10.1: Проблеми Буффона

\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\area}{\text{area}}\)

Експерименти Буффона - це дуже старі і відомі випадкові експерименти, названі на честь графа де Буффона. Ці експерименти вважаються одними з перших задач з геометричної ймовірності.

Експеримент з монетами Буффона

Експеримент з монетами Буффона складається з випадкового падіння монети на підлогу, покриту плитками однакової форми. Цікава подія полягає в тому, що монета перетинає тріщину між плитками. Ми будемо моделювати проблему монети Буффона з квадратними плитками довжини сторони 1 - припускаючи, що довжина сторони дорівнює 1 еквівалентно прийняттю довжини сторони як одиниці виміру.

припущення

Для початку визначимося з експериментом математично. Як завжди, ми ідеалізуємо фізичні об'єкти, припускаючи, що монета - це ідеальне коло з радіусом\(r\) і що тріщини між плитками є відрізками ліній. Природним способом опису результату експерименту є запис центру монети щодо центру плитки, де монета потрапляє. Точніше, побудуємо координатні осі так, щоб плитка, куди падає монета, займала квадрат\( S = \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]^2 \).

Тепер, коли монета кидається, ми позначимо центр монети\((X, Y) \in S\) таким чином, що\(S\) це наш зразок простору і\(X\) і\(Y\) є нашими основними випадковими величинами. Нарешті, будемо вважати, що\(r \lt \frac{1}{2}\) так, щоб монета як мінімум могла потрапити всередину квадрата, не торкаючись тріщини.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Пол Буффона

Далі нам потрібно визначити відповідну міру ймовірності, яка описує наш основний випадковий вектор\((X, Y)\). Якщо монета випадковим чином падає на підлогу, то природно припустити,\((X, Y)\) що рівномірно розподілена по\(S\). За визначенням це означає, що

\[ \P[(X, Y) \in A] = \frac{\area(A)}{\area(S)}, \quad A \subseteq S \]

Запустіть експеримент з монетами Buffon з настройками за замовчуванням. Слідкуйте за тим, як точки, здається, заповнюють простір\(S\) зразка рівномірно.

Імовірність перетину тріщини

Наш інтерес полягає в ймовірності того випадку\(C\), коли монета перетинає тріщину.

Імовірність перетину тріщини є\(\P(C) - 1 - (1 - 2 r)^2\).

Доказ

Малюнок\(\PageIndex{2}\):\( \P(C) \) як функція\( r \)

У експерименті з монетами Буффона змініть радіус за допомогою смуги прокрутки і спостерігайте, як відбуваються події\(C\)\(C^c\) та змінюються. Проведіть експеримент з різними значеннями\(r\) і порівняйте фізичний експеримент з точками в розсіювачі. Порівняйте відносну\(C\) частоту з ймовірністю\(C\).

Збіжність відносної частоти події (у міру повторення експерименту) до ймовірності події є окремим випадком закону великих чисел.

Вирішіть проблему монет Buffon з прямокутними плитками, які мають висоту\(h\) і ширину\(w\).

Відповідь

\[1 - \frac{(h - 2 \, r)(w - 2 \, r)}{h \, w}, \quad r \lt \min \left\{ \frac{h}{2}, \frac{w}{2} \right\}\]

Вирішіть проблему монети Buffon з рівносторонніми трикутними плитками, які мають довжину сторони 1.

Нагадаємо, що випадкові числа - це моделювання незалежних випадкових величин, кожна зі стандартним рівномірним розподілом, тобто безперервним рівномірним розподілом на інтервалі\( (0, 1) \).

Покажіть, як імітувати центр монети\((X, Y)\) в експерименті з монетами Буффона, використовуючи випадкові числа.

Відповідь

\(X = U - \frac{1}{2}\)\(Y = V - \frac{1}{2}\), Де\(U\) і\(V\) є випадковими числами.

Проблема голки Буффона

Експеримент з голкою Буффона складається з падіння голки на паркетну підлогу. Основна подія, що представляє інтерес, полягає в тому, що голка перетинає тріщину між мостинами. Як не дивно, ймовірність цієї події призводить до статистичної оцінки числа\(\pi\)!

припущення

Наш перший крок - математично визначити експеримент. Знову ми ідеалізуємо фізичні об'єкти, припускаючи, що дошки для підлоги однорідні і що кожна має ширину 1. Будемо також вважати, що голка має довжину,\(L \lt 1\) щоб голка не могла перетинати більше однієї тріщини. Нарешті, припускаємо, що щілини між мостинами і голкою є відрізки ліній.

