1.4: Прямі і взаємні решітки

Почнемо з резюме декількох понять, побачених в попередніх главах...

Будь-яке повторюване і періодичне розподіл набору предметів (або мотивів) може бути охарактеризовано, або описано перекладами, які періодично повторюють набір предметів. Маються на увазі переклади генерують те, що ми називаємо прямою решіткою (або реальною решіткою).

Зліва: Фрагмент розподілу набору об'єктів, що виробляють пряму решітку в 2-х вимірах. Як приклад, один з нескінченних наборів мотивів (маленькі плитки), які виробляють повторюваний і періодичний розподіл, показаний всередині жовтих квадратів. Розміри жовтого квадрата представляють переклади прямої решітки

Праворуч: Фрагмент мозаїки в Ла Альгамбра, що показує двовимірний періодичний візерунок. Ці періодичні переклади можна виявити в мозаїці і створити 2-вимірну пряму решітку. Червоний квадрат являє собою переклади найменшої прямої решітки, виробленої періодичними розподілами дрібних шматків цієї мозаїки. Жовтий квадрат являє собою іншу можливу решітку, більшу, не примітивну.

Періодична укладання куль, що виробляє 3-мірну мережу (пряму решітку). Мотив, що повторюється в трьох напрямках простору, - це вміст маленької коробки з синіми краями, так званої «одиничної клітинки».

Переклади, що описують періодичність в кристалах, можуть бути виражені у вигляді лінійної комбінації трьох основних перекладів, а не компланарних, тобто незалежних, відомих як сітчасті або осі решітки (або одиничні осі комірок). Ці осі визначають паралелограм (у 2 вимірах) або паралелепіпед (у 3 вимірах), відомий як одинична комірка (або елементарна комірка). Ця елементарна область (у 2-вимірних випадках), або елементарний об'єм (в 3-вимірних випадках), яка містить мінімальний набір періодичного розподілу, генерує (перекладами) повний розподіл, який в нашому атомному 3-вимірному випадку ми називаємо кристалом.

Крім того, що одинична клітина є найменшою повторюваною одиницею, що стосується перекладів, читач повинен зазначити, що система осей, що визначають одиничну клітинку, фактично визначає систему відліку для опису позиційних координат кожної. атом всередині клітини.

Ліворуч: Елементарна комірка (або одинична комірка), визначена 3 некомпланарними сітчастими перекладами (осями комірок або осями решітки)

Праворуч: Формування кристалів шляхом укладання багатьох одиничних осередків у 3 космічних напрямках

Загалом, всередині одиничної клітини є мінімальний набір атомів (іонів або молекул), які повторюються всередині клітини завдяки симетрії елементів кристалічної структури. Цей мінімальний набір атомів (іонів або молекул), які генерують весь вміст одиничної клітини (після застосування елементів симетрії до них) відомий як асиметрична одиниця.

Структурний мотив, показаний на лівому малюнку, повторюється елементом симетрії (операція симетрії), в даному випадку віссю гвинта

Повторення мотиву (асиметрична одиниця) генерує повний вміст одиничної клітини, а повторення одиничних осередків генерує весь кристал

Решітка, яка є чистим математичним поняттям, може бути підібрана різними способами в одному і тому ж реальному періодичному розподілі. Однак тільки одна з таких решіток найкраще «вписується» з симетрією періодичного розподілу мотивів...

Двовимірний періодичний розподіл одного мотиву, що містить два об'єкти (трикутник і коло)

Ліворуч: Одиничні комірки, що відповідають можливим прямим решіткам (= реальні решітки), які можна намалювати над періодичним розподілом, показаним вище. Тільки одна з одиничних осередків (червона) є більш доречною, оскільки вона набагато краще вписується в симетрію розподілу

Праворуч: Червона клітина на лівій фігурі (центрована решітка) краще відповідає симетрії розподілу і може бути розкладена на дві однакові решітки, по одній для кожного об'єкта мотиву.

Як показано на малюнках вище, хоча особливо в правій, будь-яка решітка, що описує повторення мотиву (трикутник+коло), може бути розкладена на дві однакові еквівалентні решітки (по одній на кожен об'єкт мотиву). Таким чином, поняття решітки не залежить від складності мотиву, так що ми можемо використовувати тільки одну решітку, так як вона представляє всі інші еквівалентні. Після того, як ми вибрали репрезентативну решітку, відповідну симетрії структури, будь-яка сітчаста точка (або вузол решітки) може бути описана вектором, який є лінійною комбінацією (з цілими числами) прямого сітчасті осі: R = m a + n b + p c, де m, n і p - цілі числа. До неретикулярних точок можна досягти за допомогою найближчого вектора R, і додавши до нього відповідні частки сітчастих осей, щоб досягти його:

r = R + r' = (м а + п б + р с) + (х а + у б + з з)

Вектор положення для будь-якої неретикулярної точки прямої решітки

де x, y, z представляють відповідні безрозмірні частки осей X/a, Y/b, Z/c, і X, Y, Z відповідних довжин.

