8.4: Оцінка у двовибірковій нормальній моделі

\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)\(\newcommand{\cov}{\text{cov}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)

Як ми вже зазначали раніше, нормальний розподіл є, мабуть, найважливішим розподілом при вивченні математичної статистики, частково через центральну граничну теорему. Як наслідок цієї теореми виміряні величини, які піддаються численним малим випадковим похибкам, матимуть, принаймні приблизно, нормальні розподіли. Такі змінні є повсюдними в статистичних експериментах, у предметах, що варіюються від фізичних та біологічних наук до соціальних наук.

У цьому розділі ми вивчимо задачі оцінки у двовибірковій нормальній моделі та в біваріативній нормальній моделі. Цей розділ паралельно з розділом «Тести в нормальній моделі з двома вибірками» у розділі «Тестування гіпотез».

Звичайна модель з двома зразками

Попередні етапи

Припустимо, що\(\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_m)\) це випадкова вибірка розміру\(m\) від нормального розподілу із середнім\(\mu\) і стандартним відхиленням\(\sigma\), і\(\bs{Y} = (Y_1, Y_2, \ldots, Y_n)\) це випадкова вибірка розміру\(n\) від нормального розподілу із середнім\(\nu\) і стандартним відхиленням\(\tau\). Причому припустимо, що зразки\(\bs{X}\) і\(\bs{Y}\) є незалежними. Зазвичай параметри невідомі, тому простір параметрів для нашого вектора параметрів\((\mu, \nu, \sigma, \tau)\) є\(\R^2 \times (0, \infty)^2\).

Такий тип ситуації виникає часто, коли випадкові величини представляють собою вимір інтересу для об'єктів населення, а вибірки відповідають двом різним методам лікування. Наприклад, нас може зацікавити артеріальний тиск певної популяції пацієнтів. \(\bs{X}\)Вектор реєструє кров'яний тиск контрольного зразка, тоді як\(\bs{Y}\) вектор записує кров'яний тиск зразка, який отримує новий препарат. Аналогічно нас може зацікавити врожайність акра кукурудзи. \(\bs{X}\)Вектор фіксує врожайність зразка, який отримує один вид добрив, в той час як\(\bs{Y}\) вектор фіксує врожайність зразка, який отримує інший вид добрив.

Зазвичай наш інтерес полягає в порівнянні параметрів (або середніх, або стандартних відхилень) для двох розподілів вибірки. У цьому розділі ми побудуємо довірчі інтервали для різниці засобів розподілу\( \nu - \mu \) і для співвідношення дисперсій розподілу\( \tau^2 / \sigma^2 \). Як і у випадку з попередніми завданнями оцінки, побудова залежить від пошуку відповідних змінних шарнірів.

Для загального зразка\(\bs{U} = (U_1, U_2, \ldots, U_k)\) з розподілу із середнім\(a\) значенням ми будемо використовувати наші стандартні позначення для середнього зразка та для дисперсії вибірки. \ begin {вирівнювання} M (\ bs {U}) & =\ розриву {1} {k}\ sum_ {i = 1} ^k U_I\ S^2 (\ bs {U}) & =\ frac {1} {k - 1}\ sum_ {i = 1} ^k [U_i - М (\ bs {U})] ^2\ кінець {вирівняти} потрібно буде також згадати про особливі властивості цих статистичних даних, коли розподіл вибірки нормальний. Спеціальні розподіли стрижнів, які відіграватимуть фундаментальну роль у цьому розділі, - це стандартні нормальні\( t \), студентські та\( F \) розподіли Фішера. Для побудови наших інтервальних оцінок нам знадобляться квантилі цих розподілів. Квантилі можна обчислити за допомогою спеціального калькулятора розподілу або з більшості математичних та статистичних програмних пакетів. Ось позначення, яке ми будемо використовувати:

Нехай\( p \in (0, 1) \) і нехай\(j, \, k \in \N_+ \).

