15.5: Чергування процесів оновлення

\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)\(\newcommand{\cov}{\text{cov}}\)

Основна теорія

Попередні етапи

Процес чергування оновлення моделює систему, яка з часом чергується між двома станами, які ми позначаємо 1 і 0 (тому система запускається в стані 1). Загалом, ми можемо уявити пристрій, який з часом чергується між увімкненим та вимкненим станами. Спеціалізуючись далі, припустимо, що пристрій працює до виходу з ладу, а потім замінюється ідентичним пристроєм, який в свою чергу спрацьовує до виходу з ладу і замінюється і так далі. У цій настройці час функціонування пристрою відповідає включеному стану, тоді як терміни заміни відповідають вимкненому стану. (Пристрій може бути фактично відремонтовано, а не замінено, до тих пір, поки ремонт поверне пристрій до первозданного, нового стану.) Основне припущення полягає в тому, що пари випадкових часів, послідовно проведених в двох станах, утворюють незалежну, однаково розподілену послідовність. Очевидно, що модель системи, що чергується між двома станами, є основною і важливою, але, крім того, такі чергуються процеси часто зустрічаються вбудованими в інші стохастичні процеси.

Давайте налаштуємо математичне позначення. Нехай\( \bs{U} = (U_1, U_2, \ldots) \) позначають послідовні відрізки часу, що система знаходиться в стані 1, і нехай\( \bs{V} = (V_1, V_2, \ldots)\) послідовні відрізки часу, що система знаходиться в стані 0. Отже, щоб бути зрозумілим, система запускається в стані 1 і залишається в цьому стані протягом певного періоду часу\( U_1 \), потім переходить до стану 0 і залишається в цьому стані протягом певного періоду часу\( V_1 \), потім назад до стану 1 протягом певного періоду часу\( U_2 \), і так далі. Наше основне припущення полягає в тому, що\( \bs{W} = \left((U_1, V_1), (U_2, V_2), \ldots\right) \) це незалежна, однаково розподілена послідовність. Звідси випливає, що\( \bs{U} \) і\( \bs{V} \) кожна є незалежними, однаково розподіленими послідовностями, але\( \bs{U} \) і цілком\( \bs{V} \) можуть бути залежними. Насправді,\( V_n \) може бути функцією\( U_n \) for\( n \in \N_+ \). \( \mu = \E(U) \)Позначимо середнє значення родового періоду часу\( U \) в стані 1 і нехай\( \nu = \E(V) \) позначимо середнє значення родового періоду часу\( V \) в стані 0. \( G \)Дозвольте позначити функцію розподілу часового періоду\( U \) в стані 1, і, як завжди, нехай\( G^c = 1 - G \) позначають правильну функцію розподілу (або функцію надійності)\( U \).

Зрозуміло, що це природно розглядати повернення до стану 1 як прибуття в процесі оновлення. Таким чином, нехай\( X_n = U_n + V_n \)\( n \in \N_+ \) і розглянути процес поновлення з інтерприбуття часу\( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots) \). Зрозуміло, що це має сенс, оскільки\( \bs{X} \) є незалежною, однаково розподіленою послідовністю невід'ємних змінних. Здебільшого ми будемо використовувати наші звичайні позначення для процесу поновлення, тому загальна функція розподілу\( X_n = U_n + V_n \) позначається тим\( F \), що процес часу прибуття є\( \bs{T} = (T_0, T_1, \ldots) \), процес підрахунку є\( \{N_t: t \in [0, \infty)\} \), а функція поновлення є\( M \). Але зверніть увагу, що середній час прибуття зараз\( \mu + \nu \).

Процес поновлення, пов'язаний з\( \bs{W} = ((U_1, V_1), (U_2, V_2), \dots) \) побудованим вище, відомий як процес чергування оновлення.

