13.7: Лотереї
- Page ID
- 99295
Ви розумієте, що шанси на виграш [the lottery] такі ж, як бути каліченим білим ведмедем і звичайним ведмедем в той же день.
— Е*ТРЕЙД бебі, січень 2010.
Лотереї є одними з найпростіших і найбільш широко граються з усіх азартних ігор, і, на жаль, для азартного гравця, серед найгірших з точки зору очікуваної вартості. Лотереї бувають в такій неймовірній кількості варіацій, що аналізувати їх всі недоцільно. Отже, в цьому розділі ми вивчимо деякі найбільш поширені формати лотерей.
Основна лотерея
Базовий формат
Базова лотерея - це випадковий експеримент, в якому гральний будинок (у багатьох випадках державна установа) вибирає\(n\) числа випадковим чином, без заміни, з цілих чисел від 1 до\(N\). Цілочисельні параметри\(N\) і\(n\) варіюються від однієї лотереї до іншої, і звичайно,\(n\) не може бути більше ніж\(N\). Порядок, в якому вибираються числа, зазвичай не має значення, і таким чином в цьому випадку вибірковий простір\(S\) експерименту складається з усіх підмножин (комбінацій) розміру,\(n\) обраних з популяції\(\{1, 2, \ldots, N\}\). \[ S = \left\{ \bs{x} \subseteq \{1, 2, \ldots, N\}: \#(\bs{x}) = n\right\} \]
Нагадаємо, що\[ \#(S) = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n! (N - n)!}\]
Природно, ми припускаємо, що всі подібні комбінації однаково вірогідні, і таким чином\(\bs{X}\), обрана комбінація, основна випадкова величина експерименту, рівномірно розподіляється по\(S\). \[ \P(\bs{X} = \bs{x}) = \frac{1}{\binom{N}{n}}, \quad \bs{x} \in S \]Гравець лотереї сплачує комісію і отримує вибір\(m\) чисел без заміни від 1 до\(N\). Знову ж таки, порядок не має значення, тому гравець по суті вибирає\(\bs{y}\) комбінацію розміру\(m\) з населення\(\{1, 2, \ldots, N\}\). У багатьох випадках так\(m = n\), що гравець отримує можливість вибрати таку ж кількість номерів, як і будинок. Загалом тоді в основній\((N, n, m)\) лотереї є три параметри.
Мета гравця, звичайно, полягає в тому, щоб максимізувати кількість матчів (часто їх називають уловами гемблерів) між її комбінацією\(\bs{y}\) і випадковою комбінацією,\(\bs{X}\) обраної будинком. По суті, гравець намагається вгадати результат випадкового експерименту перед його запуском. Таким чином, давайте\(U = \#(\bs{X} \cap \bs{y})\) позначимо кількість уловів.
Кількість уловів\(U\) у\((N, n, m)\), лотерея має функцію щільності ймовірності, задану\[ \P(U = k) = \frac{\binom{m}{k} \binom{N - m}{n - k}}{\binom{N}{n}}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, m\} \]
Розподіл\(U\) є гіпергеометричним розподілом з параметрами\(N\)\(n\), і\(m\), і детально вивчається в розділі про Моделі скінченної вибірки. Зокрема, з цього розділу випливає, що середнє значення і дисперсія числа уловів\(U\) є\ begin {align}\ E (U) = & n\ frac {m} {N}\\ var (U) = & n\ frac {m} {N}\ left (1 -\ frac {m} {N}\ правий)\ frac {N - n} {N - 1}\ end {align} Зверніть увагу, що\(\P(U = k) = 0\) якщо\(k \gt n\) або\(k \lt n + m - N\). Однак в більшості лотерей\(m \le n\) і\(N\) набагато більше, ніж\(n + m\). У цих поширених випадках функція щільності є позитивною для значень,\(k\) заданих вище.
Ми будемо посилатися на особливий випадок, коли \((N, n)\)лотерея; це\(m = n\) стосується більшості державних лотерей. У цьому випадку функцією щільності ймовірності числа уловів\(U\) є\[ \P(U = k) = \frac{\binom{n}{k} \binom{N - n}{n - k}}{\binom{N}{n}}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, n\} \] Середнє значення і дисперсія кількості уловів\(U\) в даному особливому випадку є\ begin {align}\ E (U) & =\ frac {n^2} {N}\\ var (U) & =\ frac {n^2 (N - n) ^2} {N^2 (N - 1)}\ end {align}
Явно дайте функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення кількості уловів у\((47, 5)\) лотереї.
