2.11: Час фільтрації та зупинки

\( \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \)\( \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \)\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \)\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \)\( \newcommand{\bs}{\boldsymbol} \)\( \newcommand{\cov}{\text{cov}} \)\( \newcommand{\cor}{\text{cor}} \)\( \newcommand{\var}{\text{var}} \)\( \newcommand{\sd}{\text{sd}} \)

Вступ

Припустимо, що\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) це стохастичний процес з простором стану,\( (S, \mathscr{S}) \) визначеним на базовому просторі ймовірностей\( (\Omega, \mathscr{F}, \P) \). Для перегляду\( \Omega \) - це сукупність результатів,\( \mathscr{F} \)\( \sigma \) -алгебра подій та міра\( \P \) ймовірності на\( (S, \mathscr{S}) \). Також\( S \) є множина станів, і\( \mathscr{S} \)\( \sigma \) -алгебра допустимих підмножин\( S \). Як правило,\( S \) це топологічний простір і\( \mathscr{S} \) борель\( \sigma \) -алгебра, породжена відкритими підмножинами\( S \). Стандартний набір припущень полягає в тому, що топологія локально компактна, Hausdorff, і має підрахункову базу, яку ми будемо скорочувати LCCB. Для набору індексів ми припускаємо, що\( T = \N \) або те,\( T = [0, \infty) \) і, як зазвичай, у цих випадках ми інтерпретуємо елементи\( T \) як точки часу. \( T \)Безліч також дається топологія, дискретна топологія в першому випадку і стандартна евклідова топологія в другому випадку, а потім\( \sigma \) Алгебра Бореля\( \mathscr{T} \). Таким чином\( T = \N \), в дискретний час з\( \mathscr{T} = \mathscr{P}(T) \), потужність набір\( T \), так що кожен підмножина\( T \) вимірюється, як і кожна функція з\( T \) в інший вимірний простір. Нарешті,\( X_t \) це випадкова величина, і тому за визначенням вимірюється відносно\( \mathscr{F} \) і\( \mathscr{S} \) для кожного\( t \in T \). Ми інтерпретуємо\( X_t \) це стан якоїсь випадкової системи в той час\( t \in T \). Багато важливих концепцій за участю\( \bs{X} \) засновані на тому, як майбутня поведінка процесу залежить від минулої поведінки, щодо даного поточного часу.

Бо\( t \in T \)\( \mathscr{F}_t = \sigma\left\{X_s: s \in T, \; s \le t\right\} \), нехай,\( \sigma \) -алгебра подій, які можуть бути визначені з точки зору процесу до часу\( t \). Грубо кажучи, для даного ми можемо сказати\( A \in \mathscr{F}_t \), чи\( A \) сталося чи ні, якщо нам дозволено спостерігати за процесом до часу\( t \). Сімейство\( \sigma \) -алгебр\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) має дві критичні властивості: сімейство збільшується в\( t \in T\), щодо підмножини часткового порядку, і всі\( \sigma \) -алгебри є\( \sigma \) підалгебрами\( \mathscr{F} \). Тобто для\( s, \, t \in T \) з\( s \le t \), у нас є\( \mathscr{F}_s \subseteq \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F} \).

Фільтрації

Основні визначення

Іноді нам потрібні\( \sigma \) -алгебри, які трохи більше, ніж ті, що були в останньому пункті. Наприклад, можуть бути інші випадкові величини, які ми отримуємо, щоб спостерігати, з часом, крім змінних в\( \bs{X} \). Іноді, особливо в безперервний час, зустрічаються технічні причини дещо інших\( \sigma \) -алгебр. Нарешті, ми можемо описати, як зростає наша інформація, як сімейство\( \sigma \) -алгебр, без посилання на випадковий процес. Для решти цього розділу ми маємо фіксований вимірний простір,\( (\Omega, \mathscr{F}) \) який ми знову вважаємо простором зразка, і часовий простір,\( (T, \mathscr{T}) \) як описано вище.

Сімейство\( \sigma \) -алгебр\(\mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) - це фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \) якщо\(s, \, t \in T\) і\(s \le t\) має на увазі\(\mathscr{F}_s \subseteq \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F}\). Об'єкт\( \left(\Omega, \mathscr{F}, \mathfrak{F}\right) \) є відфільтрованим простором зразка. Якщо\( \P \) міра ймовірності увімкнута\( (\Omega, \mathscr{F}) \), то\( \left(\Omega, \mathscr{F}, \mathfrak{F}, \P\right) \) це відфільтрований простір ймовірності.

Таким чином, фільтрація просто зростаюче сімейство\(\sigma\) суб-алгебр\( \mathscr{F} \), індексується\( T \). Ми думаємо про\( \mathscr{F}_t \)\( \sigma \) -алгебру подій до часу\( t \in T \). Чим більше\( \sigma \) -алгебр у фільтрації, тим більше подій, які доступні, тому наступне співвідношення щодо фільтрацій є природним.

Припустимо, що\( \mathfrak{F} =\{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) і\( \mathfrak{G} = \{\mathscr{G}_t: t \in T\} \) є фільтрації на\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Ми говоримо,\( \mathfrak{F} \) що грубіше\( \mathfrak{G} \) і\( \mathfrak{G} \) тонше\( \mathfrak{F} \), ніж, і пишемо\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{G} \), якщо\( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{G}_t \) для всіх\( t \in T \). \( \preceq \)Відношення є частковим порядком по збору фільтрацій на\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Тобто, якщо\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \)\( \mathfrak{G} = \{\mathscr{G}_t: t \in T\} \), і\( \mathfrak{H} = \mathscr{H}_t: t \in T\} \) є фільтрації то

1. \( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{F} \), Рефлексивне властивість.
2. Якщо\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{G} \) і\( \mathfrak{G} \preceq \mathfrak{F} \) то\( \mathfrak{F} = \mathfrak{G} \), антисиметричне властивість.
3. Якщо\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{G} \) і\( \mathfrak{G} \preceq \mathfrak{H} \) то\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{H} \), перехідне властивість.

