15.6: Процеси винагороди за поновлення

\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)\(\newcommand{\cov}{\text{cov}}\)

Основна теорія

Попередні етапи

У процесі винагороди за поновлення кожен час прибуття пов'язаний з випадковою величиною, яка загалом вважається винагородою, пов'язаною з цим часом міжприбуття. Наш інтерес полягає в процесі, який дає загальну винагороду до часу\( t \). Отже, давайте налаштуємо звичні позначення. Припустимо,\( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots) \) що це час взаємоприбуття процесу оновлення, так що\( \bs{X} \) це послідовність незалежних, однаково розподілених, невід'ємних змінних із загальною функцією розподілу\( F \) та середнім\( \mu \). Як завжди, ми припускаємо, що\( F(0) \lt 1 \) так, що час інтерприбуття не детерміновано 0, і в цьому розділі ми також припускаємо, що\( \mu \lt \infty \). Нехай\[ T_n = \sum_{i=1}^n X_i, \quad n \in \N \] так, що\( T_n \) це час\( n \) й прибуття для\( n \in \N_+ \) і\( \bs{T} = (T_0, T_1, \ldots) \) є послідовність часу прибуття. Нарешті, Нехай\[ N_t = \sum_{n=1}^\infty \bs{1}(T_n \le t), \quad t \in [0, \infty) \] так\( N_t \) це кількість прибуття в\( [0, t] \) і\(\bs{N} = \{N_t: t \in [0, \infty)\}\) є процес підрахунку. Як завжди, нехай\( M(t) = \E\left(N_t\right) \)\( t \in [0, \infty) \) так, що\( M \) це функція поновлення.

Припустимо, що тепер\( \bs{Y} = (Y_1, Y_2, \ldots) \) це послідовність реальних випадкових величин, де\( Y_n \) розглядається як винагорода, пов'язана з часом міжприбуття\( X_n \). Однак термін винагороди слід інтерпретувати загально, оскільки насправді\( Y_n \) може бути вартістю або будь-яким іншим значенням, пов'язаним з часом прибуття, і в будь-якому випадку може приймати як негативні, так і позитивні значення. Наше основне припущення полягає в тому, що пари часу взаємоприбуття та винагороди\( \bs{Z} = \left((X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \ldots\right) \) утворюють незалежну та однаково розподілену послідовність. Нагадаємо, що це означає, що\( \bs{X} \) це послідовність IID, як того вимагає визначення процесу поновлення, і\( \bs{Y} \) це також послідовність IID. Але\( \bs{X} \) і цілком\( \bs{Y} \) може бути залежним, і насправді\( Y_n \) може бути функцією\( X_n \) для\( n \in \N_+ \). \( \nu = \E(Y) \)Позначимо середнє значення родової нагороди\( Y \), яке ми припускаємо, існує в\( \R \).

\( \bs{R} = \{R_t: t \in [0, \infty)\} \)Визначений стохастичним процесом\[ R_t = \sum_{i=1}^{N_t} Y_i, \quad t \in [0, \infty) \] є процес поновлення винагороди, пов'язаний з\( \bs{Z} \). Функція,\( r \) задана\( r(t) = \E(R_t) \) for\( t \in [0, \infty) \), є функцією винагороди.

Як і обіцяли,\( R_t \) це загальна винагорода до часу\( t \in [0, \infty) \). Ось кілька типових прикладів:

• Заходи - це клієнти в магазині. Кожен клієнт витрачає випадкову суму грошей.
• Заїзди - це відвідування веб-сайту. Кожен відвідувач проводить випадкову кількість часу на сайті.
• Приїзди - це час відмови складної системи. Кожна поломка вимагає випадкового часу ремонту.
• Прибуття - це землетруси в певному місці. Кожен землетрус має випадкову тяжкість, міру енергії, що виділяється.

Так\( R_t \) це випадкова сума випадкових величин для кожного\( t \in [0, \infty) \). В особливому випадку, що\( \bs{Y} \) і\( \bs{X} \) незалежний, розподіл\( R_t \) відомий як складний розподіл, заснований на розподілі\( N_t \) та розподілі загальної винагороди\( Y \). Спеціалізуючись далі, якщо процес оновлення є Пуассоном і не залежить від\( \bs{Y} \), процес\( \bs{R} \) є складним процесом Пуассона.

