Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.3: Прості ігри в кістки

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    99282

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)

    У цьому розділі ми проаналізуємо кілька простих ігор, зіграних з dice— покерні кістки, чак-а-удача та хай-лоу. Гра в казино craps є більш складною і вивчається в наступному розділі.

    Гравці в кістки
    Ілюстрація\(\PageIndex{1}\): Гравці в кістки Жоржа де ла Тура (c. 1651). Детальніше про вплив ймовірності в живописі дивіться допоміжний матеріал по мистецтву.

    Покер Dice

    Визначення

    Гра в покерні кістки трохи схожа на стандартний покер, але грається з кістками замість карт. У покерних кубиках кидаються 5 чесних кісток. Ми запишемо результат нашого випадкового експерименту як (впорядковану) послідовність балів:\[\bs{X} = (X_1, X_2, X_3, X_4, X_5)\] Таким чином, простір вибірки є\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^5\). Оскільки кістки справедливі, наше основне припущення моделювання полягає в тому, що\(\bs{X}\) це послідовність незалежних випадкових величин, і кожна з них рівномірно розподілена на\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).

    \(\bs{X}\)Аналогічно, рівномірно розподіляється на\(S\):\[\P(\bs{X} \in A) = \frac{\#(A)}{\#(S)}, \quad A \subseteq S\]

    У статистичному плані рука в покер кістки - це випадкова вибірка розміром 5, намальована з заміною та щодо порядку від населення\(D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Докладніше про цю тему див. розділ про моделі скінченної вибірки. Зокрема, в цьому розділі ви дізнаєтеся, що результат вправи 1 не відповідає дійсності, якби ми записали результат експерименту з покерних кісток як невпорядкований набір замість впорядкованої послідовності.

    Цінність руки

    \(V\)Значення руки покерних кісток є випадковою величиною з набором підтримки\(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Значення визначаються наступним чином:

    1. Ніхто не схожий. П'ять різних балів відбуваються.
    2. Одна пара. Чотири різних балів відбуваються; один бал відбувається двічі, а інші три бали відбуваються один раз кожен.
    3. Дві пари. Три різні бали відбуваються; один бал відбувається двічі, а інші три бали відбуваються один раз кожен.
    4. Три роду. Відбуваються три різні бали; один бал відбувається три рази, а інші два бали відбуваються один раз кожен.
    5. Фул Хаус. Дві різні бали відбуваються; один бал відбувається три рази, а інший - двічі.
    6. Четвірка короля. Дві різні бали відбуваються; один бал відбувається чотири рази, а інший рахунок відбувається один раз.
    7. П'ять у своєму роді. Після того, як оцінка відбувається п'ять разів.

    Запустіть експеримент з покерними кістками 10 разів в однокроковому режимі. Для кожного результату зверніть увагу, що значення випадкової величини відповідає типу руки, як зазначено вище.

    Функція щільності ймовірності

    Обчислення функції щільності ймовірності\(V\) є хорошим вправою в комбінаторної ймовірності. У наступних вправах нам знадобляться два основних правила комбінаторики для підрахунку кількості послідовностей кубиків заданого типу: правило множення та правило додавання. Нам також знадобляться деякі основні комбінаторні структури, зокрема комбінації та перестановки (з типами об'єктів, які ідентичні).

    Кількість різних рук в покер кістки є\(\#(S) = 6^5 = 7776\).

    \(\P(V = 0) = \frac{720}{7776} = 0.09259\).

    Доказ

    Зверніть увагу, що бали кубиків утворюють перестановку розміру 5 з\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\).

    \(\P(V = 1) = \frac{3600}{7776} \approx 0.46296\).

    Доказ

    Наступні кроки формують алгоритм генерації рук покерних кісток однією парою. Також наведено кількість способів виконання кожного кроку:

    1. Виберіть рахунок, який з'явиться двічі:\(6\)
    2. Виберіть 3 бали, які з'являться один раз:\(\binom{5}{3}\)
    3. Виберіть перестановку 5 чисел частинами (a) та (b):\(\binom{5}{2, 1, 1, 1}\)

    \(\P(V = 2) = \frac{1800}{7776} \approx 0.23148\).

    Доказ

    Наступні кроки формують алгоритм генерації рук в покер кістки з двома парами. Також наведено кількість способів виконання кожного кроку:

    1. Виберіть два бали, які з'являтимуться двічі кожен:\(\binom{6}{2}\)
    2. Виберіть рахунок, який з'явиться один раз:\(4\)
    3. Виберіть перестановку 5 чисел частинами (a) та (b):\(\binom{5}{2, 2, 1}\)

    \(\P(V = 3) = \frac{1200}{7776} \approx 0.15432\).

    Доказ

    Наступні кроки формують алгоритм генерації покерних кубиків рук з трьома подібними. Також наведено кількість способів виконання кожного кроку:

    1. Виберіть рахунок, який з'явиться 3 рази:\(6\)
    2. Виберіть 2 бали, які з'являться один раз:\(\binom{5}{2}\)
    3. Виберіть перестановку 5 чисел частинами (a) та (b):\(\binom{5}{3, 1, 1}\)

    \(\P(V = 4) = \frac{300}{7776} \approx 0.03858\).

