Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.4: Кістки

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    99288

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)

    Основна гра

    Craps - популярна гра в казино, через свою складність і через багату різноманітність ставок, які можна зробити.

    Стіл для кістолів
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Типовий стіл для кісток

    За словами Річарда Епштейна, кістки походить від більш ранньої гри, відомої як небезпеки, що датується середньовіччям. Формальні правила для небезпеки були встановлені Монморт на початку 1700-х років. Походження назви craps оповите сумнівами, але воно, можливо, походить від англійських крабів або від французького Crapeaud (для жаби).

    З математичної точки зору, крапс цікавий тим, що це приклад випадкового експерименту, який проходить поетапно; еволюція гри критично залежить від результату першого рулону. Зокрема, число рулонів є випадковою величиною.

    Визначення

    Правила для кісток такі:

    Гравець (відомий як шутер) кидає пару чесних кубиків

    1. Якщо сума дорівнює 7 або 11 при першому кидку, стрілок виграє; ця подія називається природним.
    2. Якщо сума дорівнює 2, 3 або 12 на першому кидку, стрілок програє; ця подія називається craps.
    3. Якщо сума дорівнює 4, 5, 6, 8, 9 або 10 на першому кидку, це число стає точкою стрілка. Стрілець продовжує котити кістки, поки або вона не кидає точку знову (в цьому випадку вона виграє) або кидає 7 (в цьому випадку вона програє).

    Поки стрілок виграє, або програє, котивши кістки, вона перетренує кістки і продовжує. Після того, як вона програє, не в змозі зробити свою точку зору, кістки передаються наступному шутеру.

    Розглянемо гру в кісточки математично. Наше основне припущення, звичайно, полягає в тому, що кістки справедливі і що результати різних кидків незалежні. Нехай\(N\) позначають (випадкове) число рулонів в грі і нехай\((X_i, Y_i)\) позначають результат\(i\) го рулону для\(i \in \{1, 2, \ldots, N\}\). Нарешті, нехай\(Z_i = X_i + Y_i\), сума балів на\(i\) го рулону, і нехай\(V\) позначимо подію, що стрілок виграє.

    У експерименті з кісточками натисніть один крок кілька разів і спостерігайте за результатами. Переконайтеся, що ви розумієте правила гри.

    Імовірність виграшу

    Розрахуємо ймовірність того, що стрілок виграє поетапно, виходячи з результату першого броску.

    Сума балів\(Z\) на заданому рулоні має функцію щільності ймовірності в наступній таблиці:

    \(z\) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    \(\P(Z = z)\) \(\frac{1}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{1}{36}\)

    Імовірність того, що гравець зробить свою точку зору, можна обчислити за допомогою простого обумовлюючого аргументу. Наприклад, припустимо, що гравець кидає 4 спочатку, так що 4 - це точка. Гравець продовжує до тих пір, поки вона або не кине 4 знову, або не кине 7. Таким чином, остаточний кидок буде елементом наступного набору:\[ S_4 = \{(1,3), (2,2), (3,1), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\} \] Оскільки кістки справедливі, ці результати однаково вірогідні, тому ймовірність того, що гравець зробить їй 4 очка, є\(\frac{3}{9}\). Аналогічний аргумент можна використовувати і для інших пунктів. Ось результати:

    Імовірності винесення\(z\) крапки наведені в наступній таблиці:

    \(z\) 4 5 6 8 9 10
    \(\P(V \mid Z_1 = z)\) \(\frac{3}{9}\) \(\frac{4}{10}\) \(\frac{5}{11}\) \(\frac{5}{11}\) \(\frac{4}{10}\) \(\frac{3}{9}\)

    Імовірність того, що стрілок виграє, є\(\P(V) = \frac{244}{495} \approx 0.49293\)

    Доказ

    Це випливає з правил гри і попереднього результату, шляхом кондиціонування на першому кидку:

    \[ \P(V) = \sum_{z=2}^{12} \P(Z_1 = z) \P(I = 1 \mid Z_1 = z) \]

    Зверніть увагу, що кісточки - це майже чесна гра. Заради повноти наступний результат дає ймовірність виграшу, враховуючи очко на першому кидку.