Державний процес

Наш інтерес -\( I_t \) стан системи в часі\( t \in [0, \infty) \), так\( \bs{I} = \left\{I_t: t \in [0, \infty)\right\} \) і стохастичний процес з державним простором\( \{0, 1\} \). Очевидно, що стохастичні процеси\( \bs{W} \) і\( \bs{I} \) рівнозначні в тому сенсі, що ми можемо відновитися один від іншого. Нехай\( p(t) = \P(I_t = 1) \), ймовірність того, що пристрій увімкнено вчасно\( t \in [0, \infty) \). Наш перший основний результат - рівняння відновлення функції\( p \).

Функція\( p \) задовольняє рівнянню відновлення\( p = G^c + p * F \) і, отже,\( p = G^c + G^c * M \).

Доказ

На даний момент підхід повинен бути зрозумілим - ми будемо умовити при першому приїзді\( X_1 \):\[ \P(I_t = 1) = \P(I_t = 1, X_1 \gt t) + \P(I_t = 1, X_1 \le t) = \P(I_t = 1, X_1 \gt t) + \int_0^t \P(I_t = 1 \mid X_1 = s) \, dF(s) \] Але\( \{I_t = 1, X_1 \gt t\} = \{U_1 \gt t) \) так\( \P(I_t = 1, X_1 \gt t) = \P(U_1 \gt t) = G^c(t) \). За основним властивістю оновлення (процес перезапускається, незалежно від минулого, при кожному приїзді)\( \P(I_t = 1 \mid X_1 = s) = p(t - s) \) для\( s \le t \). Отже, ми маємо\[ p(t) = G^c(t) + \int_0^t p(t - s) \, dF(s), \quad t \in [0, \infty) \] або еквівалентно,\( p = G^c + p * F \). За фундаментальною теоремою про рівняння відновлення рішення є\( p = G^c + G^c * M \), так\( p(t) = G^c(t) + \int_0^t G^c(t - s) \, dM(s), \quad t \in [0, \infty) \)

Тепер ми можемо застосувати ключову теорему відновлення, щоб отримати асимптотичну поведінку\( p \).

Якщо процес поновлення неарифметичний, то\[ p(t) \to \frac{\mu}{\mu + \nu} \text{ as } t \to \infty\]

Доказ

З отриманого вище результату,\( p = G^c + G^c * m \). По-перше,\( G^c(t) \to 0 \)\( t \to \infty \) як основна властивість функції розподілу права. Далі, за ключовою теоремою відновлення,\[ (G^c * M)(t) \to \frac{1}{\mu + \nu} \int_0^\infty G^c(s) \, ds \text{ as } t \to \infty \] Але іншим основним властивістю правильної функції розподілу,\( \int_0^\infty G^c(s) \, ds = \mu \).

Таким чином, гранична ймовірність того, що система включена, - це просто відношення середнього періоду включення до середнього періоду включення-виключення. Звідси випливає, звичайно, що\[ \P(I_t = 0) = 1 - p(t) \to \frac{\nu}{\mu + \nu} \text{ as } t \to \infty\] так зокрема, той факт, що система запускається у включеному стані, не має різниці в межі. Ми повернемося до асимптотичної поведінки процесу чергування поновлення в наступному розділі про процеси винагороди за поновлення.

Додатки та особливі випадки

Завдяки розумному визначенню увімкнення та вимкнення багато стохастичних процесів можуть бути перетворені на змінні процеси оновлення, що ведуть, у свою чергу, до цікавих меж, за допомогою основної граничної теореми вище.

Вікові процеси

Останнє зауваження стосується, зокрема, вікових процесів стандартного процесу поновлення. Отже, припустимо, що у нас є процес оновлення з послідовністю взаємоприбуття\( \bs{X} \), послідовністю\( \bs{T} \) прибуття та процесом підрахунку\( \bs{N} \). Як завжди, нехай\( \mu \) позначимо середнє значення і\( F\) функцію розподілу ймовірностей міжприбуття часу, і нехай\( F^c = 1 - F \) позначимо правильну функцію розподілу (або функцію надійності).

