10.3: Випадкові трикутники

\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\area}{\text{area}}\)

Попередні етапи

Постановка проблеми

Припустимо, що паличка випадковим чином зламана в двох місцях. Яка ймовірність того, що три частини утворюють трикутник?

Не дивлячись нижче, зробіть припущення.

Виконайте експеримент з трикутником 50 разів. Не турбуйтеся про всю інформацію, що відображається в додатку, а просто зверніть увагу, чи утворюють частини трикутник. Хотіли б ви переглянути свою здогадку?

Математична формулювання

Як завжди, першим кроком є математичне моделювання випадкового експерименту. Ми візьмемо довжину палиці як нашу одиницю довжини, щоб ми могли ідентифікувати палицю з інтервалом\([0, 1]\). Щоб розбити палицю на три частини, нам просто потрібно виділити дві точки в проміжку. Таким чином, давайте\(X\) позначимо першу вибрану точку і другу\(Y\) вибрану точку. Зверніть увагу, що\(X\) і\(Y\) є випадковими величинами і, отже, вибірковий простір нашого експерименту є\( S = [0, 1]^2 \). Тепер, щоб змоделювати твердження про те, що точки вибираються випадковим чином, припустимо, як і в попередніх розділах, що\(X\) і\(Y\) є незалежними і кожна рівномірно розподілена по\([0, 1]\).

\((X, Y)\)Випадкова точка рівномірно розподілена по\(S = [0, 1]^2\).

Звідси\[ \P\left[(X, Y) \in A\right] = \frac{\area(A)}{\area(S)} \]

Трикутники

Імовірність трикутника

Три частини утворюють трикутник тоді і лише тоді, коли трикутник трикутник трикутник трикутник дотримується: сума довжин будь-яких двох частин повинна бути більшою за довжину третього шматка.

Подія, що шматочки утворюють трикутник - це\(T_1 \cup T_2\) де

1. \(T_1 = \left\{ (x, y) \in S: y \gt \frac{1}{2}, \; x \lt \frac{1}{2}, \; y - x \lt \frac{1}{2} \right\}\)
2. \(T_2 = \left\{ (x, y) \in S: x \gt \frac{1}{2}, \; y \lt \frac{1}{2}, \; x - y \lt \frac{1}{2} \right\}\)

Ескіз заходу\(T\) наведено нижче. Цікаво,\(T\) що складається з трикутників!

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Подія\( T = T_1 \cup T_2 \), що шматочки утворюють трикутник

Імовірність того, що шматки утворюють трикутник, є\(\P(T) = \frac{1}{4}\).

Наскільки близько ви прийшли зі своїм початковим здогадом? Відносне\( \P(T) \) низьке значення трохи дивує.

Виконайте експеримент трикутника 1000 разів і порівняйте емпіричну ймовірність з\(T^c\) істинною ймовірністю.

Трикутники різних типів

Тепер обчислимо ймовірність того, що частини утворюють трикутник заданого типу. Нагадаємо, що в гострому трикутнику всі три кути менше 90°, тоді як тупий трикутник має один кут (і тільки один), який більше 90°. Прямокутний трикутник, звичайно, має один кут 90°.

Припустимо, що трикутник має довжини сторін\(a\)\(b\)\(c\), і, де\(c\) найбільший з них. Трикутник - це

1. гострий якщо і тільки якщо\(c^2 \lt a^2 + b^2\).
2. тупий якщо і тільки якщо\(c^2 \gt a^2 + b^2\).
3. право, якщо і тільки якщо\(c^2 = a^2 + b^2\).

Частина (в), звичайно ж, знаменита теорема Піфагора, названа на честь давньогрецького математика Піфагора.

Рівняння прямокутного трикутника для частин палиці

1. \((y - x)^2 = x^2 + (1 - y)^2\)в\(T_1\)
2. \((1 - x)^2 = x^2 + (y - x)^2\)в\(T_1\)
3. \(x^2 = (y - x)^2 + (1 - y)^2\)в\(T_1\)
4. \((x - y)^2 = y^2 + (1 - x)^2\)в\(T_2\)
5. \((1 - x)^2 = y^2 + (x - y)^2\)в\(T_2\)
6. \(y^2 = (x - y)^2 + (1 - x)^2\)в\(T_2\)

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Події, що фігури утворюють гострі і тупі трикутники

Нехай\(R\) позначимо подію, що шматочки утворюють прямокутний трикутник. Потім\(\P(R) = 0\).

Подія, що шматочки утворюють гострий трикутник - це\(A = A_1 \cup A_2\) де

1. \(A_1\)область всередині кривих (a), (b) і (c) рівнянь прямокутного трикутника.
2. \(A_2\)область всередині кривих (d), (e) і (f) рівнянь прямокутного трикутника.

Подія, що шматочки утворюють тупий трикутник - це\(B = B_1 \cup B_2 \cup B_3 \cup B_4 \cup B_5 \cup B_6\) де

1. \(B_1\),\(B_2\), і\(B_3\) є областями всередині\(T_1\) та зовні кривих (a), (b) та (c) рівнянь прямокутного трикутника відповідно.
2. \(B_4\),\(B_5\), і\(B_6\) є областями всередині\(T_2\) та зовні кривих (d), (e) та (f) рівнянь прямокутного трикутника відповідно.

Імовірність того, що шматки утворюють тупий трикутник, дорівнює\[ \P(B) = \frac{9}{4} - 3 \ln(2) \approx 0.1706 \]

Доказ

Просте обчислення показує, що\(\P(B_i) = 3/8 - \ln(2) / 2\) для кожного\(i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Наприклад\ почати {вирівняти}\ P (B_1) & =\ int_0^ {1/2}\ розриву {x\, (1 - 2\, x)} {2\, x}\, dx\\\ P (B_3) & =\ int_0^ {1/2}\ ліворуч (y +\ frac {1} {2\, y} -\ frac {3} {2}\ right)\, dy\ end {align} З симетрії також випливає,\(\P(B_i)\) що однаково для кожного\(i\).

Імовірність того, що шматки утворюють гострий трикутник, дорівнює\[ \P(A) = 3 \ln(2) - 2 \approx 0.07944 \]

Доказ

Зверніть увагу на те\(A \cup B \cup R = T\), що\(A\), і\(B\), і\(R\) розмежовуються.

Виконайте експеримент трикутника 1000 разів і порівняйте емпіричні ймовірності з істинними ймовірностями.