7.1: Суми дискретних випадкових величин

Last updated
Save as PDF

Page ID: 98296

Charles M. Grinstead & J. Laurie Snell
Swarthmore College and Dartmouth College via American Mathematical Society

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цьому розділі ми перейдемо до важливого питання визначення розподілу суми незалежних випадкових величин через розподіли окремих складових. У цьому розділі розглядаються лише суми дискретних випадкових величин, резервуючи випадок неперервних випадкових величин для наступного розділу.

Розглянемо тут тільки випадкові величини, значення яких є цілими числами. Їх функції розподілу потім визначаються на цих цілих числах. Тут нам буде зручно припустити, що ці функції розподілу визначені для всіх цілих чисел, визначаючи їх як 0, де вони не визначені інакше.

Згортки

Припустимо, X і Y - дві незалежні дискретні випадкові величини з функціями розподілу\(m_1(x)\) і\(m_2(x)\). Нехай Z = X + Y. Ми хотіли б визначити функцію розподілу m3 (x) Z. для цього достатньо визначити ймовірність того, що Z приймає значення z, де z - довільне ціле число. Припустимо, що X = k, де k - деяке ціле число. Тоді Z = z, якщо і тільки якщо Y = z − k Отже подія Z = z є об'єднанням попарно незв'язаних подій.

\[(X=k) \text{ and } (Y= z - k)\]

де k проходить над цілими числами. Оскільки ці події попарно неспільні, ми маємо

\[P(Z=z) = \sum_{k=-\infty}^\infty P(X=k) \cdot P(Y=z-k)\]

Таким чином, ми знайшли функцію розподілу випадкової величини Z. Це призводить до наступного визначення.

Визначення: згортка

\(Y\)Дозволяти\(X\) і бути двома незалежними цілозначними випадковими величинами, з функціями розподілу\(m_1(x)\) і\(m_2(x)\) відповідно. Тоді згортка\(m_1(x)\) і\(m_2(x)\) є функцією розподілу,\(m_3 = m_1 * m_2\) заданою

\[ m_3(j) = \sum_k m_1(k) \cdot m_2(j-k) ,\]

для j =., −2, −1, 0, 1, 2,... Функція m3 (x) - функція розподілу випадкової величини Z = X + Y.

Легко побачити, що операція згортки є комутативною, і це просто показати, що вона також асоціативна.

Тепер давайте\(S_n = X_1 + X_2 + . . . + X_n \) суму n незалежних випадкових величин процесу незалежних випробувань із загальною функцією розподілу m, визначеною на цілих числах. Тоді функція розподілу\(S_1\) становить m Ми можемо записати

\[ S_n = S_{n-1} + X_n \]

Таким чином, оскільки ми знаємо функцію розподілу\(X_n\) s m, ми можемо знайти функцію розподілу\(S_n\) шляхом індукції.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Двічі прокочується плашка. Дозвольте\(X_1\) і\(X_2\) бути результатами, і нехай\( S_2 = X_1 + X_2\) буде сума цих результатів. The\(X_1\) і\(X_2\) мають загальну функцію розподілу:

\[ m = \bigg( \begin{array}{}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \end{array} \bigg) .\]

Функція розподілу\(S_2\) - це згортка цього розподілу з собою. Таким чином,

\[\begin{array}{} P(S_2 =2) & = & m(1)m(1) \\ & = & \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{36} \\ P(S_2 =3) & = & m(1)m(2) + m(2)m(1) \\ & = & \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{2}{36} \\ P(S_2 =4) & = & m(1)m(3) + m(2)m(2) + m(3)m(1) \\ & = & \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{3}{36}\end{array}\]

Продовжуючи таким чином, ми б знайшли\(P(S_2 = 5) = 4/36, P(S_2 = 6) = 5/36, P(S_2 = 7) = 6/36, P(S_2 = 8) = 5/36, P(S_2 = 9) = 4/36, P(S_2 = 10) = 3/36, P(S_2 = 11) = 2/36,\) і\(P(S_2 = 12) = 1/36\). Розподіл для S3 тоді буде згорткою розподілу для\(S_2\) з розподілом для\(X_3\). Таким чином\(P(S_3 = 3) = P(S_2 = 2)P(X_3 = 1)\).

