5.2: Важливі щільності
- Page ID
- 98261
У цьому розділі ми познайомимо з деякими важливими функціями щільності ймовірностей і наведемо кілька прикладів їх використання. Також ми розглянемо питання про те, як за допомогою комп'ютера імітувати задану щільність.
Безперервна рівномірна щільність
Найпростіша функція щільності відповідає випадковій величині, значення\(U\) якої представляє результат експерименту, що складається з вибору дійсного числа випадковим чином з інтервалу\([a, b]\). \[f(\omega) = \left \{ \matrix{ 1/(b - a), &\,\,\, \mbox{if}\,\,\, a \leq \omega \leq b, \cr 0, &\,\,\, \mbox{otherwise.}\cr}\right.\]
Змоделювати цю щільність на комп'ютері нескладно. Просто обчислюємо вираз\[(b - a) rnd + a\ .\]
Експоненціальна та гамма-щільність
Функція експоненціальної щільності визначається
\[f(x) = \left \{ \matrix{ \lambda e^{-\lambda x}, &\,\,\, \mbox{if}\,\,\, 0 \leq x < \infty, \cr 0, &\,\,\, \mbox{otherwise}. \cr} \right.\]
Тут\(\lambda\) присутня будь-яка позитивна константа, в залежності від експерименту. Читач побачив цю щільність у прикладі 2.2.11. На малюнку 5.6 ми показуємо графіки декількох експоненціальних щільностей для різних варіантів\(\lambda\). Експоненціальна щільність часто використовується для опису експериментів, пов'язаних із питанням форми: Як довго, поки щось не станеться? Наприклад, експоненціальна щільність часто використовується для вивчення часу між викидами частинок з радіоактивного джерела.
Функцію кумулятивного розподілу експоненціальної щільності легко обчислити. \(T\)Дозволяти експоненціально розподілена випадкова величина з параметром\(\lambda\). Якщо\(x \ge 0\), то у нас є
\[\begin{aligned} F(x) & = & P(T \le x) \\ & = & \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\,dt \\ & = & 1 - e^{-\lambda x}\ .\\\end{aligned}\]
Як експоненціальна щільність, так і геометричний розподіл поділяють властивість, відому як властивість «без пам'яті». Ця властивість була введена в прикладі 5.1.1; він говорить, що\[P(T > r + s\,|\,T > r) = P(T > s)\ .\] це може бути продемонстровано для експоненціальної щільності шляхом обчислення обох сторін цього рівняння. Права сторона - це якраз в\[1 - F(s) = e^{-\lambda s}\ ,\] той час як ліва сторона
\[\begin{align} {\frac{P(T > r + s)}{P(T > r)}} & = & {\frac{1 - F(r + s)}{1 - F(r)}} & = & {\frac{e^{-\lambda (r+s)}}{e^{-\lambda r}}} \\ & = & e^{-\lambda s}\end{align}\]
Існує дуже важлива залежність між експоненціальною щільністю і розподілом Пуассона. Почнемо з визначення\(X_1,\ X_2,\ \ldots\) послідовності незалежних експоненціально розподілених випадкових величин з параметром\(\lambda\). Ми можемо подумати про те\(X_i\), що позначає кількість часу між\(i\) го і\((i+1)\) st викидами частинки радіоактивним джерелом. (Як ми побачимо в розділі 6, ми можемо думати про параметр\(\lambda\) як представлення взаємної середньої тривалості часу між викидами. Цей параметр є величиною, яка може бути виміряна в реальному експерименті такого типу.)
Тепер ми розглянемо часовий інтервал довжини\(t\), і\(Y\) позначимо випадкову величину, яка підраховує кількість викидів, що відбуваються в часовому інтервалі. Ми хотіли б обчислити функцію розподілу\(Y\) (зрозуміло,\(Y\) це дискретна випадкова величина). Якщо ми\(S_n\) дозволимо позначити суму\(X_1 + X_2 + \cdots + X_n\), то легко побачити, що\[P(Y = n) = P(S_n \le t\ \mbox{and}\ S_{n+1} > t)\ .\] Оскільки подія\(S_{n+1} \le t\) є підмножиною події\(S_n \le t\), вище ймовірність вважається рівною
\[P(S_n \le t) - P(S_{n+1} \le t)\ .\label{eq 5.8}\]
Ми покажемо в главі 7, що щільність\(S_n\) задається за такою формулою:\[g_n(x) = \left \{ \begin{array}{ll} \lambda{ \frac{(\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}}e^{-\lambda x}, & \mbox{if $x > 0$,} \\ 0, & \mbox{otherwise.} \end{array} \right.\] Ця щільність є прикладом гамма-щільності з параметрами\(\lambda\) і\(n\). Загальна гамма-щільність\(n\) дозволяє бути будь-яким додатним дійсним числом. Ми не будемо обговорювати цю загальну щільність.
Індукцією легко показати\(n\), що кумулятивна функція розподілу\(S_n\) задається:
\[G_n(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 - e^{-\lambda x}\bigg(1+\frac{\lambda x}{1!} + \cdots + \frac{(\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}\bigg), & \text{if } x > 0, \\ 0, & \mbox{otherwise.} \end{array} \right.\]
Використовуючи цей вираз, кількість в ([eq 5.8]) легко обчислити; отримуємо\[e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!} ,\]
яку читач визнає як ймовірність того, що розподілена Пуассоном випадкова величина\(\lambda t\), з параметром, приймає значення\(n\).
Вищевказане співвідношення дозволить нам імітувати розподіл Пуассона, як тільки ми знайдемо спосіб імітувати експоненціальну щільність. Наступна випадкова величина виконує цю роботу:
\[Y = -{1\over\lambda} \log(rnd)\ .\label{eq 5.9}\]
Використовуючи Corollary 5.2 (нижче), можна вивести вищевказаний вираз (див. Вправа 5.2.3). Ми поки що задовольняємося коротким розрахунком, який повинен переконати читача, що випадкова величина\(Y\) має необхідну властивість. У нас є
\[\begin{aligned} P(Y \le y) & = & P\Bigl(-{1\over\lambda} \log(rnd) \le y\Bigr) \\ & = & P(\log(rnd) \ge -\lambda y) \\ & = & P(rnd \ge e^{-\lambda y}) \\ & = & 1 - e^{-\lambda y}\ . \\\end{aligned}\]
Цей останній вираз розглядається як кумулятивна функція розподілу експоненціально розподіленої випадкової величини з параметром\(\lambda\).