1. \( z(p) \)позначає квантиль порядку\( p \) для стандартного нормального розподілу.
2. \( t_k(p) \)позначає квантиль порядку\( p \)\( t \) розподілу учня зі\( k \) ступенями свободи.
3. \(f_{j,k}(p)\)позначає квантиль порядку\( p \)\( f \) розподілу учня зі\( j \) ступенями свободи в чисельнику і\( k \) ступенями свободи в знаменнику.

Нагадаємо, що по симетрії,\(z(p) = -z(1 - p)\) і\( t_k(p) = -t_k(1 - p) \) для\( p \in (0, 1) \) і\( k \in \N_+ \). З іншого боку, немає простої залежності між лівим і правим хвостом ймовірності\( F \) розподілу.

Довірчі інтервали для різниці середніх з відомими відхиленнями

Спочатку ми побудуємо довірчі інтервали для\( \nu - \mu \) припущення, що відхилення розподілу\( \sigma^2 \) і\( \tau^2 \) відомі. Це не завжди штучне припущення. Як і в звичайній моделі одного зразка, дисперсії колись стабільні, а отже, принаймні приблизно відомі, тоді як засоби змінюються при різних методах лікування. Спочатку нагадаємо наступні основні факти:

Різниця вибіркових засобів\(M(\bs{Y}) - M(\bs{X})\) має нормальний розподіл із середнім\(\nu - \mu\) і дисперсійним\(\sigma^2 / m + \tau^2 / n\). Звідси стандартна оцінка різниці вибіркових засобів\[ Z = \frac{[M(\bs{Y}) - M(\bs{X})] - (\nu - \mu)}{\sqrt{\sigma^2 / m + \tau^2 / n}} \] має стандартний нормальний розподіл. Таким чином, ця змінна є ключовою змінною для\( \nu - \mu \) того\( \sigma, \tau\), коли відомі.

Основний довірчий інтервал і верхню і нижню межу тепер легко побудувати.

Для\( \alpha \in (0, 1) \),

1. \( \left[M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) - z\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \sqrt{\frac{\sigma^2}{m} + \frac{\tau^2}{n}}, M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) + z\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \sqrt{\frac{\sigma^2}{m} + \frac{\tau^2}{n}}\right] \)є\( 1 - \alpha \) довірчим інтервалом для\( \nu - \mu \).
2. \( M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) - z(1 - \alpha) \sqrt{\frac{\sigma^2}{m} + \frac{\tau^2}{n}} \)є\( 1 - \alpha \) впевненістю нижня межа для\( \nu - \mu \).
3. \( M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) + z(1 - \alpha) \sqrt{\frac{\sigma^2}{m} + \frac{\tau^2}{n}} \)є верхньою\( 1 - \alpha \) межею впевненості для\( \nu - \mu \).

Доказ

\( T \)Наведена вище змінна має стандартний нормальний розподіл. Звідси кожна з наступних подій має ймовірність\( 1 - \alpha \) за визначенням квантилей:

1. \( \left\{-z\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \le Z \le z\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)\right\} \)
2. \( \left\{Z \ge z(1 - \alpha)\right\} \)
3. \( \left\{Z \le -z(1 - \alpha)\right\} \)

У кожному конкретному випадку рішення нерівності для\( \nu - \mu \) дає результат.

Двосторонній інтервал у частині (а) - це симетричний інтервал, відповідний\( \alpha / 2 \) в обох хвостах стандартного нормального розподілу. Як завжди, ми можемо побудувати більш загальні двосторонні інтервали, розділивши\( \alpha \) між лівим і правим хвостами в будь-якому випадку, що нам заманеться.

Для кожного\(\alpha, \, p \in (0, 1)\)\(1 - \alpha\) довірчий інтервал\(\nu - \mu\) для\[ \left[M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) - z(1 - \alpha p) \sqrt{\frac{\sigma^2}{m} + \frac{\tau^2}{n}}, M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) - z(\alpha - p \alpha) \sqrt{\frac{\sigma^2}{m} + \frac{\tau^2}{n}} \right]\]

1. \( p = \frac{1}{2} \)дає симетричний двосторонній інтервал.
2. \( p \to 1 \)дає інтервал з упевненістю нижню межу.
3. \( p \to 0 \)надає інтервалу з упевненістю верхню межу.

