2.6: PSS.6- Експоненціальні числа
- Page ID
- 25573
- Висловіть велику кількість або мале число в науковому позначенні.
- Провести арифметичні операції і висловити остаточну відповідь в наукових позначеннях
Хіміки часто працюють з цифрами, які є надзвичайно великими або малими. Наприклад, введення маси в грамах атома водню в калькулятор вимагатиме відображення з принаймні 24 знаками після коми. Система, яка називається науковою позначенням, дозволяє уникнути значної частини нудності та незручності маніпулювання числами з великими або малими величинами. У науковому позначенні ці числа виражаються у вигляді
\[ N \times 10^n \nonumber \]
де N більше або дорівнює 1 і менше 10 (1 ≤ N < 10), а n - додатне або від'ємне число (10 0 = 1). Число 10 називається базовим, тому що саме це число підвищується в силу\(n\). Хоча базове число може мати значення, відмінні від 10, базове число в наукових позначеннях завжди дорівнює 10.
Простий спосіб перетворення чисел в наукові позначення полягає в тому, щоб перемістити десяткову крапку на стільки знаків вліво або вправо, скільки потрібно, щоб дати число від 1 до 10 (N). Величина n потім визначається наступним чином:
- Якщо десяткову крапку переміщено вліво n знаків, n є додатним.
- Якщо десяткову крапку переміщено вправо n знаків, n є від'ємним.
Інший спосіб запам'ятати це - визнати, що коли число N зменшується за величиною, показник збільшується і навпаки. Застосування цього правила проілюстровано на прикладі\(\PageIndex{1}\).
Перетворіть кожне число в наукові позначення.
- 637,8
- 0.0479
- 7.86
- 12 378
- 0.00032
- 61.06700
- 2002.080
- 0,01020
Рішення
| Пояснення | Відповідь | |
|---|---|---|
| a |
Щоб перетворити 637,8 в число від 1 до 10, переміщаємо десяткову крапку на два розряди вліво: 637,8 Оскільки десяткова крапка була переміщена на два місця вліво, n = 2. |
\(6.378 \times 10^2\) |
| б |
Щоб перетворити 0.0479 в число від 1 до 10, переміщаємо десяткову крапку на два розряди вправо: 0,0479 Оскільки десяткова крапка була переміщена на два місця вправо, n = −2. |
\(4.79 \times 10^{−2}\) |
| c | Зазвичай це виражається просто як 7.86. (Нагадаємо, що 10 0 = 1.) | \(7.86 \times 10^0\) |
| d | Оскільки десяткова крапка була переміщена на чотири місця вліво, n = 4. | \(1.2378 \times 10^4\) |
| е | Оскільки десяткова крапка була переміщена на чотири місця вправо, n = −4. | \(3.2 \times 10^{−4}\) |
| f | Оскільки десяткова крапка була переміщена на одне місце вліво, n = 1. | \(6.106700 \times 10^1\) |
| г | Оскільки десяткова крапка була переміщена на три місця вліво, n = 3. | \(2.002080 \times 10^3\) |
| ч | Оскільки десяткова крапка була переміщена на два місця вправо, n = -2. | \(1.020 \times 10^{−2}\) |
Додавання і віднімання
Перш ніж числа, виражені в науковому позначенні, можуть бути додані або віднімані, вони повинні бути перетворені у форму, в якій всі показники мають однакове значення. Потім проводиться відповідна операція на значеннях N. Приклад\(\PageIndex{2}\) ілюструє, як це зробити.
Провести відповідну операцію, а потім висловити відповідь в наукових позначеннях.
- \( (1.36 \times 10^2) + (4.73 \times 10^3) \nonumber\)
- \((6.923 \times 10^{−3}) − (8.756 \times 10^{−4}) \nonumber\)
Рішення
| Пояснення | Відповідь | |
|---|---|---|
| a |
Обидва експоненти повинні мати однакове значення, тому ці числа перетворюються в будь-який \((1.36 \times 10^2) + (47.3 \times 10^2) = (1.36 + 47.3) \times 10^2 = 48.66 × 10^2\) або \((0.136 \times 10^3) + (4.73 \times 10^3) = (0.136 + 4.73) \times 10^3) = 4.87 \times 10^3\). Вибір будь-якої альтернативи дає однакову відповідь, повідомляється з двома знаками після коми. При перетворенні 48,66 × 10 2 в наукові позначення,\(n\) стало більш позитивним на 1, оскільки значення\(N\) зменшилося. |
\(4.87 \times 10^3\) |
| б |
Перетворення експонентів до одного і того ж значення дає або \((6.923 \times 10^{-3}) − (0.8756 \times 10^{-3}) = (6.923 − 0.8756) \times 10^{−3}\) або \((69.23 \times 10^{-4}) − (8.756 \times 10^{-4}) = (69.23 − 8.756) \times 10^{−4} = 60.474 \times 10^{−4}\). При перетворенні 60,474 × 10 -4 в наукові позначення,\(n\) стало більш позитивним на 1, оскільки значення\(N\) зменшилося. |
\(6.047 \times 10^{−3}\) |
Множення і ділення
При множенні чисел, виражених в наукових позначеннях, множимо значення\(N\) і складаємо воєдино значення\(n\). І навпаки, при діленні ділимо\(N\) в дивіденді (число, яке ділиться) на\(N\) в дільник (число, на яке ми ділимо), а потім віднімаємо n у дільниці з n в дивіденді. На відміну від додавання та віднімання, експоненти не повинні бути однаковими у множенні та діленні. Приклади задач, пов'язаних з множенням і діленням, наведені в прикладі\(\PageIndex{3}\).
Виконайте відповідну операцію і висловіть свою відповідь в наукових позначеннях.
- \( (6.022 \times 10^{23})(6.42 \times 10^{−2}) \nonumber\)
- \( \dfrac{ 1.67 \times 10^{-24} }{ 9.12 \times 10 ^{-28} } \nonumber \)
- \( \dfrac{ (6.63 \times 10^{−34})(6.0 \times 10) }{ 8.52 \times 10^{−2}} \nonumber \)
Рішення
| Пояснення | Відповідь | |
|---|---|---|
| a |
У множенні складаємо показники: \[(6.022 \times 10^{23})(6.42 \times 10^{−2})= (6.022)(6.42) \times 10^{[23 + (−2)]} = 38.7 \times 10^{21} \nonumber \] При\(38.7 \times 10^{21}\) перетворенні на наукові позначення,\(n\) став більш позитивним на 1, тому що значення\(N\) зменшилося. |
\(3.87 \times 10^{22}\)б
При діленні віднімаємо показники:
\[{1.67 \times 10^{−24} \over 9.12 \times 10^{−28}} = {1.67 \over 9.12} \times 10^{[−24 − (−28)]} = 0.183 \times 10^4 \nonumber \]
При\(0.183 \times 10^4\) перетворенні на наукові позначення,\(n\) став більш негативним на 1, тому що значення\(N\) збільшилося.
\( 1.83 \times 10^3\)c
Ця задача має як множення, так і ділення:
\[ {(6.63 \times 10^{−34})(6.0 \times 10) \over (8.52 \times 10^{−2})} = {39.78 \over 8.52} \times 10^{[−34 + 1 − (−2)]} \nonumber \]
\( 4.7\times 10^{-31}\)