8.1: Дискретні випадкові величини

Зараз ми в змозі довести нашу першу фундаментальну теорему ймовірності. Ми бачили, що інтуїтивним способом перегляду ймовірності певного результату є частота, з якою цей результат відбувається в довгостроковій перспективі, коли експеримент повторюється велика кількість разів. Також математично визначено ймовірність як значення функції розподілу випадкової величини, що представляє експеримент. Закон великих чисел, який є теоремою, доведеною про математичну модель ймовірності, показує, що ця модель узгоджується з частотною інтерпретацією ймовірності. Ця теорема колись називається Щоб з'ясувати, що станеться, якби цей закон не був істинним, див. Статтю Роберта Коутса. ¹

Нерівність Чебишева

Щоб обговорити Закон великих чисел, нам спочатку потрібна важлива нерівність, яка називається

(Нерівність Чебишева)\(X\) Дозволяти дискретну випадкову величину з очікуваним значенням\(\mu = E(X)\), і\(\epsilon > 0\) нехай будь-яке додатне дійсне число. Тоді\[P(|X - \mu| \geq \epsilon) \leq \frac {V(X)}{\epsilon^2}\ .\] Let\(m(x)\) позначають функцію розподілу\(X\). Тоді ймовірність, яка\(X\)\(\mu\) відрізняється від принаймні,\(\epsilon\) задається\[P(|X - \mu| \geq \epsilon) = \sum_{|x - \mu| \geq \epsilon} m(x)\ .\] Ми знаємо, що\[V(X) = \sum_x (x - \mu)^2 m(x)\ ,\] і це явно принаймні настільки ж велика, як\[\sum_{|x - \mu| \geq \epsilon} (x - \mu)^2 m(x)\ ,\] оскільки всі доведені є позитивними, і ми обмежили діапазон підсумовування у другій сумі. Але ця остання сума є принаймні\[\begin{aligned} \sum_{|x - \mu| \geq \epsilon} \epsilon^2 m(x) &=& \epsilon^2 \sum_{|x - \mu| \geq \epsilon} m(x) \\ &=& \epsilon^2 P(|X - \mu| \geq \epsilon)\ .\\\end{aligned}\] Так,\[P(|X - \mu| \geq \epsilon) \leq \frac {V(X)}{\epsilon^2}\ .\]

Відзначимо, що\(X\) в наведеній теоремі може бути будь-яка дискретна випадкова величина, і\(\epsilon\) будь-яке додатне число.

Нехай\(X\) будь-якою випадковою величиною з\(E(X) = \mu\) і\(V(X) = \sigma^2\). Тоді, якщо\(\epsilon = k\sigma\), Нерівність Чебишева\[P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac {\sigma^2}{k^2\sigma^2} = \frac 1{k^2}\ .\] стверджує, що Таким чином, для будь-якої випадкової величини ймовірність відхилення від середнього більше\(k\) стандартних відхилень дорівнює\({} \leq 1/k^2\). Якщо, наприклад,,\(k = 5\),\(1/k^2 = .04\).

Нерівність Чебишева є найкращою можливою нерівністю в тому сенсі\(\epsilon > 0\), що для будь-якого можна навести приклад випадкової величини, для якої Нерівність Чебишева насправді є рівністю. Щоб побачити це, задано\(\epsilon > 0\), вибрати\(X\) з розподілом\[p_X = \pmatrix{ -\epsilon & +\epsilon \cr 1/2 & 1/2 \cr}\ .\] Потім\(E(X) = 0\)\(V(X) = \epsilon^2\), і\[P(|X - \mu| \geq \epsilon) = \frac {V(X)}{\epsilon^2} = 1\ .\]

Зараз ми готові заявити і довести Закон великих чисел.

