\) в ідеальному колі радіуса r навколо ядра. Ситуація та математика дуже схожі на ситуацію планети, що дужить навколо Сонця. Основна відмінність полягає в тому, що замість сили тяжіння існує електростатична сила тяжіння\(F\) між протоном і електроном, описана законом Кулона:
\[F=k\frac{e^{2}}{r^{2}} \label{1} \]
де\(k\) має значення 8,9876 × 10 9 Дж м С —2.
Вирази як для кінетичної, так і для потенційної енергій електрона можна вивести за допомогою рівняння\(\ref{1}\) і принципів елементарної фізики. Такий висновок можна зустріти в більшості вступних текстів фізики. Два вирази є
\[E_{k}=\frac{1}{2}mu^{2}=\frac{1}{2}k\frac{e^{2}}{r} \label{2} \]
і
\[E_{p}=-k\frac{e^{2}}{r} \label{3} \]
Якщо їх скласти разом, то отримаємо просту формулу загальної енергії електрона:
\[\begin{align} E &=E_{k}+E_{p} \\[4pt] &=-\frac{1}{2}k\frac{e^{2}}{r} \label{4} \end{align} \]
Якщо ми тепер вставляємо відомі значення\(e\) і\(k\), у нас є результат
\[ \begin{align} E &= -\frac{1}{2}\times\frac{8.9876 \times 10^{9} \text{ J m C}^{-2}\times(1.6022 \times 10^{-19} \text{ C})^{2}}{r} \\[4pt] &=-\frac{1.1536 \times 10^{-28} \text{ J M} }{r} \label{5} \end{align} \]
З Рівняння\(\ref{5}\) ми бачимо, що загальна енергія електрона дуже негативна для орбіти з малим радіусом, але збільшується, коли орбіта стає більшою.
На додаток до припущення щойно описаної планетарної моделі, Бор також зробив ще два постулати, які дозволили йому пояснити спектр водню. Першим з них було припущення, що електрон високої енергії, що кружляє ядро з великим радіусом, може втратити частину цієї енергії і прийняти орбіту нижчої енергії ближче до ядра. Енергія, втрачена електроном, випромінюється у вигляді фотона світла частоти,\(\nu\) заданого формулою Планка
\[\Delta E = h\upsilon \label{6} \]
де\(ΔE\) втрачена електроном енергія.
Другий постулат Бора полягав у тому, що електрону в атомі водню можливі лише певні орбіти. Це дозволило йому пояснити, чому атомом водню може випромінюватися лише світло декількох певних частот. Оскільки допускається лише обмежена кількість орбіт, коли електрон зміщується з зовнішньої на внутрішню орбіту, фотон, який з'являється, не може мати жодної частоти, а лише тієї частоти, що відповідає різниці енергій між двома дозволеними орбітами.
За теорією Бора дві дозволені орбіти в атомі водню мають радіуси 52,918 і 211,67 вечора. Обчисліть енергію, частоту і довжину хвилі фотона, що випромінюється при русі електрона від зовнішньої до внутрішньої цих двох орбіт.
Рішення
Маркуючи зовнішню орбіту 2 і внутрішню орбіту 1, спочатку обчислюємо енергію кожної орбіти з Рівняння\(\ref{5}\):
\[E_{2}=-\dfrac{1.1536\times10^{-28} \text{Jm}}{211.67\times10^{-12} \text{m}}=-0.54500 \text{aJ} \nonumber \]
\[E_{1}=-\dfrac{1.1536\times10^{-28} \text{Jm}}{52.918\times10^{-12} \text{m}}=-2.1780\, \text{aJ} \nonumber \]
Таким чином
\[ \Delta E = – 0.545 00 \text{aJ} – (– 2.1780 \text{aJ}) = 1.6330\, \text{aJ} \nonumber \]
Використовуючи рівняння\(\ref{6}\), ми тепер маємо
\[\upsilon=\dfrac{\Delta E}{h}=\dfrac{1.6330\times10^{-18}\text{ J}}{6.6262\times10^{-34} \text{ J s}}=2.4645\times10^{15} \text{ s}^{-1}=2.4645 \text{ PHz} \nonumber \]
Нарешті\( \lambda = \dfrac{c}{\upsilon} = 1.2164 \times 10^{-7} \text{ m} = 121.64 \text{ nm} \). Для того, щоб передбачити правильні частоти для ліній у водневому спектрі, Бор виявив, що він повинен припустити, що кількість\(mur\) (фізики називають кутовим імпульсом) повинна бути кратною\(h/2π\). Іншими словами, було встановлено, що умова, що обмежує орбіти лише певними радіусами та певними енергіями.
\[mur=\frac{nh}{2\pi} \qquad \label{7} \]
де може мати значення 1, 2, 3 і т.д.