Доказ

З розподілу змінної стрижня і визначення квантильної функції,\[ \P \left[ z(\alpha - p \alpha) \lt \frac{[M(\bs{Y}) - M(\bs{X})] - (\nu - \mu)}{\sqrt{\sigma^2 / m + \tau^2 / n}} \lt z(1 - p \alpha) \right] = 1 - \alpha \] Розв'язування для\(\nu - \mu\) в нерівності дає довірчий інтервал.

Наступна теорема дає деякі основні властивості довжини цього інтервалу.

(детермінована) довжина загального двостороннього довірчого інтервалу дорівнює\[ L = [z(1 - \alpha p) - z(\alpha - \alpha p)] \sqrt{\frac{\sigma^2}{m} + \frac{\tau^2}{n}} \]

1. \( L \)є спадною функцією\( m \) і спадною функцією\( n \).
2. \( L \)є зростаючою функцією\( \sigma \) і зростаючою функцією\( \tau \)
3. \( L \)є спадною функцією\( \alpha \) і, отже, зростаючою функцією рівня довіри.
4. Як функція\( p \),\( L \) зменшується, а потім збільшується, з мінімальним значенням при\( p = \frac{1}{2} \).

Частина (а) означає, що ми можемо зробити оцінку більш точною, збільшивши будь-який або обидва розміри вибірки. Частина (b) означає, що оцінка стає менш точною, оскільки дисперсія в будь-якому розподілі збільшується. Частина (c) ми бачили раніше. За інших рівних умов ми можемо підвищити рівень довіри лише за рахунок того, щоб оцінка була менш точною. Частина (d) означає, що симетричний рівнохвостий довірчий інтервал є найкращим із двосторонніх інтервалів.

Довірчі інтервали для різниці середніх з невідомими відхиленнями

Наступний наш метод - побудова довірчих інтервалів для різниці засобів\(\nu - \mu\) без необхідності знати стандартні відхилення\(\sigma\) і\(\tau\). Однак вартість є, будемо вважати, що стандартні відхилення однакові\(\sigma = \tau\), але загальна величина невідома. Це припущення є розумним, якщо існує властива мінливість змінних вимірювань, яка не змінюється навіть тоді, коли різні методи лікування застосовуються до об'єктів у популяції. Потрібно згадати деякі основні факти з нашого дослідження особливих властивостей нормальних зразків.

Об'єднана оцінка загальної дисперсії\(\sigma^2 = \tau^2\) є\[ S^2(\bs{X}, \bs{Y}) = \frac{(m - 1) S^2(\bs{X}) + (n - 1) S^2(\bs{Y})}{m + n - 2} \] Випадкова величина\[ T = \frac{\left[M(\bs{Y}) - M(\bs{X})\right] - (\nu - \mu)}{S(\bs{X}, \bs{Y}) \sqrt{1 / m + 1 / n}} \] має\( t \) розподіл студента зі\( m + n - 2 \) ступенями свободи

Зверніть увагу, що\( S^2(\bs{X}, \bs{Y}) \) це середньозважене значення відхилень зразка, зі ступенями свободи як ваговими факторами. Зверніть увагу також, що\( T \) це змінна\( \nu - \mu \) зведена для і тому ми можемо побудувати довірчі інтервали для\( \nu - \mu \) звичайним способом.