Коли голка впала, хочемо записати її орієнтацію щодо тріщин статевої дошки. Один із способів зробити це - записати кут\(X\), який робить верхня половина голки з лінією через центр голки, паралельної мостинам, і відстань\(Y\) від центру голки до нижньої тріщини. Це будуть основні випадкові величини нашого експерименту, і, таким чином, вибірковий простір експерименту\[ S = [0, \pi) \times [0, 1) = \{(x, y): 0 \le x \lt \pi, \; 0 \le y \lt 1\} \]

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Проблема голки Буффона

Знову ж таки, наше основне модельне припущення полягає в тому, що голка випадковим чином кидається на підлогу. Таким чином, розумним математичним припущенням може бути те, що основний\((X, Y)\) випадковий вектор рівномірно розподілений по простору вибірки. За визначенням це означає, що\[ \P[(X, Y) \in A] = \frac{\area(A)}{\area(S)}, \quad A \subseteq S \]

Запустіть експеримент з голкою Буффона з настройками за замовчуванням і спостерігайте за результатами, які будуються в просторі зразка. Зверніть увагу, як точки в розсіювальному графіку, здається, заповнюють простір зразка рівномірним\(S\) чином.

Імовірність перетину тріщини

Наш основний інтерес в тому випадку\(C\), якщо голка перетинає тріщину між мостинами.

Подія\(C\) може бути записана через основні змінні кута та відстані наступним чином:\[ C = \left\{ Y \lt \frac{L}{2} \, \sin(X) \right\} \cup \left\{ Y \gt 1 - \frac{L}{2} \, \sin(X) \right\} \]

Криві\(y = \frac{L}{2} \, \sin(x)\) і\(y = 1 - \frac{L}{2} \, \sin(x)\) на інтервалі\(0 \le x \lt \pi\) показані синім кольором в розсіювальному графіку експерименту з голкою Буффона, і, отже, подією\(C\) є об'єднання областей нижче нижньої кривої і над верхньою кривою. Таким чином, голка перетинає тріщину саме тоді, коли точка потрапляє в цю область.

Імовірність перетину тріщини є\(\P(C) = 2 L / \pi\).

Доказ

Малюнок\(\PageIndex{4}\):\( \P(C) \) як функція\( L \)

В експерименті з голкою Буффона варіюйте довжину голки за\(L\) допомогою смуги прокрутки та спостерігайте, як\(C\) змінюється подія. Проведіть експеримент з різними значеннями\(L\) і порівняйте фізичний експеримент з точками в розсіювачі. Порівняйте відносну\(C\) частоту з ймовірністю\(C\).

Збіжність відносної частоти події (у міру повторення експерименту) до ймовірності події є окремим випадком закону великих чисел.

Знайдіть ймовірності наступних подій в експерименті з голкою Буффона. У кожному конкретному випадку накидайте подію як підмножини простору зразка.

1. \(\{0 \lt X \lt \pi / 2, \; 0 \lt Y \lt 1 / 3\}\)
2. \(\{1 / 4 \lt Y \lt 2 / 3\}\)
3. \(\{X \lt Y\}\)
4. \(\{X + Y \lt 2\}\)

Відповідь

1. \(\frac{1}{6}\)
2. \(\frac{5}{12}\)
3. \(\frac{1}{2 \pi}\)
4. \(\frac{3}{2 \pi}\)

Кошторис\( \pi \)

Припустимо, що ми проводимо експеримент з голкою Буффона велику кількість разів. За законом великих чисел частка перетинів тріщин повинна бути приблизно такою ж, як і ймовірність перетину тріщини. Точніше, позначимо кількість перетинів тріщин в перших\(n\) прогонів по\(N_n\). Зверніть увагу, що\(N_n\) це випадкова величина для складного експерименту, який складається з\(n\) реплікацій базового експерименту з голкою. Таким чином, якщо\(n\) він великий, ми повинні мати\( \frac{N_n}{n} \approx \frac{2 L}{\pi} \) і, отже,\[ \pi \approx \frac{2 L n}{N_n} \] Це знаменита оцінка Буффона\(\pi\). У моделюванні експерименту з голкою Буффона ця оцінка обчислюється на кожному прогоні і показана чисельно у другій таблиці та візуально на графіку.

Виконайте експеримент з голкою Буффона з довжиною голки\(L \in \{0.3, 0.5, 0.7, 1\}\). У кожному конкретному випадку стежте за оцінкою\(\pi\), як виконується моделювання.

Проаналізуємо задачу оцінки більш ретельно. На кожному прогоні у\(j\) нас є індикаторна змінна\(I_j\), де\(I_j = 1\) якщо голка перетинає тріщину на бігу\(j\) і\(I_j = 0\) якщо голка не перетинає тріщину на бігу\(j\). Ці змінні індикатора є незалежними і однаково розподіленими, оскільки ми припускаємо незалежні реплікації експерименту. Таким чином, послідовність формує процес випробувань Бернуллі.