Доказ

Доказ є простим наслідком того, що відношення підмножини визначає частковий порядок.

1. \( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F}_t \)для кожного\( t \in T \) так\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{F} \).
2. Якщо\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{G} \) і\( \mathfrak{G} \preceq \mathfrak{F} \) то\( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{G}_t \) і\( \mathscr{G}_t \subseteq \mathscr{F}_t \) для кожного\( t \in T \). Звідси\( \mathscr{F}_t = \mathscr{G}_t \) для кожного\( t \in T \) і так\( \mathfrak{F} = \mathfrak{G} \).
3. Якщо\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{G} \) і\( \mathfrak{G} \preceq \mathfrak{H} \) то\( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{G}_t \) і\( \mathscr{G}_t \subseteq \mathscr{H}_t \) для кожного\( t \in T \). Значить\( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{H}_t \), для кожного\( t \in T \) і так\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{H} \)

Таким чином, грубіша фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \) є той, де\( \mathscr{F}_t = \{\Omega, \emptyset\} \) для кожного в\( t \in T \) той час як найкраща фільтрація є той, де\( \mathscr{F}_t = \mathscr{F} \) для кожного\( t \in T \). У першому випадку ми не отримуємо ніякої інформації в міру розвитку часу, а в другому - ми маємо повну інформацію з початку часу. Зазвичай жодне з них не є реалістичним.

Також природно розглядати\( \sigma \) -алгебру, яка кодує нашу інформацію протягом усього часу.

Для фільтрації\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) ввімкнено\( (\Omega, \mathscr{F}) \), визначте\(\mathscr{F}_\infty = \sigma \left( \bigcup\left\{\mathscr{F}_t: t \in T\right\} \right)\). Тоді

1. \(\mathscr{F}_\infty = \sigma \left( \bigcup\left\{\mathscr{F}_t: t \in T, t \ge s\right\} \right)\)для\( s \in T \).
2. \( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F}_\infty \)для\( t \in T \).

Доказ

Ці результати випливають, оскільки\(\sigma\) -алгебри у фільтрації збільшуються в часі.

Звичайно, це може бути так\( \mathscr{F}_\infty = \mathscr{F} \), але не обов'язково. Нагадаємо, що перетин колекції\( \sigma \) -алгебр на\( (\Omega, \mathscr{F}) \) інший\( \sigma \) -алгебра. Ми можемо використовувати це для створення нових фільтрацій з колекції заданих фільтрацій.

Припустимо, що\( \mathfrak{F}_i = \left\{\mathscr{F}^i_t: t \in T\right\} \) це фільтрація\( (\Omega, \mathscr{F}) \) для кожного\( i \) з непорожніх індексів набору\( I \). Тоді\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) де\( \mathscr{F}_t = \bigcap_{i \in I} \mathscr{F}^i_t \) для\( t \in T \) - це також фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Ця фільтрація іноді позначається\( \mathfrak{F} = \bigwedge_{i \in I} \mathfrak{F}_i \), і є найтоншою фільтрацією, яка грубіша, ніж\( \mathfrak{F}_i \) для кожного\( i \in I \).

Доказ

Припустимо,\( s, \, t \in T \) с\( s \le t \). Потім\(\mathscr{F}^i_s \subseteq \mathscr{F}^i_t \subseteq \mathscr{F}\) для кожного\( i \in I \) так випливає, що\( \bigcap_{i \in I} \mathscr{F}^i_s \subseteq \bigcap_{i \in I} \mathscr{F}^i_t \subseteq \mathscr{F} \).

Союзи\( \sigma \) -алгебр взагалі не є\( \sigma \) алгебрами, але ми можемо побудувати нову фільтрацію з заданої колекції фільтрацій, використовуючи об'єднання природним шляхом.

Припустимо, що\( \mathfrak{F}_i = \left\{\mathscr{F}^i_t: t \in T\right\} \) це фільтрація\( (\Omega, \mathscr{F}) \) для кожного з\( i \) непорожніх індексів набору\( I \). Тоді\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) де\( \mathscr{F}_t = \sigma\left(\bigcup_{i \in I} \mathscr{F}^i_t\right) \) для\( t \in T \) - це також фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Ця фільтрація іноді позначається\( \mathfrak{F} = \bigvee_{i \in I} \mathfrak{F}_i \), і є найбільш грубою фільтрацією, яка тонша, ніж\( \mathfrak{F}_i \) для кожного\( i \in I \).

Доказ

Припустимо,\( s, \, t \in T \) с\( s \le t \). Потім\(\mathscr{F}^i_s \subseteq \mathscr{F}^i_t \subseteq \mathscr{F}\) для кожного\( i \in I \) так випливає\( \bigcup_{i \in I} \mathscr{F}^i_s \subseteq \bigcup_{i \in I} \mathscr{F}^i_t \subseteq \mathscr{F} \), що, а значить\( \sigma\left(\bigcup_{i \in I} \mathscr{F}^i_s\right) \subseteq \sigma\left(\bigcup_{i \in I} \mathscr{F}^i_t\right) \subseteq \mathscr{F} \).