Для\( \alpha \in (0, 1) \),

1. \( \left[M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) - t_{m + n - 2}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) S(\bs{X},\bs{Y})\sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}, M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) + t_{m + n - 2}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) S(\bs{X},\bs{Y})\sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}\right] \)є\( 1 - \alpha \) довірчим інтервалом для\( \nu - \mu \).
2. \( M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) - t_{m + n - 2}(1 - \alpha) S(\bs{X},\bs{Y})\sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} \)є\( 1 - \alpha \) впевненістю нижня межа для\( \nu - \mu \).
3. \( M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) + t_{m + n - 2}(1 - \alpha) S(\bs{X},\bs{Y})\sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} \)є верхньою\( 1 - \alpha \) межею впевненості для\( \nu - \mu \).

Доказ

\( T \)Наведена вище змінна має стандартний нормальний розподіл. Звідси кожна з наступних подій має ймовірність\( 1 - \alpha \) за визначенням квантилей:

1. \( \left\{-t_{m+n-2}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \le T \le t_{m+n-2}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)\right\} \)
2. \( \left\{T \ge t_{m+n-2}(1 - \alpha)\right\} \)
3. \( \left\{T \le -t_{m+n-2}(1 - \alpha)\right\} \)

У кожному конкретному випадку рішення нерівності для\( \nu - \mu \) дає результат.

Двосторонній інтервал у частині (а) - це симетричний інтервал, відповідний\( \alpha / 2 \) в обох хвостах\( t \) розподілу учня. Як завжди, ми можемо побудувати більш загальні двосторонні інтервали, розділивши\( \alpha \) між лівим і правим хвостами в будь-якому випадку, що нам заманеться.

Для кожного\(\alpha, \, p \in (0, 1)\)\(1 - \alpha\) довірчий інтервал\(\nu - \mu\) для\[ \left[M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) - t_{m+n-2}(1 - \alpha p) S(\bs{X}, \bs{Y})\sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}, M(\bs{Y}) - M(\bs{X}) - t_{m+n-2}(\alpha - p \alpha) S(\bs{X}, \bs{Y}) \sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} \right]\]

1. \( p = \frac{1}{2} \)дає симетричний двосторонній інтервал.
2. \( p \to 1 \)дає інтервал з упевненістю нижню межу.
3. \( p \to 0 \)надає інтервалу з упевненістю верхню межу.

Доказ

З розподілу змінної стрижня і визначення квантильної функції,\[ \P \left[ t_{m+n-2}(\alpha - p \alpha) \lt \frac{[M(\bs{Y}) - M(\bs{X})] - (\nu - \mu)}{S(\bs{X}, \bs{Y})\sqrt{1 / m + 1 / n}} \lt t_{m+n-2}(1 - p \alpha) \right] = 1 - \alpha \] Розв'язування для\(\nu - \mu\) в нерівності дає довірчий інтервал.

Наступним результатом вважається довжина загального двостороннього інтервалу.

(випадкова) довжина двостороннього інтервалу вище\[ L = [t_{m+n-2}(1 - p \alpha) - t_{m+n-2}(\alpha - p \alpha)] S(\bs{X}, \bs{Y}) \sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} \]

1. \( L \)є спадною функцією\( \alpha \) і, отже, зростаючою функцією рівня довіри.
2. Як функція\( p \),\( L \) зменшується, а потім збільшується, з мінімальним значенням при\( p = \frac{1}{2} \).

Як і у випадку з відомими відхиленнями, частина (c) означає, що за інших рівних умов ми можемо підвищити рівень довіри лише за рахунок того, щоб оцінка була менш точною. Частина (b) означає, що симетричний рівнохвостий довірчий інтервал є найкращим із двосторонніх інтервалів.

Довірчі інтервали для співвідношення дисперсій

Наша наступна конструкція буде виробляти інтервальні оцінки для співвідношення відхилень\( \tau^2 / \sigma^2 \) (або шляхом взяття квадратних коренів, для співвідношення стандартних відхилень\( \tau / \sigma \)). Ще раз потрібно згадати деякі основні факти з нашого дослідження особливих властивостей випадкових зразків з нормального розподілу.