Вектор положення для неретикулярної точки (чорне коло)

Читач також повинен заглянути в глави про решітки та одиничні осередки, запропоновані Кембриджським університетом.

Крім того, читач може завантажити та запустити на власному комп'ютері цю програму Java, яка ілюструє концепцію решітки (вона повністю вірусна і була розроблена Жерве Шапуї та Ніколасом Шені, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Швейцарія).

Давайте тепер подивимося деякі нові поняття про прямі решітки (= реальні решітки)...

З геометричної точки зору на решітці ми можемо розглянути деякі сітчасті лінії та сітчасті площини, які проходять через сітчасті точки (або сітчасті вузли). Так само, як ми робили з гратами (вибравши одну з них з усіх еквівалентних), ми робимо те ж саме з сітчастими лініями та площинами. Ретикулярна лінія або сітчаста площина може використовуватися як представник всього сімейства паралельних ліній або паралельних площин.

Дотримуючись аргументу, наведеного вище, кожен мотив у повторюваному розподілі генерує власну решітку, хоча всі ці решітки ідентичні (червоний і синій). З двох сімейств показаних еквівалентних решіток (червоного та синього) ми можемо вибрати лише одну з них, розуміючи, що вона також представляє інші еквівалентні. Зверніть увагу, що відстань між площинами, намальованими на кожній решітці (міжпланарний інтервал), однакова для синіх або червоних сімей. Однак сімейство червоних площин відокремлено від сімейства синіх площин на відстань, яка залежить від поділу між об'єктами, які створили решітку. Це відстань між площинами різних сімейств можна назвати геометричним позафазовим відстанню.

Зліва: Сімейство сітчастих площин, що розрізають вертикальну вісь клітини на 2 частини і горизонтальну вісь на 1 частину. Ці площини паралельні третій сітчастої осі (на малюнку не показані).

Праворуч: Сімейство сітчастих площин, що розрізають вертикальну вісь клітини на 3 частини і горизонтальну вісь в 1 частині. Ці площини паралельні третій сітчастої осі (на малюнку не показані).

Кількість частин, в яких сімейство площин розрізають осі комірок, може бути пов'язане з трійкою чисел, які ідентифікують це сімейство площин. У трьох попередніх малюнках кількість розрізів, а отже і числові трійки становили б (110), (210) та (310) відповідно відповідно до вертикальної, горизонтальної та перпендикулярної до фігури осей. На цьому малюнку числові трійки для намальованих площин є (022), тобто сімейство площин не розрізає вісь а, а розрізає осі b і c на 2 однакові частини відповідно.

Площина, намальована на лівій стороні фігури вище, розрізає вісь a на 2 рівні частини, вісь b на 2 частини і вісь c в 1 частині. Отже, числовий триплет, що ідентифікує площину, буде (221). Площина, намальована з правого боку фігури, розрізає вісь a на 2 частини, паралельна осі b і розрізає вісь c в 1 частині. Тому числовий трійник буде (201).

Унікальна площина, як та, яка намальована у верхньому правому малюнку, визначена числовим трійником, відомим як індекси Міллера, представляє та описує все сімейство паралельних площин, що проходять через кожен елемент мотиву. Таким чином, в кристалічній структурі буде стільки плоских сімейств, скільки можливо існувати числових трійок з умовою, що ці числа є простими, один до одного (не мають спільного дільника).

Індекси Міллера узагальнено представлені трійкою букв hkl. Якщо серед індексів Міллера є спільні дільники, числовий триплет представлятиме лише одне сімейство площин. Наприклад, сімейство з індексами (330), які не є строго ретикулярними, можна розглядати як представник 3 сімейств індексів (110) з геометричним позафазовим відстанню (серед сімейства) 1/3 від оригіналу (див. Малюнки нижче).

Зліва: Три сімейства сітчастих площин з індексами (110) у трьох еквівалентних гратах, що показують позафазову відстань між ними 1/3 міжплощинного інтервалу в кожній родині.