і так далі.

Це явно виснажлива робота, і для проведення цього розрахунку повинна бути написана програма. Для цього спочатку запишемо програму для формування згортки двох щільностей p і q і повертаємо щільність r. потім ми можемо написати програму, щоб знайти щільність для суми Sn n незалежних випадкових величин із загальною щільністю p, принаймні в тому випадку, якщо випадкові величини мають кінцеве число можливих цінності.

Запуск цієї програми на прикладі прокатки матриці n разів для n = 10, 20, 30 призводить до розподілів, показаних на малюнку 7.1. Ми бачимо, що, як і у випадку з випробуваннями Бернуллі, розподіли стають дзвоноподібними. Ми обговоримо в главі 9 дуже загальну теорему під назвою Центральна гранична теорема, яка пояснить це явище.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Відомий метод оцінки мостової руки такий: тузу присвоюється значення 4, королю 3, дамі 2 і валету 1. Всім іншим картам присвоюється значення 0. Кількість очок руки - це сума значень карт в руці. (Це насправді складніше, ніж це, з урахуванням пустот в мастях і так далі, але ми розглянемо ось цю спрощену форму підрахунку балів.) Якщо карта видається випадковим чином гравцеві, то кількість очок для цієї карти має розподіл

\[ p_x = \bigg( \begin{array}{} 0&1 & 2 & 3 & 4 \\ 36/52 & 4/52 & 4/52 & 4/52 & 4/52 \end{array} \bigg) \].

Розглянемо загальну роздачу 13 карт як 13 незалежних випробувань з цим загальним розподілом. (Знову ж таки, це не зовсім правильно, тому що ми припускаємо тут, що ми завжди вибираємо карту з повної колоди.) Тоді розподіл за рахунок точки C для руки можна знайти з програми nFoldConvolution, скориставшись дистрибутивом для однієї карти і вибравши n = 13. Гравець з підрахунком очок 13 або більше, як кажуть, має початкову ставку. Імовірність відкриття ставки тоді

\[P(C \geq 13) \].

Так як у нас розподіл С, то обчислити цю ймовірність нескладно. Роблячи це, ми виявляємо, що

\[ P(C \geq 13) = .2485,\]

так що приблизно кожна четверта рука повинна бути початковою ставкою відповідно до цієї спрощеної моделі. Більш реалістичне обговорення цієї проблеми можна знайти в «Епштейні», «Теорія азартних ігор» та «Статистична логіка». \(^1\)

Для певних спеціальних розподілів можна знайти вираз для розподілу, який є результатом згортання розподілу з собою n разів. Згортка двох біноміальних розподілів, одного з параметрами m і p, а іншого з параметрами n і p, є біноміальним розподілом з параметрами\((m + n)\) і\(p\). Цей факт легко випливає з розгляду експерименту, який полягає в тому, щоб спочатку кинути монету m разів, а потім кинути її більше разів.

Згортка k геометричних розподілів із загальним параметром p є від'ємним біноміальним розподілом з параметрами p та k. Це можна побачити, розглянувши експеримент, який складається з кидання монети, поки не з'явиться k голова.

Вправи

\(\PageIndex{1}\)

Тричі прокочується плашка. Знайти ймовірність того, що сума результатів (а) більше 9 (b) непарного числа.

\(\PageIndex{2}\)

Ціна акції в даний торговий день змінюється відповідно до розподілу

\[ p_X = \bigg( \begin{array}{} -1 & 0 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1/8 & 1/8 \end{array} \bigg) \].

Знайдіть розподіл для зміни ціни акцій через два (незалежні) торгові дні.

\(\PageIndex{3}\)

\(X_2\)Дозволяти\(X_1\) і бути незалежними випадковими величинами із загальним розподілом

\[ p_X = \bigg( \begin{array}{} 0 & 1 & 2 \\ 1/2 & 3/8 & 1/2 \end{array} \bigg) \].

Знайти розподіл суми\(X_1\) +\(X_2\).

\(\PageIndex{4}\)

В одній грі певної гри ви виграєте суму X з розподілом

\[ p_X = \bigg( \begin{array}{} 1 & 2 & 3 \\ 1/4 & 1/4 & 1/2 \end{array} \bigg) \].