Закон великих чисел

(Закон великих чисел) Нехай\(X_1\),,...\(X_2\),\(X_n\) бути незалежним процесом випробувань, з кінцевим очікуваним значенням\(\mu = E(X_j)\) і кінцевою дисперсією\(\sigma^2 = V(X_j)\). Нехай\(S_n = X_1 + X_2 +\cdots+ X_n\). Тоді для будь-якого\(\epsilon > 0\),\[P\left( \left| \frac {S_n}n - \mu \right| \geq \epsilon \right) \to 0\] як\(n \rightarrow \infty\). Рівнозначно,\[P\left( \left| \frac {S_n}n - \mu \right| < \epsilon \right) \to 1\] як\(n \rightarrow \infty\). Оскільки\(X_1\),\(X_2\),...,\(X_n\) є незалежними і мають однакові розподіли, ми можемо застосувати теорему [thm 6.9]. Ми отримуємо\[V(S_n) = n\sigma^2\ ,\] і\[V (\frac {S_n}n) = \frac {\sigma^2}n\ .\] також знаємо, що\[E (\frac {S_n}n) = \mu\ .\] По нерівності Чебишева, для будь-якого\(\epsilon > 0\),\[P\left( \left| \frac {S_n}n - \mu \right| \geq \epsilon \right) \leq \frac {\sigma^2}{n\epsilon^2}\ .\] Таким чином, для фіксованого\(\epsilon\)\(n \rightarrow \infty\),\[P\left( \left| \frac {S_n}n - \mu \right| \geq \epsilon \right) \to 0\] як, або еквівалентно,\[P\left( \left| \frac {S_n}n - \mu \right| < \epsilon \right) \to 1\] як\(n \rightarrow \infty\).

Закон середніх

Зверніть увагу, що\(S_n/n\) це середнє значення окремих результатів, і часто називають Закон великих чисел «законом середніх». Це вражаючий факт, що ми можемо почати з випадкового експерименту, про який мало що можна передбачити, і, взявши середні показники, отримати експеримент, в якому результат можна передбачити з високим ступенем впевненості. Закон великих чисел, як ми вже заявляли, часто називають «слабким законом великих чисел», щоб відрізнити його від «Сильного закону великих чисел», описаного у Вправі [exer 8.1.16].

Розглянемо важливий особливий випадок випробувань Бернуллі з\(p\) ймовірністю успіху. Нехай,\(X_j = 1\)\(j\) якщо результат - успіх і 0, якщо це невдача. Потім\(S_n = X_1 + X_2 +\cdots+ X_n\) йде кількість успіхів у\(n\) випробуваннях і\(\mu = E(X_1) = p\). Закон великих чисел стверджує, що для будь-якого\(\epsilon > 0\)\[P\left( \left| \frac {S_n}n - p \right| < \epsilon \right) \to 1\] як\(n \rightarrow \infty\). Наведене вище твердження говорить про те, що у великій кількості повторень експерименту Бернуллі ми можемо очікувати, що частка разів, коли подія відбудеться поруч\(p\). Це показує, що наша математична модель ймовірності узгоджується з нашою частотною інтерпретацією ймовірності.

Підкидання монет

Розглянемо окремий випадок кидання монети\(n\) раз з кількістю\(S_n\) голів, які з'являються вгору. Тоді випадкова величина\(S_n/n\) представляє частку разів голови повертається вгору і матиме значення від 0 до 1. Закон великих чисел передбачає, що результати для цієї випадкової величини будуть, для великих\(n\), близько 1/2.

На малюнку [рис. 8.1] ми побудували розподіл для цього прикладу для збільшення значень\(n\). Ми позначили результати між .45 і .55 крапками у верхній частині шипів. Ми бачимо, що\(n\) зі збільшенням розподіл стає все більш концентрованим навколо 0,5 і більший і більший відсоток загальної площі міститься в інтервалі\((.45,.55)\), як це передбачено Законом великих чисел.

Die прокатки

Розглянемо\(n\) рулони плашки. Нехай\(X_j\) буде результат\(j\) го рулону. Потім\(S_n = X_1 + X_2 +\cdots+ X_n\) йде сума перших\(n\) рулонів. Це самостійний процес випробувань с\(E(X_j) = 7/2\). Таким чином, за законом великих чисел, для будь-якого\(\epsilon > 0\)\[P\left( \left| \frac {S_n}n - \frac 72 \right| \geq \epsilon \right) \to 0\] як\(n \rightarrow \infty\). Еквівалентний спосіб заявити це те, що, для будь-якого\(\epsilon > 0\),\[P\left( \left| \frac {S_n}n - \frac 72 \right| < \epsilon \right) \to 1\] як\(n \rightarrow \infty\).

