6.2: Дисперсія дискретних випадкових величин

Корисність очікуваного значення як прогнозу результату експерименту збільшується, коли результат навряд чи буде занадто сильно відхилятися від очікуваного значення. У цьому розділі ми введемо міру цього відхилення, звану дисперсією.

дисперсія

Визначення

\(X\)Дозволяти чисельно оцінена випадкова величина з очікуваним значенням\(\mu = E(X)\). Тоді дисперсія\(X\), що позначається\(V(X)\), становить\[V(X) = E((X - \mu)^2)\ .\]

Зауважимо, що за теоремою 6.1.1\(V(X)\) дається

\[V(X) = \sum_x (x - \mu)^2 m(x)\ , \label{eq 6.1}\]\(m\)де розподільна функція\(X\).

Стандартне відхилення

Стандартне відхилення\(X\), позначається\(D(X)\), є\(D(X) = \sqrt {V(X)}\). Ми часто пишемо\(\sigma\) за\(D(X)\) і\(\sigma^2\) за\(V(X)\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо один рулон плашки. \(X\)Дозволяти число, яке виявляється вгору. Щоб знайти\(V(X)\), ми повинні спочатку знайти очікуване значення\(X\). Це

\[\begin{align} \mu & = & E(X) = 1\Bigl(\frac 16\Bigr) + 2\Bigl(\frac 16\Bigr) + 3\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr) + 4\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr) + 5\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr) + 6\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr) \\ & = & \frac{7}{2} .\end{align}\]

Щоб знайти дисперсію\(X\), формуємо нову випадкову величину\((X - \mu)^2\) і обчислимо її очікування. Ми можемо легко зробити це, використовуючи наступну таблицю.

\[\begin{array}{ccc} & & \\ \hline x & m(x)& (x - 7/2)^2 \\ \hline 1 & 1/6 & 25/4 \\ 2 & 1/6 & 9/4 \\ 3 & 1/6 & 1/4 \\ 4 & 1/6 &1/4 \\ 5 & 1/6 & 9/4 \\ 6 & 1/6 & 25/4 \hline \end{array}\]

З цієї таблиці ми знаходимо\(E((X - \mu)^2)\)\[\begin{align} V(X) & = & \frac{1}{6} \left( \frac{25}{4} + \frac{9}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} + \frac {25}{4} \right) \\ & = &\frac{35}{12} \end{align}\]

і стандартне відхилення\(D(X) = \sqrt{35/12} \approx 1.707\).

Розрахунок дисперсії

Далі доведено теорему, яка дає нам корисну альтернативну форму для обчислення дисперсії.

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Якщо\(X\) будь-яка випадкова величина з\(E(X) = \mu\), то\[V(X) = E(X^2) - \mu^2\ .\]

Доказ

У нас є\[\begin{aligned} V(X) & = & E((X - \mu)^2) = E(X^2 - 2\mu X + \mu^2) \\ & = & E(X^2) - 2\mu E(X) + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2\ .\end{aligned}\]

Використовуючи теорему\(\PageIndex{1\), ми можемо обчислити дисперсію результату рулону матриці за допомогою перших обчислень\[\begin{align} E(X^2) & = & 1\Bigl(\frac 16\Bigr) + 4\Bigl(\frac 16\Bigr) + 9\Bigl(\frac 16\Bigr) + 16\Bigl(\frac 16\Bigr) + 25\Bigl(\frac 16\Bigr) + 36\Bigl(\frac 16\Bigr) \\ & = &\frac {91}6\ ,\end{align}\] і,\[V(X) = E(X^2) - \mu^2 = \frac {91}{6} - \Bigl(\frac 72\Bigr)^2 = \frac {35}{12}\ ,\] відповідно до значення, отриманого безпосередньо з визначення\(V(X)\).

Властивості дисперсії

Дисперсія має властивості, дуже відмінні від властивостей очікування. Якщо\(c\) будь-яка постійна,\(E(cX) = cE(X)\) і\(E(X + c) = E(X) + c\). Ці два твердження мають на увазі, що очікування є лінійною функцією. Однак дисперсія не є лінійною, як видно з наступної теореми.