Праворуч: Той самий набір площин фігури зліва намальований над однією з рівноцінних решіток. Тому його індекси Міллера (330), а міжпланарний інтервал становить 1/3 міжплощинного інтервалу сімейства (110).

Таким чином, поняття індексів Міллера, раніше обмежене числовими трійками (будучи простими числами), тепер може бути узагальнено на будь-який триплет цілих чисел. Таким чином, кожне сімейство літаків, буде «покривати» весь кристал. І тому для кожної точки кристала ми можемо намалювати нескінченну кількість плоских сімей з нескінченними орієнтаціями.

Через точку в кристалі (в прикладі в центрі осередку) ми можемо провести нескінченну кількість плоских сімей з нескінченною кількістю орієнтацій. У цьому випадку показані лише 3 сім'ї та 3 орієнтації.

Звичайно, міжплощинні відстані можна безпосередньо обчислити з індексів Міллера (hkl) і значень ретикулярних параметрів (осей одиничних осередків). Наведена нижче таблиця показує, що ці відносини можуть бути спрощені для відповідної метрики різних решіток.

Формула для обчислення міжплощинних інтервалів (d _hkl ) для сімейства площин з індексами Міллера hkl в одиничній комірці параметрів a , b , c , α , β , γ . Вертикальні смуги (для триклінічного випадку) означають функцію «детермінант». У тригональному випадку a = b = c = A ; α = β = γ . У всіх випадках, очевидно, обчислений міжплощинний інтервал також представляє відстань між початком комірки та найближчою площиною сімейства.

Зацікавлені читачі також повинні заглянути в главу про площини решітки та індекси Міллера, запропоновану Кембриджським університетом.

А тепер ще кілька понять про решітках: так звана зворотна решітка...

Будь-яку площину також можна охарактеризувати вектором (σ _hkl), перпендикулярним їй. Тому проекція вектора положення будь-якої точки (що належить площині), над цією перпендикулярною лінією є постійною і незалежною від точки. Це відстань площини до початку, тобто інтервал (d _hkl).

Будь-яка площина може бути представлена вектором, перпендикулярним їй.

Розглянемо сімейство площин hkl з міжпланарним відстанню d _hkl. З множини векторів нормаль до сімейства площин візьмемо одиницю (σ _hkl) довжиною 1/d _hkl. Скалярний добуток між цим вектором і вектором положення (d' _hkl) точки, що належить площині з сімейства, є цілим числом (n), і це число дає нам порядок цієї площини в hl сім'я. Тобто: (σ _hkl). (d' _hkl) = (1/д _hkl). (n.d _hkl) = n (див. Лівий малюнок нижче)

n буде дорівнює 0 для площини, що проходить через початок, 1 для першої площини, 2 для другої і т.д.

Таким чином, σ _hkl являє собою все сімейство hkl площин, що мають міжплощинний інтервал, заданий d _hkl. Зокрема, для першої площини отримаємо: | σ _hkl | d _hkl = 1.

Якщо ми визначимо 1/dhkl, як довжину вектора σ _hkl, добуток цього вектора, що разів d _hkl інтервал площин сімейства площин є одиницею.

Якщо взяти вектор в 2 рази довший за σ _hkl, то міжплощинний інтервал відповідного нового сімейства площин становив би половину.

Якщо з цього нормального вектора σ _hkl довжини 1/d _hkl, візьмемо інший вектор, n разів (ціле число) довший ( n. σ _hkl), вищезгаданий твір (| σ _hkl | d _hkl = 1 ) означало б, що новий вектор (n. σ _hkl) буде відповідати сімейству площин індексів nh, nk, nl мають міжплощинний інтервал в рази менше. Іншими словами, наприклад, довжини наступних міжплощинних інтервалів матимуть відношення: d ₁₀₀ = 2. (d ₂₀₀) = 3. (d ₃₀₀)..., так що σ ₁₀₀ = (1/2). σ ₂₀₀ = (1/3). σ ₃₀₀ ... і аналогічно для інших площин hkl.

Тому виявляється, що модулі (довжини) перпендикулярних векторів (σ _hkl) зворотні міжплощинним інтервалам. Кінцеві точки цих векторів (сині стрілки на малюнку нижче) також виробляють періодичну решітку, яка завдяки цій зворотній властивості відома як зворотна решітка вихідної прямої решітки. Отримані таким чином зворотні точки (зелені точки на малюнку нижче) ідентифікуються з тими ж числовими трійками hkl (індекси Міллера), які представляють відповідні сімейство літака.