Числові порівняння

Слід підкреслити, що, хоча нерівність Чебишева доводить закон великих чисел, насправді це дуже груба нерівність для ймовірностей, що беруть участь. Однак його сила полягає в тому, що вона вірна для будь-якої випадкової величини взагалі, і вона дозволяє довести дуже потужну теорему.

У наступному прикладі ми порівняємо оцінки, дані Нерівністю Чебишева, з фактичними значеннями.

Нехай\(X_1\),\(X_2\),...,\(X_n\) бути процесом випробувань Бернуллі з ймовірністю .3 для успіху і .7 за невдачу. Нехай,\(X_j = 1\)\(j\) якщо результат буде успішним і 0 в іншому випадку. Потім,\(E(X_j) = .3\) і\(V(X_j) = (.3)(.7) = .21\). Якщо\[A_n = \frac {S_n}n = \frac {X_1 + X_2 +\cdots+ X_n}n\] є з\(X_i\), то\(E(A_n) = .3\) і\(V(A_n) = V(S_n)/n^2 = .21/n\). Нерівність Чебишева стверджує, що якщо, наприклад,\(\epsilon = .1\),\[P(|A_n - .3| \geq .1) \leq \frac {.21}{n(.1)^2} = \frac {21}n\ .\] Таким чином, якщо\(n = 100\),\[P(|A_{100} - .3| \geq .1) \leq .21\ ,\] або якщо\(n = 1000\),\[P(|A_{1000} - .3| \geq .1) \leq .021\ .\] ці можуть бути переписані як\[\begin{aligned} P(.2 < A_{100} < .4) &\geq& .79\ , \\ P(.2 < A_{1000} < .4) &\geq& .979\ .\end{aligned}\] ці значення повинні бути зіставлені з фактичними значеннями, які є (до шести знаків після коми)\[\begin{aligned} P(.2 < A_{100} < .4) &\approx& .962549 \\ P(.2 < A_{1000} < .4) &\approx& 1\ .\\\end{aligned}\] програма Закон може бути використаний для систематичного проведення вищевказаних розрахунків.

Історичні зауваження

Закон великих чисел вперше був доведений швейцарським математиком Джеймсом Бернуллі в четвертій частині його праці, опублікованої посмертно в 1713 році. ² Як часто трапляється з першим доказом, доказ Бернуллі був набагато складнішим, ніж доказ, який ми представили, використовуючи нерівність Чебишева. Чебишев розробив свою нерівність, щоб довести загальну форму Закону великих чисел (див. Вправа [exer 8.1.13]). Сама нерівність з'явилася набагато раніше в роботі Bienaymé, і в обговоренні його історії Майстров зауважує, що вона довгий час називалася нерівністю Біенаме-Чебишева. ³

У Бернуллі надає своєму читачеві довге обговорення значення своєї теореми з безліччю прикладів. У сучасних позначеннях у нього є подія, яка відбувається з ймовірністю,\(p\) але він не знає\(p\). Він хоче оцінити\(p\) на\(\bar{p}\) частку разів, коли подія відбувається, коли експеримент повторюється кілька разів. Він детально розглядає проблему оцінки цим методом частки білих кульок в урні, яка містить невідому кількість білих і чорних кульок. Він зробив би це, малюючи послідовність куль з урни, замінюючи м'яч, намальований після кожного розіграшу, і оцінюючи невідому частку білих куль у урні на пропорцію намальованих кульок, які є білими. Він показує, що, вибираючи досить\(n\) великий, він може отримати будь-яку бажану точність і надійність для кошторису. Він також забезпечує жваве обговорення застосовності його теореми до оцінки ймовірності смерті того чи іншого захворювання, різних видів погоди, що відбуваються тощо.

Говорячи про кількість судових процесів, необхідних для винесення рішення, Бернуллі зауважує, що «людина на вулиці» вважає «закон середніх».

Крім того, нікому не уникнути, що для того, щоб судити таким чином про будь-яку подію взагалі, недостатньо використовувати один-два випробування, а скоріше потрібна велика кількість випробувань. І іноді найдурніший чоловік - за якимось інстинктом природи і без попередніх вказівок (це справді дивно) - точно знає, що чим більше спостережень такого роду, тим меншою буде небезпека відхилення від позначки. ⁴

Але він продовжує говорити, що він повинен споглядати іншу можливість.