Відповідь
\(\E(U) = 0.5319148936\),\(\sd(U) = 0.6587832083\)
| \(k\) | \(\P(U = k)\) |
|---|---|
| 0 | 0,5545644 253 |
| 1 | 0,3648 450167 |
| 2 | 0.07484 00034 |
| 3 | 0.005613 0003 |
| 4 | 0.0001369024 |
| 5 | 0.0000006519 |
Явно дайте функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення кількості уловів у\((49, 5)\) лотереї.
Відповідь
\(\E(U) = 0.5102040816\),\(\sd(U) = 0.6480462207\)
| \(k\) | \(\P(U = k)\) |
|---|---|
| 0 | 0.5695 196981 |
| 1 | 0,3559 498113 |
| 2 | 0.0694536217 |
| 3 | 0.0049609730 |
| 4 | 0,0001153715 |
| 5 | 0.0000005244 |
Явно дайте функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення кількості уловів у\((47, 7)\) лотереї.
Відповідь
\(\E(U) = 1.042553191\),\(\sd(U) = 0.8783776109\)
| \(k\) | \(\P(U = k)\) |
|---|---|
| 0 | 0.2964400642 |
| 1 | 0,427 2224454 |
| 2 | 0.2197 144005 |
| 3 | 0.0508598149 |
| 4 | 0.0054983583 |
| 5 | 0,0002604486 |
| 6 | 0.0000044521 |
| 7 | 0.0000000159 |
Аналіз вище базувався на припущенні, що комбінація гравця\(\bs{y}\) підбирається детерміновано. Чи буде мати значення, якщо гравець вибрав комбінацію випадковим чином? Таким чином, припустимо, що вибрана комбінація гравця\(\bs{Y}\) - це випадкова величина, яка приймає значення\(S\). (Наприклад, у багатьох лотереях гравці можуть купувати квитки з комбінаціями, випадково вибраними комп'ютером; це зазвичай називають Quick Pick). Ясно,\(\bs{X}\) і\(\bs{Y}\) повинен бути незалежним, так як гравець (і її рандомізуючий пристрій) не може мати ніяких знань про виграшну комбінацію\(\bs{X}\). Як ви могли здогадатися, така рандомізація не має ніякої різниці.
Давайте\(U\) позначимо кількість уловів в\((N, n, m)\) лотереї, коли комбінація гравця\(\bs{Y}\) є випадковою величиною, незалежною від виграшної комбінації\(\bs{X}\). Потім\(U\) має такий же розподіл, як і в детермінованому випадку вище.
Доказ
Це випливає, обумовлюючи значення\(\bs{Y}\):\[ \P(U = k) = \sum_{\bs{y} \in S} \P(U = k \mid \bs{Y} = \bs{y}) \P(\bs{Y} = \bs{y}) = \sum_{\bs{y} \in S} \P(U = k) \P(\bs{Y} = \bs{y}) = \P(U = k) \]
Існує безліч сайтів, які публікують дані про частоту появи чисел в різних державних лотереях. Деякі гравці, очевидно, відчувають, що деякі цифри щасливіші, ніж інші.
Враховуючи наведені вище припущення та аналіз, чи вважаєте ви, що деякі цифри щасливіші, ніж інші? Чи має математичний сенс вивчати історичні дані для лотереї?
Призові гроші в більшості державних лотерей залежать від продажу лотерейних квитків. Як правило, близько 50% грошей від продажу повертається як призовий фонд, решта йде на адміністративні витрати і прибуток для держави. Загальний призовий фонд ділиться між виграшними квитками, а приз за даний квиток залежить від кількості уловів\(U\). З усіх цих причин неможливо дати простий математичний аналіз очікуваної вартості гри в дану державну лотерею. Однак зауважте, що оскільки держава зберігає фіксований відсоток від продажів, для держави практично немає ризику.
З чистої точки зору азартних ігор державні лотереї - це погані ігри. У більшості ігор казино, для порівняння, 90% або більше грошей, які надходять, повертається гравцям як призові гроші. Звичайно, державні лотереї слід розглядати як форму добровільного оподаткування, а не просто як ігри. Прибуток від лотерей зазвичай використовується для освіти, охорони здоров'я та інших основних послуг. Обговорення вартості і вартості лотерей з політичної та соціальної точки зору (на відміну від математичної) виходить за рамки даного проекту.