Співвідношення\[ U = \frac{S^2(\bs{X}) \tau^2}{S^2(\bs{Y}) \sigma^2} \] має\(F\) розподіл зі\(m - 1\) ступенями свободи в чисельнику і\(n - 1\) ступенями свободи в знаменнику, а отже, ця змінна є поворотною змінною for\(\tau^2 / \sigma^2\).

Змінна pivot\( U \) може бути використана для побудови довірчих інтервалів для\( \tau^2 / \sigma^2 \) звичайним способом.

Для\( \alpha \in (0, 1) \),

1. \( \left[f_{m-1, n-1}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \frac{S^2(\bs{Y})}{S^2(\bs{X})}, f_{m-1, n-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \frac{S^2(\bs{Y})}{S^2(\bs{X})} \right] \)є\( 1 - \alpha \) довірчим інтервалом для\( \tau^2 / \sigma^2 \).
2. \( f_{m-1, n-1}(1 - \alpha) \frac{S^2(\bs{Y})}{S^2(\bs{X})} \)є\( 1 - \alpha \) впевненістю нижня межа для\( \tau^2 / \sigma^2 \).
3. \(f_{m-1, n-1}(\alpha) \frac{S^2(\bs{Y})}{S^2(\bs{X})} \)є верхньою\( 1 - \alpha \) межею впевненості для\( \nu - \mu \).

Доказ

\( U \)Наведена вище змінна має\( F \) розподіл зі\( m - 1 \) ступенями свободи в чисельнику та\( n - 1 \) ступенями свободи в знаменнику. Звідси кожна з наступних подій має ймовірність\( 1 - \alpha \) за визначенням квантилей:

1. \( \left\{f_{m-1,n-1}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \le U \le f_{m-1,n-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)\right\} \)
2. \( \left\{U \ge f_{m-1,n-1}(1 - \alpha)\right\} \)
3. \( \left\{U \le f{m-1,n-1}(\alpha)\right\} \)

У кожному конкретному випадку рішення нерівності для\( \tau^2 / \sigma^2 \) дає результат.

Двосторонній довірчий інтервал у частині (а) - це рівний довірний інтервал, який зазвичай використовується. Але, як завжди, ми можемо\( \alpha \) розділити між лівим і правим хвостами розподілу змінної pivot будь-яким способом, який нам заманеться.

Для кожного\(\alpha, \, p \in (0, 1)\),\(1 - \alpha\) впевненість,\(\tau^2 / \sigma^2 \) встановлена для\[ \left[f_{m-1, n-1}(\alpha - p \alpha) \frac{S^2(\bs{Y})}{S^2(\bs{X})}, f_{m-1, n-1}(1 - p \alpha) \frac{S^2(\bs{Y})}{S^2(\bs{X})} \right] \]

1. \( p = \frac{1}{2} \)дає рівнохвостовий, двосторонній інтервал.
2. \( p \to 1 \)дає інтервал з упевненістю нижню межу.
3. \( p \to 0 \)надає інтервалу з упевненістю верхню межу.

Доказ

Від змінної\( F \) pivot і визначення квантильної функції,\[ \P \left[ f_{m-1,n-1}(\alpha - p \, \alpha) \lt \frac{S^2(\bs{X}, \mu) \tau^2}{S^2(\bs{Y}, \nu) \sigma^2} \lt f_{m-1,n-1}(1 - p \,\alpha) \right] = 1 - \alpha \] Розв'язування для\(\tau^2 / \sigma^2\) в нерівності.

Наступною вважається довжина загального довірчого інтервалу.