Теорема\(\PageIndex{2}\)

Якщо\(X\) будь-яка випадкова величина і\(c\) є будь-якою постійною, то\[V(cX) = c^2 V(X)\] і\[V(X + c) = V(X)\ .\]

Доказ

Нехай\(\mu = E(X)\). Потім\(E(cX) = c\mu\), і\[\begin{aligned} V(cX) &=& E((cX - c\mu)^2) = E(c^2(X - \mu)^2) \\ &=& c^2 E((X - \mu)^2) = c^2 V(X)\ .\end{aligned}\]

Щоб довести друге твердження, ми зауважимо, що для обчислення\(V(X + c)\) ми б замінили\(x\) на\(x + c\) і\(\mu\) на\(\mu + c\) в Equation [eq 6.1]. Тоді вони\(c\) скасують, йдучи\(V(X)\).

Перейдемо тепер до деяких загальних властивостей дисперсії. Нагадаємо, що якщо\(X\) і\(Y\) є будь-якими двома випадковими величинами,\(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\). Це не завжди вірно для випадку з дисперсією. Наприклад,\(X\) нехай випадкова величина з\(V(X) \ne 0\), і визначити\(Y = -X\). Потім\(V(X) = V(Y)\), так що\(V(X) + V(Y) = 2V(X)\). Але\(X + Y\) завжди 0 і, отже, має дисперсію 0. Таким чином\(V(X + Y) \ne V(X) + V(Y)\).

Однак у важливому випадку взаємно незалежних випадкових величин дисперсія суми є сумою дисперсій.

Теорема\(\PageIndex{3}\)

\(Y\)Дозволяти\(X\) і бути дві випадкові величини. Тоді\[V(X + Y) = V(X) + V(Y)\ .\]

Доказ

Нехай\(E(X) = a\) і\(E(Y) = b\). Тоді\[\begin{aligned} V(X + Y) & = & E((X + Y)^2) - (a + b)^2 \\ & = & E(X^2) + 2E(XY) + E(Y^2) - a^2 - 2ab - b^2\ .\end{aligned}\] з тих пір\(X\) і\(Y\) є незалежними,\(E(XY) = E(X)E(Y) = ab\). Таким чином,\[V(X + Y) = E(X^2) - a^2 + E(Y^2) - b^2 = V(X) + V(Y)\ .\]

Це доказ легко розширити шляхом математичної індукції, щоб показати, що дисперсія суми будь-якої кількості взаємно незалежних випадкових величин є сумою окремих дисперсій. Таким чином, ми маємо наступну теорему.

Теорема\(\PageIndex{4}\)

Нехай\(X_1\),\(X_2\),...,\(X_n\) бути незалежним процесом випробувань з\(E(X_j) = \mu\) і\(V(X_j) = \sigma^2\). \[S_n = X_1 + X_2 +\cdots+ X_n\]Дозволяти бути сума, і\[A_n = \frac {S_n}n\] бути середнім. Тоді\[\begin{aligned} E(S_n) &=& n\mu\ , \\ V(S_n) &=& n\sigma^2\ , \\ \sigma(S_n) &=& \sigma \sqrt{n}\ , \\ E(A_n) &=& \mu\ , \\ V(A_n) &=& \frac {\sigma^2}\ , \\ \sigma(A_n) &=& \frac{\sigma}{\sqrt n}\ .\end{aligned}\]

Доказ

Оскільки всі випадкові величини\(X_j\) мають однакове очікуване значення, ми маємо\[E(S_n) = E(X_1) +\cdots+ E(X_n) = n\mu\ ,\]\[V(S_n) = V(X_1) +\cdots+ V(X_n) = n\sigma^2\ ,\] і\[\sigma(S_n) = \sigma \sqrt{n}\ .\]

Ми бачили, що, якщо ми помножимо випадкову величину\(X\) із\(\mu\) середнім і\(\sigma^2\) дисперсією на постійну\(c\), нова випадкова величина має очікуване значення\(c\mu\) та дисперсію\(c^2\sigma^2\). Таким чином,

\[E(A_n) = E\left(\frac {S_n}n \right) = \frac {n\mu}n = \mu\ ,\]

і

\[V(A_n) = V\left( \frac {S_n}n \right) = \frac {V(S_n)}{n^2} = \frac {n\sigma^2}{n^2} = \frac {\sigma^2}n\ .\]

Нарешті, стандартне відхилення\(A_n\) задається

\[\sigma(A_n) = \frac {\sigma}{\sqrt n}\ .\]