Маніпулюючи обома рівняннями\(\ref{7}\) і\(\ref{2}\), можна показати, що це обмеження на кутовий момент обмежує радіуси орбіт до тих, що задаються виразом
\[ r = \frac{n^{2}h^{2}}{4\pi^{2}mke^{2}} \qquad n = 1, 2, 3, \cdots \label{8} \]
Якщо вставлені відомі значення h, m, k і e, ця формула зводиться до зручного вигляду
\[ r = n^2 \times 52.918 \text{ pm} \qquad n = 1, 2, 3, \cdots \label{9} \]
Постулат Бора таким чином обмежує електрон орбітами, для яких радіус становить 52,9 пм, 2 × 52,9 вечора, 3 2 × 52,9 пм і так далі.
Якщо\(\ref{8}\) підставити рівняння в рівняння\(\ref{4}\), ми отримаємо загальний вираз для енергії через n:
\[E=-\frac{1}{2}k\frac{e^{2}}{r}=-\frac{1}{2}ke^{2}\times\frac{4\pi^{2}mke^{2}}{n^{2}h^{2}} =\frac{2\pi^{2}k^{2}e^{4}m}{n^{2}h^{2}} \label{10} \]Знову підставляючи в відомі значення всі константи, отримуємо\[E=-\frac{2.1800 \text{ aJ}}{n^{2}} \label{11} \]
\(n\)Таким чином, ціле число визначає, наскільки віддалений електрон від ядра і скільки енергії він має, так само, як і основне квантове число,\(n\) описане раніше.
Використовуючи Рівняння\(\ref{10}\) або\(\ref{11}\) знайдіть енергію іонізації атома водню.
Рішення
Енергія іонізації атома водню відповідає різниці енергій між електроном на його внутрішній орбіті (n = 1) і електроном при повному відділенні від протона. Для повністю відокремленого електрона r = ∞ (нескінченність) і так n. Таким чином
\[E_{1}=-\dfrac{2.1800 \text{aJ}}{1^{2}}=-2.1800\text{aJ} \nonumber \]
і
\[E_{\infty}=-\dfrac{2.1800 \text{aJ}}{\infty^{2}}=0.0000\text{aJ} \nonumber \]
Різниця енергій, таким чином,
\[\Delta E=E_{infty}-E_{1}=2.1800 \text{aJ} \nonumber \]
яка є енергією іонізації на атом. На молярній основі енергія іонізації - це постійна Авогадро, що перемножує цю величину; а саме
\[2.1800 \times 10^{-18} \text{J} \times 6.0221 \times 10^{23} \text{mol}^{-1} = 1312.8 \text{ kJ mol}^{-1}\ n\nonumber \]
Примітка: В атомі електронна конфігурація найнижчої енергії називається наземним станом, тоді як інші конфігурації називаються збудженими станами.
Тепер ми можемо вивести експериментальну формулу Рідберга з теорії Бора. Припустимо, електрон рухається з зовнішньої орбіти, для якої квантове число n 2, на внутрішню орбіту квантового числа n 1. Енергія, втрачена електроном і випромінюється у вигляді фотона, потім дається
\[\Delta E=E_{2}-E_{1}= – 2.1800 \text{ aJ} \left(\frac{1}{n_{2}^{2}}-\frac{1}{n_{1}^{2}}\right) = 2.1800 \text{ aJ} \left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right) \label{12} \]
Однак,
\[\Delta E=h\upsilon=\frac{hc}{\lambda} \label{13} \]
де\(λ\) - довжина хвилі фотона. Поєднання Eqs. \(\ref{2}\)і\(\ref{3}\), отримуємо
\[\frac{1}{\lambda}=\frac{2.1800 \text{ aJ}}{hc}\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right) \nonumber \]
або
\[\frac{1}{\lambda}=1.0975\times10^{7}m^{-1} \left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right) \label{14} \]
Цей вираз має точно таку ж форму, що знайдена експериментально Рідбергом зі значенням R ∞ 1,0974 × 10 7 м —1, дуже близьке до експериментального значення 1,097 094 × 10 7 м —1. Ще кращу згоду можна отримати, якщо зробити допуск на те, що ядро не є нерухомим, а на те, що електрон і ядро обертаються навколо загального центру ваги.
Обчисліть довжину хвилі світла, що випромінюється при падінні електрона в атомі водню з n = 3 на орбіту n = 1. В якій області спектра лежить ця спектральна лінія? До якої серії вона відноситься?
Рішення
З Рівняння\(\ref{14}\) знаходимо
\[\dfrac{1}{\lambda}=1.0975\times10^{7}m^{-1}\times\left(1-\dfrac{1}{9}\right)=9.7547\times10^{6}m^{-1} \nonumber \]
даруючи\(\lambda = 102.51 \text{ nm} \). Це друга сходинка в серії Lyman і лежить в далекому ультрафіолеті. Експериментально визначена довжина хвилі становить 102,573 нм.
