1.10: Коефіцієнти перетворення та функції
- Page ID
- 24255
Раніше ми показали, як коефіцієнти єдності можуть бути використані для вираження величин в різних одиницях одного і того ж параметра. Наприклад, щільність може бути виражена в г/см 3 або фунт/фут 3. Тепер ми побачимо, як коефіцієнти перетворення, що представляють математичні функції, такі як D = m/v, можуть бути використані для перетворення величин в різні параметри. Наприклад, який обсяг даної маси золота? Коефіцієнти єдності та коефіцієнти перетворення концептуально відрізняються, і ми побачимо, що «розмірний аналіз», який ми розробляємо для задач перетворення одиниць, повинен використовуватися обережно у випадку функцій.
Коли ми маємо на увазі один і той же об'єкт або зразок матеріалу, часто корисно мати можливість перетворити один параметр в інший. Наприклад, в нашому обговоренні запасів викопного палива ми виявляємо, що 318 Pg (3,18 × 10 17 г) вугілля, 28,6 км 3 (2,68 × 10 10 м 3) нафти та 2,83 × 10 3 км 3 (2,83 × 10 13 м 3) природного газу (вимірюється при нормальному атмосферному тиску і 15°C) доступні. Але жодна з цих величин не говорить нам про те, що ми дійсно хочемо знати ― скільки теплової енергії можна було б вивільнити, спалюючи кожен із цих запасів? Тільки шляхом перетворення маси вугілля і обсягів нафти і природного газу в їх еквівалентні енергії ми можемо зробити достовірне порівняння. Коли це буде зроблено, ми виявляємо, що вугілля може виділяти 7,2 × 10 21 Дж, нафта 1,1 × 10 21 Дж, а газ 1,1 × 10 21 Дж теплової енергії. Таким чином, запаси вугілля більш ніж втричі більше, ніж у двох інших видів палива разом узяті. Саме з цієї причини більше уваги приділяється розробці нових способів використання вугільних ресурсів, ніж нафті або газу. Перетворення одного виду величини в інший зазвичай проводиться з тим, що можна назвати коефіцієнтом перетворення, але коефіцієнт перетворення заснований на математичній функції (D = m/V) або математичному рівнянні, яке пов'язує параметри. Оскільки ми ще не обговорювали енергію або одиниці (джоулі), в яких вона вимірюється, приклад із залученням більш звичних величин маси та обсягу буде використаний для ілюстрації способу використання коефіцієнтів перетворення. Ті ж принципи застосовуються до пошуку того, скільки енергії буде виділятися при спалюванні палива, і ця проблема виникне пізніше.
Щоб отримати корисний контекст про вищезазначену дискусію, перегляньте наступне відео про хімію Crash Course:
Перетворення одиниць та значні цифри: Краш-курс хімії #2 (відкривається в новому вікні) [youtu.be]
Припустимо, у нас є прямокутний суцільний зразок золота розміром 3,04 см × 8,14 см × 17,3 см. Ми легко підрахуємо, що його обсяг становить 428 см 3, але скільки він коштує? Ціна золота становить близько 5 доларів за грам, і тому нам потрібно знати масу, а не обсяг. Навряд чи у нас була б доступна шкала або баланс, який міг би точно зважити таку велику, важку пробу, і тому нам довелося б визначити масу золота, еквівалентну об'єму 428 см 3. Це можна зробити, маніпулюючи рівнянням, яке визначає щільність, ρ = m/V. Якщо помножити обидві сторони на V, то отримаємо
\[V \times \rho =\dfrac{m}{V}\times V = m\label{1} \]
\[m = V \times \rho \nonumber \]
або
\[mass = \text{volume} \times \text{ density } \nonumber \]
Взявши щільність золота з довідкової таблиці (відкривається в новому вікні), тепер ми можемо обчислити
\[\text{Mass}= m =V \rho =\text{428 cm}^{3}\times \dfrac{\text{10}\text{0.32 g}}{\text{1 cm}^{3}}=8.27\times \text{10}^{3}\text{g}=\text{8}\text{.27 kg} \nonumber \]
Це більше 18 фунтів золота. За ціною, вказаною вище, вона коштувала б понад 40 000 доларів!
Формула, яка визначає щільність, також може бути використана для перетворення маси зразка у відповідний об'єм. Якщо обидві сторони від Eq. \(\ref{1}\)множимо на 1/ρ, у нас є
\[\dfrac{\text{1}}{\rho }\times m=V \rho \times \dfrac{\text{1}}{\rho }=V \nonumber \]
\[V=m \times \dfrac{\text{1}}{\rho }\label{2} \]
Зверніть увагу, що ми використовували математичну функцію D = M/v для перетворення параметрів з маси в обсяг або навпаки в цих прикладах. Чим це відрізняється від використання коефіцієнтів єдності для зміни одиниць одного параметра?