    Доказ

    Наступні кроки формують алгоритм генерації покерних кісток рук з аншлагом. Також наведено кількість способів виконання кожного кроку:

    1. Виберіть рахунок, який з'явиться 3 рази:\(6\)
    2. Виберіть рахунок, який з'явиться двічі:\(5\)
    3. Виберіть перестановку 5 чисел частинами (a) та (b):\(\binom{5}{3, 2}\)

    \(\P(V = 5) = \frac{150}{7776} = 0.01929\).

    Доказ

    Наступні кроки формують алгоритм генерації покерних кубиків рук з чотирма подібними. Також наведено кількість способів виконання кожного кроку:

    1. Виберіть рахунок, який з'явиться 4 рази:\(6\)
    2. Виберіть рахунок, який з'явиться один раз: 5
    3. Виберіть перестановку 5 чисел частинами (a) та (b):\(\binom{5}{4, 1}\)

    \(\P(V = 6) = \frac{6}{7776} \approx 0.00077\).

    Доказ

    Є 6 варіантів для рахунку, який з'явиться 5 разів.

    Запустіть експеримент з покерними кістками 1000 разів і порівняйте функцію відносної частоти з функцією щільності.

    Знайдіть ймовірність прокатки руки, яка має 3 виду або краще.

    Відповідь

    0,2130

    В експерименті з покерних кісток встановіть критерій зупинки на значення\(V\) наведеного нижче. Зверніть увагу на кількість необхідних рук.

    1. \(V = 3\)
    2. \(V = 4\)
    3. \(V = 5\)
    4. \(V = 6\)

    Чак-а-Лук

    Chuck-a-Luck - популярна карнавальна гра, в яку грають три кістки. За словами Річарда Епштейна, оригінальна назва була Sweat Cloth, а в англійських пабах гра відома як Корона і Якір (тому що шість сторін кістки вписані трефи, алмази, серця, піки, корона і якір). Кістки мають великі розміри і зберігаються в клітці у формі пісочного годинника, відомої як клітка для птахів. Кістки згортаються, обертаючи пташину клітку.

    Чак-а-удача дуже простий. Гемблер вибирає ціле число від 1 до 6, а потім три кістки кидаються. Якщо точно\(k\) кістки показують номер гравця, виграш є\(k : 1\). Як і у випадку з покерними кістками, наше основне математичне припущення полягає в тому, що кістки справедливі, і\(\bs{X} = (X_1, X_2, X_3)\) тому вектор результату рівномірно розподілений на просторі вибірки\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^3\).

    Давайте\(Y\) позначимо кількість кубиків, які показують номер гравця. Потім\(Y\) має біноміальний розподіл з параметрами\(n = 3\) і\(p = \frac{1}{6}\):\[\P(Y = k) = \binom{3}{k} \left(\frac{1}{6}\right)^k \left(\frac{5}{6}\right)^{3 - k}, \quad k \in \{0, 1, 2, 3\}\]

    Нехай\(W\) позначають чистий виграш для одиничної ставки. Тоді

    1. \(W = - 1\)якщо\(Y = 0\)
    2. \(W = Y\)якщо\(Y \gt 0\)

    Функція щільності ймовірності\(W\) задається

    1. \(\P(W = -1) = \frac{125}{216}\)
    2. \(\P(W = 1) = \frac{75}{216}\)
    3. \(\P(W = 2) = \frac{15}{216}\)
    4. \(\P(W = 3) = \frac{1}{216}\)

    Виконайте експеримент чака-а-удачі 1000 разів і порівняйте емпіричну функцію щільності з\(W\) істинною функцією щільності ймовірності.

    Очікувана величина і\(W\) дисперсія

    1. \(\mathbb{E}(W) = -\frac{17}{216} \approx 0.0787\)
    2. \(\text{var}(W) = \frac{75815}{46656} \approx 1.239\)

    Запустіть експеримент чак-а-удачі 1000 разів і порівняйте емпіричне середнє і стандартне відхилення\(W\) від істинного середнього і стандартного відхилення. Припустимо, ви поставили 1 долар на кожну з 1000 ігор. Яким буде ваш чистий виграш?

    High-Low

    У грі хай-лоу кидається пара чесних кубиків. Результат є

    • висока, якщо сума дорівнює 8, 9, 10, 11 або 12.
    • низька, якщо сума дорівнює 2, 3, 4, 5 або 6
    • сім, якщо сума дорівнює 7

    Гравець може робити ставки на будь-який з трьох результатів. Виплата за ставку високої або за низьку ставку є\(1:1\). Виплата за ставку в сім є\(4:1\).

    Нехай\(Z\) позначимо результат гри хай-лоу. Знайдіть функцію щільності ймовірності\(Z\).

    Відповідь

    \(\P(Z = h) = \frac{15}{36}\),\(\P(Z = l) = \frac{15}{36}\)\(\P(Z = s) = \frac{6}{36}\), Де\(h\) позначає високий,\(l\) позначає низький, а\(s\) позначає сім.

    Нехай\(W\) позначають чистий виграш для одиничної ставки. Знайдіть очікуване значення та дисперсію\(W\) для кожної з трьох ставок:

    1. високий
    2. низький
    3. сім
    Відповідь

    Нехай\(W\) позначають чистий виграш на одиницю ставки в хай-лоу.

    1. Ставка висока:\(\E(W) = -\frac{1}{6}\),\(\var(W) = \frac{35}{36}\)
    2. Низька ставка:\(\E(W) = -\frac{1}{6}\),\(\var(W) = \frac{35}{36}\)
    3. Ставка сім:\(\E(W) = -\frac{1}{6}\),\(\var(W) = \frac{7}{2}\)