13.2: Покер

\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\jack}{\text{j}}\)\(\newcommand{\queen}{\text{q}}\)\(\newcommand{\king}{\text{k}}\)

Основна теорія

Рука покеру

Колода карт, природно, має структуру набору продуктів і, таким чином, може бути змодельована математично,\[ D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \jack, \queen, \king\} \times \{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\} \] де перша координата представляє номінал або вид (туз, від двох до 10, валет, дама, король) і де друга координата представляє костюм (трефи, діамант, сердечка, піки). Іноді ми представляємо карту як рядок, а не впорядковану пару (наприклад\(\queen \, \heartsuit\)).

Існує багато різних покерних ігор, але нас буде цікавити стандартний draw poker, який складається з роздачі 5 карт навмання з колоди\(D\). Порядок карт не має значення в draw poker, тому ми запишемо результат нашого випадкового експерименту як випадковий набір (рука)\(\bs{X} = \{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5\}\) де\(X_i = (Y_i, Z_i) \in D\) для кожного\(i\) і\(X_i \ne X_j\) за\(i \ne j\). Таким чином, вибірковий простір складається з усіх можливих покерних рук:\[ S = \left\{\{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\}: x_i \in D \text{ for each } i \text{ and } x_i \ne x_j \text{ for all } i \ne j \right\} \] Наше основне моделювання припущення (і значення терміна навмання) полягає в тому, що всі покерні руки однаково вірогідні. Таким чином, випадкова величина\(\bs{X}\) рівномірно розподіляється по безлічі можливих покерних рук\(S\). \[ \P(\bs{X} \in A) = \frac{\#(A)}{\#(S)} \]У статистичному плані покерна рука - це випадкова вибірка розміром 5, намальована без заміни і без урахування замовлення з боку населення\(D\). Докладніше про цю тему див. розділ про моделі скінченної вибірки.

Цінність руки

Є дев'ять різних типів покер руки з точки зору вартості. Ми будемо використовувати цифри від 0 до 8 для позначення значення руки, де 0 - тип найменшого значення (фактично немає значення) і 8 тип найбільшого значення.

Значення руки\(V\) покерної руки є випадковою величиною, яка приймає значення від 0 до 8, і визначається наступним чином:

0. Немає значення. Рука не має жодного з інших типів.
1. Одна пара. Рука має 2 карти одного виду, і по одній карті кожна з трьох інших видів.
2. Дві пари. Рука має 2 карти одного виду, 2 карти іншого виду і одну карту третього роду.
3. Три роду. Рука має 3 карти одного виду і по одній карті кожного з двох інших видів.
4. Пряма. Види карт в руці утворюють послідовну послідовність, але карти не всі в одній масті. Туз можна вважати найменшим номіналом або найбільшим номіналом.
5. Флеш. Карти всі в одній масті, але види карт не утворюють послідовної послідовності.
6. Фул Хаус. Рука має 3 карти одного виду і 2 карти іншого виду.
7. Четвірка з роду. Рука має 4 карти одного виду, і 1 карта іншого виду.
8. Стріт Флеш. Карти всі в одній масті і види утворюють послідовну послідовність.

Запустіть покерний експеримент 10 разів в однокроковому режимі. Для кожного результату зверніть увагу, що значення випадкової величини відповідає типу руки, як зазначено вище.

Для деякого комічного полегшення, перш ніж ми перейдемо до аналізу, подивіться на дві картини собак, які грають в покер CM Coolidge.

1. Його станція і чотири тузи
2. Ватерлоо

Функція щільності ймовірності

Обчислення функції щільності ймовірності\(V\) є хорошим вправою в комбінаторної ймовірності. У наступних вправах нам потрібні два основних правила комбінаторики для підрахунку кількості покерних рук заданого типу: правило множення і правило додавання. Нам також потрібні деякі основні комбінаторні структури, зокрема комбінації.

Кількість різних покерних рук\[ \#(S) = \binom{52}{5} = 2\,598\,960 \]

\(\P(V = 1) = 1\,098\,240 / 2\,598\,960 \approx 0.422569\).

Доказ

Наступні кроки формують алгоритм генерації покерних рук однією парою. Також наведено кількість способів виконання кожного кроку.

1. Виберіть вид картки:\(13\)
2. Виберіть 2 карти такого роду в частині (а):\(\binom{4}{2}\)
3. Виберіть 3 види карт, відмінних від виду в (а):\(\binom{12}{3}\)
4. Виберіть картку кожного з видів у частині (c):\(4^3\)

\(\P(V = 2) = 123\,552 / 2\,598\,960 \approx 0.047539\).

Доказ

Наступні кроки формують алгоритм генерації покерних рук з двома парами. Також наведено кількість способів виконання кожного кроку.

1. Виберіть два види карт:\(\binom{13}{2}\)
2. Виберіть дві карти кожного з видів у (a):\(\binom{4}{2} \binom{4}{2}\)
3. Виберіть вид картки, відмінної від видів у (а):\(11\)
4. Виберіть картку такого типу в (c):\(4\)

\(\P(V = 3) = 54\,912 / 2\,598\,860 \approx 0.021129\).

Доказ

Наступні кроки формують алгоритм генерації покерних рук з трьома подібними. Також наведено кількість способів виконання кожного кроку.

1. Виберіть вид картки:\(13\)
2. Виберіть 3 карти такого роду в (a):\(\binom{4}{3}\)
3. Виберіть 2 види карт, відмінних від виду в (а):\(\binom{12}{2}\)
4. Виберіть одну картку кожного з видів у (c):\(4^2\)

\(\P(V = 8) = 40 / 2\,598\,960 \approx 0.000015\).

