2.3: Ланцюги змінного струму

Постійний струм має фіксовану величину, яка не залежить від часу. Змінний струм, з іншого боку, має значення, яке змінюється з часом. Ця зміна струму слідує за зразком, який ми можемо охарактеризувати його періодом - часом\(t_p\), за один повний цикл - або за його частотою\(f\), яка є зворотною його періоду

\[f = \frac{1}{t_p} \label{sine1} \]

Частота повідомляється в герцах (Гц), що еквівалентно одному циклу в секунду.

Синусоїдальні струми і напруги

Хоча ми можемо малювати багато періодичних сигналів - і зробимо це в наступних розділах - найпростішим періодичним сигналом є синусоїда: як показано на правій стороні малюнка\(\PageIndex{1}\), синус - це розповсюджуюча хвиля, амплітуда якої\(A\), є функцією часу\(t\), яку ми пишемо як\(a(t)\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\). Ілюстрація, що показує, як синусоїду можна пояснити обертовим вектором. Дивіться текст для пояснення символів.

Ліва сторона малюнка\(\PageIndex{1}\) забезпечує обертове векторне зображення синусоїди (представлення, яке ми знову зустрінемо в главі 19 про спектроскопії ЯМР). Вектор - це стрілка, яка простягається від центру кола до краю кола. Він обертається вліво з кутовою швидкістю, заданою\(\omega\) і яка виражається в радіанах за період синусоїди\(t_p\); таким чином

\[\omega = \frac{2 \pi}{t_p} = 2 \pi f \label{sine2} \]

де\(f\) - частота. Амплітуда синусоїди, як функція часу\(a(t)\), еквівалентна проекції обертового вектора на вісь x; таким чином

\[a(t) = A\sin{\omega t} = A\sin{2 \pi f t} \label{sine3} \]

У контексті цієї глави амплітуда - це або струм\(i\), або напруга,\(v\).

\[i(t) = I\sin{\omega t} = I\sin{2 \pi f t} \label{sine4} \]

\[v(t) = V\sin{\omega t} = V\sin{2 \pi f t} \label{sine5} \]

де\(I\) - максимальний, або піковий струм, і\(V\) є максимальним, або піковим напругою.

Рівняння\ ref {sine4} і\ ref {sine5} вимагають, щоб амплітуда синусоїди\(a(t)\), залежна від часу, мала нуль\(t = n \pi\), коли, де\(n\) є ціле число. Немає підстав наполягати на цьому, і дві синусоїди можуть бути відокремлені один від одного за часом, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\), фазовим кутом,\(\Phi\). Рівняння для синусоїди, коли\(\Phi \ne 0\) стає

\[a(t) = A\sin{(\omega t + \Phi)} = A\sin{(2 \pi f t + \Phi)} \label{sine6} \]

Малюнок\(\PageIndex{2}\). Дві синусоїди, які перебувають поза фазою один з одним. Кут\(\Phi\), між двома обертовими векторами є фазовим кутом.

Одне ускладнення змінного струму полягає в тому, що чистий струм по ходу одного циклу дорівнює нулю. Це проблема для нас, тому що рівняння потужності в резисторі

\[P = \frac{I^2}{R} \ne 0 \label{sine7} \]

\(\PageIndex{3}\)На малюнку показано кілька способів повідомити про струм в ланцюгах змінного струму.

Малюнок\(\PageIndex{3}\). _{Різні способи повідомити про струм: I p - максимальний абсолютний струм, або піковий струм; I pp - струм від піку до піку; I середньоквадратичний струм; і I avg - середній числовий струм.}

Середньо-квадратний струм\(I_{rms}\),, визначається як

\[I_{rms} = \sqrt{\frac{I_p^2}{2}} = \sqrt{2} \times \frac{I_p}{2} = 0.707 \times I_p \label{sine8} \]

і дає таку ж потужність в ланцюзі змінного струму, як постійний струм рівного значення в ланцюзі постійного струму. Середній струм,\(I_{avg}\),,

\[I_{avg} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}I_p \sin{\omega t}\, dt = \frac{2 I_p}{\pi} = 0.6371 \times I_p \label{sine9} \]

Конденсатори

Конденсатор - це компонент ланцюгів, який здатний зберігати заряд. \(\PageIndex{4}\)На малюнку показана конструкція типового конденсатора і його умовне позначення при побудові електричного кола. Конденсатор складається з двох провідних пластин, розділених тонким шаром ізолюючого, або діелектричного матеріалу. Пластини мають ділянки\(A\) і розділені відстанню,\(d\). Діелектричний матеріал має діелектричну проникність,\(\epsilon\). Простий конденсатор може складатися з двох частин металевої фольги, розділеної повітрям, яка служить діелектричним матеріалом. Здатність конденсатора зберігати заряд\(Q\),, задається

\[Q = C \times V \label{cap1} \]

де\(V\) - напруга, що\(C\) подається на дві пластини і де ємність конденсатора, яка, в свою чергу, визначається як

\[C = \frac{\epsilon A}{d} \label{cap2} \]

Ємність вимірюється в одиницях фарад, де один фарад дорівнює одному кулону на вольт.