Останнє рівняння в вищезгаданій теоремі має на увазі, що в процесі незалежних випробувань, якщо окремі доведені мають кінцеву дисперсію, то стандартне відхилення середнього йде до 0 як\(n \rightarrow \infty\). Оскільки стандартне відхилення говорить нам щось про розкид розподілу навколо середнього, ми бачимо, що при великих значеннях\(n\), значення зазвичай\(A_n\) дуже близьке до середнього\(A_n\), яке дорівнює\(\mu\), як показано вище. Це твердження зроблено точно в главі 8, де воно називається Законом великих чисел. Наприклад, нехай\(X\) представляють собою рулон ярмаркової матриці. На малюнку [рис. 6.4.5] ми показуємо розподіл випадкової величини,\(A_n\) відповідної\(X\), for\(n = 10\) і\(n = 100\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Розглянемо\(n\) рулони плашки. Ми бачили, що,\(X_j\) якщо результат, якщо\(j\) й рол, то\(E(X_j) = 7/2\) і\(V(X_j) = 35/12\). Таким чином, якщо\(S_n\) сума результатів, і\(A_n = S_n/n\) є середнім показником результатів, ми маємо\(E(A_n) = 7/2\) і\(V(A_n) = (35/12)/n\). Тому при\(n\) збільшенні очікуване значення середнього залишається постійним, але дисперсія прагне до 0. Якщо дисперсія є мірою очікуваного відхилення від середнього, це означало б, що для великих ми можемо очікувати\(n\), що середнє значення буде дуже близько до очікуваного значення. Це насправді так, і ми обгрунтуємо це в главі 8.

Випробування Бернуллі

Розглянемо далі загальний процес судових процесів Бернуллі. Як завжди, ми залишаємо,\(X_j = 1\) якщо результат є успішним, і 0, якщо це невдача.\(j\) Якщо\(p\) є ймовірність успіху, а\(q = 1 - p\), то\[\begin{aligned} E(X_j) & = & 0q + 1p = p\ , \\ E(X_j^2) & = & 0^2q + 1^2p = p\ ,\end{aligned}\] і\[V(X_j) = E(X_j^2) - (E(X_j))^2 = p - p^2 = pq\ .\]

Таким чином, для випробувань Бернуллі, якщо\(S_n = X_1 + X_2 +\cdots+ X_n\) це кількість успіхів\(E(S_n) = np\), то\(V(S_n) = npq\),, і\(D(S_n) = \sqrt{npq}.\) якщо\(A_n = S_n/n\) це середня кількість успіхів, то\(E(A_n) = p\),\(V(A_n) = pq/n\), і\(D(A_n) = \sqrt{pq/n}\). Ми бачимо, що очікувана частка успіхів залишається\(p\) і дисперсія прагне до 0. Це говорить про те, що частотна інтерпретація ймовірності є правильною. Ми зробимо це більш точним у розділі 8.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Давайте\(T\) позначимо кількість випробувань до першого успіху в процесі випробувань Бернуллі. Потім\(T\) розподіляється геометрично. Що таке дисперсія\(T\)?

Відповідь

У прикладі [іспит 5.7] ми побачили, що\[m_T = \pmatrix{1 & 2 & 3 & \cdots \cr p & qp & q^2p & \cdots \cr}.\] в прикладі [іспит 6.8], ми показали, що\[E(T) = 1/p\ .\] Таким чином,\[V(T) = E(T^2) - 1/p^2\ ,\] так що нам потрібно тільки знайти\[\begin{aligned} E(T^2) & = & 1p + 4qp + 9q^2p + \cdots \\ & = & p(1 + 4q + 9q^2 + \cdots )\ .\end{aligned}\] Щоб оцінити цю суму, ми починаємо знову з\[1 + x + x^2 +\cdots= \frac 1{1 - x}\ .\] Диференціювання, ми отримуємо\[1 + 2x + 3x^2 +\cdots= \frac 1{(1 - x)^2}\ .\] Множення на\(x\),\[x + 2x^2 + 3x^3 +\cdots= \frac x{(1 - x)^2}\ .\] Диференціювання знову дає \[1 + 4x + 9x^2 +\cdots= \frac {1 + x}{(1 - x)^3}\ .\]Таким чином,\[E(T^2) = p\frac {1 + q}{(1 - q)^3} = \frac {1 + q}{p^2}\] і\[\begin{aligned} V(T) & = & E(T^2) - (E(T))^2 \\ & = & \frac {1 + q}{p^2} - \frac 1{p^2} = \frac q{p^2}\ .\end{aligned}\]