Щоб імітувати випадкову величину Пуассона\(W\) з параметром\(\lambda\), ми просто генеруємо послідовність значень експоненціально розподіленої випадкової величини з тим же параметром, і відстежуємо проміжні підсумки\(S_k\) цих значень. Ми припиняємо генерувати послідовність, коли проміжний підсумок першим перевищує\(\lambda\). Припустимо, що ми знаходимо, що\[S_n \le \lambda < S_{n+1}\ .\] Тоді значення\(n\) повертається як змодельоване значення для\(W\).
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Припустимо, що клієнти прибувають у випадковий час на СТО з одним сервером, і припустимо, що кожен клієнт обслуговується негайно, якщо його ніхто не випереджає, але повинен чекати своєї черги в черзі інакше. Як довго чекати кожен клієнт? (Час очікування клієнта ми визначаємо як проміжок часу між часом, коли він прибуває, і часом, коли він починає обслуговуватися.)
- Відповідь
-
Припустимо, що час міжприбуття між послідовними клієнтами задається випадковими величинами\(X_1\),\(X_2\),...,\(X_n\) які є взаємно незалежними та однаково розподіленими з експоненціальною функцією кумулятивного розподілу, заданої\[F_X(t) = 1 - e^{-\lambda t}.\] Давайте також припустимо, що сервіс часи для послідовних клієнтів задаються випадковими величинами\(Y_1\),,...\(Y_2\),\(Y_n\) які знову є взаємно незалежними та однаково розподіленими з іншою експоненціальною функцією кумулятивного розподілу, заданої\[F_Y(t) = 1 - e^{-\mu t}.\]
Параметри\(\lambda\) і\(\mu\) представляють, відповідно, взаємні середні терміни між заїздом клієнтів і середнім часом обслуговування клієнтів. Так, наприклад, чим більше значення\(\lambda\), тим менше середній час між заїздами клієнтів. Можна здогадатися, що тривалість часу, який клієнт проведе в черзі, залежить від відносних розмірів середнього часу прибуття та середнього часу обслуговування.
Перевірити цю здогаду легко шляхом моделювання. Програма Queue імітує цей процес черги. \(N(t)\)Дозволяти кількість клієнтів в черзі на час\(t\). Потім будуємо\(N(t)\) як функцію\(t\) для різних варіантів параметрів\(\lambda\) і\(\mu\) (див. Рис. [рис. 5.17]).
Відзначимо\(\lambda < \mu\), що коли\(1/\lambda > 1/\mu\), значить, середній час міжприбуття більше середнього часу обслуговування, тобто клієнти обслуговуються швидше, в середньому, ніж надходять нові. Таким чином, в даному випадку розумно очікувати, що\(N(t)\) залишається невеликим. Однак якщо\(\lambda > \mu\) потім клієнти прибувають швидше, ніж їх обслуговують, і, як і очікувалося\(N(t)\), зростає без обмежень.
Тепер ми можемо запитати: як довго клієнту доведеться чекати в черзі на обслуговування? Щоб вивчити це питання, ми залишаємо\(W_i\) час, який клієнт повинен залишитися в системі (очікування в черзі і обслуговується).\(i\) Потім ми можемо представити ці дані в гістограмі, використовуючи програму Queue, щоб дати деяке уявлення про те, як\(W_i\) розподіляються (див. Рис. [рис. 5.18]). (Тут\(\lambda = 1\) і\(\mu = 1.1\).)
Ми бачимо, що ці години очікування, здається, розподіляються експоненціально. Це завжди так, коли\(\lambda < \mu\). Доказ цього факту занадто складний, щоб дати тут, але ми можемо перевірити це шляхом моделювання для різних варіантів\(\lambda\) і\(\mu\), як зазначено вище.
Функції випадкової величини
Перш ніж продовжити наш список важливих щільностей, ми робимо паузу, щоб розглянути випадкові величини, які є функціями інших випадкових величин. Доведемо загальну теорему, яка дозволить нам вивести такі вирази, як Equation [eq 5.9].
Теорема\(\PageIndex{1}\)
\(X\)Дозволяти бути безперервна випадкова величина, і припустимо, що\(\phi(x)\) це строго зростаюча функція на діапазоні\(X\). Визначте\(Y = \phi(X)\). Припустимо, що\(X\) і\(Y\) мають кумулятивні функції розподілу\(F_X\) і\(F_Y\) відповідно. Тоді ці функції пов'язані\[F_Y(y) = F_X(\phi^{-1}(y)).\] якщо\(\phi(x)\) строго зменшується на діапазоні\(X\), то\[F_Y(y) = 1 - F_X(\phi^{-1}(y))\ .\]
- Доказ
-
Так як\(\phi\) є строго зростаюча функція на діапазон\(X\), події\((X \le \phi^{-1}(y))\) і\((\phi(X) \le y)\) рівні. Таким чином, ми маємо\[\begin{aligned} F_Y(y) & = & P(Y \le y) \\ & = & P(\phi(X) \le y) \\ & = & P(X \le \phi^{-1}(y)) \\ & = & F_X(\phi^{-1}(y))\ . \\\end{aligned}\]
Якщо\(\phi(x)\) строго зменшується по діапазону\(X\), то у нас є\[\begin{aligned} F_Y(y) & = & P(Y \leq y) \\ & = & P(\phi(X) \leq y) \\ & = & P(X \geq \phi^{-1}(y)) \\ & = & 1 - P(X < \phi^{-1}(y)) \\ & = & 1 - F_X(\phi^{-1}(y))\ . \\\end{aligned}\] Це доказ завершує.