Геометрична побудова деяких точок зворотної решітки (зелених точок) з прямої решітки. Для спрощення припустимо, що третя вісь прямої решітки (с ) перпендикулярна екрану. Червоні лінії представляють сітчасті площини (перпендикулярні екрану) і чиї індекси Міллера показані синім кольором. Як приклад: зворотна точка з індексами (3,1,0) буде розташована на векторі, перпендикулярному площині (3,1,0) і її відстані до початку O обернено пропорційно відстані цього сімейства площин.

Анімований приклад, що показує, як отримати взаємні точки з прямої решітки

Тепер повинно бути зрозуміло, що пряма решітка, і її сітчасті площини безпосередньо пов'язані (пов'язані) з зворотною гратами. Більш того, в цій зворотній решітці ми також можемо визначити одиничну комірку (зворотну одиничну комірку), періодичні переклади якої будуть визначатися трьома взаємними осями, що утворюють зворотні кути серед них. Якщо осі одиничних комірок і кути прямої комірки відомі буквами a, b, c, α, β, γ, відповідний параметри для зворотної комірки записуються тими ж символами, додаючи зірочку: a*, b*, c*, α *, β *, γ *. Також повинно бути зрозуміло, що ці зворотні осі (a*, b*, c*) будуть відповідати векторам σ ₁₀₀, σ ₀₁₀ і σ ₀₀₁ відповідно, так що будь-який зворотний вектор може бути виражений у вигляді лінійної комбінації цих трьох зворотних векторів:

σ _гкл = ч а* + к б* л с*

Вектор положення будь-якої зворотної точки

Геометричне співвідношення між прямими і зворотними одиничними осередками

На малюнку нижче знову показана сильна залежність між двома гратами (пряма з синіми точками, зворотна зелена). При цьому відповідні треті зворотні осі (c і c*) розташовуються перпендикулярно екрану.

А аналітично зв'язок між прямою (= реальною) і зворотною клітинами може бути записана як:

Метричні співвідношення між параметрами, що визначають пряму і зворотну осередки. V представляє об'єм прямої комірки, а символ x означає перехресний добуток між двома векторами. Однотипні рівняння можна записати, змінивши зірочки в праву сторону рівнянь. Обсяг прямої осередку можна розрахувати як:

V = (а х б). c = а. б. c (1 - cos ² α - cos ² β - cos ² γ + 2 cos α cos β cos γ) ^1/2

Зауважимо, що відповідно до наведеними вище визначеннями довжина a* є оберненою міжплощинного інтервалу d ₁₀₀ (|a* | = 1/d ₁₀₀), і що | б* | = 1/д ₀₁₀, і що | с* | = 1/д ₀₀₁. Тому можна записати такі скалярні добутки (точкові добутки): a.a* = 1, a.b* = 0 і аналогічно з іншими парами осей.

Підводячи підсумки:

• Прямий простір (= реальний простір) - це простір, де ми живемо..., де атоми..., де зростають кристали..., де ми уявляємо прямі решітки (= реальні решітки).

• Зворотний простір - це математичний простір, побудований на прямому просторі (= реальний простір). Саме простір, де знаходяться взаємні решітки, допоможе нам зрозуміти явища кристалічної дифракції.

• «Великий в прямому просторі (тобто в реальному просторі)», означає «малий у взаємному просторі».

• «Малий у прямому просторі (тобто в реальному просторі)» означає «великий у взаємному просторі».

На додаток до цього, ми рекомендуємо завантажити та виконати аплет Java Ніколя Шоені та Жерве Шапуї з Ecole Polytechnique Fédéral de Lausanne (Швейцарія), щоб зрозуміти зв'язок між прямими та взаємними гратами та як побудувати останню з прямої решітки. . (Безкоштовно будь-якого виду вірусів).

Дивіться також сторінки про взаємний простір, запропонований Кембриджським університетом за цим посиланням.

І хоча ми розкриваємо аспекти, що відповідають наступній главі (див. Останній абзац цієї сторінки), читач також повинен подивитися відео, зроблене www.PhysicsReimagined.com, показуючи геометричні відносини між прямими та взаємними решітки, що відображаються нижче у вигляді анімованого GIF:

Читач напевно запитує себе, навіщо нам потрібна ця нова концепція (відповідна решітка). Ну, є причини, які це виправдовують. Один з них полягає в тому, що сімейство літаків може бути представлено лише однією точкою, що, очевидно, спрощує речі. І ще одна важлива причина полягає в тому, що ця нова решітка пропонує нам дуже просту геометричну модель, яка може інтерпретувати дифракційні явища в кристалах. Але про це буде розказано в іншому розділі. Продовжуйте!