Наприклад, дисперсія для кількості кидків монети, поки перша голова не з'явиться вгору, є\((1/2)/(1/2)^2 = 2\). Дисперсія для кількості рулонів матриці, поки перші шість не повертаються вгору, становить\((5/6)/(1/6)^2 = 30\). Зверніть увагу, що\(p\) зі зменшенням дисперсія швидко зростає. Це відповідає збільшеному розкиду геометричного розподілу у міру\(p\) зменшення (зазначено на рис. [рис. 5.4]).

Розподіл Пуассона

Так само, як і у випадку з очікуваними значеннями, легко вгадати дисперсію розподілу Пуассона з параметром\(\lambda\). Нагадаємо, що дисперсія біноміального розподілу з параметрами\(n\) і\(p\) дорівнює\(npq\). Нагадаємо також, що розподіл Пуассона може бути отриманий як межа біноміальних розподілів, якщо\(n\) переходить до 0\(\infty\) і\(p\) переходить до 0 таким чином, що їх твір тримається фіксованим на значенні\(\lambda\). У цьому випадку\(npq = \lambda q\) підходи\(\lambda\), так як\(q\) переходить до 1. Отже, з огляду на розподіл Пуассона з параметром\(\lambda\), слід здогадатися, що його дисперсія є\(\lambda\). Читача просять показати це у Вправі\(\PageIndex{29}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Число вибирається випадковим чином з безлічі\(S = \{-1,0,1\}\). \(X\)Дозволяти число вибрано. Знайдіть очікуване значення, дисперсію та стандартне відхилення\(X\).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Випадкова величина\(X\) має розподіл\[p_X = \pmatrix{ 0 & 1 & 2 & 4 \cr 1/3 & 1/3 & 1/6 & 1/6 \cr}\ .\] Знайдіть очікуване значення, дисперсію та стандартне відхилення\(X\).

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Ви робите ставку в 1 долар на номер 17 в Лас-Вегасі, а ваш друг робить ставку в 1 долар на чорне (див. Вправи 1.1.6 і 1.1.7). Нехай\(X\) буде ваш виграш і\(Y\) буде її виграш. Порівняйте\(E(X)\),\(E(Y)\), і\(V(X)\),\(V(Y)\). Що ці обчислення розповідають вам про характер вашого виграшу, якщо ви і ваш друг зробити послідовність ставок, з вами ставки кожен раз на номер і ваш друг ставки на колір?

Вправа\(\PageIndex{4}\)

\(X\)випадкова величина з\(E(X) = 100\) і\(V(X) = 15\). Знайти

1. \(E(X^2)\).
2. \(E(3X + 10)\).
3. \(E(-X)\).
4. \(V(-X)\).
5. \(D(-X)\).

Вправа\(\PageIndex{5}\)

У певному процесі виготовлення температура (за Фаренгейтом) ніколи не змінюється більше, ніж\(2^\circ\) від\(62^\circ\). Температура - це, по суті, випадкова величина\(F\) з розподілом\[P_F = \pmatrix{ 60 & 61 & 62 & 63 & 64 \cr 1/10 & 2/10 & 4/10 & 2/10 & 1/10 \cr}\ .\]

1. Знайти\(E(F)\) і\(V(F)\).
2. Визначте\(T = F - 62\). Знайдіть\(E(T)\) і\(V(T)\), і порівняйте ці відповіді з тими, що знаходяться в частині (а).
3. Прийнято рішення повідомляти про показання температури за шкалою Цельсія, тобто\(C = (5/9)(F - 32)\). Яке очікуване значення та дисперсія для показань зараз?

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Напишіть комп'ютерну програму для обчислення середнього та дисперсії розподілу, який ви вказуєте як дані. Використовуйте програму для порівняння дисперсій для наступних щільностей, обидві мають очікуване значення 0:\[p_X = \pmatrix{ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \cr 3/11 & 2/11 & 1/11 & 2/11 & 3/11 \cr}\ ;\]\[p_Y = \pmatrix{ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \cr 1/11 & 2/11 & 5/11 & 2/11 & 1/11 \cr}\ .\]

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Монету кидають три рази. \(X\)Дозволяти кількість голів, які повертаються вгору. Знайти\(V(X)\) і\(D(X)\).