Малюнок\(\PageIndex{4}\). Принципова схема конденсатора. В електричному ланцюзі конденсатор зображений символом внизу праворуч.

Резистор і конденсатор послідовно

\(\PageIndex{5}\)На малюнку показаний резистор\(R\), з опором, і конденсатор, з ємністю\(C\), послідовно з джерелом напруги, з напругою\(V\).

Малюнок\(\PageIndex{5}\). Проста схема, яка складається з резистора і конденсатора послідовно.

Коли вимикач він закритий, струм тече в міру того, як конденсатор нарощує заряд. З законів Кірхоффа ми знаємо, що

\[V = v_R + v_C = iR + \frac{Q}{C} \label{cap3} \]

де\(v_R\) і\(v_C\) знаходяться відповідно залежні від часу напруги на резисторі і конденсаторі. Оскільки\(V\) має фіксоване значення, будь-яке збільшення в\(v_C\) міру заряджання конденсатора компенсується зменшенням\(V_r\). Враховуючи, що значення\(v_C\) і\(v_R\) - і асоційованих струмів залежать від часу, ми можемо диференціювати рівняння\ ref {cap3} щодо часу

\[\frac{dV}{dt} = 0 = \left( R \times \frac{di}{dt} \right) + \left( \frac{1}{C} \times \frac{dq}{dt} \right) = \left(R \times \frac{di}{dt}\right) + \frac{i}{C} \label{cap4} \]

Перевпорядкування рівняння\ ref {cap4} дає

\[\frac{di}{i} = - \frac{1}{RC}dt \label{cap5} \]

Інтеграція обох сторін цього рівняння

\[ \int_{I_{0}}^{i} \frac{1}{i} di = -\frac{1}{RC} \int_{0}^{t} dt \label{cap6} \]

призводить до наступного співвідношення між струмом в часі\(t\) і початковим струмом,\(I_0\)

\[i_t = I_0 \times e^{-t/RC} \label{cap7} \]

який говорить нам, що струм зменшується експоненціально, коли конденсатор стає повністю зарядженим. Заміна струму в рівнянні\ ref {cap7}\(\frac{V}{R}\) і підставляємо назад в Рівняння\ ref {cap3}

\[v_C = V_0 \left( 1 - e^{-t/RC} \right) \label{cap8} \]

показує нам, що за час заряджання конденсатора струм, що протікає через конденсатор, зменшується експоненціально до його межі нуля, а напруга на конденсаторі зростає в геометричній прогресії до своєї межі прикладеного напруги.

Постійна часу

Значення\(RC\) в Рівнянні\ ref {cap7} та в Рівнянні\ ref {cap8} є постійною часу ланцюга. Потрібно приблизно п'ять постійних разів, щоб конденсатор повністю зарядився або повністю розрядився. \(\PageIndex{6}\)На малюнку показана напруга на конденсаторі\(v_C\), так як допускається заряджати і розряджатися. Час відображається через кількість минулих постійних часу, а напруга виражається як частка від максимальної напруги. Пунктирна лінія показує, що постійна часу\(RC\),, еквівалентна\(0.63 \times\) максимальній напрузі.

Малюнок\(\PageIndex{6}\). Напруга на конденсаторі, як він заряджається, а потім розряджається. Шкала на осі х - це час з кроком постійної часу\(RC\), а шкала на осі y - частка прикладеної напруги. Пунктирна лінія показує, що постійна часу еквівалентна\(0.63 \times\) прикладеному напрузі.

Відповідь послідовного RC-ланцюга на синусоїдальний вхід

Якщо замінити джерело постійної напруги на малюнку\(\PageIndex{5}\) джерелом змінного струму, то конденсатор буде зазнавати безперервне коливання його напруги і струму в залежності від часу. Ми знаємо, форма Equation\ ref {cap1} що заряд\(Q\), є добутком ємності\(C\), і напруги\(V\), які ми можемо записати як похідну по відношенню до часу.

\[\frac{dq}{dt} = C \times \frac{dv}{dt} \label{ac1} \]

Фазовий зсув в ланцюзі змінного струму

У ланцюзі змінного струму, як ми дізналися раніше в Equation\ ref {sine4}, струм, який еквівалентний\(dq/dt\) дорівнює

\[i = I_p \sin{2 \pi f t} \label{ac2} \]

де\(I_p\) - піковий струм. Підстановка в рівняння\ ref {ac1} дає

\[i = I_p \sin{2 \pi f t} = C \times \frac{dv}{dt} \label{ac3} \]

Перестановка цього рівняння і інтеграція з часом дає залежне від часу напруга на конденсаторі\(v_C\), як

\[v_C = \frac{I_p}{2 \pi f C} \left( -\cos{2 \pi f t} \right) \label{ac4} \]

Ми можемо переписати це рівняння через синусоїдальну функцію замість функції косинуса, визнаючи, що вони знаходяться на 90° поза фазою один з одним; таким чином

\[v_C = \frac{I_p}{2 \pi f C} \left( \sin{2 \pi f t -90} \right) = V_p \left( \sin{2 \pi f t -90} \right) \label{ac5} \]

Порівнюючи рівняння\ ref {ac2} і Equation\ ref {ac5}, ми бачимо, що струм і напруга 90° поза фазою один з одним; малюнок\(\PageIndex{7}\) показує це візуально.