Слідство\(\PageIndex{1}\)
\(X\)Дозволяти бути безперервна випадкова величина, і припустимо, що\(\phi(x)\) це строго зростаюча функція на діапазоні\(X\). Визначте\(Y = \phi(X)\). Припустимо, що функції щільності\(X\) і\(Y\) є\(f_X\) і\(f_Y\), відповідно. Тоді ці функції пов'язані між собою
\[f_Y(y) = f_X ( \phi^{-1}(y)){\frac{d}{dy}}\phi^{-1}(y) \]
Якщо\(\phi(x)\) строго зменшується по дальності\(X\), то\[f_Y(y) = -f_X(\phi^{-1}(y)){\frac{d }{dy}}\phi^{-1}(y) \]
- Доказ
-
Цей результат випливає з теореми 5.1.1 за допомогою правила ланцюга.
Якщо функція ні\(\phi\) строго збільшується, ні строго знижується, то ситуація дещо складніше, але може лікуватися тими ж методами. Наприклад, припустимо\(Y = X^2\), що, Тоді\(\phi(x) = x^2\), і\[\begin{aligned} F_Y(y) & = & P(Y \leq y) \\ & = & P(-\sqrt y \leq X \leq +\sqrt y) \\ & = & P(X \leq +\sqrt y) - P(X \leq -\sqrt y) \\ & = & F_X(\sqrt y) - F_X(-\sqrt y)\ .\\\end{aligned}\] більш того,\[\begin{aligned} f_Y(y) & = & \frac d{dy} F_Y(y) \\ & = & \frac d{dy} (F_X(\sqrt y) - F_X(-\sqrt y)) \\ & = & \Bigl(f_X(\sqrt y) + f_X(-\sqrt y)\Bigr) \frac 1{2\sqrt y}\ . \\\end{aligned}\]
Ми бачимо, що для того, щоб висловити\(F_Y\) з точки зору\(F_X\) коли\(Y = \phi(X)\), ми повинні висловити з\(P(Y \leq y)\) точки зору\(P(X \leq x)\), і цей процес буде залежати в цілому від структури\(\phi\).
Симуляція
Теорема 5.1.1 розповідає нам, серед іншого, про те, як моделювати на комп'ютері випадкову величину\(Y\) з заданою функцією кумулятивного розподілу\(F\). Ми припускаємо,\(F(y)\) що строго збільшується для тих значень\(y\) де\(0 < F(y) < 1\). Для цього, нехай\(U\) буде випадкова величина, яка рівномірно розподіляється на\([0, 1]\). Потім\(U\) має кумулятивну функцію розподілу\(F_U(u) = u\). Тепер, якщо\(F\) прописана функція кумулятивного розподілу для\(Y\), то для написання\(Y\) термінами\(U\) ми спочатку вирішимо рівняння\[F(y) = u\] для\(y\) термінами\(u\). Отримуємо\(y = F^{-1}(u)\). Зауважте, що оскільки\(F\) є зростаючою функцією, це рівняння завжди має унікальне рішення (див. Рис. Потім встановлюємо\(Z = F^{-1}(U)\) і отримуємо, за теоремою 5.1.1,
\[F_Z(y) = F_U(F(y)) = F(y)\ ,\]
так як\(F_U(u) = u\). Тому\(Z\) і\(Y\) мають однакову кумулятивну функцію розподілу. Підводячи підсумки, маємо наступне.
Слідство\(\PageIndex{2}\)
Якщо\(F(y)\) є заданою кумулятивною функцією розподілу, яка строго збільшується, коли\(0 < F(y) < 1\) і якщо\(U\) є випадковою величиною з рівномірним розподілом на\([0,1]\), то\[Y = F^{-1}(U)\] має кумулятивний розподіл\(F(y)\)
Таким чином, для моделювання випадкової величини з заданим кумулятивним розподілом\(F\) нам потрібно лише набір\(Y = F^{-1}(\mbox{rnd})\).
Нормальна щільність
Тепер ми підійшли до найважливішої функції щільності, нормальної функції щільності. У главі 3 ми бачили, що біноміальні функції розподілу мають дзвоноподібну форму, навіть для середніх значень розміру\(n\). Нагадаємо, що біноміально розподілена випадкова величина з параметрами\(n\) і\(p\) може вважатися сумою\(n\) взаємно незалежних 0-1 випадкових величин. Дуже важлива теорема в теорії ймовірностей, звана Центральною граничною теоремою, стверджує, що при дуже загальних умовах, якщо підсумувати велику кількість взаємно незалежних випадкових величин, то розподіл суми може бути тісно наближений певною питомою безперервною щільністю, званої нормальною щільність. Ця теорема буде розглянута в главі 9.
Функція нормальної щільності з параметрами\(\mu\) і\(\sigma\) визначається наступним чином:
\[f_X(x) = \frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(x - \mu)^2/2\sigma^2}\ .\]
Параметр\(\mu\) представляє «центр» щільності (а в главі 6 ми покажемо, що це середнє, або очікуване, значення щільності). Параметр\(\sigma\) є мірою «розкиду» щільності, і таким чином він приймається позитивним. (У розділі 6 ми покажемо, що\(\sigma\) це стандартне відхилення щільності.) Відзначимо, що зовсім не очевидно, що вищевказана функція є щільністю, тобто, що її інтеграл над реальною лінією дорівнює 1. Функція кумулятивного розподілу задається формулою
\[F_X(x) = \int_{-\infty}^x \frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(u - \mu)^2/2\sigma^2}\,du\ .\]
На малюнку 5.10 ми включили для порівняння графік нормальної щільності для випадків\(\mu = 0\) і\(\sigma = 1\),\(\mu = 0\) і\(\sigma = 2\).