Доказ

Наступні кроки формують алгоритм генерації покерних рук зі стріт-флеш. Також наведено кількість способів виконання кожного кроку.

1. Виберіть вид найнижчої карти в послідовності:\(10\)
2. Виберіть костюм:\(4\)

\(\P(V = 4) = 10\,200 / 2\,598\,960 \approx 0.003925\).

Доказ

Наступні кроки формують алгоритм генерації покерних рук зі стріт-або стріт-флеш. Також наведено кількість способів виконання кожного кроку.

1. Виберіть вид найнижчої карти в послідовності:\(10\)
2. Виберіть карту кожного виду в послідовності:\(4^5\)

Нарешті, нам потрібно відняти кількість прямих змивів вище, щоб отримати кількість рук з прямою.

\(\P(V = 5) = 5108 / 2\,598\,960 \approx 0.001965\).

Доказ

Наступні кроки формують алгоритм генерації покерних рук з флеш або стріт-флеш. Також наведено кількість способів виконання кожного кроку.

1. Виберіть костюм:\(4\)
2. Виберіть 5 карт масті в (а):\(\binom{13}{5}\)

Нарешті, нам потрібно відняти кількість прямих змивів вище, щоб отримати кількість рук з флеш.

\(\P(V = 6) = 3744 / 2\,598\,960 \approx 0.001441\).

Доказ

Наступні кроки формують алгоритм генерації покерних рук з аншлагом. Також наведено кількість способів виконання кожного кроку.

1. Виберіть вид картки:\(13\)
2. Виберіть 3 карти такого роду в (a):\(\binom{4}{3}\)
3. Виберіть інший вид карти:\(12\)
4. Виберіть 2 карти такого роду в (c):\(\binom{4}{2}\)

\(\P(V = 7) = 624 / 2\,598\,960 \approx 0.000240\).

Доказ

Наступні кроки формують алгоритм генерації покерних рук з чотирма подібними. Також наведено кількість способів виконання кожного кроку.

1. Виберіть вид картки:\(13\)
2. Виберіть 4 карти такого роду в (a):\(1\)
3. Виберіть інший вид карти:\(12\)
4. Виберіть картку такого типу в (c):\(4\)

\(\P(V = 0) = 1\,302\,540 / 2\,598\,960 \approx 0.501177\).

Доказ

За правилом доповнення,\(\P(V = 0) = 1 - \sum_{k=1}^8 \P(V = k)\)

Зверніть увагу, що функція щільності ймовірності\(V\) зменшується; чим цінніше тип руки, тим менше ймовірність виникнення типу руки. Зауважте також, що ніякої вартості та однієї пари не припадає більше 92% всіх покерних рук.

У покерному експерименті зверніть увагу на форму графіка щільності. Зауважте, що деякі ймовірності настільки малі, що вони по суті невидимі на графіку. Тепер запустіть покерну руку 1000 разів і порівняйте функцію відносної частоти з функцією щільності.

У покерному експерименті встановіть критерій зупинки на значення\(V\) наведеного нижче. Зверніть увагу на кількість необхідних покерних рук.

1. \(V = 3\)
2. \(V = 4\)
3. \(V = 5\)
4. \(V = 6\)
5. \(V = 7\)
6. \(V = 8\)

Знайдіть ймовірність отримати руку, яка є трьома або кращими.

Відповідь

0.0287

У фільмі Пастка для батьків (1998) обидва близнюки отримують прямі флеші на тій же угоді з покеру. Знайдіть ймовірність цієї події.

Відповідь

\(3.913 \times 10^{-10}\)

Класифікувати\(V\) за рівнем вимірювання: номінальний, порядковий, інтервал або співвідношення. Чи є очікуване значення\(V\) значущим?

Відповідь

Порядковий. Ні.

Рука з парою тузів і парою вісімок (і п'ятою картою іншого типу) називається рукою мерця. Назва носить на честь Дикого Білла Хікока, який тримав таку руку в момент свого вбивства в 1876 році. Знайдіть ймовірність попадання руки небіжчика.

Відповідь

\(1584 / 2\,598\,960\)

Картки для малювання

У нічийному покері кожен гравець отримує покерну руку і є початковий раунд ставок. Як правило, кожен гравець потім отримує скинути до 3 карт і видається така кількість карт з решти колоди. Це призводить до безлічі проблем з умовною ймовірністю, оскільки часткова інформація стає доступною. Повний аналіз виходить далеко за рамки даного розділу, але ми розглянемо комплекс простих прикладів.

Припустимо, що рука Фреда є\(\{4\,\heartsuit, 5\,\heartsuit, 7\,\spadesuit, \queen\,\clubsuit, 1\,\diamondsuit\}\). Фред\(\queen\,\clubsuit\) відкидає\(1\,\diamondsuit\) і витягує дві нові карти, сподіваючись завершити прямий. Зверніть увагу, що Фред повинен отримати 6 і або 3 або 8. Оскільки йому не вистачає середнього номіналу (6), Фред малює внутрішню пряму. Знайдіть ймовірність того, що Фред успішний.

Відповідь

\(32 / 1081\)

Припустимо, що рука Вільми є\(\{4\,\heartsuit, 5\,\heartsuit, 6\,\spadesuit, \queen\,\clubsuit, 1\,\diamondsuit\}\). Вільма скидає\(\queen\,\clubsuit\)\(1\,\diamondsuit\) і витягує дві нові карти, сподіваючись завершити прямий. Зверніть увагу, що Вільма повинна отримати 2 і 3, або 7 і 8, або 3 і 7. Знайдіть ймовірність того, що Вільма успішна. Зрозуміло, що Вільма має більше шансів, ніж у Фреда.

Відповідь

\(48 / 1081\)