13.1: Вступ до азартних ігор

\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\cov}{\text{cov}}\)\(\newcommand{\cor}{\text{cor}}\)

Азартні ігри та ймовірність

Азартні ігри є одними з найдавніших людських винаходів. Використання певного типу п'яткової кістки тварин (званої астрагалом або розмовно кістяком) як сирої матриці датується приблизно 3600 до н.е. Сучасна шестигранна вмирає датується 2000 роком до н.е., а термін кістки використовується як сленговий вираз для кубиків донині (як в рулоні кісток). Саме через цих давніх походжень, до речі, ми використовуємо матрицю як фундаментальний символ в цьому проекті.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Штучний кісточок із стеатиту, з веб-сайту Arjan Verweij Dice

Азартні ігри тісно переплітаються з розвитком ймовірності як математичної теорії. Більшу частину раннього розвитку ймовірності, зокрема, стимулювали особливі азартні проблеми, такі як

• Проблема ДеМіра
• проблема Пепі
• проблема точок
• Петербурзька проблема

Деякі з найперших книг з теорії ймовірностей були написані для аналізу азартних ігор, наприклад Liber de Ludo Aleae (Книга про азартні ігри), Джироламо Кардано, і Есе d' Аналіз sur les Jeux de Hazard (Аналітичний есе про азартні ігри), П'єр-Ремон Монморт. Проблеми з азартними іграми продовжують бути джерелом цікавих і глибоких проблем, ймовірно, і донині (див. Обговорення Red and Black для прикладу).

Ілюстрація\(\PageIndex{2}\): Алегорія Фортуни Доссо Доссі (бл. 1591 р.), Музей Гетті. Більше зображень азартних ігор на картині дивіться в допоміжному матеріалі по мистецтву.

Звичайно, важливо мати на увазі, що прориви, ймовірно, навіть коли вони спочатку мотивовані проблемами азартних ігор, часто є глибоко важливими в природничих науках, соціальних науках, юриспруденції та медицині. Крім того, азартні ігри надають деякі з концептуально чітких і найчистіших прикладів випадкових експериментів, і, таким чином, їх аналіз може бути дуже корисним для студентів ймовірності.

Однак ніщо в цьому розділі не повинно тлумачитися як заохочення вас, ніжного читача, грати в азартні ігри. Навпаки, наш аналіз покаже, що в довгостроковій перспективі процвітають лише гральні будинки. Азартний гравець, неминуче, є сумною жертвою закону великих чисел.

У цьому розділі ми вивчимо кілька цікавих азартних ігор. Покер, покерні кістки, кістки та рулетка - популярні ігри в салоні та казино. Проблема Монті Холла, з іншого боку, цікава через суперечки, які вона породила. Лотерея - це основний спосіб, який багато держав і націй використовують для збору грошей (добровільний податок, свого роду).

Термінологія

Обговоримо деякі основні термінології, які будуть використовуватися в декількох розділах цієї глави. Припустимо, що\(A\) це подія в випадковому експерименті. Математичні коефіцієнти, що\(A\) стосуються стосуються ймовірності\(A\).

Якщо\(a\) і\(b\) є додатними числами, то за визначенням такі еквівалентні:

1. шанси на користь\(A\) є\(a : b\).
2. \(\P(A) = \frac{a}{a + b}\).
3. шанси проти\(A\) є\(b : a\).
4. \(\P(A^c) = \frac{b}{a + b}\).

У багатьох випадках\(a\) і\(b\) можуть бути задані як позитивні цілі числа без загальних факторів.

Точно так само припустимо, що\(p \in [0, 1]\). Наступні еквівалентні:

1. \(\P(A) = p\).
2. Шанси на користь\(A\) є\(p : 1 - p\).
3. \(\P(A^c) = 1 - p\).
4. Шанси проти\(A\) є\(1 - p : p\).

З іншого боку, шанси будинку на подію відносяться до виплати, коли ставка робиться на подію.

Ставка на подію\(A\) платить\(n : m\) означає, що якщо гравець робить ставку на\( m \) одиниці,\( A \) то

1. Якщо\(A\) відбувається, гравець отримує\(m\) одиниці назад і додаткові\(n\) одиниці (для чистого прибутку\(n\))
2. Якщо\(A\) цього не відбувається, гравець програє ставку\(m\) одиниць (для чистого прибутку\(-m\)).

Аналогічно, азартний гравець виставляє\(m\) одиниці (ставки на\(A\)), будинок виставляє\(n\) одиниці, (ставки на\(A^c\)) і переможець бере банк. Звичайно, це, як правило, не потрібно для азартного гравця, щоб зробити ставку точно\(m\); менше або більше ставка масштабується належним чином. Таким чином, якщо азартний гравець ставить\(k\) одиниці і виграє, його виплата є\(k \frac{n}{m}\).

Природно, наш основний інтерес полягає в чистому виграші, якщо ми робимо ставку на подію. Наступний результат дає функцію щільності ймовірності, середнє значення та дисперсію для одиничної ставки. Очікувана величина особливо цікава, оскільки за законом великих чисел вона дає довгостроковий виграш або програш, за одиницю ставки.