Не можна писати з\(F_X\) точки зору простих функцій. Це призводить до кількох проблем. Перш за все, значення\(F_X\) повинні бути обчислені за допомогою числового інтегрування. Існують великі таблиці, що містять значення цієї функції (див. Додаток А). По-друге, ми не можемо писати\(F^{-1}_X\) в закритому вигляді, тому ми не можемо використовувати Corollary,\(\PageIndex{2}\) щоб допомогти нам імітувати нормальну випадкову величину. З цієї причини розроблені спеціальні методи моделювання нормального розподілу. Один з таких методів спирається на те, що якщо\(U\) і\(V\) є незалежними випадковими величинами з рівномірною щільністю на\([0,1]\), то випадкові величини\[X = \sqrt{-2\log U} \cos 2\pi V\] і\[Y = \sqrt{-2\log U} \sin 2\pi V\] є незалежними, і мають нормальні функції щільності з параметрами\(\mu = 0\) і\(\sigma = 1\). (Це не очевидно, і ми не доведемо цього тут. Див. Коробка та Мюллер. 9)
\(Z\)Дозволяти нормальна випадкова величина з параметрами\(\mu = 0\) і\(\sigma = 1\). Звичайна випадкова величина з цими параметрами вважається нормальною випадковою величиною. Важливим і корисним фактом є те, що якщо ми пишемо\[X = \sigma Z + \mu\ ,\]\(X\) то нормальна випадкова величина з параметрами\(\mu\) і\(\sigma\). Щоб показати це, ми будемо використовувати теорему 5.1.1. У нас є\(\phi(z) = \sigma z + \mu\)\(\phi^{-1}(x) = (x - \mu)/\sigma\), і
\[\begin{aligned} F_X(x) & = & F_Z\left(\frac {x - \mu}\sigma \right), \\ f_X(x) & = & f_Z\left(\frac {x - \mu}\sigma \right) \cdot \frac 1\sigma \\ & = & \frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(x - \mu)^2/2\sigma^2}\ . \\\end{aligned}\]
Читач зауважить, що це останній вираз є функцією щільності з параметрами\(\mu\) і\(\sigma\), як стверджується.
Вище ми бачили, що можна імітувати стандартну нормальну випадкову величину\(Z\). Якщо ми хочемо змоделювати нормальну випадкову\(X\) величину з параметрами\(\mu\) і\(\sigma\), то нам потрібно лише перетворити змодельовані значення для\(Z\) використання рівняння\(X = \sigma Z + \mu\).
Припустимо, що ми хочемо обчислити значення кумулятивної функції розподілу для нормальної випадкової величини\(X\), з параметрами\(\mu\) і\(\sigma\). Ми можемо звести цей розрахунок до одного, що стосується стандартної нормальної випадкової\(Z\) величини наступним чином:
\[\begin{aligned} F_X(x) & = & P(X \leq x) \\ & = & P\left(Z \leq \frac {x - \mu}\sigma \right) \\ & = & F_Z\left(\frac {x - \mu}\sigma \right)\ . \\\end{aligned}\]
Цей останній вираз можна знайти в таблиці значень кумулятивної функції розподілу для стандартної нормальної випадкової величини. Таким чином, ми бачимо, що непотрібно робити таблиці нормальних функцій розподілу з довільними\(\mu\) і\(\sigma\).
Процес зміни нормальної випадкової величини на стандартну нормальну випадкову величину відомий як стандартизація. Якщо\(X\) має нормальний розподіл з параметрами,\(\mu\)\(\sigma\) і якщо\[Z = \frac{X - \mu}\sigma\ ,\] тоді\(Z\) вважається стандартизованою версією\(X\).
Наступний приклад показує, як ми використовуємо стандартизовану версію звичайної випадкової величини\(X\) для обчислення конкретних ймовірностей, що стосуються\(X\).
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Припустимо, що\(X\) це нормально розподілена випадкова величина з параметрами\(\mu = 10\) і\(\sigma = 3\). Знайдіть ймовірність, що\(X\) знаходиться між 4 і 16.
- Відповідь
-
Для вирішення цієї проблеми відзначимо, що\(Z = (X-10)/3\) є стандартизованою версією\(X\). Отже, у нас є\[\begin{aligned} P(4 \le X \le 16) & = & P(X \le 16) - P(X \le 4) \\ & = & F_X(16) - F_X(4) \\ & = & F_Z\left(\frac {16 - 10}3 \right) - F_Z\left(\frac {4-10}3 \right) \\ & = & F_Z(2) - F_Z(-2)\ . \\\end{aligned}\] Цей останній вираз можна оцінити за допомогою табличних значень стандартної функції нормального розподілу (див. [app_a]); коли ми використовуємо цю таблицю, ми знаходимо, що\(F_Z(2) = .9772\) і\(F_Z(-2) = .0228\). Таким чином, відповідь - .9544.
У розділі 6 ми побачимо, що параметр\(\mu\) є середнім або середнім значенням випадкової величини\(X\). Параметр\(\sigma\) є мірою розкиду випадкової величини, і називається стандартним відхиленням. Таким чином, питання, поставлене в даному прикладі, має типовий тип, а саме, яка ймовірність того, що випадкова величина має значення в межах двох стандартних відхилень від свого середнього значення.
Щільність Максвелла та Релея
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Припустимо, що ми кидаємо дротик на велику стільницю, яку ми розглядаємо як\(x\)\(y\) -площину, і припустимо, що\(y\) координати\(x\) і точки дротика незалежні і мають нормальний розподіл з параметрами\(\mu = 0\) і\(\sigma = 1\). Як розподіляється відстань точки від початку?
- Відповідь
-
Ця проблема виникає в фізиці, коли передбачається, що рухома частинка в\(R^n\) має складові швидкості, які взаємно незалежні і нормально розподілені і бажано знайти щільність швидкості частинки. Щільність в корпусі\(n = 3\) називається щільністю Максвелла.
Щільність у випадку\(n = 2\) (тобто експеримент з дротиком, описаний вище) називається щільністю Релея. Ми можемо змоделювати цей випадок, вибираючи самостійно пару координат\((x,y)\), кожна з нормального розподілу з\(\mu = 0\) і\(\sigma = 1\) далі\((-\infty,\infty)\), обчислюючи відстань\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) точки\((x,y)\) від початку, повторюючи цей процес велику кількість разів, а потім представляючи результати в гістограмі. Результати наведені на малюнку 5.2.11
Ми також побудували теоретичну щільність\[f(r) = re^{-r^2/2}\ .\] Це буде виведено в розділі 7; див. Приклад 7.2.5
Щільність Chi в квадраті
Повертаємося до проблеми незалежності ознак, розглянутої в прикладі 5.1.6. Часто трапляється, що у нас є дві риси, кожна з яких має кілька різних значень. Як було видно на прикладі, досить великий розрахунок знадобився навіть у випадку двох значень для кожної ознаки. Ми зараз наведемо ще один метод перевірки незалежності ознак, який передбачає набагато менший розрахунок.