Важливий нюанс
Помилкою, яку іноді роблять початківці учні, є плутати щільність з концентрацією, яка також може мати одиниці г/см 3. За розмірним аналізом це виглядає ідеально чудово. Щоб побачити помилку, ми повинні зрозуміти значення функції
\[ C = \dfrac{m}{V} \nonumber \]
В даному випадку\(V\) мається на увазі обсяг розчину, який містить як розчинену речовину, так і розчинник.
З огляду на концентрацію сплаву 10 г золота в 100 см 3 сплаву, ми бачимо, що неправильно (хоча розмірно правильно в міру коефіцієнтів перерахунку) неправильно розрахувати обсяг золота в 20 г сплаву наступним чином:
\[20 \text{g} \times \dfrac{\text{100 cm^3}}{\text{10 g}} = 200 \text{ cm}^{3} \nonumber \]
Обчислити обсяг золота можна тільки в тому випадку, якщо відома щільність сплаву, щоб можна було обчислити обсяг сплаву, представленого 20 г. Цей обсяг, помножений на концентрацію, дає масу золота, яку потім можна перетворити в обсяг з функцією щільності.
Суть полягає в тому, що використання простого методу скасування одиниць не завжди призводить до очікуваних результатів, якщо не зрозуміла повністю математична функція, на якій базується коефіцієнт перетворення.
Розчин етанолу концентрацією 0,1754 г/см 3 має щільність 0,96923 г/см 3 і температуру замерзання -9° F [1]. Який обсяг етанолу (D = 0,78522 г/см 3 при 25 °С) в 100 г розчину?
Рішення
Обсяг 100 г розчину становить
\[ V = m \div D = 100 \text{ g} \div 0.96923 \text{ g} \text{ cm}^{3} = 103.17 \text{ cm}^{3} \nonumber \]
Маса етанолу в цьому обсязі становить
\[ m = V \times C = 103.17 \text{ cm}^{3} \times 0.1754 \text{ g /} \text{ cm}^{3} = 18.097 \text{ g} \nonumber \]
\[ \text{The volume of ethanol } = m \div D = 18.097 \text{ g} \div 0.78522 \text{ g / } \text{cm}^{3} = 23.05 \text{cm}^{3} \nonumber \]
Зауважимо, що ми не можемо розрахувати обсяг етанолу по
\[\dfrac {\dfrac{0.96923 g}{cm^3} \times 100 cm^3}{\dfrac {0.78522 g}{cm^3}} \normalsize = 123.4 \text{cm}^{3} \nonumber \]
хоча це рівняння є правильним розмірами.
Примітка: Зауважте, що цей результат вимагав, коли використовувати функцію C = M/v, а коли використовувати функцію D = M/v як коефіцієнти перетворення. Чистий розмірний аналіз не зміг достовірно дати відповідь, так як обидві функції мають однакові розміри.
Знайдіть обсяг, зайнятий 4,73 г зразка бензолу.
Рішення
Щільність бензолу становить 0,880 г см —3. Використовуючи Eq. (2),
\[\text{Volume = }V\text{ = }m\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{1}}{\rho }\text{ = 4}\text{.73 g }\times \text{ }\dfrac{\text{1 cm}^{\text{3}}}{\text{0}\text{.880 g}}\text{ = 5}\text{.38 cm}^{\text{3}} \nonumber \]
Примітка: Зверніть увагу, що беручи зворотну частину\(\Large\tfrac{\text{0}\text{.880 g}}{\text{1 cm}^{3}}\) просто інвертує фракцію ― 1 см 3 йде зверху, а 0,880 г йде на дно.
Два щойно проведені розрахунки показують, що щільність - це коефіцієнт перетворення, який змінює об'єм до маси, а зворотна щільність - коефіцієнт перетворення, що змінює масу в об'єм. Це можна зробити тому, що математична формула, що визначає щільність, пов'язує її з масою і об'ємом. Алгебраїчна маніпуляція цією формулою дала нам вирази для маси та об'єму [ур. \(\ref{1}\)і\(\ref{2}\)], і ми використовували їх для вирішення наших проблем. Якщо ми розуміємо функцію D = M/v і прислухаємося до застереження вище, ми можемо розробити відповідні коефіцієнти розмови шляхом скасування одиниці, як показує наступний приклад:
Учень важить 98,0 г ртуті. Якщо щільність ртуті становить 13,6 г/см 3, який обсяг займає зразок?
Рішення
Ми знаємо, що обсяг пов'язаний з масою через щільність.
Тому
\[ V = m \times \text{ conversion factor} \nonumber \]
Так як маса в грамах, нам потрібно позбутися від цих агрегатів і замінити їх на об'ємні одиниці. Це можна зробити, якщо в якості коефіцієнта перетворення використовується зворотна щільність. Це ставить грами в знаменник, щоб ці одиниці скасували:
\[V=m\times \dfrac{\text{1}}{\rho }=\text{98}\text{.0 g}\times \dfrac{\text{1 cm}^{3}}{\text{13}\text{.6 g}}=\text{7}\text{.21 cm}^{3} \nonumber \]
Якби ми помножили на щільність замість її взаємної, одиниці результату відразу б показали нашу помилку:
\(V=\text{98}\text{.0 g}\times \dfrac{\text{13.6 }g}{\text{1 cm}^{3}}=\text{1}\text{.333}{\text{g}^{2}}/{\text{cm}^{3}}\;\)(без скасування!)