Число перетинів тріщин у перших\(n\) прогонів експерименту - це те\[ N_n = \sum_{j=1}^n I_j \], що має біноміальний розподіл з параметрами\(n\) і\(2 L / \pi\).

Середнє значення і дисперсія\(N_n\) є

1. \(\E(N_n) = n \frac{2 L}{\pi}\)
2. \(\var(N_n) = n \frac{2 L}{\pi} \left(1 - \frac{2 L}{\pi}\right)\)

З ймовірністю 1,\(\frac{N_n}{2 L n} \to \frac{1}{\pi}\) як\(n \to \infty\) і\(\frac{2 L n}{N_n} \to \pi\) як\(n \to \infty\).

Доказ

a

Ці результати випливають з сильного закону великих чисел.

Таким чином, ми маємо два основних\(\frac{N_n}{2 L n}\) оцінювача: як оцінювач\(\frac{1}{\pi}\) і\(\frac{2 L n}{N_n}\) як оцінювач\(\pi\). Оцінювач\(\frac{1}{\pi}\) має кілька важливих статистичних властивостей. По-перше, це неупереджено, оскільки очікуване значення оцінювача є оцінюваним параметром:

Кошторисник\(\frac{1}{\pi}\) є неупередженим:\[ \E \left( \frac{N_n}{2 L n} \right) = \frac{1}{\pi} \]

Доказ

Це випливає з наведених вище результатів для біноміального розподілу та властивостей очікуваного значення.

Оскільки ця оцінка є неупередженою, дисперсія дає середню квадратну похибку:\[ \var \left( \frac{N_n}{2 L n} \right) = \E \left[ \left( \frac{N_n}{2 L n} - \frac{1}{\pi} \right)^2 \right] \]

Середня квадратна похибка оцінювача\( \frac{1}{\pi} \) є\[ \var \left( \frac{N_n}{2 L n} \right) = \frac{\pi - 2 L}{2 L n \pi^2} \]

Дисперсія - це зменшується функція довжини голки\(L\).

Таким чином, оцінювач\(\frac{1}{\pi}\) поліпшується у міру збільшення довжини голки. З іншого боку, оцінювач\(\pi\) є упередженим; він схильний до завищення\(\pi\):

Оцінювач\(\pi\) позитивно упереджений:\[ \E \left( \frac{2 L n}{N_n} \right) \ge \pi \]

Доказ

Використовуйте нерівність Йенсена.

Оцінювач\(\pi\) також має тенденцію до поліпшення в міру збільшення довжини голки. Це непросто побачити математично. Однак побачити це можна емпірично.

У експерименті з голкою Буффона запустіть моделювання 5000 разів кожен з\(L = 0.3\)\(L = 0.5\),\(L = 0.7\), і\(L = 0.9\). Зверніть увагу, наскільки добре оцінювач, здається, працює в кожному конкретному випадку.

Нарешті, слід зазначити, що з практичної точки зору експеримент з голкою Буффона не є дуже ефективним методом наближення\(\pi\). За словами Річарда Дурретта, для оцінки\(\pi\) до чотирьох знаків після коми потрібно близько 100 мільйонів кидків!\(L = \frac{1}{2}\)

Запустіть експеримент з голкою Буффона, поки оцінки\(\pi\) здаються послідовно правильними до двох знаків після коми. Зверніть увагу на необхідну кількість запусків. Спробуйте це для довжини голки\(L = 0.3\)\(L = 0.5\),\(L = 0.7\),\(L = 0.9\) і порівняйте результати.

Покажіть, як імітувати кут\(X\) і відстань\(Y\) в експерименті з голкою Буффона, використовуючи випадкові числа.

Відповідь

\(X = \pi U\)\(Y = V\), Де\(U\) і\(V\) є випадковими числами.

Нотатки

Проблема голки Буффона по суті вирішується інтеграцією Монте-Карло. Взагалі, методи Монте-Карло використовують статистичну вибірку для наближення розв'язків завдань, які важко вирішити аналітично. Сучасна теорія методів Монте-Карло почалася з Станіслава Улама, який використовував методи з проблем, пов'язаних з розробкою водневої бомби.

Оригінальна проблема голки була розширена багатьма способами, починаючи з Саймона Лапласа, який розглядав підлогу з прямокутною плиткою. Дійсно, варіації по проблемі є активними дослідницькими проблемами навіть сьогодні.

Ніл Вайс зазначив, що наше комп'ютерне моделювання експерименту з голкою Буффона є круговим, в тому сенсі, що програма передбачає знання\(\pi\) (ви можете побачити це з результату моделювання вище).

Спробуйте написати комп'ютерний алгоритм для проблеми з голкою Буффона, не припускаючи значення\(\pi\) або будь-яких інших трансцендентних чисел.