    \( \P(V \mid Z_1 \in \{4, 5, 6, 8, 9, 10\}) = \frac{67}{165} \approx 0.406 \)

    Доказ

    Нехай\( A = \{4, 5, 6, 8, 9, 10\} \). З визначення умовної ймовірності,\[ \P(V \mid Z_1 \in A) = \frac{\P(V \cap \{Z_1 \in A\})}{\P(Z_1 \in A)} \] Для чисельника, використовуючи наші результати вище,\[ \P(V \cap \{Z_1 \in A\}) = \sum_{z \in A} \P(V \mid Z_1 = z) \P(Z_1 = z) = \frac{134}{495} \] Також з попередніх результатів\( \P(Z_1 \in A) = \frac{2}{3} \).

    Ставки

    Існує дивує різноманітність ставок, які можна робити в кістки. У вправах цього підрозділу ми обговоримо деякі типові ставки та обчислимо функцію щільності ймовірності, середнє та стандартне відхилення кожного. (Більшість з цих ставок проілюстровані на малюнку таблиці craps вище). Однак зверніть увагу, що деякі деталі ставок і, зокрема коефіцієнти виплат, варіюються від одного казино до іншого. Звичайно, очікуване значення будь-якої ставки неминуче негативне (для азартного гравця), і таким чином азартний гравець приречений втратити гроші в довгостроковій перспективі. Тим не менш, як ми побачимо, деякі ставки кращі за інші.

    Пройдіть і не проходите

    Ставка на пропуск - це ставка, яку стрілок виграє і платить\(1 : 1\).

    Нехай\(W\) позначають виграш від одиниці прохідної ставки. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{251}{495}\),\(\P(W = 1) = \frac{244}{495}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{7}{495} \approx -0.0141\)
    3. \(\sd(W) \approx 0.9999\)

    У експерименті з кісточками виберіть ставку на проходження. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Ставка не проходить - це ставка, яку стрілок програє, за винятком того, що 12 на першому кидку виключається (тобто стрілок програє, звичайно, але не проходить краще ні виграє, ні програє). Це значення фрази не проходьте бар подвійний 6 на столі craps. Ставка не проходить також платить\(1 : 1\).

    Нехай\(W\) позначають виграш за одиницю не пройти ставку. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{244}{495}\),\(\P(W = 0) = \frac{1}{36}\),\(\P(W = 1) = \frac{949}{1980}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{27}{1980} \approx -0.01363\)
    3. \(\sd(W) \approx 0.9859\)

    Таким чином, ставка не проходить трохи краще для азартного гравця, ніж ставка на пропуск.

    У експерименті з кісточками виберіть ставку не проходити. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Ставка come та ставка don't come аналогічні ставкам на пас і не проходять відповідно, за винятком того, що вони робляться після встановлення точки.

    Поле

    Ставка на поле - це ставка на результат наступного кидка. Він платить,\(1 : 1\) якщо кинуто 3, 4, 9, 10 або 11,\(2 : 1\) якщо кинуто 2 або 12, і програє інакше.

    Нехай\(W\) позначимо виграш для ставки на поле одиниці. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{5}{9}\),\(\P(W = 1) = \frac{7}{18}\),\(\P(W = 2) = \frac{1}{18}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{18} \approx -0.0556\)
    3. \(\sd(W) \approx 1.0787\)

    В експерименті з кісточками виберіть ставку на поле. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Сім і одинадцять

    Ставка 7 - це ставка на результат наступного кидка. Він платить,\(4 : 1\) якщо 7 кидається. Аналогічно, ставка 11 - це ставка на результат наступного кидка, і платить,\(15 : 1\) якщо кинутий 11. Незважаючи на романтику числа 7, наступна вправа показує, що ставка 7 є однією з найгірших ставок, які ви можете зробити.