Зрозуміло, що квадратні грами на кубічний сантиметр - це не ті одиниці, які ми хочемо.
Використання коефіцієнта перетворення дуже схоже на використання коефіцієнта єдності - ми знаємо, що коефіцієнт перетворення є правильним, коли одиниці відміняють належним чином. Однак коефіцієнт перетворення - це не єдність. Швидше це фізична величина (або зворотна фізична величина), яка пов'язана з двома іншими величинами, які ми взаємоперетворюємо. Коефіцієнт перетворення працює через співвідношення [тобто визначення щільності, визначеної Eqs. \(\ref{1}\)і\(\ref{2}\) включає співвідношення між щільністю, масою та об'ємом], а не тому, що вона має значення одиниці. Після того, як ми встановили, що відносини існують, більше не потрібно запам'ятовувати математичну формулу. Одиниці говорять нам, чи використовувати коефіцієнт перетворення або його зворотний. Без таких відносин, однак, просто скасування одиниць не гарантує, що ми робимо правильно.
Простим способом запам'ятати співвідношення між величинами та коефіцієнтами перетворення є «дорожня карта» типу, показаного нижче:
\[\text{Mass }\overset{density}{\longleftrightarrow}\text{ volume or }m\overset{\rho }{\longleftrightarrow}V\text{ } \nonumber \]
Це говорить про те, що маса конкретного зразка речовини пов'язана з його обсягом (і об'ємом до його маси) через коефіцієнт перетворення, щільність. Подвійна стрілка вказує на те, що перетворення може здійснюватися в будь-якому напрямку, за умови, що одиниці коефіцієнта перетворення скасовують ті величини, які були відомі спочатку. Загалом, дорожню карту можна написати.
\[\text{First quantity }\overset{\text{conversion factor}}{\longleftrightarrow}\text{ second quantity} \nonumber \]
Коли ми підходимо до більш складних завдань, де для отримання кінцевого результату потрібно кілька кроків, такі дорожні карти стануть більш корисними при складанні схеми шляху до вирішення.
Чорне залізодерево має щільність 67,24 фунтів/фут 3. Якби у вас був зразок, обсяг якого становив 47,3 мл, скільки грам він би важив? (1 фунт = 454 г; 1 фут = 30,5 см).
Рішення
Дорожня карта
\[V\xrightarrow{\rho }m\text{ } \nonumber \]
говорить нам, що маса зразка може бути отримана з його обсягу за допомогою коефіцієнта перетворення, щільності. Так як мілілітри і кубічні сантиметри однакові, для нашого розрахунку використовуємо одиниці СІ:
\[ \text{Mass} = m = 47.3 \text{cm}^{3} \times \dfrac{\text{67}\text{.24 lb}}{\text{1 ft}^{3}} \nonumber \]
Оскільки одиниці гучності різні, нам потрібен коефіцієнт єдності, щоб змусити їх скасувати:
\[m\text{ = 47}\text{.3 cm}^{\text{3}}\text{ }\times \text{ }\left( \dfrac{\text{1 ft}}{\text{30}\text{.5 cm}} \right)^{\text{3}}\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{67}\text{.24 lb}}{\text{1 ft}^{\text{3}}}\text{ = 47}\text{.3 cm}^{\text{3}}\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{1 ft}^{\text{3}}}{\text{30}\text{.5}^{\text{3}}\text{ cm}^{\text{3}}}\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{67}\text{.24 lb}}{\text{1 ft}^{\text{3}}} \nonumber \]
У нас тепер маса в фунтах, але ми хочемо її в грамах, тому потрібен ще один фактор єдності:
\[m\text{ = 47}\text{.3 cm}^{\text{3}}\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{1 ft}^{\text{3}}}{\text{30}\text{.5}^{\text{3}}\text{ cm}^{\text{3}}}\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{67}\text{.24 lb}}{\text{1 ft}^{\text{3}}}\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{454 g}}{\text{ 1 lb}}\text{ = 50}\text{0.9 g} \nonumber \]
У наступних розділах ми встановимо ряд взаємозв'язків між фізичними величинами. Будуть наведені формули, які визначають ці відносини, але ми не виступаємо за рабське запам'ятовування та маніпулювання цими формулами. Натомість ми рекомендуємо вам пам'ятати, що відносини існують, можливо, з точки зору дорожньої карти, а потім відрегулювати кількість, що беруть участь, щоб одиниці скасували належним чином. Такий підхід має ту перевагу, що можна вирішувати найрізноманітніші завдання, використовуючи одну і ту ж техніку.