10.2: Парадокс Бертрана

\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\area}{\text{area}}\)

Попередні етапи

Постановка проблеми

Задача Бертрана полягає в тому, щоб знайти ймовірність того, що випадкова хорда на колі буде довшою довжини сторони вписаного рівностороннього трикутника. Проблема названа на честь французького математика Жозефа Луї Бертрана, який вивчав проблему в 1889 році.

Виявляється, як ми побачимо, є (як мінімум) три відповіді на проблему Бертрана, в залежності від того, як інтерпретує словосполучення випадковий акорд. Відсутність унікальної відповіді вважалося в той час парадоксом, адже передбачалося (наївно, заднім числом), що повинен бути єдиний природний відповідь.

Проведіть експеримент Бертрана 100 разів для кожної з наступних моделей. Не турбуйтеся про точне значення моделей, але подивіться, чи зможете ви виявити різницю в поведінці результатів

1. Рівномірна відстань
2. Рівномірний кут
3. Рівномірна кінцева точка

Математична формулювання

Щоб сформулювати задачу математично,\((0, 0)\) візьмемо за центр кола і візьмемо радіус кола рівним 1. Ці припущення не тягнуть за собою втрати спільності, оскільки вони складають вимірювання відстаней щодо центру кола, і прийняття радіуса кола як одиниці довжини. Тепер розглянемо акорд на колі. Обертаючи коло, можна припустити, що одна точка хорди є,\((1, 0)\) а інша точка -\((X, Y)\) де\(Y \gt 0\) і\(X^2 + Y^2 = 1\).

При цих припущеннях акорд повністю задається шляхом надання будь-якої з наступних змінних:

1. (Перпендикулярна) відстань\(D\) від центру кола до середини хорди. Зауважте, що\(0 \le D \le 1\).
2. Кут\(A\) між\(x\) -віссю і лінією від центру кола до середини хорди. Зауважте, що\(0 \le A \le \pi / 2\).
3. Горизонтальна координата\(X\). Зауважте, що\(-1 \le X \le 1\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Акорд в колі

Змінні пов'язані наступним чином:

1. \(D = \cos(A)\)
2. \(X = 2 D^2 - 1\)
3. \(Y = 2 D \sqrt{1 - D^2}\)

Зворотні відносини наведені нижче. Зауважте ще раз, що між\(X\),\(A\) і є відповідності один до одного\(D\).

1. \(A = \arccos(D)\)
2. \(D = \sqrt{\frac{1}{2}(x + 1)}\)
3. \(D = \sqrt{\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{1 - y^2} }\)

Якщо хорда генерується імовірнісним чином,,,\(D\)\(A\)\(X\), і\(Y\) стають випадковими величинами. У світлі попередніх результатів, вказуючи розподіл будь-якої зі змінних\(D\)\(A\), або\(X\) повністю визначає розподіл всіх чотирьох змінних.

Кут\(A\) - це також кут між хордою і дотичною лінією до кола в\((1, 0)\).

Тепер розглянемо рівносторонній трикутник, вписаний в коло так, щоб одна з вершин була\((1, 0)\). Розглянемо хорду, визначену верхньою стороною трикутника.

Для цієї хорди змінні кута, відстані та координат задаються наступним чином:

1. \(a = \pi / 3\)
2. \(d = 1 / 2\)
3. \(x = -1 / 2\)
4. \(y = \sqrt{3} / 2\)

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Вписаний рівносторонній трикутник

Тепер припустимо, що акорд обраний імовірнісний спосіб.

Довжина хорди більше довжини сторони вписаного рівностороннього трикутника тоді і тільки в тому випадку, якщо виникають такі еквівалентні умови:

1. \(0 \lt D \lt 1 / 2\)
2. \(\pi / 3 \lt A \lt \pi / 2\)
3. \(-1 \lt X \lt -1 / 2\)

Моделі

Коли об'єкт генерується випадковим чином, послідовності натуральних змінних, що визначають об'єкт, слід надати відповідний рівномірний розподіл. Координати центру монети є такою послідовністю в експерименті з монетами Буффона; змінні кута та відстані є такою послідовністю в експерименті з голкою Буффона. Суть парадоксу Бертрана полягає в тому, що відстань\(D\)\(A\), кут і координата\(X\) кожного здаються природною змінною, що визначає хорду, але виходять різні моделі, в залежності від яких дається рівномірний розподіл.

Модель з рівномірною відстанню

Припустимо,\(D\) що рівномірно розподіляється на проміжку\([0, 1]\).