Малюнок\(\PageIndex{7}\). Відповідь напруги конденсатора на синусоїдальний вхідний струм, що показує, що вони є 90° (\(\pi/2\)) поза фазою.

Ємнісний реактивний опір, опір і опір

З рівняння\ ref {ac5} ми бачимо, що

\[V_p = \frac{I_p}{2 \pi f t} \label{ac6} \]

Розділення обох сторін на\(I_p\) дає

\[\frac{V_p}{I_p} = X_C = \frac{1}{2 \pi f t} \label{ac7} \]

де\(X_C\) - реактивний опір конденсатора, який, як і опір резистора, має одиниці Ом. На відміну від резистора, однак, реактивний опір конденсатора залежить від частоти і, враховуючи зворотний зв'язок між\(X_C\) і\(f\), він стає меншим на більш високих частотах.

У RC-ланцюзі як резистор, так і конденсатор сприяють опору ланцюга змінного струму. Оскільки внесок конденсатора становить 90° поза фазою до внеску від резистора, чистий опір\(Z\), є

\[Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} \label{ac8} \]

як показано на малюнку,\(\PageIndex{8}\) де вектор, який представляє,\(Z\) є гіпотонусом прямокутного трикутника, визначеного опором резистора та реактивним опором конденсатора.

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Залежність між опором резистора, реактивним опором конденсатора та опору RC-ланцюга.

Підстановка в Equation\ ref {ac7} показує вплив частоти на імпеданс.

\[Z = \sqrt{R^2 + \left( \frac{1}{2 \pi f t} \right)^2} \label{ac9} \]

Написання закону Ома з точки зору опору\(V_p = I_p \times Z\), і підставляючи його в Equation\ ref {ac9}, визначає\(I_p\) і з точки зору\(V_p\) опору.

\[V_p = I_p \times \sqrt{R^2 + \left( \frac{1}{2 \pi f t} \right)^2} \label{ac10} \]

\[I_p = \frac{V_p}{\sqrt{R^2 + \left( \frac{1}{2 \pi f t} \right)^2}} \label{ac11} \]

Фільтри на основі RC ланцюгів

Частотна залежність RC ланцюга забезпечує нам можливість ослаблення деяких частот і пропускати інші частоти. Це дозволяє проводити селективну фільтрацію вхідного сигналу. Тут розглядається конструкція фільтра низьких частот, що видаляє сигнали більш високої частоти, і конструкцію фільтра високих частот, що видаляє сигнали нижчої частоти. Малюнок\(\PageIndex{9}\) показує, що (а) фільтр низьких частот ставить резистор перед конденсатором і вимірює вихідну напругу\(V_{out}\), через конденсатор, і що (б) фільтр високих частот ставить конденсатор перед резистором і вимірює вихідну напругу\(V_{out}\), через резистор.

Малюнок\(\PageIndex{9}\). Схеми для (а) фільтра низьких частот і (б) фільтра високих частот.

Фільтр низьких частот

Для фільтра низьких частот на малюнку\(\PageIndex{9}a\), відношення напруги на конденсаторі\((V_p)_{out}\), до пікової вхідної напруги\((V_p)_{in}\), дорівнює частці опору ланцюга\(Z\), що приписується реактивному опору конденсатора\(X_C\), як очікується для дільника напруги, які складаються елементів послідовно.

\[\frac{(V_p)_{out}}{(V_p)_{in}} = \frac{X_C}{Z} = \frac{(2 \pi f C)^{-1}}{\sqrt{R^2 + \left( \frac{1}{2 \pi f C}\right)^2}} \label{lowpass1} \]

\(\PageIndex{10}a\)На малюнку показана АЧХ для фільтра низьких частот з\(1 \times 10^6 \text{ Hz}\) резистором і\(1 \times 10^{-6} \text{ F}\) конденсатором, що знімає всі частоти більше приблизно\(10^1\) Гц.

Малюнок\(\PageIndex{10}\). Вихід (а) фільтра низьких частот і (б) фільтра високих частот.

Фільтр високих частот

Для фільтра високих частот на малюнку\(\PageIndex{9}b\) відношення напруги на резисторі\((V_p)_{out}\), до пікової вхідної напруги\((V_p)_{in}\), дорівнює частці опору ланцюга\(Z\), віднесеного до опору резистора\(R\), як очікується для дільника напруги, які складаються елементів послідовно.

\[\frac{(V_p)_{out}}{(V_p)_{in}} = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \left( \frac{1}{2 \pi f C}\right)^2}} \label{lowpass2} \]

\(\PageIndex{10}b\)На малюнку показана АЧХ для фільтра низьких частот з\(1 \times 10^5 \text{ Hz}\) резистором і\(1 \times 10^{-7} \text{ F}\) конденсатором, що знімає всі частоти менше приблизно\(10^{-1}\).