Тут має бути розглянуто щось подальше, про що, можливо, ніхто не думав досі. Безумовно, залишається запитати, чи після збільшення кількості спостережень ймовірність досягнення справжнього співвідношення між кількістю випадків, в яких може статися якась подія, і в яких вона не може статися, так що ця ймовірність остаточно перевищує будь-яку задану ступінь визначеності ; або чи має проблема, так би мовити, свій асимптот - тобто, чи дається певна ступінь визначеності, яку ніколи не можна перевищити. ⁵

Бернуллі визнав важливість цієї теореми, написавши:

Тому це та проблема, яку я зараз виклав і повідомляю після того, як я вже розмірковував над нею протягом двадцяти років. І його новизна, і дуже велика корисність, в поєднанні з такою ж великою складністю, можуть перевищувати за вагою і цінувати всі інші глави цієї тези. ⁶

Бернуллі завершує своє довге доказ зауваженням:

Звідки, нарешті, це одне, здається, слідує: що якби спостереження за всіма подіями продовжувалися протягом усієї вічності, (а отже, кінцева ймовірність схилялася б до досконалої визначеності), все у світі сприймалося б у фіксованих співвідношеннях і відповідно до постійного закону чергування, щоб навіть в самих випадкових і випадкових явищах ми неодмінно визнали, як би, певну необхідність і, так би мовити, певну долю.

Тепер я знаю, чи хотів Платон прагнути до цього у своїй доктрині про загальне повернення речей, згідно з яким він передбачив, що все повернеться до свого первісного стану після того, як минуло незліченну кількість віків. ⁷

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Справедлива монета кидається 100 разів. Очікувана кількість голів - 50, а стандартне відхилення за кількістю голів -\((100 \cdot 1/2 \cdot 1/2)^{1/2} = 5\). Що говорить «Нерівність» Чебишева про ймовірність того, що кількість голів, що розгортаються вгору, відхиляється від очікуваного числа 50 на три і більше стандартних відхилень (тобто мінімум на 15)?

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Напишіть програму, яка використовує функцію\(\mbox {binomial}(n,p,x)\) для обчислення точної ймовірності, яку ви оцінили у Вправі [exer 8.1.1]. Порівняйте два результати.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Напишіть програму, щоб кинути монету 10 000 разів. \(S_n\)Дозволяти кількість голів в перших\(n\) кидках. Нехай ваша програма роздрукувати, після кожного 1000 кидків,\(S_n - n/2\). Виходячи з цього моделювання, чи правильно сказати, що ви можете очікувати голови приблизно половину часу, коли ви підкидаєте монету велику кількість разів?

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Ставка на 1 долар на кісток має очікуваний виграш\(-.0141\). Що говорить Закон великих чисел про ваш виграш, якщо ви робите велику кількість 1-доларових ставок за столом craps? Чи запевняє вас, що ваші втрати будуть невеликими? Чи запевняє вас, що якщо він\(n\) дуже великий, ви втратите?

Вправа\(\PageIndex{5}\)

\(X\)Дозволяти випадкова величина з\(E(X) =0\) і\(V(X) = 1\). Яке ціле значення\(k\) запевнить нас, що\(P(|X| \geq k) \leq .01\)?

Вправа\(\PageIndex{6}\)

\(S_n\)Нехай кількість успіхів у випробуваннях\(n\) Бернуллі з ймовірністю успіху\(p\) на кожному випробуванні. Покажіть, використовуючи Нерівність Чебишева, що для будь-якого\(\epsilon > 0\)\[P\left( \left| \frac {S_n}n - p \right| \geq \epsilon \right) \leq \frac {p(1 - p)}{n\epsilon^2}\ .\]

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Знайти максимально можливе значення для\(p(1 - p)\) if\(0 < p < 1\). Використовуючи цей результат і вправу [exer 8.1.6], показати,\[P\left( \left| \frac {S_n}n - p \right| \geq \epsilon \right) \leq \frac 1{4n\epsilon^2}\] що оцінка дійсна для будь-якого\(p\).