    Нехай\(W\) позначають виграш за одиницю 7 ставки. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{5}{6}\),\(\P(W = 4) = \frac{1}{6}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{6} \approx -0.1667\)
    3. \(\sd(W) \approx 1.8634\)

    У експерименті з кісточками виберіть ставку 7. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Нехай\(W\) позначимо виграш за одиницю 11 ставки. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{17}{18}\),\(\P(W = 15) = \frac{1}{18}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{9} \approx -0.1111\)
    3. \(\sd(W) \approx 3.6650\)

    У експерименті з кісточками виберіть ставку 11. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Крейпс

    Усі ставки на кістки - це ставки на наступний кидок. Основна ставка в кістки платить,\(7 : 1\) якщо 2, 3 або 12 кинутий. Ставка в кістки 2 платить,\(30 : 1\) якщо 2 кидається. Аналогічно, ставка в кістки 12 платить,\(30 : 1\) якщо 12 кинутий. Нарешті, ставка в кістки 3 платить,\(15 : 1\) якщо 3 кидається.

    Нехай\(W\) позначимо виграш за одиницю ставки в кістки. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{8}{9}\),\(\P(W = 7) = \frac{1}{9}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{9} \approx -0.1111\)
    3. \(\sd(W) \approx 5.0944\)

    У експерименті з кісточками виберіть ставку на кісток. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Нехай\(W\) позначають виграш за одиницю кісток 2 ставки або одиниці кістки 12 ставки. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{35}{36}\),\(\P(W = 30) = \frac{1}{36}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{5}{36} \approx -0.1389\)
    3. \(\sd(W) = 5.0944\)

    У експерименті з кісточками виберіть ставку на кісток 2. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    У експерименті з кісточками виберіть ставку 12 кісток. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Нехай\(W\) позначають виграш за одиницю кісток 3 ставки. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{17}{18}\),\( \P(W = 15) = \frac{1}{18} \)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{9} \approx -0.1111\)
    3. \(\sd(W) \approx 3.6650\)

    У експерименті з кісточками виберіть ставку 3. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Таким чином, з ставок на кістки, основна ставка на кістки і ставка в кістки 3 найкраще підходять для азартного гравця, а кістки 2 і кістки 12 є найгіршими.

    Велика шістка і велика вісімка

    Велика ставка 6 - це ставка, яка 6 кидається перед 7. Аналогічно, велика ставка 8 - це ставка, яка 8 кидається перед 7. Обидва платять навіть гроші\(1 : 1\).

    Нехай\(W\) позначають виграш для одиниці великої ставки 6 або одиниці великої ставки 8. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{6}{11}\),\(\P(W = 1) = \frac{5}{11}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{11} \approx -0.0909\)
    3. \(\sd(W) \approx 0.9959\)

    У експерименті з кісточками виберіть велику ставку 6. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    У експерименті з кісточками виберіть велику ставку 8. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Ставки на хардвей

    Ставка на жорсткий шлях може бути зроблена на будь-який з чисел 4, 6, 8 або 10. Це ставка, що обраний номер\(n\) буде кинутий жорсткий шлях\( (n/2, n/2) \), як, перш ніж 7 буде кинуто і до того, як обраний номер буде кинутий в будь-якій іншій комбінації. Hardway ставки на 4 і 10 платять\(7 : 1\), в той час як хардвей ставки на 6 і 8 платять\(9 : 1\).