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Випадкову вибірку з 2400 людей запитують, чи виступають вони за пропозицію уряду щодо розробки нових атомних електростанцій. Якщо 40 відсотків жителів країни виступають за цю пропозицію, знайдіть очікуване значення та стандартне відхилення для\(S_{2400}\) кількості людей у вибірці, які підтримали пропозицію.

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Плашка завантажується так, що ймовірність появи обличчя пропорційна числу на цій грані. Матриця згортається з результатом\(X\). Знайти\(V(X)\) і\(D(X)\).

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Доведіть наступні факти про стандартне відхилення.

1. \(D(X + c) = D(X)\).
2. \(D(cX) = |c|D(X)\).

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Число вибирається випадковим чином з цілих чисел 1, 2, 3,...,\(n\). \(X\)Дозволяти число вибрано. Показати, що\(E(X) = (n + 1)/2\) і\(V(X) = (n - 1)(n + 1)/12\).: Наступний ідентифікатор може бути корисним:\[1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{(n)(n+1)(2n+1)}{6}\ .\]

Вправа\(\PageIndex{12}\)

\(X\)Дозволяти випадкова величина з\(\mu = E(X)\) і\(\sigma^2 = V(X)\). Визначте\(X^* = (X - \mu)/\sigma\). Випадкова величина\(X^*\) називається асоційованою с\(X\). Показати, що ця стандартизована випадкова величина має очікуване значення 0 та дисперсію 1.

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Петро і Павло грають Орел або решка (див. Приклад [іспит 1.3]). Нехай\(W_n\) буде виграш Петра після\(n\) матчів. Покажіть, що\(E(W_n) = 0\) і\(V(W_n) = n\).

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Знайдіть очікуване значення та дисперсію для кількості хлопчиків та кількості дівчат у королівській родині, яка має дітей, поки не з'явиться хлопчик або поки не буде трьох дітей, залежно від того, що настане раніше.

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Припустимо, що у\(n\) людей свої капелюхи повернулися навмання. Нехай,\(X_i = 1\)\(i\) якщо людина отримує свою власну шапку назад і 0 в іншому випадку. Нехай\(S_n = \sum_{i = 1}^n X_i\). Потім\(S_n\) загальна кількість людей, які отримують свої власні капелюхи назад. Покажіть, що

1. \(E(X_i^2) = 1/n\).
2. \(E(X_i \cdot X_j) = 1/n(n - 1)\)для\(i \ne j\).
3. \(E(S_n^2) = 2\)(Використовуючи (а) і (b)).
4. \(V(S_n) = 1\).

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Нехай\(S_n\) буде кількість успіхів в\(n\) самостійних випробуваннях. Використовуйте програму BinomialProbabilities (Розділ [сек 3.2]) для обчислення, для заданого\(n\)\(p\), і\(j\), ймовірності\[P(-j\sqrt{npq} < S_n - np < j\sqrt{npq})\ .\]

1. Нехай\(p = .5\), і обчислити цю ймовірність для\(j = 1\), 2, 3 і\(n = 10\), 30, 50. Зробіть те ж саме для\(p = .2\).
2. Показати, що стандартизована випадкова величина\(S_n^* = (S_n - np)/\sqrt{npq}\) має очікуване значення 0 та дисперсію 1. Що ваші результати з (а) говорять вам про цю стандартизовану кількість\(S_n^*\)?

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Дозвольте\(X\) бути результатом випадкового експерименту з\(E(X) = \mu\) і\(V(X) = \sigma^2\). Коли\(\mu\) і\(\sigma^2\) невідомі, статистик часто оцінює їх, повторюючи\(n\) час експерименту з результатами\(x_1\),,...\(x_2\),\(x_n\),\(\mu\) оцінюючи за середнім вибіркою

\[\bar{x} = \frac 1n \sum_{i = 1}^n x_i\ ,\]a

І\(\sigma^2\) за дисперсією вибірки

\[s^2 = \frac 1n \sum_{i = 1}^n (x_i - \bar x)^2\ .\]

Потім\(s\) йде вибірка стандартного відхилення. Ці формули повинні нагадувати читачеві про визначення теоретичного середнього і дисперсії. (Багато статистиків визначають дисперсію вибірки з коефіцієнтом,\(1/n\) заміненим на\(1/(n-1)\). Якщо використовується це альтернативне визначення, очікуване значення\(s^2\) дорівнює\(\sigma^2\). Див. Вправа [exer 6.2.19], частина (d).)