Приклад\(\PageIndex{2}\):
Припустимо, що у нас є дані, наведені в таблиці 5.2.8 щодо оцінок та статі учнів у класі обчислення.
| Жіноча |
Чоловічий |
||
|---|---|---|---|
| A |
37 |
56 |
93 |
| Б |
63 |
60 |
123 |
| C |
47 |
43 |
90 |
| Нижче C |
5 |
8 |
13 |
|
152 |
167 |
319 |
Ми можемо використовувати таку ж модель в цій ситуації, як було використано в прикладі 5.1.6. Ми уявляємо, що у нас урна з 319 кульками двох кольорів, скажімо синього і червоного, відповідних самкам і самцям відповідно. Тепер витягуємо 93 кульки, без заміни, з урни. Ці кульки відповідають класу А. Ми продовжуємо малювати 123 кульки, які відповідають класу Б. Коли ми закінчимо, у нас є чотири набори куль, причому кожен м'яч належить рівно одному набору. (Ми могли б передбачити, що кулі були чотирьох кольорів, що відповідають чотирьом можливим сортам. У цьому випадку ми б намалювали підмножину розміром 152, яка відповідала б самкам. Кулі, що залишилися в урні, відповідали б самцям. Вибір не впливає на остаточне визначення того, чи варто відкидати гіпотезу про незалежність рис.)
Очікуваний набір даних можна визначити точно так само, як у прикладі 5.1.6. Якщо ми це зробимо, то отримаємо очікувані значення, наведені в таблиці 5.2.9.
| Жіноча |
Чоловічий |
||
|---|---|---|---|
| A |
44.3 |
48.7 |
93 |
| Б |
58.6 |
64.4 |
123 |
| C |
42.9 |
47.1 |
90 |
| Нижче C |
6.2 |
6.8 |
13 |
| 152 | 167 |
319 |
Навіть якщо риси незалежні, ми все одно очікуємо побачити деякі відмінності між числами у відповідних полах у двох таблицях. Однак, якщо відмінності великі, то ми можемо підозрювати, що ці дві риси не є незалежними. У прикладі 5.1.6 ми використовували розподіл ймовірностей різних можливих наборів даних для обчислення ймовірності знаходження набору даних, який відрізняється від очікуваного набору даних принаймні на стільки ж, скільки це робить фактичний набір даних. Ми могли б зробити те ж саме в цьому випадку, але кількість обчислень величезна.
Замість цього ми опишемо одне число, яке добре справляється з вимірюванням того, наскільки даний набір даних знаходиться від очікуваного. Щоб кількісно оцінити, наскільки далеко один від одного два набори чисел, ми могли б підсумувати квадрати відмінностей відповідних чисел. (Ми також могли б підсумувати абсолютні значення різниць, але ми не хотіли б підсумувати відмінності.) Припустимо, що у нас є дані, в яких ми очікуємо побачити 10 об'єктів певного типу, але замість цього ми бачимо 18, тоді як в іншому випадку ми очікуємо побачити 50 об'єктів певного типу, але замість цього ми бачимо 58. Незважаючи на те, що дві відмінності приблизно однакові, перша різниця більш дивовижна, ніж друга, оскільки очікувана кількість результатів у другому випадку зовсім трохи більше очікуваного числа в першому випадку. Один із способів виправити це - розділити окремі квадрати відмінностей на очікуване число для цього поля. Таким чином, якщо ми позначимо значення у восьми коробках у першій таблиці за\(O_i\) (для спостережуваних значень) та значення у восьми коробках у другій таблиці\(E_i\) (для очікуваних значень), то наступний вираз може бути розумним для вимірювання того, наскільки далеко спостерігаються дані від того, що є expected:\[\sum_{i = 1}^8 \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\ .\] Цей вираз є випадковою величиною, яку зазвичай позначають символом\(\chi^2\), вимовляється «ki-squared». Це називається так тому, що, за припущенням незалежності двох ознак, щільність цієї випадкової величини може бути обчислена і приблизно дорівнює щільності, яка називається хи-квадрат щільності. Ми вирішили не давати явний вираз для цієї щільності, оскільки воно передбачає гамма-функцію, про яку ми не обговорювали. Щільність хі-квадрата - це, по суті, особливий випадок загальної густини гами.
При застосуванні хи-квадратної щільності використовуються таблиці значень цієї щільності, як і у випадку з нормальною щільністю. Щільність хі-квадрата має один параметр\(n\), який називається числом ступенів свободи. Число\(n\) зазвичай легко визначити з наявної проблеми. Наприклад, якщо ми перевіряємо дві риси на незалежність, а дві ознаки мають\(a\) і\(b\) значення відповідно, то число ступенів свободи випадкової величини\(\chi^2\) дорівнює\((a-1)(b-1)\). Отже, в поданому прикладі кількість ступенів свободи дорівнює 3.
Нагадаємо, що в даному прикладі ми намагаємося перевірити на незалежність двох ознак статі і сортів. Якщо припустити, що ці риси є незалежними, то наведена вище модель кулі та урни дає нам спосіб імітувати експеримент. За допомогою комп'ютера ми провели 1000 експериментів, і для кожного з них ми обчислили значення випадкової величини\(\chi^2\). Результати наведені на малюнку [рис. 5.14.5] разом з функцією щільності в хі-квадраті з трьома ступенями свободи.
Як ми вже заявляли вище, якщо значення випадкової величини\(\chi^2\) велике, то ми схильні не вірити, що ці дві риси є незалежними. Але наскільки великий великий? Фактичне значення цієї випадкової величини для даних вище дорівнює 4.13. На малюнку [рис. 5.14.5] ми показали щільність хі-квадрата з 3 ступенями свободи. Видно, що значення 4.13 більше, ніж більшість значень, прийнятих цією випадковою величиною.