Успіх Бора з атомом водню незабаром призвів до спроб як його, так і інших поширити ту ж модель на інші атоми. На якісному рівні ці спроби зустрілися з певним успіхом, і почала виникати загальна картина електронів, що займають орбіти в послідовних рівнях і підрівнях, аналогічна тій, яка показана на малюнку 5.2. На кількісному рівні, однак, всі спроби обчислити точні значення енергій електронів в їх квантованих орбіталів були похмурими провалами. Лише до впровадження Шредінгера хвильової механіки в 1926 році ці труднощі можна було вирішити. Раптом, здавалося, все встало на свої місця. З тих пір практично кожна лінія в спектрі кожного елемента була врахована теоретично. В результаті ми маємо зараз дуже точну, хоча і математично досить складну, картину поведінки електронів як в основному стані, так і в збуджених станах атомів. Зокрема, вивчення атомних спектрів дозволило дуже точно визначити енергії іонізації всіх елементів.
Деталі спектрів поліелектронних атомів складні, і тому ми розглянемо лише один приклад: натрій. Збуджені стану натрію можуть бути отримані шляхом збільшення енергії атома таким чином, щоб 3 s валентний електрон займав 3 р, 3 д, 4 с, 4 р, 4 д, 4 f або якусь іншу орбітальну. Однак, на відміну від атома водню, атом натрію має інші електрони, які захищають валентний електрон від ядерного заряду, і це екранування відрізняється для кожної різної орбітальної форми (s, p, d, f тощо). Отже, енергія збудженого атома натрію, електронна конфігурація якого становить 1 s 2, 2 s 2, 2, p 6, 4 s 1, не така ж, як у збудженого атома натрію, конфігурація якого дорівнює 1. s 2 2 s 2 2 р 6 4 п 1. Різне екранування крайнього (4 с або 4 р) електрона призводить до різної енергії. Через це потрібні чотири формули для опису енергії атома натрію - по одній для кожної з орбітальних форм, доступних для зовнішнього електрона:
\[\begin{align*} E_{ns} & =\frac{2.1800 \text{ aJ}}{(n-a_{s})^{2}}\\E_{np} & =\frac{2.1800 \text{ aJ}}{(n-a_{p})^{2}}\\ E_{nd} &= \frac{2.1800 \text{ aJ}}{(n-a_{d})^{2}}\\ E_{nf} & = \frac{2.1800 \text{ aJ}}{(n-a_{f})^{2}} \end{align*} \nonumber \]
У всіх цих рівняннях n являє собою головне квантове число. Він повинен бути 3 або більше, оскільки електрон знаходиться в орбіталі 3 s для початку. Різне екранування вимагає різної корекції для кожного типу орбіти: a s = 1,36; a p = 0,87; a d = 0,012; і a f = 0,001.
Оскільки існує чотири різні набори енергетичних рівнів, кількість переходів між рівнями (а отже, і кількість ліній в спектрі) більше для натрію, ніж для водню. Ранні спектроскопісти змогли розрізнити чотири різних типи ліній, які вони позначили гострий, основний, дифузний та фундаментальний ряд. Саме з абревіатури цих термінів ми отримали сучасні символи s, p, d і f.
Як буде відомо більшості читачів, коли в пальнику Бунзена утримується практично будь-яке з'єднання натрію, воно надає полум'я блискучий жовтий колір. Цей жовтий колір відповідає найбільш помітній лінії в натрієвому спектрі. Його довжина хвилі становить 589 нм. В атомному масштабі ця лінія викликана тим, що атом натрію рухається з збудженого стану (в якому валентний електрон знаходиться в орбіталі 3 р) в наземний стан (в якому електрон знаходиться в орбіталі 3 с). Використовуючи наведені вище рівняння, ми можемо отримати приблизні значення для двох енергій, що беруть участь у переході:
\[E_{3p}=\frac{2.1800 \text{ aJ}}{(3-0.87)^{2}}=-0.4805\, \text{ aJ} \nonumber \]
і
\[E_{3s}=\dfrac{2.1800 \text{ aJ}}{(3-1.36)^{2}}=-0.8105\, \text{ aJ}. \nonumber \]
Таким чином\(\Delta E= 0.3300 \text{ aJ}\), даючи\(\lambda = \dfrac{hc}{\Delta E}=602 \text{ nm}\) Це узгоджується приблизно з експериментальним результатом. Ще одна особливість натрієвого спектра заслуговує згадки. Ретельне спостереження виявляє, що жовтий колір натрію насправді обумовлений двома близько розташованими лініями (дублетом). Один має довжину хвилі 588,995 нм, а інший - на 589,592 нм. Коли електрон знаходиться в орбіталі 3 р, його спін може бути вирівняний двома способами щодо осі орбіталі. Невелика різниця в енергії між цими двома орієнтаціями призводить до двох дещо різних довжин хвиль