Зверніть увагу, що процес винагороди за поновлення узагальнює звичайний процес поновлення. Конкретно, якщо\( Y_n = 1 \) для кожного\( n \in \N_+ \), то\( R_t = N_t \) для\( t \in [0, \infty) \), щоб процес винагороди просто зводиться до процесу підрахунку, а потім\( r \) зводиться до функції поновлення\( M \).

Теорема про винагороду за оновлення

\( t \in (0, \infty) \)Бо середня винагорода на інтервалі\( [0, t] \) є\( R_t / t \), а очікувана середня винагорода на цьому інтервалі -\( r(t) / t \). Фундаментальна теорема про процеси винагороди за оновлення дає асимптотичну поведінку цих середніх.

Теорема про винагороду за оновлення

1. \( R_t / t \to \nu / \mu\)як\( t \to \infty \) з ймовірністю 1.
2. \( r(t) / t \to \nu / \mu \)як\( t \to \infty \)

Доказ

1. Зверніть увагу, що\[ \frac{R_t}{t} = \frac{R_t}{N_t} \frac{N_t}{t}\] Але за звичайним сильним законом великих чисел для послідовності IID\( \bs{Y} \),\[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i \to \nu \] як і\( n \to \infty \) при ймовірності 1. Згадайте також, що\( N_t \to \infty \) як\( t \to \infty \) з ймовірністю 1. Звідси випливає, що\[ \frac{R_t}{N_t} = \frac{1}{N_t} \sum_{i=1}^{N_t} Y_i \to \nu \] як і\( t \to \infty \) з ймовірністю 1. З закону або великих чисел для процесу поновлення ми знаємо, що\( N_t \big/ t \to 1 / \mu \) як\( t \to \infty \) з ймовірністю 1.
2. Зверніть увагу спочатку, що\[ R_t = \sum_{i=1}^{N_t} Y_i = \sum_{i=1}^{N_t + 1} Y_i - Y_{N(t) + 1} \] Next Renall\( N_t + 1 \) це час зупинки для послідовності часу прибуття\(\bs{X}\) для\( t \in (0, \infty) \), а отже, також час зупинки для послідовності часу міжприбуття, пар винагороди\( \bs{Z} \). (Якщо випадковий час - це час зупинки для фільтрації, то це час зупинки для будь-якої більшої фільтрації.) За рівнянням Вальда,\[ \E\left(\sum_{i=1}^{N_t + 1} Y_i\right) = \nu \E\left(N_t + 1\right) = \nu[M(t) + 1] = \nu \, M(t) + \nu \] За елементарною теоремою відновлення,\[ \frac{\nu \, M(t) + \nu}{t} = \nu \frac{M(t)}{t} + \frac{\nu}{t} \to \frac{\nu}{\mu} \text{ as } t \to \infty\] Таким чином, повертаючись до першого відображеного рівняння вище, залишається показати, що\[ \frac{\E\left[Y_{N_t + 1}\right]}{t} \to 0 \text{ as } t \to \infty \] Нехай\( u(t) = \E\left[Y_{N_t + 1}\right] \) для\( t \in [0, \infty) \). Беручи справи в перший час прибуття у\( X_1 \) нас є\[ u(t) = \E\left[Y_{N_t + 1} \bs{1}(X_1 \gt t)\right] + \E\left[Y_{N_t + 1} \bs{1}(X_1 \le t)\right]\] Але\( X_1 \gt t \) якщо\( N_t = 0 \) і лише тоді перший термін є\( \E\left[Y_1 \bs{1}(X_1 \gt t)\right] \), який ми відзначимо\( a(t) \). Ми припустили, що очікувана винагорода\( \nu \) існує в\( \R \). Звідси\( \left|a(t)\right| \le \E\left(\left|Y_1\right|\right) \lt \infty \) так,\( a \) що обмежений, і\( a(t) \to 0 \) як\( t \to \infty \). Для другого члена, якщо перший прихід відбувається вчасно\( s \in [0, t] \), то процес оновлення перезапускається незалежно від минулого, тому\[ \E\left[Y_{N_t + 1} \bs{1}(X_1 \le t)\right] = \int_0^t u(t - s) \, dF(s), \quad t \in [0, \infty) \] випливає, що\( u \) задовольняє рівнянню оновлення\( u = a + u * F \). За фундаментальною теоремою про рівняння відновлення рішення є\( u = a + a * M \). Тепер виправте\( \epsilon \gt 0 \). Існує\( T \in (0, \infty) \) таке, що\( \left|a(t)\right| \lt \epsilon \) для\( t \gt T \). Отже\( t \gt T \), для,\ почати {вирівнювати*}\ ліворуч |\ frac {u (t)} {t}\ праворуч | &\ le\ frac {1} {t}\ ліворуч [\ ліво|a (t)\ праворуч | +\ int_0^ {t - T}\ ліворуч | a (t - s)\ праворуч | дМ (s) +\ int_ {t - 0^ {t - T}\ t\ t\ t ліво|a (t - s)\ праворуч | дМ (и)\ праворуч]\\ &\ le\ frac {1} {t}\ лівий [\ епсилон +\ епсилон\, M (t - T) +\ E\ left|Y_1\ right| [M (t) - M (t - T)]\ праворуч] \ end {align*} Використовуючи елементарну теорему відновлення знову, останній вираз сходиться до\( \epsilon / \mu \) as\( t \to \infty \). Оскільки\( \epsilon \gt 0 \) довільно, то випливає, що\( u(t) / t \to 0 \) як\( t \to \infty \).