    Нехай\(W\) позначають виграш для одиниці хардвей 4 або хардвей 10 ставки. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{8}{9}\),\(\P(W = 7) = \frac{1}{9}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{9} \approx -0.1111\)
    3. \(\sd(W) = 2.5142\)

    У експерименті з кісточками виберіть ставку hardway 4. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    У крєпсі експеримент, виберіть hardway 10 ставку. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Нехай\(W\) позначають виграш для одиниці хардвей 6 або хардвей 8 ставки. Тоді

    1. \(\P(W = -1) = \frac{10}{11}\),\(\P(W = 9) = \frac{1}{11}\)
    2. \(\E(W) = -\frac{1}{11} \approx -0.0909\)
    3. \(\sd(W) \approx 2.8748\)

    У експерименті з кісточками виберіть ставку hardway 6. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну щільність і моменти з\(W\) істинною щільністю і моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    У експерименті з кісточками виберіть ставку Hardway 8. Виконайте моделювання 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності та моменти з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності та моментами. Припустимо, що ви ставите $1 на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    Таким чином, ставки hardway 6 і 8 краще, ніж ставки Hardway 4 і 10 для гемблера, з точки зору очікуваного значення.

    Розподіл кількості рулонів

    Далі обчислимо розподіл і моменти кількості рулонів\(N\) в грі в кістки. Ця випадкова величина не представляє особливого інтересу для казино або гравців, але забезпечує хорошу математичну вправу. За визначенням, якщо стрілок виграє або програє на першому кидку,\(N = 1\). В іншому випадку стрілок продовжується до тих пір, поки вона або не зробить свою точку, або котиться 7. В цьому останньому випадку ми можемо використовувати геометричний розподіл, на\(\N_+\) якому регулюється пробний номер першого успіху в послідовності випробувань Бернуллі. Розподіл\(N\) являє собою суміш розподілів.

    Функція щільності ймовірності\(N\) є

    \[ \P(N = n) = \begin{cases} \frac{12}{36}, & n = 1 \\ \frac{1}{24} \left(\frac{3}{4}\right)^{n-2} + \frac{5}{81} \left(\frac{13}{18}\right)^{n-2} + \frac{55}{648} \left(\frac{25}{36}\right)^{n-2}, & n \in \{2, 3, \ldots\} \end{cases} \]
    Доказ

    Спочатку зверніть увагу, що\(\P(N = 1 \mid Z_1 = z) = 1\) для\(z \in \{2, 3, 7, 11, 12\}\). Далі,\(\P(N = n \mid Z_1 = z) = p_z (1 - p_z)^{n-2}\) для\(n \in \{2, 3, \ldots\}\) і для значень\(z\) і\(p_z\) наведено в наступній таблиці:

    \(z\) 4 5 6 8 9 10
    \(p_z\) \(\frac{9}{36}\) \(\frac{10}{36}\) \(\frac{11}{36}\) \(\frac{11}{36}\) \(\frac{10}{36}\) \(\frac{9}{36}\)

    Таким чином, умовний розподіл\(N - 1\) заданого\(Z = z\) є геометричним з ймовірністю\(p_z\). Кінцевий результат тепер випливає з кондиціонування на першому рулоні:\[ \P(N = n) = \sum_{z=2}^{12} \P(Z_1 = z) \P(N = n \mid Z_1 = z) \]

    Перші кілька значень функції щільності ймовірності\(N\) наведені в наступній таблиці:

    \(n\) 1 2 3 4 5
    \(\P(N = n)\) 0,3333 0,1827 0,13477 0.09657 0.06926

    Знайдіть ймовірність того, що гра в кістки триватиме не менше 8 рулонів.

    Відповідь

    0.09235

    Середнє значення і дисперсія кількості рулонів

    1. \(\E(N) = \frac{557}{165} \approx 3.3758\)
    2. \(\var(N) = \frac{245\,672}{27\,225} \approx 9.02376\)
    Доказ

    Ці результати також можна отримати шляхом кондиціонування на першому рулоні:\ begin {вирівнювання}\ E (N) & =\ E\ left [\ E (N\ mid Z_1)\ праворуч] =\ frac {557} {165}\\ E (N^2) & =\ E\ left [\ E\ left (N^2\ mid Z_1\ праворуч)\ праворуч] =\ frac {61\ ,769} {3025}\ кінець {вирівнювання}