Стохастичні процеси

Зауважте ще раз, що ми можемо мати фільтрацію без основного стохастичного процесу у фоновому режимі. Однак у нас зазвичай є стохастичний процес\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \), і в цьому випадку фільтрація\( \mathfrak{F}^0 = \{\mathscr{F}^0_t: t \in T\} \) де\( \mathscr{F}^0_t = \sigma\{X_s: s \in T, \, s \le t\} \) природна фільтрація пов'язана з\( \bs{X} \). У загальному плані доречно наступне визначення.

Стохастичний процес\(\bs{X} = \{X_t: t \in T\}\) на\( (\Omega, \mathscr{F}) \) пристосований до фільтрації\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\}\) на\( (\Omega, \mathscr{F}) \) якщо\(X_t\) вимірюється\(\mathscr{F}_t\) щодо кожного\(t \in T\).

Аналогічно,\( \bs{X} \) пристосований до того,\( \mathfrak{F} \) якщо\( \mathfrak{F} \) тонше\( \mathfrak{F}^0 \), природна фільтрація, пов'язана з\( \bs{X} \). Тобто\( \sigma\{X_s: s \in T, \; s \le t\} \subseteq \mathscr{F}_t \) для кожного\( t \in T \). Так ясно, що якщо\( \bs{X} \) пристосований до фільтрації, то він пристосований до будь-якої більш тонкої фільтрації, і\( \mathfrak{F}^0 \) є найбільш грубою фільтрацією, до якої\( \bs{X} \) адаптована. Основна ідея визначення полягає в тому, що якщо фільтрація\( \mathfrak{F} \) кодує нашу інформацію з плином часу,\( \bs{X} \) то процес можна спостерігати. У дискретному часі існує родинне визначення.

Припустимо, що\( T = \N \). Стохастичний процес\( \bs{X} = \{X_n: n \in \N\} \) передбачуваний фільтрацією,\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_n: n \in \N\} \) якщо\( X_{n +1}\) його можна виміряти\( \mathscr{F}_n \) по відношенню до всіх\( n \in \N \).

Зрозуміло\( \bs{X} \), якщо передбачувано до того\( \mathfrak{F} \)\( \bs{X} \) часу адаптується до\( \mathfrak{F} \). Але передбачуваний краще, ніж адаптований, в тому сенсі, що якщо\( \mathfrak{F} \) кодує нашу інформацію з плином часу, то ми можемо дивитися на крок у майбутнє з точки зору\( \bs{X} \): в той час\( n \) ми можемо визначити\( X_{n+1} \). Поняття передбачуваності можна розширити і на безперервний час, але визначення набагато складніше.

Зауважте, що в кінцевому рахунку, стохастичний процес\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) із простором вибірки\( (\Omega, \mathscr{F}) \) та простором стану\( (S, \mathscr{S}) \) можна розглядати функцію з\( \Omega \times T \) в\( S \),\( X_t(\omega) \in S \) так само як і стан у часі, що\( t \in T \) відповідає результату\( \omega \in \Omega \). За визначенням,\( \omega \mapsto X_t(\omega) \) вимірюється для кожного\( t \in T \), але часто необхідно, щоб процес був спільним вимірюваним в\( \omega \) і\( t \).

Припустимо, що\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) це стохастичний процес з простором вибірки\( (\Omega, \mathscr{F}) \) та простором стану\( (S, \mathscr{S}) \). Потім\( \bs{X} \) вимірюється\( \bs{X}: \Omega \times T \to S \), якщо вимірюється щодо\( \mathscr{F} \otimes \mathscr{T} \) і\( \mathscr{S} \).

Коли у нас є фільтрація, як ми зазвичай робимо, є сильніший стан, який є природним. Нехай\( T_t = \{s \in T: s \le t\} \) для\( t \in T \), і нехай\( \mathscr{T}_t = \{A \cap T_t: A \in \mathscr{T}\} \) буде відповідна індукована\( \sigma \) -алгебра.

Припустимо, що\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) це стохастичний процес із простором зразків\( (\Omega, \mathscr{F}) \) та простором стану\( (S, \mathscr{S}) \), і\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація. Потім\( \bs{X} \) прогресивно\( \bs{X}: \Omega \times T_t \to S\) вимірюється щодо того,\( \mathfrak{F} \) якщо вимірюється відносно\( \mathscr{F}_t \otimes \mathscr{T}_t \) і\( \mathscr{S} \) для кожного\( t \in T \).

Зрозуміло,\( \bs{X} \) що якщо прогресивно вимірюється щодо фільтрації, то вона прогресивно вимірюється щодо будь-якої тонкої фільтрації. Звичайно, коли\( T \) дискретний, то будь-який процес\( \bs{X} \) вимірюється, і будь-який процес\( \bs{X} \) адаптований до\( \mathfrak{F} \) прогресивно вимірюваного, тому ці визначення представляють інтерес лише у випадку безперервного часу.

Знову припустимо, що\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) це стохастичний процес із простором зразків\( (\Omega, \mathscr{F}) \) та простором стану\( (S, \mathscr{S}) \), і\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація. Якщо\( \bs{X} \) є прогресивно вимірним відносно\( \mathfrak{F} \) тоді

1. \( \bs{X} \)вимірюється.
2. \( \bs{X} \)адаптований до\( \mathfrak{F} \).

Доказ

Припустимо,\( \bs{X} \) що прогресивно вимірюється відносно\( \mathfrak{F} \).