Частина (а) узагальнює закон великих чисел, а частина (b) узагальнює елементарну теорему відновлення для основного процесу оновлення. Ще раз, якщо\( Y_n = 1 \) для кожного\( n \), то (а) стає\( N_t / t \to 1/\mu \) as\( t \to \infty \) і (b) стає\( M(t) / t \to 1 /\mu \) як\( t \to \infty \). Тож не дивно, що ці дві теореми відіграють фундаментальну роль у доведенні теореми про винагороду за оновлення.

Загальні процеси винагороди

Процес винагороди за поновлення\( \bs{R} = \{R_t: t \in [0, \infty)\} \) вище є постійним, приймаючи значення\( \sum_{i=1}^n Y_i \), на інтервалі поновлення\( [T_n, T_{n+1}) \) для кожного\( n \in \N \). Ефективно, винагороди отримують дискретно:\( Y_1 \) за часом\( T_1 \), додаткове\( Y_2 \) за часом\( T_2 \), і так далі. Можна змінити конструкцію, щоб винагороди нараховувалися постійно в часі або змішаним дискретним/безперервним способом. Ось простий набір умов для загального процесу винагороди.

Припустимо ще раз, що\( \bs{Z} = ((X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \ldots) \) це послідовність часу міжприбуття та винагород. Стохастичний процес\( \bs{V} = \{V_t: t \in [0, \infty)\}\) (на нашому базовому просторі ймовірностей) - це процес винагороди, пов'язаний з,\( \bs{Z}\) якщо дотримуються наступних умов:

1. \( V_{T_n} = \sum_{i=1}^n Y_i \)для\( n \in \N \)
2. \( V_t \)знаходиться між\( V_{T_n} \) і\( V_{T_{n+1}} \) для\(t \in \left(T_n, T_{n+1}\right) \) і\( n \in \N \)

У безперервному випадку, з невід'ємними винагородами (найважливіший випадок), процес винагороди, як правило, має такий вигляд:

Припустимо, що винагороди невід'ємні, і\( \bs{U} = \{U_t: t \in [0, \infty)\} \) це ненегативний стохастичний процес (на нашому базовому просторі ймовірностей) з

1. \( t \mapsto U_t \)кусково-безперервний
2. \( \int_{T_n}^{T_{n+1}} U_t \, dt = Y_{n+1}\)для\( n \in \N \)

Нехай\( V_t = \int_0^t U_s \, ds \) для\(t \in [0, \infty) \). Потім\( \bs{V} = \{V_t: t \in [0, \infty)\} \) відбувається процес винагороди, пов'язаний з\( \bs{Z} \).