Припустимо, що шанси на користь події\(A\) є\(a : b\) і що ставка на подію\(A\) платить\(n : m\). Нехай\(W\) позначають виграш від одиниці ставки на\(A\). Тоді

1. \(\P(W = -1) = \frac{b}{a + b}\),\(\P\left(W = \frac{n}{m}\right) = \frac{a}{a + b}\)
2. \(\E(W) = \frac{a\,n - b m}{m(a + b)}\)
3. \(\var(W) = \frac{a b (n + m)^2}{m^2 (a + b)^2}\)

Зокрема, очікуване значення ставки дорівнює нулю тоді і тільки тоді\(a n = b m\), позитивне, якщо і тільки якщо\(a n \gt b m\), і негативне, якщо і тільки якщо\(a n \lt b m\). Перший випадок означає, що ставка справедлива, і відбувається, коли виграш збігається з коефіцієнтом проти події. Друге означає, що ставка вигідна для азартного гравця, і відбувається, коли виграш більше, ніж коефіцієнти проти події. Третій випадок означає, що ставка несправедлива по відношенню до азартного гравця, і відбувається, коли виграш менше, ніж коефіцієнт проти події. На жаль, всі ігри казино потрапляють в третю категорію.

Більше про кістки

Форми кубиків

Стандартна плашка, звичайно ж, являє собою куб з шістьма сторонами. Трохи загалом, більшість реальних кубиків мають форму платонічних твердих тіл, названих на честь Платона природно. Грані платонічного твердого тіла є конгруентними правильними багатокутниками. Більше того, однакова кількість граней зустрічається на кожній вершині, тому всі ребра та кути також є конгруентними.

П'ять платонічних твердих тіл

1. Тетраедр, з 4 сторонами.
2. Шестигранник (куб), з 6 сторонами
3. Октаедр, з 8 сторонами
4. Додекаедр, з 12 сторонами
5. Ікосаедр, з 20 сторін

Ілюстрація\(\PageIndex{3}\): Блакитні платонічні кістки з Вікіпедії

Зверніть увагу, що 4-стороння матриця - це єдина платонічна матриця, в якій результатом є обличчя, яке знаходиться вниз, а не вгору (або, можливо, краще думати про вершину, яка є результатом).

Справедливі та криві кістки

Нагадаємо, що справедлива смерть - це та, в якій особи однаково вірогідні. Крім чесних кубиків, існують різні типи кривих кубиків. Для стандартної шестигранної матриці існує три криві типи, які ми часто використовуємо в цьому проекті. Щоб зрозуміти геометрію, нагадаємо, що при стандартній шестигранній матриці протилежні грані складають 7.

Плоскі кістки

1. Туз-шість плоска матриця - це шестигранна матриця, в якій грані 1 і 6 мають ймовірність\(\frac{1}{4}\) кожного, тоді як грані 2, 3, 4 та 5 мають ймовірність\(\frac{1}{8}\) кожного.
2. Два-п'ять плоска матриця - це шестигранна матриця, в якій грані 2 і 5 мають ймовірність\(\frac{1}{4}\) кожного, тоді як грані 1, 3, 4 та 6 мають ймовірність\(\frac{1}{8}\) кожного.
3. Три-чотири плоска матриця - це шестигранна матриця, в якій грані 3 та 4 мають ймовірність\(\frac{1}{4}\) кожного, тоді як грані 1, 2, 5 та 6 мають ймовірність\(\frac{1}{8}\) кожного.

Плоска матриця, як випливає з назви, - це плашка, яка не є кубом, а скоріше коротше в одному з трьох напрямків. Конкретні ймовірності, які ми використовуємо (\(1/4\)і\(1/8\)), є фіктивними, але істотна властивість плоскої матриці полягає в тому, що протилежні грані на коротшій осі мають трохи більші ймовірності (оскільки вони мають трохи більші площі), ніж інші чотири грані. Плоскі кістки іноді використовуються гравцями для обману.

В експерименті з кубиками виберіть одну матрицю. Проведіть експеримент 1000 разів у кожному з наступних випадків і спостерігайте за результатами.

1. ярмарок померти
2. туз-шість плоска матриця
3. два-п'ять плоских штампів
4. три-чотири плоскі плашки

Симуляція

Дуже легко змоделювати справедливу матрицю з випадковим числом. Нагадаємо, що стельова функція\(\lceil x \rceil\) дає найменше ціле число, яке є принаймні таким же великим, як\(x\).

Припустимо, що\(U\) рівномірно розподіляється на інтервалі\((0, 1]\), так що\(U\) має стандартний рівномірний розподіл (випадкове число). Потім\(X = \lceil 6 \, U \rceil\) рівномірно розподіляється по знімальному майданчику\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) і так імітує справедливу шестигранну плашку. Більш загально,\(X = \lceil n \, U \rceil\) рівномірно розподіляється на\(\{1, 2, \ldots, n\}\) і так імітує справедливу\(n\) односторонню матрицю.

Ми також можемо використовувати справжню справедливу матрицю для імітації інших видів чесних кубиків. Нагадаємо, що якщо\(X\) рівномірно розподіляється по\(\{1, 2, \ldots, n\}\) і\(k \in \{1, 2, \ldots, n - 1\}\), то умовний розподіл\(X\) заданого, що\(X \in \{1, 2, \ldots, k\}\) рівномірно розподіляється по\(\{1, 2, \ldots, k\}\). Таким чином, припустимо, що у нас справжній, справедливий,\(n\) -односторонній померти. Якщо ми ігноруємо результати більше, ніж\(k\) тоді, ми імітуємо справедливу\(k\) односторонню смерть. Наприклад, припустимо, що у нас є ретельно побудований ікосаедр, який є справедливою 20-гранною матрицею. Ми можемо імітувати справедливу 13-сторонню матрицю, просто прокатавши матрицю та зупинившись, як тільки у нас буде оцінка від 1 до 13.

Щоб дізнатися, як імітувати руку картки, див. Вступ до моделей скінченної вибірки. Загальний метод моделювання випадкових величин заснований на квантильній функції.