1. Якщо\( A \in \mathscr{S} \) тоді\[ \bs{X}^{-1}(A) = \{(\omega, t) \in \Omega \times T: X_t(\omega) \in A\} = \bigcup_{n=1}^\infty \{(\omega, t) \in \Omega \times T_n: X_t(\omega) \in A\} \] За припущенням,\( n \) й термін в союзі знаходиться в\( \mathscr{F} \otimes \mathscr{T}_n \subseteq \mathscr{F} \otimes \mathscr{T} \), тому союз знаходиться в\( \mathscr{F} \otimes \mathscr{T} \).
2. Припустимо, що\( t \in T \). Потім\( \bs{X}: \Omega \times T_t \to S\) вимірюється по відношенню до\( \mathscr{F}_t \otimes \mathscr{T}_t \) і\( \mathscr{S} \). Але\( X_t: \Omega \to S \) є тільки перетин цієї функції в\( t \) і, отже, вимірюється по відношенню до\( \mathscr{F}_t \) і\( \mathscr{S} \).

Коли державний простір є топологічним простором (що зазвичай буває), то, як можна здогадатися, існує природний зв'язок між безперервністю шляхів вибірки та прогресивною вимірюваністю.

Припустимо, що\( S \) має топологію LCCB, і\( \mathscr{S} \) це\( \sigma \) -алгебра множин Бореля. Припустимо також, що\( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) це правильно безперервно. Потім поступово\( \bs{X} \) вимірюється щодо природної фільтрації\( \mathfrak{F}^0 \).

Отже, якщо\( \bs{X} \) це правильно безперервно, то прогресивно\( \bs{X} \) вимірюється по відношенню до будь-якої фільтрації, до якої\( \bs{X} \) адаптується. Нагадаємо, що в попередньому розділі ми вивчали різні способи того, що два стохастичних процесу можуть бути рівнозначними. Наступний приклад ілюструє деякі тонкощі процесів в безперервному часі.

Припустимо\( \Omega = T = [0, \infty) \), що,\( \mathscr{F} = \mathscr{T} \) є\( \sigma \) -алгебра Бореля вимірюваних підмножин\( [0, \infty) \), і\( \P \) є будь-яка безперервна міра ймовірності на\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Нехай\( S = \{0, 1\} \) і\( \mathscr{S} = \mathscr{P}(S) = \{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{0, 1\}\} \). Для\( t \in T \) і\( \omega \in \Omega \), визначити\( X_t(\omega) = \bs{1}_t(\omega) \) і\( Y_t(\omega) = 0 \). Тоді

1. \( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \)є версією\( \bs{Y} = \{Y_t: t \in T\} \)
2. \( \bs{X} \)не пристосований до природної фільтрації\( \bs{Y} \).

Доказ

1. Це було показано в попередньому розділі, але ось він знову: For\( t \in T \),\( \P(X_t \ne Y_t) = \P(\{t\}) = 0 \).
2. Тривіально,\( \sigma(Y_t) = \{\emptyset, \Omega\} \) для кожного\( t \in T \), так\( \sigma\{Y_s: 0 \le s \le t\} = \{\emptyset, \Omega\} \). Але\( \sigma(X_t) = \{\emptyset, \{t\}, \Omega \setminus \{t\}, \Omega\} \).

Завершення

Припустимо, що тепер\( P \) це показник ймовірності на\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Нагадаємо, що\(\mathscr{F}\) є повним щодо\( P \) if\(A \in \mathscr{F}\)\( B \subseteq A \), і мається на\(P(A) = 0\) увазі\(B \in \mathscr{F}\) (а значить\( P(B) = 0 \)). Тобто якщо\( A \) є подією з ймовірністю 0 а\( B \subseteq A \), то\( B \) теж подія (а також має ймовірність 0). Для фільтрації доречно наступне визначення.

\(\{\mathscr{F}_t: t \in T\}\)Фільтрація \( P \)повна щодо міри ймовірності,\( (\Omega, \mathscr{F}) \) якщо

1. \(\mathscr{F}\)є повним стосовно\( P \)
2. Якщо\(A \in \mathscr{F}\) і\(P(A) = 0\) тоді\(A \in \mathscr{F}_0\).

Припустимо,\( P \) це показник ймовірності на\( (\Omega, \mathscr{F}) \) і що\(\{\mathscr{F}_t: t \in T\}\) фільтрація повна щодо\( P \). Якщо\(A \in \mathscr{F}\) є null подією (\(P(A) = 0\)) або майже певною подією (\(\P(A) = 1\)), то\(A \in \mathscr{F}_t\) для кожного\(t \in T\).

Доказ

Це випливає, оскільки майже певні події є доповненнями нульових подій і оскільки\(\sigma\) -алгебри збільшуються\(t \in T\).

Нагадаємо,\( P \) що якщо міра ймовірності включена\( (\Omega, \mathscr{F}) \), але не\( \mathscr{F} \) є повною щодо\( P \), то завжди\( \mathscr{F} \) може бути завершена. Ось огляд того, як це робиться: Let\[ \mathscr{N} = \{A \subseteq \Omega: \text{ there exists } N \in \mathscr{F} \text{ with } P(N) = 0 \text{ and } A \subseteq N\}\] So\( \mathscr{N} \) - це колекція нульових наборів. Тоді ми дозволяємо\( \mathscr{F}^P = \sigma(\mathscr{F} \cup \mathscr{N}) \) і продовжити\( P \) до\( \mathscr{F}^P \) є природним шляхом: якщо\( A \in \mathscr{F}^P \) і\( A \) відрізняється від\( B \in \mathscr{F} \) нульового набору, то\( P(A) = P(B) \). Фільтрації також можуть бути завершені.

