Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.2: Броунівська динаміка

  • Page ID
    17952
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Рівняння Ланжевена для руху броунівської частинки може бути змінено з урахуванням додаткової зовнішньої сили, крім сили опору та випадкової сили. З другого закону Ньютона:

    \[ m \ddot{x} = f_d + f_r(t)+ f_{ext}(t) \nonumber \]

    де додана сила отримується з градієнта потенціалу, який вона відчуває:

    \[ f_{ext} = -\dfrac{\partial U}{\partial x} \]

    З\( \langle f_r(t)f_r(t')\rangle = 2\zeta k_BT \delta (t-t')\) співвідношенням флуктуація-дисипація рівняння Ланжевена стає

    \[ m\ddot{x} + (\partial U/\partial x)+\zeta \dot{x} - \sqrt{2\zeta k_BT } R(t)=0 \]

    Тут\(R(t)\) мається на увазі гаусова розподілена послідовність випадкових чисел з\(⟨R(t)⟩ = 0\) і\(⟨R(t) R(t′)⟩ = δ(t ‒ t′)\).

    Моделювання броунівської динаміки виконуються за допомогою цього рівняння руху в дифузійно-домінантній межі або сильної межі тертя\( |m\ddot{x}|\ll |\zeta \dot{x}|\). Потім ми можемо знехтувати інерційним рухом, і встановити прискорення частинки до нуля, щоб отримати вираз для швидкості частинки

    \[\dot{x} (t) = \dfrac{\dfrac{\partial U}{\partial x}}{\zeta} -\sqrt{2k_BT/\zeta} R(t) \nonumber \]

    Потім інтегруємо це рівняння руху за наявності випадкових збурень для визначення динаміки\(x(t)\).

    Читання

    1. Р.Цванзіг, Нерівноважна статистична механіка. (Преса Оксфордського університету, Нью-Йорк, 2001).
    2. Берна та Р.Пекора, Динамічне розсіювання світла: із застосуванням до хімії, біології та фізики. (Вілі, Нью-Йорк, 1976).