Бо\( t \in [0, \infty) \), нагадаємо, що поточна життя, що залишилася життя і загальна життя в часі\( t \) є\[ C_t = t - T_{N_t}, \quad R_t = T_{N_t + 1} - t, \quad L_t = C_t + R_t = T_{N_t+1} - T_{N_t} = X_{N_t + 1} \] відповідно. У звичайній термінології надійності,\( C_t \) це вік пристрою, що знаходиться в експлуатації на час\( t \),\( R_t \) це час, що залишився до виходу цього пристрою з ладу, і\( L_t \) є сумарним терміном служби пристрою. Ми будемо використовувати граничну теорему вище, щоб вивести граничні розподіли цих вікових процесів. Граничні розподіли були отримані раніше, у розділі про граничні теореми відновлення, шляхом прямого застосування ключової теореми відновлення. Тож результати не нові, але метод доказування цікавий.

Якщо процес поновлення не арифметичний, то\[ \lim_{t \to \infty} \P(C_t \le x) = \lim_{t \to \infty} \P(R_t \le x) = \frac{1}{\mu} \int_0^x F^c(y) \, dy, \quad x \in [0, \infty) \]

Доказ

Виправити\( x \in [0, \infty) \). Для поточної межі життя визначте період включення, що відповідає часу міжприбуття,\( X_n \) щоб бути\( U_n = \min\{X_n, x\} \) для\( n \in \N_+ \), так що період відключення є\(V_n = X_n - \min\{X_n, x\} \). Зверніть увагу, що система включена в той час,\( t \in [0, \infty) \) якщо і тільки\( C_t \le x \) тоді, а значить\( p(t) = \P(C_t \le x) \). З граничної теореми вище випливає,\( X \) що\[ \P(C_t \le x) \to \frac{\E[\min\{X, x\}]}{\mu} \text{ as } t \to \infty \] де родовий час взаємоприбуття. Але\[G^c(y) = \P[\min\{X, x\} \gt y] = \P(X \gt y) \bs{1}(x \gt y) = F^c(y) \bs{1}(x \gt y), \quad y \in [0, \infty)\] звідси\[ \E[\min(X, x)] = \int_0^\infty G^c(y) \, dy = \int_0^x F^c(y) \, dy \] Для решти терміну служби ми змінюємо періоди включення-виключення. Таким чином, визначте період включення, що відповідає часу міжприбуття,\( X_n \) щоб бути\( U_n = X_n - \min\{X_n, x\} \) для\( n \in \N_+ \), так що вимкнений період є\( V_n = \min\{X_n, x\} \). Зверніть увагу, що система вимкнена в той час,\( t \) якщо і тільки\( R_t \le x \) тоді, а значить\( 1 - p(t) = \P(R_t \le x) \). З граничної теореми вище,\[ \P(R_t \le x) \to \frac{\E[\min\{X, x\}]}{\mu} \text{ as } t \to \infty \]

Як ми вже зазначали раніше, той факт, що обмежувальні дистрибутиви однакові, не дивно після невеликої роздуми. Після довгого часу процес оновлення виглядає однаково вперед і назад у часі, а поворот стрілки часу змінює ролі поточного та часу, що залишився.

Якщо процес поновлення не арифметичний, то\[ \lim_{t \to \infty} \P(L_t \le x) = \frac{1}{\mu} \int_0^x y \, dF(y), \quad x \in [0, \infty) \]

Доказ

Виправити\( x \in [0, \infty) \). Для\( n \in \N_+ \), визначте період включення, пов'язаний з часом прибуття\( X_n \) по\( U_n = X_n \bs{1}(X_n \gt x) \). Звичайно, період відключення, відповідний\( X_n \) є\(V_n = X_n - U_n \). Таким чином, кожен період поновлення або повністю включений, або повністю вимкнений, залежно від того, чи більше час прибуття\( x \). Зверніть увагу, що система увімкнена в той час\( L_t \gt x \),\( t \in [0, \infty) \) якщо і тільки тоді, так з основної граничної теореми вище,\[ \P(L_t \gt x) \to \frac{1}{\mu} \E[X \bs{1}(X \gt x)] \] де\( X \) є загальним час взаємоприбуття. Але\[ \E[X \bs{1}(X \gt x)] = \int_x^\infty y \, dF(y)\]