Припустимо, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація,\( (\Omega, \mathscr{F}) \) і\( P \) це показник ймовірності на\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Як вище, давайте\( \mathscr{N} \) позначимо колекцію нульових підмножин\( \Omega \), і for\( t \in T \), нехай\( \mathscr{F}^P_t = \sigma(\mathscr{F}_t \cup \mathscr{N}) \). Потім\( \mathfrak{F}^P = \{\mathscr{F}^P_t: t \in T\} \) відбувається фільтрація на\( \left(\Omega, \mathscr{F}^P\right) \) те, що тонше, ніж\( \mathfrak{F} \) і є повною щодо\( P \).

Доказ

Якщо\( s, \, t \in T \) з\( s \le t \) то\( \mathscr{F}_s \subseteq \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F} \) і звідси\[ \sigma(\mathscr{F}_s \cup \mathscr{N}) \subseteq \sigma(\mathscr{F}_t \cup \mathscr{N}) \subseteq \sigma(\mathscr{F} \cup \mathscr{N})\] і так\( \mathscr{F}^P_s \subseteq \mathscr{F}^P_t \subseteq \mathscr{F}^P \). Вимірювання ймовірності\( P \) може бути розширено до\( \mathscr{F}^P \) описаного вище, і, отже, визначено\( \mathscr{F}^P_t \) для кожного\( t \in T \). За будівництвом, якщо\( A \in \mathscr{F}^P \) і\( P(A) = 0 \)\( \mathfrak{F}^P \) то\( A \in \mathscr{F}^P_0 \) так повно по відношенню до\( P \).

Природно,\( \mathfrak{F}^P \) є \( \mathfrak{F} \)доопрацювання щодо\( P \). Іноді нам потрібно розглянути всі ймовірнісні заходи далі\( (\Omega, \mathscr{F}) \).

Дозвольте\( \mathscr{P} \) позначити збір ймовірності міри на\( (\Omega, \mathscr{F}) \), і припустимо, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Нехай\( \mathscr{F}^* = \bigcap \{\mathscr{F}^P: P \in \mathscr{P}\} \), і нехай\( \mathfrak{F}^* = \bigwedge \{\mathfrak{F}^P: P \in \mathscr{P}\} \). Потім\( \mathfrak{F}^* \) відбувається фільтрація\( (\Omega, \mathscr{F}^*) \), відома як універсальне завершення\( \mathfrak{F} \).

Доказ

Зверніть увагу, що\( \mathfrak{F}^P \) це фільтрація\( (\Omega, \mathscr{F}^P) \) для кожного\( P \in \mathscr{P} \), так і\( \mathfrak{F}^* \) фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}^*) \).

Останнє визначення повинно здатися жахливо незрозумілим, але йому є місце. У теорії марковських процесів ми зазвичай допускаємо довільні початкові розподіли, що в свою чергу виробляє велику колекцію розподілів на просторі вибірки.

Права безперервність

У безперервний час нам іноді потрібно дещо вдосконалити задану фільтрацію.

Припустимо,\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) що фільтрація включена\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Для\( t \in [0, \infty) \), визначте\( \mathscr{F}_{t+} = \bigcap \{\mathscr{F}_s: s \in (t, \infty)\} \). Потім також\( \mathfrak{F}_+ = \{\mathscr{F}_{t+}: t \in T\} \) відбувається фільтрація\( (\Omega, \mathscr{F}) \) і тонше, ніж\( \mathfrak{F} \).

Доказ

Для\( t \in [0, \infty) \) зауважте, що\( \mathscr{F}_{t+} \) це\( \sigma \) -алгебра, оскільки це перетин\( \sigma \) -алгебр, і чітко\( \mathscr{F}_{t+} \subseteq \mathscr{F} \). Далі, якщо\( s, \, t \in [0, \infty) \) з\( s \le t \), то\( \{\mathscr{F}_r: r \in (t, \infty)\} \subseteq \{\mathscr{F}_r: r \in (s, \infty)\} \), так випливає, що\[ \mathscr{F}_{s+} = \bigcap\{\mathscr{F}_r: r \in (s, \infty)\} \subseteq \bigcap\{\mathscr{F}_r: r \in (t, \infty)\} = \mathscr{F}_{t+} \] Нарешті, для\( t \in [0, \infty) \),\( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F}_s \) для кожного\( s \in (t, \infty) \) так\( \mathscr{F}_t \subseteq \bigcap\{\mathscr{F}_s: s \in (t, \infty)\} = \mathscr{F}_{t+} \).

Оскільки\( \sigma \) -алгебри в фільтрації збільшуються, то випливає, що для\( t \in [0, \infty) \),\( \mathscr{F}_{t+} = \bigcap\{\mathscr{F}_s: s \in (t, t + \epsilon)\} \) для кожного\( \epsilon \in (0, \infty) \). Отже, якщо фільтрація\( \mathfrak{F} \) кодує інформацію, доступну з плином часу, то фільтрація\( \mathfrak{F}_+ \) дозволяє нескінченно малий пік у майбутньому на кожному\( t \in [0, \infty) \). У світлі попереднього результату наступне визначення є природним.

Фільтрація\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) є правильним безперервним\( \mathfrak{F}_+ = \mathfrak{F} \), якщо, так що\( \mathscr{F}_{t+} = \mathscr{F}_t \) для кожного\( t \in [0, \infty) \).

