Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.5: Рулетка

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    99289

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)

    Колесо рулетки

    За словами Річарда Епштейна, рулетка є найстарішою грою казино, яка все ще працює. Його винахід по-різному приписують Блезу Паскалю, італійському математику Дону Паскуале та ряду інших. У будь-якому випадку колесо рулетки вперше було введено в Париж в 1765 році. Ось характеристики колеса:

    (Американське) колесо рулетки має 38 слотів під номером 00, 0 та 1—36.

    1. Слоти 0, 00 зелені;
    2. Слоти 1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36 червоні;
    3. Слоти 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33, 35 чорні.

    Крім 0 і 00, прорізи на колесі чергуються між червоним і чорним. Дивний порядок чисел на колесі призначений для того, щоб високі і низькі числа, а також непарні і парні числа прагнуть чергуватися.

    Стіл для рулетки
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Типове колесо рулетки і стіл

    Експеримент з рулеткою дуже простий. Колесо закручується, а потім невеликий кулька прокочується в паз, у зворотному напрямку, як рух колеса. Зрештою м'яч потрапляє в одну з прорізів. Природно, математично припускаємо, що колесо справедливе, так що випадкова величина,\(X\) яка дає номер слота кулі, рівномірно розподіляється по простору вибірки\(S = \{00, 0, 1, \ldots, 36\}\). Таким чином,\(\P(X = x) = \frac{1}{38}\) для кожного\(x \in S\).

    Ставки

    Як і в craps, рулетка є популярною грою казино через багату різноманітність ставок, які можна зробити. На малюнку вище показаний стіл рулетки і вказуються деякі ставки, які ми будемо вивчати. Всі ставки виявляються однаковим очікуваним значенням (негативним, звичайно). Однак розбіжності відрізняються залежно від ставки.

    Хоча всі ставки в рулетці мають однакове очікуване значення, стандартні відхилення залежать від кількості обраних чисел. Які наслідки цього для азартного гравця?

    Прямі ставки

    Пряма ставка - це ставка на одне число, і платить\(35 : 1\).

    Нехай\(W\) позначають виграш на одиницю прямої ставки. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{37}{38}\),\(\P(W = 35) = \frac{1}{38}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
    3. \(\sd(W) \approx 5.7626\)

    В експерименті з рулеткою виберіть ставку на одне число. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Ставки на дві цифри

    Ставка на 2 числа (або спліт-ставка) - це ставка на два сусідніх номера в рулетці. Ставка платить\(17 : 1\).

    Нехай\(W\) позначають виграш на одиниці спліт ставки. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{18}{19}\),\(\P(W = 17) = \frac{1}{19}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
    3. \(\sd(W) \approx 4.0193\)

    В експерименті з рулеткою виберіть ставку на номер 2. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Ставки на три номери

    Ставка на 3 числа (або ставка на ряд) - це ставка на три числа у вертикальному ряду на столі рулетки. Ставка платить\(11 : 1\).

    Нехай\(W\) позначають виграш на одиничній ставці рядка. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{35}{38}\),\(\P(W = 11) = \frac{3}{38}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
    3. \(\sd(W) \approx 3.2359\)

    В експерименті з рулеткою виберіть ставку на 3 числа. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Ставки на чотири номери

    Ставка на 4 числа або квадратна ставка - це ставка на чотири числа, які утворюють квадрат на столі рулетки. Ставка платить\(8 : 1\).

    Нехай\(W\) позначимо виграш на одиниці ставки 4 числа. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{17}{19}\),\(\P(W = 8) = \frac{2}{19}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
    3. \(\sd(W) \approx 2.7620\)

    В експерименті з рулеткою виберіть ставку на 4 числа. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Шість чисел

    Ставка на 6 чисел або 2-рядна ставка - це ставка на 6 номерів у двох сусідніх рядках столу рулетки. Ставка платить\(5 : 1\).

    Нехай\(W\) позначимо виграш на одиниці ставки 6 чисел. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{16}{19}\),\(\P(W = 5) = \frac{3}{19}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
    3. \(\sd(W) \approx 2.1879\)

    В експерименті з рулеткою виберіть ставку на 6 номерів. Виконайте моделювання 1000 разів та обчислюйте емпіричну функцію щільності та моменти істинної\(W\) щільності ймовірності та моментів. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Дванадцять чисел

    Ставка з 12 чисел - це ставка на 12 чисел. Зокрема, ставка на стовпці робиться ставка на будь-який з трьох стовпців з 12 чисел, що йдуть горизонтально уздовж столу. Інші ставки на 12 номерів - це перші 12 (1-12), середні 12 (13-24) та останні 12 (25-36). Ставка на 12 номерів платить\(2 : 1\).

    Нехай\(W\) позначають виграш на одиниці ставки з 12 чисел. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{13}{19}\),\(\P(W = 2) = \frac{6}{19}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
    3. \(\sd(W) \approx 1.3945\)

    В експерименті з рулеткою виберіть ставку на 12 номерів. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Вісімнадцять числових ставок

    Ставка на 18 чисел - це ставка на 18 чисел. Зокрема, Кольорова ставка - це ставка або на червоний, або на чорний. Парна ставка - це ставка на непарні числа від 1 до 36 або парні числа від 1 до 36. Низька ставка - це ставка на цифри 1-18, а висока - це ставка на цифри від 19-36. Ставка на 18 номерів платить\(1 : 1\).

    Нехай\(W\) позначимо виграш на одиниці ставки на 18 чисел. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{10}{19}\),\(\P(W = 1) = \frac{9}{19}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{19} \approx -0.0526\)
    3. \(\sd(W) \approx 0.9986\)

    В експерименті з рулеткою виберіть ставку на 18 номерів. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?