Як правило, статистик обчислює значення\(v\) випадкової величини, так само\(\chi^2\), як ми це зробили. Потім, дивлячись в таблицю значень хи-квадратної щільності,\(v_0\) визначається значення, яке перевищило лише 5% часу. Якщо\(v \ge v_0\), статистик відкидає гіпотезу про те, що дві риси є незалежними. У даному випадку ми б не відкидали гіпотезу про те, що ці дві риси є незалежними.\(v_0 = 7.815\)
Щільність Коші
Наступний приклад - від Феллера. 10
Приклад\(\PageIndex{3}\):
Припустимо, що дзеркало встановлено на вертикальній осі і вільно обертається навколо цієї осі. Вісь дзеркала знаходиться в 1 футі від прямої стіни нескінченної довжини. На дзеркало показаний імпульс світла, а відбитий промінь б'є об стіну. \(\phi\)Дозволяти кут між відбитим променем і лінією, яка перпендикулярна до стіни і яка проходить через вісь дзеркала. Припускаємо,\(\phi\) що рівномірно розподіляється між\(-\pi/2\) і\(\pi/2\). \(X\)Дозволяти представляти відстань між точкою на стіні, яка потрапляє під відбитого променя і точкою на стіні, яка знаходиться найближче до осі дзеркала. Тепер визначимо щільність\(X\).
\(B\)Дозволяти бути фіксованою позитивною величиною. Тоді\(X \ge B\) якщо і тільки тоді\(\tan(\phi) \ge B\), що відбувається якщо і тільки якщо\(\phi \ge \arctan(B)\). Це відбувається з ймовірністю\[\frac{\pi/2 - \arctan(B)}{\pi}\ .\] Таким чином\(B\), для позитивних функція розподілу\(X\) є\[F(B) = 1 - \frac{\pi/2 - \arctan(B)}{\pi}\ .\] Отже, функція щільності для позитивних\(B\) є\[f(B) = \frac{1}{\pi (1 + B^2)}\ .\] Оскільки фізична ситуація симетрична щодо\(\phi = 0\), легко побачити, що вище вираз для щільності є правильним для від'ємних значень\(B\), а також.
Закон великих чисел, про який ми поговоримо в главі 8, стверджує, що в багатьох випадках, якщо взяти середнє значення незалежних значень випадкової величини, то середнє наближається до певного числа в міру збільшення кількості значень. Виходить, що якщо робити це з розподіленою Коші випадковою величиною, середнє не наближається до якогось конкретного числа.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Виберіть число\(U\) з одиничного інтервалу\([0,1]\) з рівномірним розподілом. Знайти сукупний розподіл і щільність випадкових величин
- \(Y = U + 2\).
- \(Y = U^3\).
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Виберіть число з інтервалу\(U\) з\([0,1]\) рівномірним розподілом. Знайти сукупний розподіл і щільність випадкових величин
- \(Y = 1/(U + 1)\).
- \(Y = \log(U + 1)\).
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Використовуйте Слідство,\(\PageIndex{2}\) щоб отримати вираз для випадкової величини, наведеної в Рівнянні [eq 5.9].: Випадкові\(1 - rnd\) величини і\(rnd\) розподілені однаково.
Вправа\(\PageIndex{4}\)
Припустимо, ми знаємо випадкову величину\(Y\) як функцію рівномірної випадкової величини\(U\):\(Y = \phi(U)\), і припустимо, ми обчислили функцію кумулятивного розподілу,\(F_Y(y)\) а звідти і щільність\(f_Y(y)\). Як ми можемо перевірити, чи правильна наша відповідь? Просте моделювання дає відповідь: Складіть гістограму\(Y = \phi(\mbox{\) rnd\(})\) і порівняйте результат з графіком\(f_Y(y)\). Ці графіки повинні виглядати аналогічно. Перевірте свої відповіді на вправи 5.2.1 і 5.2.2 цим методом.
Вправа\(\PageIndex{5}\)
Виберіть число з інтервалу\(U\) з\([0,1]\) рівномірним розподілом. Знайти сукупний розподіл і щільність випадкових величин
- \(Y = |U - 1/2|\).
- \(Y = (U - 1/2)^2\).
Вправа\(\PageIndex{6}\)
Перевірте свої результати для вправи\(\PageIndex{5}\) шляхом моделювання, як описано в розділі Вправа\(\PageIndex{4}\).
Вправа\(\PageIndex{7}\)
Поясніть, як можна генерувати випадкову величину, сукупна функція розподілу якої\[F(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & \mbox{if $x < 0$}, \\ x^2, & \mbox{if $0 \leq x \leq 1$}, \\ 1, & \mbox{if $x > 1.$} \end{array} \right.\]
Вправа\(\PageIndex{8}\)
Напишіть програму для генерації вибірки з 1000 випадкових результатів, кожен з яких вибирається з розподілу, наведеного в розділі «\(\PageIndex{7}\)Побудувати гістограму» ваших результатів, і порівняйте цю емпіричну щільність з щільністю для сукупного розподілу, наведеного у Вправі.\(\PageIndex{7}\)
Вправа\(\PageIndex{9}\)
\(V\)Дозволяти\(U\), бути випадкові числа, обрані незалежно від інтервалу\([0,1]\) з рівномірним розподілом. Знайти сукупний розподіл і щільність кожної зі змінних
- \(Y = U + V\).
- \(Y = |U - V|\).
Вправа\(PageIndex{10}\)
\(V\)Дозволяти\(U\), бути випадкові числа, обрані незалежно від інтервалу\([0,1]\). Знайти сукупний розподіл і щільність випадкових величин
- \(Y = \max(U,V)\).
- \(Y = \min(U,V)\).
Вправа\(\PageIndex{11}\)
Напишіть програму для моделювання випадкових величин Вправ\(\PageIndex{9}\)\(\PageIndex{10}\) і побудуйте гістограму результатів. Порівняйте отриману емпіричну щільність з щільністю, знайденою в Вправи\(\PageIndex{9}\) і\(\PageIndex{10}\).
Вправа\(\PageIndex{12}\)
Число\(U\) вибирається випадковим чином в інтервалі\([0,1]\). Знайдіть ймовірність того, що
- \(R = U^2 < 1/4\).
- \(S = U(1 - U) < 1/4\).
- \(T = U/(1 - U) < 1/4\).