Правильні безперервні фільтрації мають деякі приємні властивості, як ми побачимо пізніше. Якщо початкова фільтрація не є правильною безперервною, злегка уточнена фільтрація:

Припустимо, знову ж таки,\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) це фільтрація. Потім\( \mathfrak{F}_+ \) проводиться правильна безперервна фільтрація.

Доказ

Для\( t \in T \)\[ \mathscr{F}_{t++} = \bigcap\{\mathscr{F}_{s+}: s \in (t, \infty)\} = \bigcap\left\{\bigcap\{\mathscr{F}_r: r \in (s, \infty)\}: s \in (t, \infty)\right\} = \bigcap\{\mathscr{F}_u: u \in (t, \infty)\} = \mathscr{F}_{t+} \]

Для стохастичного процесу\( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) в безперервному часі часто фільтрація,\( \mathfrak{F} \) яка є найбільш корисною, є правильне безперервне уточнення природної фільтрації. Тобто\( \mathfrak{F} = \mathfrak{F}^0_+ \), так що\( \mathscr{F}_t = \sigma\{X_s: s \in [0, t]\}_+ \) для\( t \in [0, \infty) \).

Зупинка Часи

Основні властивості

Припустимо ще раз, що у нас є фіксований простір зразка\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Випадкові величини, що приймають значення у наборі часу,\( T \) є важливими, але часто, як ми побачимо, необхідно дозволити таким змінним приймати значення, а\( \infty \) також кінцеві часи. Так давайте\( T_\infty = T \cup \{\infty\} \). Ми продовжуємо порядок\( T_\infty \) за очевидним правилом, що\( t \lt \infty \) для кожного\( t \in T \). Ми також розширюємо\( T \) топологію\( T_\infty \) за правилом\( s \in T \), що для кожного набір\( \{t \in T_\infty: t \gt s\} \) є відкритим сусідством\( \infty\). Тобто,\( T_\infty \) це одноточкове ущільнення\( T \). Причина цього полягає в збереженні значення часу, що сходиться до нескінченності. Тобто, якщо\( (t_1, t_2, \ldots) \) послідовність в\( T_\infty \) то\( t_n \to \infty \)\( n \to \infty \) ніби і тільки якщо, для кожного\( t \in T \) існує\( m \in \N_+ \) така, що\( t_n \gt t \) для\( n \gt m \). Потім ми даємо\( T_\infty \)\( \sigma \) алгебру Бореля\( \mathscr{T}_\infty \), як і раніше. У дискретний час це ще раз дискретна\( \sigma \) -алгебра, так що всі підмножини вимірюються. В обох випадках ми тепер маємо розширене часовий простір\( (T_\infty, \mathscr{T}_\infty) \). Випадкова величина, яка\( \tau \) приймає значення в\( T_\infty \) називається випадковим часом.

Припустимо,\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) що фільтрація включена\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Випадковий час\( \tau \) - це час зупинки щодо\( \mathfrak{F} \) якщо\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \) для кожного\( t \in T \).

У певному сенсі час зупинки - це випадковий час, який не вимагає, щоб ми бачили в майбутньому. Тобто ми можемо визначити, чи є\( \tau \le t \) з нашої інформації в той час\( t \). Термін час зупинки походить від азартних ігор. Розглянемо азартного гравця, який робить ставку на азартні ігри. Рішення азартного гравця припинити азартні ігри в якийсь момент часу і прийняти його стан має визначити час зупинки. Тобто, азартний гравець може засновувати своє рішення припинити азартні ігри на всій інформації, яку він має в той момент часу, але не на тому, що буде відбуватися в майбутньому. Терміни марковський час і необов'язковий час іноді використовуються замість часу зупинки. Якщо\( \tau \) час зупинки відносно фільтрації, то це також час зупинки відносно будь-якої більш тонкої фільтрації:

Припустимо, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) і\( \mathfrak{G} = \{\mathscr{G}_t: t \in T\} \) є фільтрації на\( (\Omega, \mathscr{F}) \), і\(\mathfrak{G}\) що тонше, ніж\( \mathfrak{F} \). Якщо випадковий час\( \tau \) - це час зупинки відносно,\( \mathfrak{F} \) то\( \tau \) це час зупинки відносно\( \mathfrak{G} \).

Доказ

Це дуже просто. Якщо\( t \in T \) то\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \) і звідси\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{G}_t \) з тих пір\( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{G}_t \).

Отже, чим тонше фільтрація, тим більша колекція часу зупинки. Насправді, кожен випадковий час - це час зупинки щодо найкращої фільтрації\( \mathfrak{F} \), де\( \mathscr{F}_t = \mathscr{F} \) для кожного\( t \in T \). Але ця фільтрація відповідає тому, що з початку часу є повною інформацією, що, звичайно, не є розумним. З іншого боку, для грубої фільтрації,\( \mathfrak{F} \) де\( \mathscr{F}_t = \{\Omega, \emptyset\} \) для кожного\( t \in T \), єдиним часом зупинки є константи. Тобто випадкові часи форми\( \tau(\omega) = t \) для кожного\( \omega \in \Omega \), для деяких\(t \in T_\infty \).

Припустимо знову,\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) що фільтрація включена\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Випадковий час\( \tau \) - це час зупинки відносно\( \mathfrak{F} \) якщо і тільки якщо\( \{\tau \gt t\} \in \mathscr{F}_t \) для кожного\( t \in T \).

Доказ

Цей результат тривіальний, оскільки\( \{\tau \gt t\} = \{\tau \le t\}^c \) для\( t \in T \).