Доказ

За адитивності інтеграла і (б),\( V_{T_n} = \sum_{i=1}^n Y_i \) для\( n \in \N \). Так як\( \bs{U} \)\( \bs{V} \) ненегативний, збільшується, так\( V_{T_n} \le V_t \le V_{T_{n+1}} \) для\( t \in \left(T_n, T_{n+1}\right) \)

Таким чином, у цьому особливому випадку винагорода нараховується безперервно і\( U_t \) є ставкою, за якою винагорода нараховується вчасно\( t \). Так\( \bs{U} \) відіграє роль процес щільності винагороди. Для загального процесу винагороди основна теорема про винагороду за оновлення все ще зберігається.

Припустимо, що\( \bs{V} = \{V_t: t \in [0, \infty)\} \) це процес винагороди\( \bs{Z} = ((X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \ldots) \), пов'язаний з, і нехай\( v(t) = \E\left(V_t\right) \) для\( t \in [0, \infty) \) буде відповідна функція винагороди.

1. \( V_t / t \to \nu / \mu \)як\( t \to \infty \) з ймовірністю 1.
2. \( v(t) / t \to \nu / \mu \)як\( t \to \infty \).

Доказ

Припустимо спочатку, що змінні\( Y \) винагороди невід'ємні. Тоді\[ \frac{R_t}{t} \le \frac{V_t}{t} \le \frac{R_t}{t} + \frac{Y_{N_t + 1}}{t} \] З доказу теореми про винагороду за оновлення вище,\( R_t / t \to \nu / \mu \) як\( t \to \infty \) з ймовірністю 1,\( Y_{N_t + 1} \big/ t \to 0\) так і як\( t \to \infty \) з ймовірністю 1. Звідси (а) тримає. Беручи очікувані значення,\[ \frac{r(t)}{t} \le \frac{v(t)}{t} \le \frac{r(t)}{t} + \frac{\E\left(Y_{N_t + 1}\right)}{t} \] Але знову ж таки з теореми про винагороду за оновлення вище,\( r(t) / t \to \nu / \mu \) як\( t \to \infty \) і\( E\left(Y_{N_t + 1}\right) \big/ t \to 0 \) як\( t \to \infty \). Звідси (б) тримає. Аналогічний аргумент працює, якщо змінні винагороди негативні. Якщо змінні винагороди приймають позитивні та негативні значення, ми розбиваємо змінні на позитивні та негативні частини звичайним способом.

Ось наслідок безперервного процесу винагороди.

Припустимо, що винагороди є позитивними, і розглянемо безперервний процес винагороди з процесом щільності\( \bs{U} = \{U_t: t \in [0, \infty)\} \), як зазначено вище. Нехай\( u(t) = \E(U_t) \) для\( t \in [0, \infty) \). Тоді

1. \( \frac{1}{t} \int_0^t U_s \, ds \to \frac{\nu}{\mu} \)як\( t \to \infty \) з ймовірністю 1
2. \( \frac{1}{t} \int_0^t u(s) \, ds \to \frac{\nu}{\mu} \)як\( t \to \infty \)

Особливі випадки та програми

Завдяки розумному вибору винагород багато цікавих процесів оновлення можуть бути перетворені на процеси винагороди за оновлення, що призводить, в свою чергу, до цікавих обмежень за допомогою теореми про винагороду за оновлення.

Чергування процесів поновлення

Нагадаємо, що в процесі чергування оновлення система чергується між включенням і вимкненим станами (починаючи у включеному стані). Якщо ми дозволимо\( \bs{U} = (U_1, U_2, \ldots) \) бути довжини послідовних періодів часу, в яких система включена, і\( \bs{V} = (V_1, V_2, \ldots) \) довжини послідовних періодів часу, в яких система вимкнена, то основні припущення полягають в тому, що\( ((U_1, V_1), (U_2, V_2), \ldots) \) це незалежна, ідентично розподілена послідовність, і що змінні \( X_n = U_n + V_n \)для\( n \in \N_+ \) формування часу міжприбуття стандартного процесу поновлення. \( \mu = \E(U) \)Дозвольте позначити середнє значення часового періоду, який пристрій увімкнено, і\( \nu = \E(V) \) середнє значення часового періоду, що пристрій вимкнено. Нагадаємо, що\( I_t \) позначає стан (1 або 0) системи на час\( t \in [0, \infty) \), так що\( \bs{I} = \{I_t: t \in [0, \infty)\} \) це державний процес. Функція ймовірності стану\( p \) задається функцією\( p(t) = \P(I_t = 1) \) for\( t \in [0, \infty) \).