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Справедлива монета підкидається велика кількість разів. Чи запевняє Закон великих чисел, що якщо він\(n\) досить великий, з\(\mbox {probability} > .99\) кількістю голів, які з'являються, не відхилиться від більш ніж\(n/2\) на 100?

Вправа\(\PageIndex{9}\)

У вправі [сек. 6.2]. [Exer 6.2.16], Ви показали, що, для проблеми перевірки капелюха,\(S_n\) кількість людей, які отримують свої власні капелюхи назад має\(E(S_n) = V(S_n) = 1\). Використовуючи Нерівність Чебишева, показати, що\(P(S_n \geq 11) \leq .01\) для будь-якого\(n \geq 11\).

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Нехай\(X\) будь-якою випадковою величиною, яка приймає значення 0, 1, 2,...,\(n\) і має\(E(X) = V(X) = 1\). Показати, що для будь-якого додатного цілого числа\(k\)\[P(X \geq k + 1) \leq \frac 1{k^2}\ .\]

Вправа\(\PageIndex{11}\)

У нас дві монети: одна - справедлива монета, а інша - монета, яка виробляє голови з ймовірністю 3/4. Одна з двох монет вибирається випадковим чином, і ця монета кидається\(n\) раз. \(S_n\)Дозволяти кількість голів, що виявляється в цих\(n\) кидках. Чи дозволяє Закон великих чисел передбачити частку голів, які з'являться в довгостроковій перспективі? Після того, як ми спостерігали велику кількість підкидань, чи можемо ми сказати, яка монета була обрана? Скільки кидків вистачає, щоб ми переконалися на 95 відсотків?

Вправа\(\PageIndex{12}\)

(Чебишев ⁸) Припустимо\(X_1\), що\(X_2\),,...,\(X_n\) є незалежними випадковими величинами з можливими різними розподілами і нехай\(S_n\) буде їх сума. Нехай\(m_k = E(X_k)\),\(\sigma_k^2 = V(X_k)\), і\(M_n = m_1 + m_2 +\cdots+ m_n\). Припустимо, що\(\sigma_k^2 < R\) для всіх\(k\). Доведіть, що, для будь-якого\(\epsilon > 0\),\[P\left( \left| \frac {S_n}n - \frac {M_n}n \right| < \epsilon \right) \to 1\] як\(n \rightarrow \infty\).

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Справедлива монета підкидається неодноразово. Перед кожним киданням вам дозволяється вирішити, чи варто робити ставки на результат. Чи можете ви описати систему ставок з нескінченно великою кількістю ставок, які дозволять вам, в довгостроковій перспективі, виграти більше половини ваших ставок? (Зверніть увагу, що ми забороняємо систему ставок, яка говорить робити ставки, поки ви не попереду, а потім кинути.) Напишіть комп'ютерну програму, яка реалізує цю систему ставок. Як зазначено вище, ваша програма повинна вирішити, чи робити ставки на конкретний результат до того, як буде визначено цей результат. Наприклад, ви можете вибрати лише результати, які з'являться після того, як було три хвости поспіль. Подивіться, чи зможете ви отримати більше 50% голів своєю «системою».

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Довести наступний аналог нерівності Чебишева:\[P(|X - E(X)| \geq \epsilon) \leq \frac 1\epsilon E(|X - E(X)|)\ .\]

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Доведено теорему, яку часто називають «Слабким законом великих чисел». Інтуїція більшості людей та наші комп'ютерні симуляції припускають, що, якщо ми кидаємо монету послідовність разів, частка голів дійсно наблизиться до 1/2;\(S_n\) тобто якщо кількість голів в\(n\) рази, то ми матимемо\[A_n = \frac {S_n}n \to \frac 12\] як\(n \to \infty\). Звичайно, ми не можемо бути впевнені в цьому, оскільки ми не можемо кидати монету нескінченну кількість разів, і, якби ми могли, монета може щоразу підніматися головами. Однак «Сильний закон великих чисел», доведений у більш просунутих курсах, стверджує, що\[P\left( \frac {S_n}n \to \frac 12 \right) = 1\ .\] Опишіть простір вибірки,\(\Omega\) який дозволив би нам говорити про подію\[E = \left\{\, \omega : \frac {S_n}n \to \frac 12\, \right\}\ .\] Чи можемо ми призначити рівноймовірну міру цьому простору?