(випадкова) довжина загального двостороннього довірчого інтервалу вище є\[ L = \left[f_{m-1,n-1}(1 - p \alpha) - f_{m-1,n-1}(\alpha - p \alpha) \right] \frac{S^2(\bs{Y})}{S^2(\bs{X})}\] Припускаючи, що\( m \gt 5 \) і\( n \gt 1 \),

1. \( L \)є спадною функцією\( \alpha \) і, отже, зростаючою функцією рівня довіри.
2. \( \E(L) = \frac{\tau^2}{\sigma^2} \frac{m - 1}{m - 3} \)
3. \( \var(L) = 2 \frac{\tau^4}{\sigma^4} \left(\frac{m - 1}{m - 3}\right)^2 \frac{m + n - 4}{(n - 1) (m - 5)} \)

Доказ

Частини (b) і (c) слідують так\( \frac{\sigma^2}{\tau^2} \frac{S^2(\bs{Y})}{S^2(\bs{X})^2} \) як\( F \) розподіл зі\( n - 1 \) ступенями свободи в чисельнику та\( m - 1 \) ступенями свободи в знаменнику.

Оптимально, ми можемо захотіти вибрати\( p \) так, щоб було\( \E(L) \) зведено до мінімуму. Однак це важко обчислювально, і, на щастя, рівний хвіст інтервал з не надто\( p = \frac{1}{2} \) далекий від оптимального, коли розміри вибірки\( m \) і\( n \) великі.

Оцінка в біваріативній нормальній моделі

У цьому підрозділі ми розглянемо модель, яка зовні схожа на нормальну модель з двома зразками, але насправді набагато простіше. Припустимо,\[ \left((X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \ldots, (X_n, Y_n)\right) \] що випадкова вибірка розміру\(n\) з двоваріантного нормального розподілу випадкового вектора\((X, Y)\)\(\E(X) = \mu\), з\(\E(Y) = \nu\),\(\var(X) = \sigma^2\),\(\var(Y) = \tau^2\), і\(\cov(X, Y) = \delta\).

Таким чином, замість пари зразків у нас є вибірка пар. Цей тип моделі часто виникає в експериментах до і після, в яких вимірювання інтересу реєструється для вибірки\(n\) об'єктів з популяції, як до, так і після лікування. Наприклад, ми могли б записати артеріальний тиск зразка\(n\) пацієнтів, до і після введення певного препарату. Критичною точкою є те, що в даній моделі\( X_i \) і\( Y_i \) є виміри, зроблені на одному і тому ж підстилаючому об'єкті в зразку. Як і у випадку з двома зразками нормальної моделі, інтерес зазвичай полягає в оцінці різниці засобів.

Ми будемо використовувати наші звичайні позначення для вибіркових засобів і відхилень\(\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)\) і\(\bs{Y} = (Y_1, Y_2, \ldots, Y_n)\). Нагадаємо також, що вибірка коваріації\((\bs{X}, \bs{Y})\), є\[ S(\bs{X}, \bs{Y}) = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n [X_i - M(\bs{X})][Y_i - M(\bs{Y})] \] (не плутати з об'єднаною оцінкою стандартного відхилення в двох зразках моделі).

Вектор відмінностей\(\bs{Y} - \bs{X} = (Y_1 - X_1, Y_2 - X_2, \ldots, Y_n - X_n)\) являє собою випадкову вибірку розміру\(n\) з розподілу\(Y - X\), яка є нормальною при

1. \(\E(Y - X) = \nu - \mu\)
2. \(\var(Y - X) = \sigma^2 + \tau^2 - 2 \, \delta\)

Середнє значення вибірки і дисперсія вибірки відмінностей задаються

1. \(M(\bs{Y} - \bs{X}) = M(\bs{Y}) - M(\bs{X})\)
2. \(S^2(\bs{Y} - \bs{X}) = S^2(\bs{X}) + S^2(\bs{Y}) - 2 \, S(\bs{X}, \bs{Y})\)

Таким чином, вибірка відмінностей\(\bs{Y} - \bs{X}\) підходить для нормальної моделі для однієї змінної. Розділ «Оцінка в нормальній моделі» може бути використаний для отримання довірчих множин та інтервалів для параметрів\((\nu - \mu, \sigma^2 + \tau^2 - 2 \, \delta)\).