За допомогою програми NFoldConvolution знайдіть розподіл для вашого загального виграшу після десяти (незалежних) п'єс. Сюжет цей розподіл.

\(\PageIndex{5}\)

Розглянемо наступні два експерименти: перший має результат X, приймаючи значення 0, 1 і 2 з рівними ймовірностями; другий призводить до (незалежного) результату Y, приймаючи значення 3 з ймовірністю 1/4 і 4 з ймовірністю 3/4. Знайдіть дистрибутив

\[ \begin{array}{} (a) & Y+X \\ (b) & Y-X \end{array}\]

\(\PageIndex{6}\)

Люди прибувають в чергу за наступною схемою: За кожну хвилину часу прибуває або 0, або 1 людина. Імовірність того, що 1 людина приїде, становить p і що жодна людина не приїде, є\(q = 1 − p\). \(C_r\)Дозволяти кількість клієнтів, які прибувають в перші r хвилин. Розглянемо процес випробувань Бернуллі з успіхом, якщо людина прибуває в одиницю часу і невдачу, якщо жодна людина не прибуває в одиницю часу. Нехай\(T_r\) буде кількість невдач перед ними або успіхом.

\[ \begin{array}{} (a) & What is the distribution for \(T_r\) \\ (b) & What is the distribution \(C_r\) \\ (c) Find the mean and variance for the number of customers arriving in the first r minutes \end{array}\]

\(\PageIndex{7}\)

(а) Матриця прокатується три рази з результатами\(X_1, X_2\) і\(X_3\). \(Y_3\)Дозволяти максимальне отримане значення. Покажіть, що

\[P(Y_3 \leq j) = P(X_1 \leq j)^3\]

Скористайтеся цим, знайдіть розподіл\(Y_3\). Чи\(Y_3\) має дзвоноподібний розподіл?

(b) Тепер нехай\(Y_n\) буде максимальне значення, коли n кубиків прокатані. Знайдіть дистрибутив\(Y_n\). Чи є цей розподіл дзвоноподібним для великих значень n?

\(\PageIndex{8}\)

Бейсболіст повинен грати в Світову серію. Виходячи з його сезонної гри, ви вважаєте, що якщо він прийде битою чотири рази в грі, кількість хітів, які він отримає, має розподіл.

\[ p_X = \bigg( \begin{array}{} 0&1&2&3&4\\.4&.2&.2&.1&.1 \end{array} \bigg) \]

Припустимо, що гравець приходить битою чотири рази в кожній грі серії.

(а) Нехай X позначає кількість ударів, які він отримує в серії. Використовуючи програму NFoldConvolution, знайдіть розподіл X для кожної з можливих довжин серій: чотириігрова, п'ятиігрова, шестиігрова, семиігрова.

(b) Використовуючи один із розподілів, знайдених у частині (а), знайдіть ймовірність того, що його середній показник ватин перевищує .400 у серії з чотирма іграми. (Середній ватин - це кількість ударів, поділена на кількість разів у кажана.)

\(\PageIndex{9}\)

Доведіть, що ви не можете завантажити дві кістки таким чином, що ймовірності для будь-якої суми від 2 до 12 однакові. (Обов'язково розгляньте випадок, коли одна або кілька сторін виявляються з ймовірністю нуль.)

\(\PageIndex{10}\)

(Lévy\(^2\)) Припустимо, що n - ціле число, а не просте. Показати, що на невід'ємних цілих числах можна знайти два розподіли a та b таким чином, що згортка a та b є рівноймовірним розподілом на множині 0, 1, 2,., n − 1. Якщо n є простим, це неможливо, але довести не так просто. (Припустимо, що ні a, ні b не зосереджені в 0.)

\(\PageIndex{11}\)

Припустимо, що ви граєте в кістки з гральними кістками, які завантажуються наступним чином: грані два, три, чотири і п'ять все придумують з однаковою ймовірністю (1/6) + r. особи один і шість придумують ймовірність (1/6) − 2r, з\(0 < r < .02.\) Напишіть комп'ютерну програму, щоб знайти ймовірність виграшу в кістки з ці кістки, і за допомогою вашої програми знайти, які значення r роблять кістки сприятливою грою для гравця з цими гральними кістками.