3.4: Математичні операції з використанням операційних підсилювачів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 26821

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Схема порівняння двох напруг - приклад використання операційного підсилювача для завершення математичної операції. У цьому розділі ми розглянемо кілька додаткових прикладів математичних операцій, виконаних з використанням операційних підсилювачів.

Множення і ділення на константу

Інвертуючий підсилювач, який ми розглядали раніше, і який відтворюється тут на малюнку\(\PageIndex{1}\), повертає вихідну напругу,\(v_{out}\) що множить вхідну напругу на величину, яка залежить від співвідношення резисторів\(R_{in}\) і\(R_f\).

\[v_{out} = - v_{in} \times \frac{R_f}{R_{in}} \label{math1} \]

Множення відбувається коли\(R_f > R_{in}\) і ділення відбувається коли\(R_{in} > R_f\). Зверніть увагу, що в знаку напруги є розворот.

Множення і ділення за допомогою операційного підсилювача. — Малюнок\(\PageIndex{1}\). Схема операційного підсилювача, яка множить або ділить вхідну напругу на постійну.

Додавання або віднімання

\(\PageIndex{2}\)На малюнку показана схема операційного підсилювача, яка додає разом чотири окремих вхідних напруги. З нашого попереднього аналізу схем ви повинні побачити, що

\[I_f = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 \label{math2} \]

Ми можемо замінити\(I_f\) в цьому рівнянні, використовуючи закон Ома; таким чином

\[v_{out} = - R_f \times \left( \frac{v_1}{R_1} + \frac{v_2}{R_2} + \frac{v_3}{R_3} + \frac{v_4}{R_4} \right) \label{math3} \]

Якщо всі п'ять резисторів ідентичні, то\(v_{out}\) йде просте підсумовування чотирьох вхідних напруг.

\[v_{out} = - (v_1 + v_2 + v_3 + v_4) \label{math4} \]

Якщо вибирати\(R_f\) таке, що воно є\(0.25 \times R_1\) і виставляється\(R_1 = R_2 = R_3 = R_4\), то вихідна напруга - це середнє значення вхідних напруг

\[v_{out} = - \frac{v_1 + v_2 + v_3 + v_4}{4} \label{math5} \]

Виконання додавання за допомогою операційних підсилювачів. — Малюнок\(\PageIndex{2}\). Схема операційного підсилювача, яка додає разом чотири напруги.

Покритий в останній секції компаратор напруги віднімає одну напругу від іншого. Коли задіяно більше двох напруг, то ми можемо адаптувати схему суматора напруги на малюнку,\(\PageIndex{2}\) щоб включити віднімання, спочатку запустивши напругу, яку ми хочемо відняти через інвертуючий підсилювач, представлений у розділі 3.2. Малюнок\(\PageIndex{3}\) показує це де\(v_{out} = - (v_4 + v_3 + v_2 - v_1)\).

Додавання і віднімання за допомогою операційного підсилювача. — Малюнок\(\PageIndex{3}\). Схема операційного підсилювача, яка додає разом три напруги і віднімає четверту напругу з суми.

Інтеграція

\(\PageIndex{4}\)На малюнку показана схема операційного підсилювача, яку ми можемо використовувати для інтеграції сигналу, залежного від часу. Схема має контур зворотного зв'язку, але він побудований навколо конденсатора замість резистора, оскільки він зберігає заряд з часом. Схема також має два вимикачі, які дозволяють нам використовувати схему протягом певного періоду часу. Коли вимикач утримання відкритий, вхідна напруга не може увійти в ланцюг. Закриття перемикача утримування встановлює\(t = t_0\). Поки перемикач скидання відкритий, струм рухається через контур зворотного зв'язку. Відкриття перемикача утримання встановлює\(t = t_f\), де\(t_f\) знаходиться сумарний минулий час. Коли цей цикл закінчиться, закриття перемикача скидання зливає конденсатор так, щоб він був готовий до його наступного використання.

Як ми вже кілька разів бачили, струм в точку підсумовування,\(I_{in}\) дорівнює струму в контурі зворотного зв'язку.

\[I_{in} = I_f \label{int1} \]

З глави 2 ми знаємо, що струм в циклі зворотного зв'язку є\(I_f = - C_f \frac{d v_{out}}{dt}\) і, ми знаємо з закону Ома, що\(i_{in} = \frac{V_{in}}{R_{in}}\). Підстановка обох зв'язків у рівняння\ ref {int1} дає

\[\frac{V_{in}}{R_{in}} = - C_f \frac{d v_{out}}{dt} \label{int2} \]

Перевпорядкування цього рівняння

\[d v_{out} = -\frac{v_{in}}{R_i C_f} dt \label{int3} \]

і інтеграція з часом дає

\[\int_{v_{out,1}}^{v_{out,2}} d v_{out} = -\frac{1}{R_{in} C_f} \int_{t_1}^{t_2} v_{in} dt \label{int4} \]

Якщо ми почнемо інтеграцію попередньо розрядивши конденсатор і визначимо\(t_1\) як момент, коли ми закриваємо перемикач утримання і визначаємо\(t_2\) як момент, коли ми знову відкриваємо перемикач утримання, то рівняння\ ref {int4} стає

\[v_{out} = -\frac{1}{R_{in} C_f} \int_{0}^{t} v_{in} dt \label{int5} \]

а вихідна напруга є інтегралом вхідної напруги, помноженої на\((-R_{in} C_f)^{-1}\).

Диференціація

Реверсивний конденсатор і резистор в схемі на\(\PageIndex{4}\) малюнку перекриває ланцюг з тієї, яка повертає інтеграл вхідного сигналу, в ту, яка повертає похідну вхідного сигналу; на малюнку\(\PageIndex{5}\) показана отримана схема.

Для цієї схеми у нас є\(I_{in} = C \times \frac{d v_{in}}{dt}\) і\(I_f = - \frac{V_{out}}{R}\). З огляду на це\(I_{in} = I_f\), нам залишилося

\[- \frac{V_{out}}{R} = C \times \frac{d v_{in}}{dt} \label{deriv1} \]

\[v_{out} = - R C \times \frac{d v_{in}}{dt} \label{deriv2} \]