Припустимо знову, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \), і\( \tau \) це час зупинки відносно\( \mathfrak{F} \). Тоді

1. \( \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t \)для кожного\( t \in T \).
2. \( \{\tau \ge t\} \in \mathscr{F}_t\)для кожного\( t \in T \).
3. \( \{\tau = t\} \in \mathscr{F}_t \)для кожного\( t \in T \).

Доказ

1. Припустимо спочатку, що\( T = \N \). Тоді\( \{\tau \lt t\} = \{\tau \le t - 1\} \in \mathscr{F}_{t-1} \subseteq \mathscr{F}_t \) для\( t \in \N \). Далі припустимо, що\( T = [0, \infty) \). Fix\(t \in (0, \infty)\) і нехай\((s_1, s_2, \ldots)\) буде строго зростаюча послідовність в\([0, \infty)\) з\(s_n \uparrow t\) як\(n \to \infty\). Потім\( \{\tau \lt t\} = \bigcup_{n=1}^\infty \{\tau \le s_n\} \). Але\( \{\tau \le s_n\} \in \mathscr{F}_{s_n} \subseteq \mathscr{F}_t \) для кожного\( n \) так\( \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t \).
2. Це випливає з (а), оскільки\( \{\tau \ge t\} = \{\tau \lt t\}^c \) для\( t \in T \).
3. Для\( t \in T \) зверніть увагу, що\( \{\tau = t\} = \{\tau \le t\} \setminus \{\tau \lt t\} \). Обидві події у встановленій різниці знаходяться в\( \mathscr{F}_t \).

Зверніть увагу, що коли\(T = \N\), ми насправді показали, що\(\{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_{t-1}\) і\(\{\tau \ge t\} \in \mathscr{F}_{t-1}\). Зворотне до частини (а) (або еквівалентно (b)) не відповідає дійсності, але в безперервний час існує зв'язок з право-безперервним уточненням фільтрації.

Припустимо, що\( T = [0, \infty) \) і\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) це фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Випадковий час\( \tau \) - це час зупинки відносно\( \mathfrak{F}_+ \) якщо і тільки якщо\( \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t \) для кожного\(t \in [0, \infty)\).

Доказ

Так повторюється, ми повинні показати, що\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_{t+} \) для кожного,\( t \in [0, \infty) \) якщо і тільки якщо\( \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t \) для кожного\( t \in [0, \infty) \). (Зверніть увагу, до речі, що це не те саме, що твердження, що для кожного\( t \in T \),\( \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_{t+} \) якщо і тільки якщо\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \), що не відповідає дійсності.) Припустимо спочатку, що\( \tau \) це час зупинки щодо\( \mathfrak{F} \). Fix\(t \in [0, \infty)\) і нехай\((t_1, t_2, \ldots)\) буде строго зменшується послідовність в\([0, \infty)\) з\(t_n \downarrow t\) як\(n \to \infty\). Потім для кожного\(k \in \N_+\),\( \{\tau \le t\} = \bigcap_{n=k}^\infty \{\tau \lt t_n\} \). Якщо\( s \gt t \) тоді існує\( k \in \N_+ \) таке, що\( t_n \lt s \) для кожного\( n \ge k \). Звідси\( \{\tau \lt t_n\} \in \mathscr{F}_{t_n} \subseteq \mathscr{F}_s \) для\( n \ge k \), і так випливає, що\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_s \). Так як це вірно для кожного з них\( s \gt t \) випливає\(\{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_{t+}\). І навпаки, припустимо, що\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_{t+} \) для кожного\( t \in [0, \infty) \). Fix\( t \in (0, \infty) \) і нехай\( (t_1, t_2, \ldots) \) буде строго зростаюча послідовність в\( (0, \infty) \) з\( t_n \uparrow t \) як\( n \to \infty \). Потім\( \bigcup_{i=1}^\infty \{\tau \le t_n\} = \{\tau \lt t\} \). Але для кожного\( n \in \N_+ \)\[ \{\tau \le t_n\} \in \mathscr{F}_{t_n+} = \bigcap\left\{\mathscr{F}_s: s \in (t_n, t)\right\} \subseteq \mathscr{F}_t \] Звідси\( \{\tau \lt t \} \in \mathscr{F}_t\).

Якщо\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) це фільтрація і\( \tau \) є випадковим часом, яке задовольняє\( \{\tau \lt t \} \in \mathscr{F}_t \) для кожного\( t \in T \), то деякі автори називають\( \tau \) слабким часом зупинки або кажуть,\( \tau \) що слабо необов'язково для фільтрації\( \mathfrak{F} \). Але мені збільшення жаргону не варто, а краще просто сказати, що\( \tau \) це час зупинки фільтрації\(\mathfrak{F}_+\). Наступний наслідок тепер слід.

Припустимо, що\( T = [0, \infty) \) і що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) є правильною безперервної фільтрацією. Випадковий час\( \tau \) - це час зупинки відносно\( \mathfrak{F} \) якщо і тільки якщо\( \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t \) для кожного\( t \in [0, \infty) \).

Конверс до частини (c) результату вище тримається в дискретному часі.

Припустимо, що\( T = \N \) і\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_n: n \in \N\} \) це фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Випадковий час\( \tau \) - це час зупинки для\( \mathfrak{F} \) якщо і тільки якщо\( \{\tau = n\} \in \mathscr{F}_n \) для кожного\( n \in \N \).