Вправа\(PageIndex{13}\)
Знайдіть функцію сукупного розподілу\(F\) та функцію щільності\(f\) для кожної з випадкових величин\(R\)\(S\), і\(T\) в розділі Вправа\(\PageIndex{12}\).
Вправа\(\PageIndex{14}\)
Точка\(P\) в одиничному квадраті має координати\(X\) і\(Y\) вибирається випадковим чином в інтервалі\([0,1]\). \(D\)Дозволяти відстань від\(P\) до найближчого краю квадрата, і\(E\) відстань до найближчого кута. Яка ймовірність того, що
- \(D < 1/4\)?
- \(E < 1/4\)?
Вправа\(\PageIndex{15}\)
У\(\PageIndex{14}\) Вправі знайдіть сукупний розподіл\(F\) і щільність\(f\) випадкової величини\(D\).
Вправа\(\PageIndex{16}\)
\(X\)Дозволяти випадкова величина з функцією щільності\[f_X(x) = \left \{ \begin{array}{ll} cx(1 - x), & \mbox{if $0 < x < 1$}, \\ 0, & \mbox{otherwise.} \end{array} \right.\]
- Що таке цінність\(c\)?
- \(F_X\)Для чого призначена функція кумулятивного розподілу\(X\)?
- Яка ймовірність цього\(X < 1/4\)?
Вправа\(\PageIndex{17}\)
\(X\)Дозволяти випадкова величина з кумулятивною функцією розподілу\[F(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & \mbox{if $x < 0$}, \\ \sin^2(\pi x/2), & \mbox{if $0 \leq x \leq 1$}, \\ 1, & \mbox{if $1 < x$}. \end{array} \right.\]
- Для чого потрібна функція\(f_X\) щільності\(X\)?
- Яка ймовірність цього\(X < 1/4\)?
Вправа\(PageIndex{18}\)
\(X\)Дозволяти випадкова величина з кумулятивною функцією розподілу\(F_X\)\(Y = X + b\)\(Z = aX\), і нехай\(W = aX + b\), і, де\(a\) і\(b\) будь-які константи. Знайдіть кумулятивні функції розподілу\(F_Y\)\(F_Z\), і\(F_W\).: відмінки\(a > 0\)\(a = 0\), і\(a < 0\) вимагають різних аргументів.
Вправа\(\PageIndex{19}\)
\(X\)Дозволяти випадкова величина з функцією щільності\(f_X\)\(Y = X + b\), і нехай\(Z = aX\), і\(W = aX + b\), де\(a \ne 0\). Знайдіть функції щільності\(f_Y\)\(f_Z\), і\(f_W\). (Див\(\PageIndex{18}\). Вправа.)
Вправа\(\PageIndex{20}\)
\(X\)Дозволяти випадкова величина рівномірно розподілена над\([c,d]\), і нехай\(Y = aX + b\). За яким вибором\(a\) і\(b\)\(Y\) рівномірно розподіляється\([0,1]\)?
Вправа\(PageIndex{21}\)
\(X\)Дозволяти випадкова величина з сукупною функцією розподілу\(F\) строго збільшується на діапазон\(X\). Нехай\(Y = F(X)\). Показати,\(Y\) що рівномірно розподілено в інтервалі\([0,1]\). (Формула\(X = F^{-1}(Y)\) потім говорить нам, як побудувати\(X\) з однорідної випадкової величини\(Y\).)
Вправа\(\PageIndex{22}\)
\(X\)Дозволяти випадкова величина з кумулятивною функцією розподілу\(F\). The of\(X\) - це значення,\(m\) для якого\(F(m) = 1/2\). Потім\(X < m\) з ймовірністю 1/2 і\(X > m\) з ймовірністю 1/2. Знайти,\(m\) якщо\(X\) є
- рівномірно розподілені по проміжку\([a,b]\).
- нормально розподіляються з параметрами\(\mu\) і\(\sigma\).
- експоненціально розподілений з параметром\(\lambda\).
Вправа\(PageIndex{23}\)
\(X\)Дозволяти випадкова величина з функцією щільності\(f_X\). Середнє значення\(X\) - це значення\(\mu = \int xf_x(x)\,dx\). Потім\(\mu\) дає середнє значення для\(X\) (див. Розділ 6.3). Знайти,\(\mu\) чи\(X\) розподілено рівномірно, нормально або експоненціально, як у Вправи\(\PageIndex{22}\)
Вправа\(\PageIndex{24}\)
\(X\)Дозволяти випадкова величина з функцією щільності\(f_X\). The of\(X\) - це значення,\(M\) для\(f(M)\) якого максимальне. Тоді найімовірніше\(M\) будуть виникати значення\(X\) поблизу. Знайдіть,\(M\) чи\(X\) розподілений нормально або експоненціально, як у Вправи\(\PageIndex{22}\) Що станеться, якщо\(X\) розподілено рівномірно?
Вправа\(\PageIndex{25}\)
\(X\)Дозволяти випадкова величина, зазвичай розподілена з параметрами\(\mu = 70\),\(\sigma = 10\). кошторис
- \(P(X > 50)\).
- \(P(X < 60)\).
- \(P(X > 90)\).
- \(P(60 < X < 80)\).
Вправа\(\PageIndex{26}\)
Підшипниковий завод Bridies' виробляє підшипникові вали\(\mu = 1\), діаметри яких зазвичай розподіляються з параметрами\(\sigma = .002\). Технічні характеристики покупця вимагають, щоб ці діаметри були\(1.000 \pm .003\) см. Яка частка валів виробника, швидше за все, буде відбракована? Якщо виробник поліпшить її контроль якості, вона може знизити вартість\(\sigma\). Яке значення\(\sigma\) буде гарантувати, що не більше 1 відсотка її валів, швидше за все, будуть відхилені?
Вправа\(\PageIndex{27}\)
Підсумковий іспит в Університеті Подунка будується так, що тестові бали приблизно нормально розподілені, з параметрами\(\mu\) і\(\sigma\). Інструктор призначає літерні оцінки тестовим балам, як показано в таблиці\(\PageIndex{10}\) (це процес «оцінювання на кривій»).
| Тестовий бал | Лист клас |
|---|---|
| \(\mu + \sigma < x\) | A |
| \(\mu < x < \mu + \sigma\) | Б |
| \(\mu - \sigma < x < \mu\) | C |
| \(\mu - 2\sigma < x < \mu - \sigma\) | D |
| \(x < \mu - 2\sigma\) | F |
Яку частку класу отримує A, B, C, D, F?
