11.4: Орієнтаційна дифузія

Last updated
Save as PDF

Page ID: 17969

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розроблені нами концепції трансляції дифузії та броунівського руху легко поширюються на обертальну дифузію. Для дифузії континууму, якщо часто припускають, що можна розділити щільність ймовірності частинок на радіальну та кутову частину:\(P(r, \theta , \phi ) = P(r)P(\theta , \phi )\). Потім також розділяють рівняння дифузії на дві частини, для яких орієнтаційна дифузія слідує за рівнянням дифузії малого кута.

\[ \dfrac{\partial P(\Omega , t)}{\partial t} = D_{or} \nabla^2 P(\Omega , t) \label{11.4.1}\]

де\(\Omega\) відноситься до сферичних координат (θ, φ). D _або - орієнтаційна константа дифузії з одиницями rad ² s ^—1. Мікроскопічно можна розглядати орієнтаційну дифузію як випадкову прогулянку по поверхні сфери, причому кроки є невеликими кутовими зміщеннями в\(θ\) і\(φ\). Рівняння\ ref {11.4.1} дозволяє отримати залежну від часу функцію розподілу ймовірностей\(P(Ω,t|Ω_0)\), яка описує розподіл напрямків\(Ω\) у часі\(t\), враховуючи, що вектор мав орієнтацію\(Ω_0\) на час\(t = 0\). Це може бути виражено у вигляді розширення в сферичних гармоніках.

\[ P(\Omega ,t | \Omega_0) = \sum^{\infty}_{\ell = 0} \sum^{\ell}_{m=-\ell} c^m_{\ell}(t) [Y_{\ell}^m(\Omega_0)]^* Y_{\ell}^m(\Omega ) \nonumber \]

Коефіцієнти розширення задаються

\[ c_{\ell}^m(t)=\exp[-\ell (\ell+1)D_{or}t] \nonumber \]

___________________________________

Читання

Берг, Випадкові прогулянки в біології. (Преса Прінстонського університету, Прінстон, Нью-Джерсі, 1993).
Філліпс, J. Kondev, J. Theriot і H. Garcia, Фізична біологія клітини, 2-е видання. (Тейлор і Френсіс Груп, Нью-Йорк, 2012).