Бонусні номери
Багато державних лотерей зараз доповнюють основний\((N, n)\), формат з бонусним номером. Бонусне число\(T\) вибирається з вказаного набору цілих чисел, крім комбінації\(\bs{X}\), обраної як і раніше. Гравець також вибирає бонусний номер\(s\), крім комбінації\(\bs{y}\). Потім приз гравця залежить від кількості уловів\(U\) між\(\bs{X}\) і\(\bs{y}\), як і раніше, а крім того, чи\(s\) відповідає бонусний номер гравця випадковому бонусному номеру,\(T\) обраному будинком. Ми дозволимо\(I\) позначити змінну індикатора цієї останньої події. Таким чином, наш інтерес зараз полягає в спільному розподілі\((I, U)\).
В одному загальному форматі бонусне число\(T\) вибирається випадковим чином з безлічі цілих чисел\(\{1, 2, \ldots, M\}\), незалежно від\(\bs{X}\)\(n\) обраної комбінації розміру\(\{1, 2, \ldots, N\}\). Зазвичай\(M \lt N\). Відзначимо, що при такому форматі гра по суті являє собою дві незалежні лотереї\((N, n)\), одна в форматі, а інша в форматі\((M, 1)\),.
Явно обчислити спільну функцію щільності ймовірності\((I, U)\) для\((47, 5)\) лотереї з незалежним бонусним номером від 1 до 27. Цей формат використовується в Каліфорнійській лотереї, серед інших.
Відповідь
Спільний розподіл\((I, U)\)
| \(\P(I = i, U = k)\) | \(i = 0\) | 1 |
|---|---|---|
| \(k = 0\) | 0.5340250022 | 0.0205394232 |
| 1 | 0.3513322383 | 0.0135 127784 |
| 2 | 0.0720681514 | 0.0027718520 |
| 3 | 0,0054051114 | 0.0002078889 |
| 4 | 0,00013 18320 | 0.0000050705 |
| 5 | 0,0000006278 | 0.0000000241 |
Явно обчислити спільну функцію щільності ймовірності\((I, U)\) для\((49, 5)\) лотереї з незалежним бонусним номером від 1 до 42. Цей формат використовується, серед іншого, у лотереї Powerball.
Відповідь
Спільний розподіл\((I, U)\)
| \(\P(I = i, U = k)\) | \(i = 0\) | 1 |
|---|---|---|
| \(k = 0\) | 0,5559597053 | 0.0135599928 |
| 1 | 0,347 4748158 | 0.0084749955 |
| 2 | 0.0677999641 | 0.0016536577 |
| 3 | 0.0048428546 | 0.0001181184 |
| 4 | 0.0001126245 | 0.0000027469 |
| 5 | 0.0000005119 | 0.0000000125 |
В іншому форматі бонусне число\(T\) вибирається від 1 до\(N\), і відрізняється від цифр в комбінації\(\bs{X}\). Для моделювання цієї гри, ми припускаємо, що\(T\) рівномірно розподілена по\(\{1, 2, \ldots, N\}\)\(T = t\), і задана,\(\bs{X}\) рівномірно розподіляється по безлічі комбінацій\(n\) обраного розміру\(\{1, 2, \ldots, N\} \setminus \{t\}\). Для цього формату функцію щільності ймовірності з'єднання важче обчислити.
Функція щільності ймовірності\((I, U)\) задається\ begin {align}\ P (I = 1, U = k) & =\ frac {\ binom {n} {k}\ binom {N - 1 - n} {n - k}} {N - 1} {n}},\ quad k\ in\ {0, 1,\ ldots, n\}\\ P (I = 0, U = k) & = (N - n + 1)\ frac {\ біном {n} {k}\ біном {N - 1 - n} {n - k}} {N\ binom {N - 1} {n}} + n\ frac {\ біном {n - 1} {k}\ біном {N - n} {n - k}} {N\ binom {N - 1} {n}},\ quad k\ in\ {0, 1,\ ldots, n\}\ end {align}
Доказ
Друге рівняння виходить шляхом кондиціонування на чи\(T \in \{y_1, y_2, \ldots, y_n\}\).
Явно обчислити спільну функцію щільності ймовірності\((I, U)\) для\((47, 7)\) лотереї з бонусним номером, вибраним, як описано вище. Цей формат використовується в лотереї Super 7 Канада, серед інших.