Обмеження для процесу чергування поновлення.

1. \(\frac{1}{t} \int_0^t I_s \, ds \to \frac{\mu}{\mu + \nu}\)як\( t \to \infty \) з ймовірністю 1
2. \( \frac{1}{t} \int_0^t p(s) \, ds \to \frac{\mu}{\mu + \nu} \)як\( t \to \infty \)

Доказ

Розглянемо процес винагороди за поновлення, коли винагорода, пов'язана з часом прибуття\( U_n \),\( X_n \) є періодом включення для цього періоду поновлення. \( U_n \)Нагороди ненегативні і чітко\( \int_{T_n}^{T_{n+1}} I_s \, ds = U_{n+1} \). Так\( t \mapsto \int_0^t I_s \, ds \) для\( t \in [0, \infty) \) визначає безперервний процес винагороди наведеної вище форми. Частини (a) і (b) випливають безпосередньо з теореми про поновлення винагороди вище.

Таким чином, асимптотичний середній час, коли пристрій увімкнено, і середній асимптотичний середній час, коли пристрій увімкнено, є одночасно просто відношенням середнього періоду включення до середнього періоду включення-виключення. У нашому попередньому дослідженні змінних процесів оновлення фундаментальним результатом було те, що в неарифметичному випадку,\( p(t) \to \mu / (\mu + \nu) \) як\( t \to \infty \). Цей результат передбачає частину (b) в теоремі вище.

Вікові процеси

Процеси винагороди за поновлення можуть бути використані для отримання деяких асимптотичних результатів для вікових процесів стандартного процесу поновлення Отже, припустимо, що у нас є процес оновлення з послідовністю прибуття\( \bs{X} \), послідовністю\( \bs{T} \) прибуття та процесом підрахунку\( \bs{N} \). Як завжди, нехай\( \mu = \E(X)\) позначимо середнє час міжприбуття, але тепер нам також знадобиться\( \nu = \E(X^2) \), другий момент. Припускаємо, що обидва моменти кінцеві.

Бо\( t \in [0, \infty) \), нагадаємо, що поточна життя, що залишилася життя і загальна життя в часі\( t \)\[ A_t = t - T_{N_t}, \quad B_t = T_{N_t + 1} - t, \quad L_t = A_t + B_t = T_{N_t+1} - T_{N_t} = X_{N_t + 1} \] відповідно. У звичайній термінології надійності,\( A_t \) це вік пристрою, що знаходиться в експлуатації на час\( t \),\( B_t \) це час, що залишився до виходу цього пристрою з ладу, і\( L_t \) це загальний термін служби пристрою. (Щоб уникнути нотаційних зіткнень, ми використовуємо інші позначення, ніж у попередніх розділах.) Нехай\( a(t) = \E(A_t) \)\( b(t) = \E(B_t) \), і\( l(t) = \E(L_t) \) для\( t \in [0, \infty) \), відповідні середні функції. Щоб отримати наші асимптотичні результати, ми просто використовуємо поточне життя та решту життя як щільність винагороди (або ставки) у процесі винагороди за оновлення.

Межі для поточного життєвого процесу.

1. \( \frac{1}{t} \int_0^t A_s \, ds \to \frac{\nu}{2 \mu} \)як\( t \to \infty \) з ймовірністю 1
2. \( \frac{1}{t} \int_0^t a(s) \, ds \to \frac{\nu}{2 \mu} \)як\( t \to \infty \)

Доказ

Розглянемо процес винагороди за поновлення, де призначена винагорода, пов'язана з часом\( X_n \) прибуття\( n \in \N \).\(\frac{1}{2} X_n^2\) Процес\( t \mapsto \int_0^t A_s \, ds \) для\( t \in [0, \infty) \) - це безперервний процес винагороди за цю послідовність винагород, як визначено вище. Щоб побачити це, зверніть увагу, що для\( t \in \left[T_n, T_{n+1}\right) \), ми маємо\( A_t = t - T_n \), так зі зміною змінних і відзначаючи, що у\( T_{n+1} = T_n + X_{n+1} \) нас є Результати тепер\[ \int_{T_n}^{T_{n+1}} A_t \, dt = \int_0^{X_{n+1}} s \, ds = \frac{1}{2} X_{n+1}^2 \] випливають з теореми про винагороду за оновлення вище.