Вправа\(\PageIndex{28}\)
(Росс 11) Свідок експерта в позові про батьківство свідчить, що тривалість (в днях) вагітності, від зачаття до пологів, приблизно нормально розподіляється, з параметрами\(\mu = 270\),\(\sigma = 10\). Відповідач в позові здатний довести, що перебував за межами країни в період з 290 до 240 днів до народження дитини. Яка ймовірність того, що відповідач знаходився в країні, коли дитина була зачата?
Вправа\(\PageIndex{29}\)
Припустимо, що час (в годинниках), необхідний для ремонту автомобіля, - це експоненціально розподілена випадкова величина з параметром\(\lambda = 1/2\). Яка ймовірність того, що час ремонту перевищує 4 години? Якщо вона перевищує 4 години, яка ймовірність того, що вона перевищує 8 годин?
Вправа\(\PageIndex{30}\)
Припустимо, що кількість років, в яких буде працювати автомобіль, експоненціально розподіляється з параметром\(\mu = 1/4\). Якщо Prosser сьогодні купує вживаний автомобіль, яка ймовірність того, що він все одно буде працювати через 4 роки?
Вправа\(\PageIndex{31}\)
\(U\)Дозволяти рівномірно розподілена випадкова величина на\([0,1]\). Яка ймовірність того, що рівняння\[x^2 + 4Ux + 1 = 0\] має два чітких реальних кореня\(x_1\) і\(x_2\)?
Вправа\(\PageIndex{32}\)
Напишіть програму для моделювання випадкових величин, щільності яких задаються наступним, склавши відповідну гістограму кожної та порівнявши точну щільність з гістограмою.
- \(f_X(x) = e^{-x}\ \ \mbox{on}\,\, [0,\infty)\,\, (\mbox{but\,\,just\,\,do\,\,it\,\,on\,\,} [0,10]).\)
- \(f_X(x) = 2x\ \ \mbox{on}\,\, [0,1].\)
- \(f_X(x) = 3x^2\ \ \mbox{on}\,\, [0,1].\)
- \(f_X(x) = 4|x - 1/2|\ \ \mbox{on}\,\, [0,1].\)
Вправа\(\PageIndex{33}\)
Припустимо, ми спостерігаємо такий процес, що час між входженнями експоненціально розподіляється з\(\lambda = 1/30\) (тобто середній час між входженнями становить 30 хвилин). Припустимо, що процес починається в певний час і ми починаємо спостерігати за процесом через 3 години. Напишіть програму для імітації цього процесу. Нехай\(T\) позначимо тривалість часу, який ми повинні чекати, після того, як ми почнемо наше спостереження, для виникнення. Нехай ваша програма відстежувати\(T\). Що таке кошторис для середнього значення\(T\)?
Вправа\(\PageIndex{34}\)
Джонс ставить дві нові лампочки: лампочку потужністю 60 Вт і лампочку потужністю 100 Вт. Стверджується, що термін служби 60 ватної лампи має експоненціальну щільність із середнім терміном служби 200 годин (\(\lambda = 1/200\)). Лампочка потужністю 100 Вт також має експоненціальну щільність, але із середнім терміном служби лише 100 годин (\(\lambda = 1/100\)). Джонс задається питанням, яка ймовірність того, що 100-ватна лампочка перевершить 60 ватну лампочку.
Якщо\(X\) і\(Y\) є двома незалежними випадковими величинами з експоненціальними густинами\(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) і\(g(x) = \mu e^{-\mu x}\), відповідно, то ймовірність, яка\(X\) менше\(Y\), задана\[P(X < Y) = \int_0^\infty f(x)(1 - G(x))\,dx,\] де\(G(x)\) є кумулятивною функцією розподілу для\(g(x)\). Поясніть, чому це так. Використовуйте це, щоб показати це\[P(X < Y) = \frac \lambda{\lambda + \mu}\] і відповісти на запитання Джонса.
Вправа\(\PageIndex{35}\)
Розглянемо простий процес черги на прикладі\(\PageIndex{1}\). Припустимо, що ви стежите за розміром черги. Якщо в черзі будуть\(j\) люди наступного разу, коли розмір черги зміниться, вона зменшиться\(j - 1\) або збільшиться до\(j + 1\). Використовуйте результат вправи,\(\PageIndex{34}\) щоб показати, що ймовірність того, що розмір черги зменшується до\(j - 1\) є\(\mu/(\mu + \lambda)\) і ймовірність того, що він збільшується до\(j + 1\) є\(\lambda/(\mu + \lambda)\). Коли розмір черги дорівнює 0, він може збільшитися лише до 1. Напишіть програму для імітації розміру черги. Скористайтеся цим моделюванням, щоб допомогти сформулювати гіпотезу\(\lambda\), що містить умови,\(\mu\) і це забезпечить, що черга матиме час, коли вона порожня.
Вправа\(\PageIndex{36}\)
\(X\)Дозволяти випадкова величина, що має експоненціальну щільність з параметром\(\lambda\). Знайти щільність для випадкової величини\(Y = rX\), де\(r\) додатне дійсне число.
Вправа\(\PageIndex{37}\)
\(X\)Дозволяти випадкову величину, що має нормальну щільність і розглянемо випадкову величину\(Y = e^X\). Тоді\(Y\) має колоду нормальної щільності. Знайдіть цю щільність\(Y\).
Вправа\(\PageIndex{38}\)
\(X_1\)\(X_2\)Дозволяти і бути незалежними випадковими величинами і для\(i = 1, 2\)\(Y_i = \phi_i(X_i)\), нехай, де\(\phi_i\) строго збільшується на діапазон\(X_i\). Покажіть, що\(Y_1\) і\(Y_2\) є незалежними. Зверніть увагу, що той же результат вірний без припущення,\(\phi_i\) що вони суворо збільшуються, але докази складніше.