Кено
Кено - це лотерейна гра, яку грають у казино. Для фіксованих\(N\) (зазвичай 80) і\(n\) (зазвичай 20) гравець може грати в ряд основних\((N, n, m)\) ігор, як описано в першому підрозділі. Як правило,\(m\) коливається від 1 до 15, а виграш залежить від\(m\) і кількості уловів\(U\). У цьому розділі ви обчислите функцію щільності, середнє та стандартне відхилення випадкового виграшу, заснованого на одиничній ставці, для типової гри кено з\(N = 80\)\(n = 20\), і\(m \in \{1, 2, \ldots, 15\}\). Таблиці виплати засновані на грі кено в казино Tropicana в Атлантік-Сіті, Нью-Джерсі.
Нагадаємо, що функція щільності ймовірності числа\(U\) уловів вище, задається\[ \P(U = k) = \frac{\binom{m}{k} \binom{80 - m}{20 - k}}{\binom{80}{20}}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, m\} \]
Таблиця виплат для\(m = 1\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 |
|---|---|---|
| Виплата | 0 | 3 |
Відповідь
Підібрати\(m = 1\),\(\E(V) = 0.75\),\(\sd(V) = 1.299038106\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0,75 |
| 3 | 0,25 |
Таблиця виплат для\(m = 2\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Виплата | 0 | 0 | 12 |
Відповідь
Підібрати\(m = 2\),\(E(V) = 0.7353943525\),\(\sd(V) = 5.025285956\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 12 | 0.0601265822 |
Таблиця виплат для\(m = 3\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Виплата | 0 | 0 | 1 | 43 |
Відповідь
Підібрати\(m = 3\),\(\E(V) = 0.7353943525\),\(\sd(V) = 5.025285956\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.8473709834 |
| 1 | 0.1387536514 |
| 43 | 0.0138753651 |
Таблиця виплат для\(m = 4\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Виплата | 0 | 0 | 1 | 3 | 130 |
Відповідь
Підібрати\(m = 4\),\(\E(V) = 0.7406201394\),\(\sd(V) = 7.198935911\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0,7410532505 |
| 1 | 0.2126354658 |
| 3 | 0.0432478914 |
| 130 | 0.0030633923 |
Таблиця виплат для\(m = 5\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Виплата | 0 | 0 | 0 | 1 | 10 | 800 |
Відповідь
Підібрати\(m = 5\),\(\E(V) = 0.7207981892\),\(\sd(V) = 20.33532453\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0,9033276850 |
| 1 | 0.0839350523 |
| 10 | 0.0120923380 |
| 800 | 0.0006449247 |
Таблиця виплат для\(m = 6\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Виплата | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | 95 | 1500 |
Відповідь
Підібрати\(m = 6\),\(\E(V) = 0.7315342885\),\(\sd(V) = 17.83831647\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0,8384179112 |
| 1 | 0.1298 195475 |
| 4 | 0.0285379178 |
| 95 | 0.0030956385 |
| 1500 | 0.0001289849 |
Таблиця виплат для\(m = 7\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Виплата | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 25 | 350 | 8000 |
Відповідь
Підібрати\(m = 7\),\(\E(V) = 0.7196008747\),\(\sd(V) = 40.69860455\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.9384140492 |
| 1 | 0.0521909668 |
| 25 | 0,0086 385048 |
| 350 | 0.0007320767 |
| 8000 | 0.0000244026 |
Таблиця виплат для\(m = 8\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Виплата | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 | 90 | 1500 | 25 000 |
Відповідь
Підібрати\(m = 8\),\(\E(V) = 0.7270517606\),\(\sd(V) = 55.64771986\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.979 1658999 |
| 9 | 0.0183025856 |
| 90 | 0.002367137 |
| 1500 | 0.0001604552 |
| 25 000 | 0.0000043457 |
Таблиця виплат для\(m = 9\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Виплата | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 | 50 | 280 | 4000 | 50 000 |
Відповідь
Підібрати\(m = 9\),\(\E(V) = 0.7270517606\),\(\sd(V) = 55.64771986\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.979 1658999 |
| 9 | 0.0183025856 |
| 90 | 0.002367137 |
| 1500 | 0.0001604552 |
| 25 000 | 0.0000043457 |
Таблиця виплат для\(m = 10\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Виплата | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 22 | 150 | 1000 | 5000 | 100 000 |
Відповідь