Межі для залишився життєвого процесу.

1. \( \frac{1}{t} \int_0^t B_s \, ds \to \frac{\nu}{2 \mu} \)як\( t \to \infty \) з ймовірністю 1
2. \( \frac{1}{t} \int_0^t b(s) \, ds \to \frac{\nu}{2 \mu} \)як\( t \to \infty \)

Доказ

Подумайте ще раз про процес винагороди за поновлення, де призначена винагорода, пов'язана з часом\( X_n \) прибуття\( n \in \N \).\(\frac{1}{2} X_n^2\) Процес\( t \mapsto \int_0^t B_s \, ds \) для\( t \in [0, \infty) \) - це безперервний процес винагороди за цю послідовність винагород, як визначено вище. Щоб побачити це, зверніть увагу, що для\( t \in \left[T_n, T_{n+1}\right) \), ми маємо\( B_t = T_{n+1} - t \), так ще раз зі зміною змінних і відзначаючи, що у\( T_{n+1} = T_n + X_{n+1} \) нас є Результати тепер\[ \int_{T_n}^{T_{n+1}} B_t \, dt = \int_0^{X_{n+1}} s \, ds = \frac{1}{2} X_{n+1}^2 \] випливають з теореми про винагороду за оновлення вище.

Трохи подумавши, не дивно, що межі для поточного життя і залишилися життєвих процесів однакові. Після тривалого періоду часу процес оновлення виглядає стохастично однаково вперед або назад у часі. Зміна стрілки часу змінює роль поточної і залишилася життя. Асимптотичні результати для загального життєвого процесу тепер тривіально випливають з результатів поточних та решти життєвих процесів.

Обмеження для загального життєвого процесу

1. \( \frac{1}{t} \int_0^t L_s \, ds \to \frac{\nu}{\mu} \)як\( t \to \infty \) з ймовірністю 1
2. \( \frac{1}{t} \int_0^t l(s) \, ds = \frac{\nu}{\mu} \)як\( t \to \infty \)

Замінні моделі

Знову розглянемо стандартний процес поновлення, як визначено у Вступі, з послідовністю прибуття\( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots) \), послідовністю\( \bs{T} = (T_0, T_1, \ldots) \) прибуття та процесом підрахунку\( \bs{N} = \{N_t: t \in [0, \infty)\} \). Одним з найбільш основних додатків є надійність, де пристрій працює випадковий термін служби, виходить з ладу, а потім замінюється новим пристроєм, і процес триває. У цій моделі,\( X_n \) це термін служби і час\( T_n \) виходу з\( n \) ладу пристрою в експлуатації, для\( n \in \N_+ \), в той час як число\( N_t \) збоїв в\( [0, t] \) for\( t \in [0, \infty) \). Як завжди,\( F \) позначає функцію розподілу загального життя\( X \), і\( F^c = 1 - F \) відповідну функцію правильного розподілу (функцію надійності). Іноді пристрій насправді є системою з низкою критичних компонентів - вихід з ладу будь-якого з критичних компонентів призводить до збою системи.

Замінні моделі - це варіації на базовій моделі, в якій пристрій замінюється (або замінюється критичні компоненти) в періоди, відмінні від виходу з ладу. Часто вартість\( a \) планової заміни менше вартості\( b \) аварійної заміни (при відмові), тому заміна моделей може мати економічний сенс. Ми розглянемо найпоширенішу модель.

У моделі вікової заміни пристрій замінюється або при його виході з ладу, або при досягненні заданого віку\( s \in (0, \infty) \). Ця модель породжує новий процес оновлення з послідовністю взаємоприбуття\( \bs{U} = (U_1, U_2, \ldots) \), де\( U_n = \min\{X_n, s\} \) для\( n \in \N_+ \). Якщо витрати на\( a, \, b \in (0, \infty) \) планові та позапланові заміни відповідно, то вартість, пов'язана з періодом поновлення,\[ Y_n = a \bs{1}(U_n = s) + b \bs{1}(U_n \lt s) = a \bs{1}(X_n \ge s) + b \bs{1}(X_n \lt s) \] явно\( U_n \)\( ((U_1, Y_1), (U_2, Y_2), \ldots) \) задовольняє припущенням процесу винагороди за поновлення, наведеним вище. Модель має математичний сенс для будь-якого,\( a, b \in (0, \infty) \) але якщо\( a \ge b \), так що запланована вартість заміни не менше, ніж незаплановані витрати на заміну, то\( Y_n \ge b \) для\( n \in \N_+ \), тому модель не має фінансового сенсу. Таким чином, ми припускаємо, що\( a \lt b \).