Вправа\(\PageIndex{16}\)

У цій вправі ми побудуємо приклад послідовності випадкових величин, яка задовольняє слабкому закону великих чисел, але не сильному закону. Від розподілу\(X_i\) доведеться залежати\(i\), тому що в іншому випадку обидва закони будуть задоволені. (Цю проблему нам повідомив Девід Маслен.) .1in Припустимо, ми маємо нескінченну послідовність взаємно незалежних подій\(A_1, A_2, \ldots\). Дозволяти\(a_i = P(A_i)\), і нехай\(r\) бути натуральним цілим числом.

1. Знайдіть вираз ймовірності того, що жодне з з\(A_i\) з не\(i>r\) відбувається.
2. Використовуйте той факт, що,\(x-1 \leq e^{-x}\) щоб показати, що\[P(\mbox{No \ $A_i$ \ with \ $i > r$ \ occurs}) \leq e^{-\sum_{i=r}^{\infty} a_i}\]
3. (Перший Borel-Cantelli лема) Довести, що якщо\(\sum_{i=1}^{\infty} a_i\) розходиться, то\[P(\mbox{infinitely\ many\ $A_i$\ occur}) = 1.\] .1in Тепер, нехай\(X_i\) буде послідовність взаємно незалежних випадкових величин, такі, що для кожного позитивного цілого числа\(i \geq 2\),\[P(X_i = i) = \frac{1}{2i\log i}, \quad P(X_i = -i) = \frac{1}{2i\log i}, \quad P(X_i =0) = 1 - \frac{1}{i \log i}.\] Коли\(i=1\) ми дозволяємо\(X_i=0\) з ймовірністю\(1\). Як завжди пускаємо\(S_n = X_1 + \cdots + X_n\). Зверніть увагу, що середнє значення кожного\(X_i\) є\(0\).
4. Знайдіть дисперсію\(S_n\).
5. Показати, що послідовність\(\langle X_i \rangle\) задовольняє слабкому закону великих чисел, тобто довести, що для будь-якого\(\epsilon > 0\)\[P\biggl(\biggl|{\frac{S_n}{n}}\biggr| \geq \epsilon\biggr) \rightarrow 0\ ,\] як\(n\) прагне до нескінченності. .1in Ми зараз покажемо, що\(\{ X_i \}\) не задовольняє Сильний закон великих чисел. Припустимо, що\(S_n / n \rightarrow 0\). Тоді тому, що\[\frac{X_n}{n} = \frac{S_n}{n} - \frac{n-1}{n} \frac{S_{n-1}}{n-1}\ ,\] ми це знаємо\(X_n / n \rightarrow 0\). З визначення меж робимо висновок, що нерівність\(|X_i| \geq \frac{1}{2} i\) може бути вірною лише для скінченно багатьох\(i\).
6. Нехай\(A_i\) буде подія\(|X_i| \geq \frac{1}{2} i\). Знайти\(P(A_i)\). Покажіть, що\(\sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)\) розходиться (використовуйте інтегральний тест).
7. Доведіть, що\(A_i\) відбувається для нескінченно багатьох\(i\).
8. Доведіть, що\[P\biggl(\frac{S_n}{n} \rightarrow 0\biggr) = 0,\] і, отже, що Сильний закон великих чисел не вдається для послідовності\(\{ X_i \}\).

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Давайте кинемо упереджену монету, яка придумує голови з ймовірністю\(p\) і припустимо дійсність Сильного закону великих чисел, як описано у Вправі [exer 8.1.16]. Тоді, з ймовірністю 1,\[\frac {S_n}n \to p\] як\(n \to \infty\). Якщо\(f(x)\) є безперервною функцією на одиничному інтервалі, то ми також маємо\[f\left( \frac {S_n}n \right) \to f(p)\ .\]

Нарешті, ми могли б сподіватися, що\[E\left(f\left( \frac {S_n}n \right)\right) \to E(f(p)) = f(p)\ .\] Показати, що, якщо все це правильно, як насправді, ми б довели, що будь-яка безперервна функція на одиничному інтервалі є межею поліноміальних функцій. Це ескіз імовірнісного доказу важливої теореми в математиці під назвою