Підібрати\(m = 10\),\(\E(V) = 0.7228896221\),\(\sd(V) = 38.10367609\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0,9353401224 |
| 1 | 0.0514 276877 |
| 22 | 0.0114793946 |
| 150 | 0.0016111431 |
| 1000 | 0.0001354194 |
| 5000 | 0.0000061206 |
| 100 000 | 0.0000001122 |
Таблиця виплат для\(m = 11\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Виплата | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 8 | 80 | 400 | 2500 | 25 000 | 100 000 |
Відповідь
Підібрати\(m = 11\),\(\E(V) = 0.7138083347\),\(\sd(V) = 32.99373346\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0,9757 475913 |
| 8 | 0.0202037345 |
| 80 | 0.0036078097 |
| 400 | 0.0004114169 |
| 2500 | 0.0000283736 |
| 25 000 | 0.0000010580 |
| 100 000 | 0.0000000160 |
Таблиця виплат для\(m = 12\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Виплата | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5 | 32 | 200 | 1000 | 5000 | 25 000 | 100 000 |
Відповідь
Підібрати\(m = 12\),\(\E(V) = 0.7167721544\),\(\sd(V) = 20.12030014\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0,9596431653 |
| 5 | 0.0322088520 |
| 32 | 0.0070 273859 |
| 200 | 0.0010195984 |
| 1000 | 0,0000954010 |
| 5000 | 0.0000054280 |
| 25 000 | 0,0000001673 |
| 100 000 | 0.0000000021 |
Таблиця виплат для\(m = 13\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Виплата | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 20 | 80 | 600 | 3500 | 10 000 | 50 000 | 100 000 |
Доказ
Підібрати\(m = 13\),\(\E(V) = 0.7216651326\),\(\sd(V) = 22.68311303\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0,92 13238456 |
| 1 | 0.0638969375 |
| 20 | 0.0123151493 |
| 80 | 0,0021831401 |
| 600 | 0.0002598976 |
| 3500 | 0.000020623 |
| 10 000 | 0.0000009434 |
| 50 000 | 0.00000000240 |
| 100 000 | 0.0000000002 |
Таблиця виплат для\(m = 14\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Виплата | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 9 | 42 | 310 | 1100 | 8000 | 25 000 | 50 000 | 100 000 |
Відповідь
Підібрати\(m = 14\),\(\E(V) = 0.7194160496\),\(\sd(V) = 21.98977077\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0.898036333063 |
| 1 | 0.07258807301 |
| 9 | 0.0195 1285448 |
| 42 | 0.004181636518 |
| 310 | 0.000608238039 |
| 1100 | 0.000059737665 |
| 8000 | 0.000003811015 |
| 25 000 | 0.000000147841 |
| 50 000 | 0.000000003084 |
| 100 000 | 0.000000000026 |
Таблиця виплат для\(m = 15\) наведена нижче. Обчислити функцію щільності ймовірності, середнє значення та стандартне відхилення виграшу.
| Ловить | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Виплата | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 10 | 25 | 100 | 300 | 2800 | 25 000 | 50 000 | 100 000 | 100 000 |
Відповідь
Підібрати\(m = 15\),\(\E(V) = 0.7144017020\),\(\sd(V) = 24.31901706\)
| \(v\) | \(\P(V = v)\) |
|---|---|
| 0 | 0,95333046038902 |
| 1 | 0,00801614417729 |
| 10 | 0.0298897 1956684 |
| 25 | 0.00733 144064847 |
| 100 | 0.001267 16258122 |
| 300 | 0.00015205950975 |
| 2800 | 0.00001234 249267 |
| 25 000 | 0.0000000064960488 |
| 50 000 | 0.00000002067708 |
| 100 000 | 0.0000000000035046 |
| 100 000 | 0.00000000000234 |
У вправах вище ви повинні були помітити, що очікуваний виграш за одиничною ставкою коливається приблизно від 0,71 до 0,75, тому очікуваний прибуток (для азартного гравця) варіюється приблизно від\(-0.25\) до\(-0.29\). Це досить погано для азартного гравця, який грає в гру казино, але, як завжди, приманка дуже високої виплати на невелику ставку для надзвичайно рідкісної події перевизначає очікуваний аналіз вартості для більшості гравців.
З\(m = 15\), показати, що верхні 4 призи (25 000, 50,000, 100,000, 100,000) сприяють лише близько 0,017 (менше 2 центів) до загальної очікуваної вартості близько 0.714.
З іншого боку, стандартне відхилення виграшу варіюється зовсім небагато, приблизно від 1 до приблизно 55.
Хоча гра дуже несприятлива для кожного\(m\), з очікуваним значенням, яке майже постійне, що, на вашу думку, краще для гемблера - формат з високим стандартним відхиленням або формат з низьким стандартним відхиленням?