У моделі заміщення віку, з плановою заміною у віці\( s \in (0, \infty) \),

1. Очікувана вартість періоду поновлення становить\( \E(Y) = a F^c(s) + b F(s) \).
2. Очікувана тривалість періоду поновлення\( \E(U) = \int_0^s F^c(x) \, dx \)

Гранична очікувана вартість за одиницю часу\[ C(s) = \frac{a F^c(s) + b F(s)}{\int_0^s F^c(x) \, dx} \]

Доказ

Частини (a) і (b) випливають з визначення винагороди\( Y \) та періоду поновлення\( U \), а потім формула\( C(s) \) випливає з теореми про поновлення винагороди вище

Отже, природно, враховуючи витрати\( a \) та\( b \) функцію розподілу протягом усього життя\( F \), мета полягає в тому, щоб знайти значення\( s \), яке мінімізує\( C(s) \); це значення\( s \) є оптимальним часом заміни. Звичайно, оптимального часу може і не існувати.

Властивості\( C \)

1. \( C(s) \to \infty \)як\( s \downarrow 0 \)
2. \( C(s) \to \mu / b \)як\( s \uparrow \infty \)

Доказ

1. Нагадаємо, що\( F^c(0) \gt 0 \) і\( \int_0^s F^c(x) \, dx \to 0 \) як\( s \downarrow 0 \)
2. Як\( s \to \infty \) зауважте\( F^c(s) \to 0 \), що,\( F(s) \to 1 \) і\( \int_0^s F^c(x) \, dx \to \int_0^\infty F^c(x) \, dx = \mu \)

Оскільки\( s \to \infty \) модель заміни віку стає стандартною (незапланованою) моделлю з обмеженням очікуваної середньої вартості\( b / \mu \).

Припустимо, що термін служби пристрою (у відповідних одиницях) має стандартний експоненціальний розподіл. Знайти\( C(s) \) і вирішити оптимальну проблему заміни віку.

Відповідь

Функція експоненціальної надійності призначена\( F^c(t) = e^{-t} \) для\( t \in [0, \infty) \). Після деякої алгебри довгострокова очікувана середня вартість за одиницю часу є\[ C(s) = \frac{a}{e^s - 1} + b, \quad s \in [0, \infty) \] Але явно\( C(s) \) суворо зменшується\( s \), з обмеженням\( b \), тому мінімального значення не існує.

Останній результат навряд чи здивує. Пристрій з експоненціально розподіленим терміном життя не старіє - якщо він не вийшов з ладу, він настільки ж хороший, як новий. Більш загально заміна віку не має сенсу для будь-якого пристрою зі зменшенням частоти відмов. Такі пристрої вдосконалюються з віком.

Припустимо, що термін служби пристрою (у відповідних одиницях) має гамма-розподіл з параметром форми\( 2 \) та параметром масштабу 1. Припустимо, що витрати (у відповідних одиницях) є\( a = 1 \) і\( b = 5 \).

1. Знайти\( C(s) \).
2. Намалюйте графік\( C(s) \).
3. Вирішити чисельно оптимальну задачу заміщення віку.

Відповідь

Функція надійності гамма призначена\( F^c(t) = e^{-t}(1 + t) \) для\( t \in [0, \infty) \)

1. \[ C(s) = \frac{4 + 4 s -5 e^s}{2 + s - 2 e^s}, \quad s \in (0, \infty)\]

2. Графік\( C(s) \) на інтервалі\( (0, 5] \)

   

3. \( C \)мінімізується на час заміни\( s \approx 1.3052 \). Оптимальна вартість - близько 2.26476.