Напишіть комп'ютерну програму, яка буде котити вмирати\(n\) раз і обчислити середнє значення зразка і дисперсію зразка. Повторіть цей експеримент кілька разів для\(n = 10\) і\(n = 1000\). Наскільки добре середнє значення вибірки та дисперсія вибірки оцінюють справжнє середнє значення 7/2 та дисперсію 35/12?

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Показати, що для середнього зразка\(\bar x\) та дисперсії вибірки,\(s^2\) як визначено у Вправі [exer 6.2.18],

1. \(E(\bar x) = \mu\).
2. \(E\bigl((\bar x - \mu)^2\bigr) = \sigma^2/n\).
3. \(E(s^2) = \frac {n-1}n\sigma^2\).: Для (c) напишіть\[\begin{aligned} \sum_{i = 1}^n (x_i - \bar x)^2 & = & \sum_{i = 1}^n \bigl((x_i - \mu) - (\bar x - \mu)\bigr)^2 \\ & = & \sum_{i = 1}^n (x_i - \mu)^2 - 2(\bar x - \mu) \sum_{i = 1}^n (x_i - \mu) + n(\bar x - \mu)^2 \\ & = & \sum_{i = 1}^n (x_i - \mu)^2 - n(\bar x - \mu)^2,\end{aligned}\] і приймайте очікування обох сторін, використовуючи частину (b), коли це необхідно.
4. Покажіть, що якщо у визначенні\(s^2\) у Вправі [exer 6.2.18] ми замінюємо коефіцієнт\(1/n\) на коефіцієнт\(1/(n-1)\), то\(E(s^2) = \sigma^2\). (Це показує, чому багато статистиків використовують коефіцієнт\(1/(n-1)\). Число\(s^2\) використовується для оцінки невідомої кількості\(\sigma^2\). Якщо оцінювач має середнє значення, яке дорівнює величині, що оцінюється, то оцінювач вважається неупередженим. Таким чином, в заяві\(E(s^2) = \sigma^2\) сказано, що\(s^2\) є неупередженим оцінювачем\(\sigma^2\).)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

\(X\)Дозволяти випадкова величина, приймаючи значення\(a_1\)\(a_2\),,...,\(a_r\) з ймовірностями\(p_1\)\(p_2\),,...,\(p_r\) і с\(E(X) = \mu\). Визначте спред\(X\) наступним чином:\[\bar\sigma = \sum_{i = 1}^r |a_i - \mu|p_i\ .\] Це, як і стандартне відхилення, є способом кількісної оцінки суми, яку випадкова величина розподіляється навколо свого середнього. Нагадаємо, що дисперсія суми взаємно незалежних випадкових величин - це сума окремих дисперсій. Квадрат розвороту відповідає дисперсії таким чином, як відповідність між спредом і стандартним відхиленням. Покажіть на прикладі, що не обов'язково вірно, що квадрат розкиду суми двох незалежних випадкових величин є сумою квадратів окремих розворотів.

Вправа\(\PageIndex{20}\)

У нас є два прилади, які вимірюють відстань між двома точками. Вимірювання, дані двома приладами, є випадковими величинами\(X_1\) і\(X_2\) які не залежать\(\mu\) від\(E(X_1) = E(X_2) = \mu\), де справжня відстань. З досвіду роботи з цими інструментами ми знаємо значення дисперсій\(\sigma_1^2\) і\(\sigma_2^2\). Ці відхилення не обов'язково однакові. З двох вимірів оцінюємо\(\mu\) за середньозваженим\(\bar \mu = wX_1 + (1 - w)X_2\). Тут\(w\) вибирається в\([0,1]\), щоб мінімізувати дисперсію\(\bar \mu\).

1. Що таке\(E(\bar \mu)\)?
2. Як\(w\) слід вибрати в,\([0,1]\) щоб мінімізувати дисперсію\(\bar \mu\)?

Вправа\(\PageIndex{21}\)

\(X\)Дозволяти випадкова величина з\(E(X) = \mu\) і\(V(X) = \sigma^2\). Показати, що функція,\(f(x)\) визначена,\[f(x) = \sum_\omega (X(\omega) - x)^2 p(\omega)\] має своє мінімальне значення, коли\(x = \mu\).