У налаштуванні цього підрозділу припустимо, що\(\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)\) і\(\bs{Y} = (Y_1, Y_2, \ldots, Y_n)\) є незалежними. Математично це підходить для обох моделей - нормальної моделі з двома зразками та двоваріантної нормальної моделі. Яка процедура буде краще працювати для оцінки різниці коштів\(\nu - \mu\)?

1. Якщо стандартні відхилення\(\sigma\) і\(\tau\) відомі.
2. Якщо стандартні відхилення\(\sigma\) і\(\tau\) невідомі.

Відповідь

1. Два методи рівнозначні.
2. Біваріативна нормальна модель працює краще.

Хоча настройка в останній задачі підходить для обох моделей математично, тільки одна модель мала б сенс в реальній проблемі. Знову ж таки, критична точка - чи має\( (X_i, Y_i) \) сенс як пара випадкових величин (вимірювань), що відповідають заданому об'єкту у вибірці.

Обчислювальні вправи

Розробляється новий препарат для зниження певної хімічної речовини крові. Зразок з 36 пацієнтів отримують плацебо, тоді як зразку з 49 пацієнтів дають препарат. Нехай\(X\) позначають вимір для пацієнта, що дається плацебо і\(Y\) вимір для пацієнта, що дається препарат (в мг). Статистика є\(m(\bs{x}) = 87\),\(s(\bs{x}) = 4\),\(m(\bs{y}) = 63\),\(s(\bs{y}) = 6\).

1. Обчисліть довірчий інтервал 90% для\(\tau / \sigma\).
2. Припускаючи\(\sigma = \tau\), що обчислити 90% довіри інтервал для\(\nu - \mu\).
3. Виходячи з (а), чи є припущення\(\sigma = \tau\) розумним?
4. Виходячи з (б), чи ефективний препарат?

Відповідь

1. \((1.149, 1.936)\)
2. \((-24.834, -23.166)\)
3. Можливо, ні.
4. Так

Компанія стверджує, що трав'яні добавки покращує інтелект. Вибірка з 25 осіб отримують стандартний тест IQ до і після прийому добавки. \(X\)Дозвольте позначити IQ суб'єкта перед прийомом доповнення та\(Y\) IQ суб'єкта після доповнення. Статистика до і після є\(m(\bs{x}) = 105\),\(s(\bs{x}) = 13\)\(m(\bs{y}) = 110\),\(s(\bs{y}) = 17\),\(s(\bs{x}, \bs{y}) = 190\). Чи вірите ви претензії компанії?

Відповідь

Нижня межа довіри 90% для різниці в IQ становить 2.675. Може спостерігатися різне невелике збільшення.

У даних райдужної оболонки Фішера давайте\(X\) позначимо довжину пелюстки райдужної оболонки Версіколора та\(Y\) довжину пелюстки райдужної оболонки Вірджиніки.

1. Обчисліть довірчий інтервал 90% для\(\tau / \sigma\).
2. Припускаючи\(\sigma = \tau\), що обчислити 90% довіри інтервал для\(\nu - \mu\).
3. Виходячи з (а), чи є припущення\(\sigma = \tau\) розумним?

Відповідь

1. \((0.8, 1.3)\)
2. \((10.5, 14.1)\)
3. Так

Завод має дві машини, які виробляють круглий стрижень, діаметр якого (в см) є критичним. Нехай\(X\) позначимо діаметр стрижня з першого верстата і\(Y\) діаметр стрижня з другого верстата. Вибірка з 100 стрижнів з першої машини в середньому 10,3 і стандартне відхилення 1.2. Вибірка з 100 стрижнів з другої машини має середнє 9,8 і стандартне відхилення 1,6.

1. Обчисліть довірчий інтервал 90% для\(\tau / \sigma\).
2. Припускаючи\(\sigma = \tau\), що обчислити 90% довіри інтервал для\(\nu - \mu\).
3. Виходячи з (а), чи є припущення\(\sigma = \tau\) розумним?

Відповідь

1. \((1.127, 1.578)\)
2. \((0.832, 0.168)\)
3. Можливо, ні.