Припустимо ще раз, що термін служби пристрою (у відповідних одиницях) має гамма-розподіл з параметром форми\( 2 \) і параметром масштабу 1. Але припустимо тепер, що витрати (у відповідних одиницях) є\( a = 1 \) і\( b = 2 \).

1. Знайти\( C(s) \).
2. Намалюйте графік\( C(s) \).
3. Вирішити оптимальну проблему заміни віку.

Відповідь

Функція надійності гамма призначена\( F^c(t) = e^{-t}(1 + t) \) для\( t \in [0, \infty) \)

1. \[ C(s) = \frac{2 e^s - (1 + s)}{2 e^s - (2 + s)}, \quad s \in (0, \infty)\]

2. Графік\( C(s) \) на інтервалі\( (0, 4] \)

   

3. \( C \)строго зменшується на\( [0, \infty) \) з лімітом 1, тому мінімального значення немає.

В останньому випадку різниця між вартістю екстреної заміни та планової заміни недостатньо велика, щоб заміна віку мала сенс.

Припустимо, що термін служби пристрою (в відповідним чином масштабованих одиницях) рівномірно розподілений на інтервалі\( [0, 1] \). Знайти\( C(s) \) і вирішити оптимальну проблему заміни. Дайте результати явно для наступних витрат:

1. \( a = 4 \),\( b = 6 \)
2. \( a = 2 \),\( b = 5 \)
3. \( a = 1 \),\( b = 10 \)

Доказ

Функція надійності призначена\( F^c(t) = 1 - t \) для\( t \in [0, 1] \). Після стандартних обчислень,\[ C(s) = 2 \frac{a(1 - s) + b s}{s (2 - s)}, \quad s \in (0, 1] \] Після більш стандартного обчислення оптимальний час заміни\[ s = \frac{\sqrt{2 a b - a^2} - a}{b - a} \]

1. \( s = 2 \left(\sqrt{2} - 1\right) \approx 0.828 \),\( C \approx 11.657 \)
2. \( s = \frac{2}{3} \),\( C = 9 \)
3. \( s = \frac{\sqrt{19} - 1}{9} \approx 0.373\),\( C \approx 14.359 \)

Проріджування

Ми починаємо зі стандартного процесу оновлення з послідовністю прибуття\( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots) \), послідовністю прибуття\( \bs{T} = (T_0, T_1, \ldots) \) та процесом підрахунку\( \bs{N} = \{N_t: t \in [0, \infty)\} \). Як завжди, нехай\( \mu = \E(X) \) позначають середнє значення часу міжприбуття. Для\( n \in \N_+ \), припустимо тепер, що прибуття або\( n \) прийнято, або відхилено, і визначити випадкову величину,\( Y_n \) щоб бути 1 в першому випадку і 0 в другому. Дозвольте\( Z_n = (X_n, Y_n) \) позначити час взаємоприбуття і відхилення змінної пари для\( n \in \N_+ \), і припустимо, що\( \bs{Z} = (Z_1, Z_2, \ldots) \) це незалежна, ідентично розподілена послідовність.

Зауважте, що у нас є структура процесу винагороди за оновлення, і, зокрема,\( \bs{Y} = (Y_1, Y_2, \ldots) \) є послідовністю випробувань Бернуллі. Нехай\( p \) позначимо параметр цієї послідовності, так що\( p \) є ймовірність прийняття прибуття. Процедура прийняття або відхилення точок у точковому процесі відома як витончення точкового процесу. Ми вивчали витончення процесу Пуассона. У позначенні цього розділу зверніть увагу, що процес винагороди\( \bs{R} = \{R_t: t \in [0, \infty)\} \) - це витончений процес підрахунку. Тобто,\[ R_t = \sum_{i=1}^{N_t} Y_i \] це кількість прийнятих балів в\( [0, t] \) for\( t \in [0, \infty) \). Отже,\( r(t) = \E(R_t) \) очікувана кількість прийнятих балів в\( [0, t] \). Теорема винагороди за оновлення дає асимптотичну поведінку.

Межі для розрідженого процесу.

1. \( R_t / t \to p / \mu \)як\( t \to \infty \)
2. \( r(t) / t \to p / \mu \)як\( t \to \infty \)

Доказ

Це випливає відразу з теореми про винагороду за оновлення вище, оскільки\( \nu = p \).