Вправа\(\PageIndex{22}\)

\(Y\)Дозволяти\(X\) і бути дві випадкові величини, визначені на скінченному просторі вибірки\(\Omega\). Припустимо\(X\)\(Y\), що\(X + Y\),, і\(X - Y\) всі мають однаковий розподіл. Доведіть, що\(P(X = Y = 0) = 1\).

Вправа\(\PageIndex{23}\)

Якщо\(X\) і\(Y\) є будь-якими двома випадковими величинами, то \(Y\)коваріація\(X\) і визначається Cov\((X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))\). Зверніть увагу, що Cov\((X,X) = V(X)\). Покажіть, що, якщо\(X\) і\(Y\) є незалежними, то Cov\((X,Y) = 0\); і показати, на прикладі, що ми можемо мати Cov\((X,Y) = 0\)\(X\) і\(Y\) не незалежні.

Вправа\(\PageIndex{24}\)

Професор бажає скласти істинно-помилковий іспит з\(n\) питаннями. Вона передбачає, що може спроектувати завдання таким чином, що учень\(j\) відповість на проблему правильно з ймовірністю\(p_j\), і що відповіді на різні проблеми можна вважати самостійними експериментами. Нехай\(S_n\) буде кількість проблем, які студент отримає правильно. Професор бажає вибирати\(p_j\) так, щоб\(E(S_n) = .7n\) і так, щоб\(S_n\) дисперсія була якомога більшою. Покажіть, що для досягнення цього вона повинна вибирати\(p_j = .7\) для всіх\(j\); тобто вона повинна змусити всі проблеми мати однакові труднощі.

Вправа\(\PageIndex{25}\)

(Ламперті ²⁰) Урна містить рівно 5000 куль, з яких невідоме число\(X\) білого кольору, а решта червоне, де\(X\) - випадкова величина з розподілом ймовірностей на цілі числа 0, 1, 2,..., 5000.

1. Припустимо, ми це знаємо\(E(X) = \mu\). Покажіть, що цього достатньо, щоб дозволити обчислити ймовірність того, що кулька, витягнутий навмання з урни, буде білим. Що це за ймовірність?
2. Малюємо кульку з урни, оглядаємо його колір, замінюємо його, а потім малюємо інший. За яких умов, якщо такі є, результати двох креслень незалежні; тобто робить\[P(white,white) = P(white)^2 ?\]
3. Припустимо, дисперсія\(X\) є\(\sigma^2\). Яка ймовірність малювання двох білих кульок в частині (б)?

Вправа\(\PageIndex{26}\)

Для послідовності випробувань Бернуллі, нехай\(X_1\) буде кількість випробувань до першого успіху. Бо\(j \geq 2\), нехай\(X_j\) буде кількість випробувань після\((j - 1)\) першого успіху до успіху.\(j\) Можна показати\(X_1\), що,\(X_2\),... це самостійний судовий процес.

1. Для чого потрібен загальний розподіл, очікуване значення та дисперсія\(X_j\)?
2. Нехай\(T_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n\). Тоді\(T_n\) настає час до\(n\) успіху. Знайти\(E(T_n)\) і\(V(T_n)\).
3. Використовуйте результати (b), щоб знайти очікуване значення та дисперсію для кількості кидків\(n\) монети до появи голови.

Вправа\(\PageIndex{27}\)

Посилаючись на Вправа 6.1.30, знайдіть дисперсію для кількості куплених коробок пшениці, перш ніж отримати половину фотографій гравців, і дисперсію для кількості додаткових коробок, необхідних для отримання другої половини фотографій гравців.

Вправа\(\PageIndex{28}\)

У прикладі 5.1.3 припустимо, що книга, про яку йде мова, має 1000 сторінок. \(X\)Дозволяти кількість сторінок без помилок. Покажіть, що\(E(X) = 905\) і\(V(X) = 86\). Використовуючи ці результати, покажіть,\({} \leq .05\) що ймовірність полягає в тому, що буде більше 924 сторінок без помилок або менше 866 сторінок без помилок.

Вправа\(\PageIndex{29}\)

\(X\)Дозволяти Пуассона розподілений з параметром\(\lambda\). Показати, що\(V(X) = \lambda\) .'6.2'});