Рішення проблеми Бертрана полягає в\[ \P \left( D \lt \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \]

В експерименті Бертрана виберіть модель рівномірної відстані. Виконайте експеримент 1000 разів і порівняйте відносну частотну функцію події хорди з істинною ймовірністю.

Кут\(A\) має функцію щільності ймовірності\[ g(a) = \sin(a), \quad 0 \lt a \lt \frac{\pi}{2} \]

Доказ

Це випливає зі стандартної формули зміни змінних.

Координата\(X\) має функцію щільності ймовірності\[ h(x) = \frac{1}{\sqrt{8 (x + 1)}}, \quad -1 \lt x \lt 1 \]

Доказ

Це випливає зі стандартної формули зміни змінних.

Зверніть увагу, що\(A\) і\(X\) не мають рівномірних розподілів. Нагадаємо, що випадкове число - це моделювання змінної зі стандартним рівномірним розподілом, тобто безперервним рівномірним розподілом на інтервалі\( [0, 1) \).

Покажіть, як імітувати\(D\)\(A\),\(X\),, і\(Y\) використання випадкового числа.

Відповідь

\(A = \arccos(D)\),\(X = 2 D^2 - 1\),\(Y = 2 D \sqrt{1 - D^2}\), Де\(D\) є випадковим числом

Модель з рівномірним кутом

Припустимо,\(A\) що рівномірно розподіляється на проміжку\((0, \pi / 2)\).

Рішення проблеми Бертрана полягає в\[ \P\left(A \gt \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{3} \]

В експерименті Бертрана виберіть модель рівномірного кута. Виконайте експеримент 1000 разів і порівняйте відносну частотну функцію події хорди з істинною ймовірністю.

Відстань\(D\) має функцію щільності ймовірності\[ f(d) = \frac{2}{\pi \sqrt{1 - d^2}}, \quad 0 \lt d \lt 1 \]

Доказ

Це випливає зі стандартної зміни змінних формули.

Координата\(X\) має функцію щільності ймовірності\[ h(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{1 - x^2}}, \quad -1 \lt x \lt 1 \]

Доказ

Це випливає зі зміни змінних формули.

Зверніть увагу, що\(D\) і\(X\) не мають рівномірних розподілів.

Покажіть, як імітувати\(D\)\(A\),\(X\),, і\(Y\) використання випадкового числа.

Відповідь

\(A = \frac{\pi}{2} U\),\(D = \cos(A)\),\(X = 2 D^2 - 1\)\(Y = 2 D \sqrt{1 - D^2}\), Де\(U\) - випадкове число.

Модель з рівномірною кінцевою точкою

Припустимо,\(X\) що рівномірно розподіляється на проміжку\((-1, 1)\).

Рішення проблеми Бертрана полягає в\[ \P \left( -1 \lt X \lt -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} \]

В експерименті Бертрана виберіть рівномірну модель кінцевої точки. Виконайте експеримент 1000 разів і порівняйте відносну частотну функцію події хорди з істинною ймовірністю.

Відстань\(D\) має функцію щільності ймовірності\[ f(d) = 2 d, \quad 0 \lt d \lt 1 \]

Доказ

Це випливає зі зміни змінних формули.

Кут\(A\) має функцію щільності ймовірності\[ g(a) = 2 \sin(a) \cos(a), \quad 0 \lt a \lt \frac{\pi}{2} \]

Доказ

Це випливає зі зміни змінних формули.

Зверніть увагу, що\(D\) і\(A\) не мають рівномірних розподілів; по суті,\(D\) має бета-розподіл з лівим параметром 2 і правим параметром 1.

Фізичні експерименти

Припустимо, що випадковий акорд генерується шляхом кидання монети радіусом 1 на стіл, що правиться з паралельними лініями, які знаходяться на відстані 2 один від одного. Яка з моделей (якщо така є) буде застосовуватися до цього фізичного експерименту?

Відповідь

Рівномірна відстань

Припустимо, що до краю диска радіусом 1 прикріплена голка. Випадковий акорд генерується обертанням голки. Яка з моделей (якщо така є) буде застосовуватися до цього фізичного експерименту?

Відповідь

Рівномірний кут

Припустимо, що на краю диска радіусом 1 будується тонкий жолоб. Прокатка кулі в кориті генерує випадкову точку на колі, тому випадкова хорда генерується шляхом прокатки м'яча двічі. Яка з моделей (якщо така є) буде застосовуватися до цього фізичного експерименту?

Відповідь

Рівномірний кут