Доказ

Якщо\(\tau\) час зупинки, то, як показано вище,\(\{\tau = n\} \in \mathscr{F}_n\) для кожного\( n \in \N \). І навпаки, припустимо, що ця умова тримається. Для\(n \in \N\),\(\{\tau \le n\} = \bigcup_{k=0}^n \{\tau = k\}\). Але\(\{\tau = k\} \in \mathscr{F}_k \subseteq \mathscr{F}_n\) для\(k \in \{0, 1, \ldots, n\}\) цього\(\{\tau \le n\} \in \mathscr{F}_n\).

Основні конструкції

Як зазначалося вище, постійним елементом\(T_\infty\) є час зупинки, але не дуже цікавий.

Припустимо,\(s \in T_\infty\) і це\(\tau(\omega) = s\) для всіх\(\omega \in \Omega\). \(\tau\)Це час зупинки відносно будь-якої фільтрації на\( (\Omega, \mathscr{F}) \).

Доказ

Для\( t \in T \) зверніть увагу, що\(\{\tau \le t\} = \Omega\) якщо\(s \le t\) і\(\{\tau \le t\} = \emptyset\) якщо\(s \gt t\).

Якщо фільтрація\(\{\mathscr{F}_t: t \in T\}\) завершена, то випадковий час, який майже напевно є постійною, також є часом зупинки. Наступні теореми дають деякі основні способи побудови нових зупинок часу з тих, які ми вже маємо.

Припустимо, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \)\(\tau_1\) і\(\tau_2\) що і зупинка часу відносно\( \mathfrak{F} \). Тоді кожне з наступного - це також час зупинки щодо\( \mathfrak{F} \):

1. \(\tau_1 \vee \tau_2 = \max\{\tau_1, \tau_2\}\)
2. \(\tau_1 \wedge \tau_2 = \min\{\tau_1, \tau_2\}\)
3. \(\tau_1 + \tau_2\)

Доказ

1. Зверніть увагу, що\(\{\tau_1 \vee \tau_2 \le t\} = \{\tau_1 \le t\} \cap \{\tau_2 \le t\} \in \mathscr{F}_t\) для\(t \in T\), так результат випливає з визначення.
2. Зверніть увагу, що\(\{\tau_1 \wedge \tau_2 \gt t\} = \{\tau_1 \gt t\} \cap \{\tau_2 \gt t\} \in \mathscr{F}_t\) для\(t \in T\), так результат випливає з результату вище.
3. Це просто коли\(T = \N\). В даному випадку,\(\{\tau_1 + \tau_2 \le t\} = \bigcup_{n=0}^t \{\tau_1 = n\} \cap \{\tau_2 \le t - n\}\). Але для\(n \le t\),\(\{\tau_1 = n\} \in \mathscr{F}_n \subseteq \mathscr{F}_t\) і\(\{\tau_2 \le t - n\} \in \mathscr{F}_{t - n} \subseteq \mathscr{F}_t\). Звідси\(\{\tau_1 + \tau_2 \le t\} \in \mathscr{F}_t\). Припустимо, замість цього\(T = [0, \infty)\) і\(t \in T\). Тоді\(\tau_1 + \tau_2 \gt t\) якщо і тільки якщо або\(\tau_1 \le t\) і\(\tau_2 \gt t - \tau_1\) або\(\tau_1 \gt t\). Звичайно,\(\{\tau_1 \gt t\} \in \mathscr{F}_t\) тому нам просто потрібно показати, що перша подія також в\(\mathscr{F}_t\). Зверніть увагу, що\(\tau_1 \le t\) і\(\tau_2 \gt t - \tau_1\) якщо і тільки в тому випадку, якщо існує раціональне\(q \in [0, t]\) таке, що\(q \le \tau_1 \le t\) і\(\tau_2 \ge t - q\). Кожна з цих подій є в\(\mathscr{F}_t\) і, отже, є об'єднанням подій над рахунковою колекцією раціональних\(q \in [0, t]\).

Звідси випливає, що якщо\( (\tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_n) \) є кінцевою послідовністю часу зупинки щодо\( \mathfrak{F} \), то кожне з наступних також є часом зупинки щодо\( \mathfrak{F} \):

• \( \tau_1 \vee \tau_2 \vee \cdots \vee \tau_n \)
• \( \tau_1 \wedge \tau_2 \wedge \cdots \wedge \tau_n \)
• \( \tau_1 + \tau_2 + \cdots + \tau_n \)

Ми повинні бути обережними, коли намагаємося розширити ці результати до нескінченних послідовностей.

Припустимо, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \), і\((\tau_n: n \in \N_+)\) це послідовність часу зупинки відносно\( \mathfrak{F} \). Потім\(\sup\{\tau_n: n \in \N_+\}\) також час зупинки щодо\( \mathfrak{F} \).

Доказ

Нехай\(\tau = \sup\{\tau_n: n \in \N_+\}\). Зверніть увагу, що\(\tau\) існує в\(T_\infty\) і є випадковим часом. Для\(t \in T\),\(\{\tau \le t\} = \bigcap_{n=1}^\infty \{\tau_n \le t\}\). Але кожна подія на перехресті знаходиться в\(\mathscr{F}_t\) і, отже, так і перехрестя.

Припустимо, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \), і\((\tau_n: n \in \N_+)\) це зростаюча послідовність часу зупинки щодо\( \mathfrak{F} \). Потім\(\lim_{n \to \infty} \tau_n\) йде час зупинки щодо\( \mathfrak{F} \).

Доказ

Це наслідок попередньої теореми. Так як послідовність збільшується,\(\lim_{n \to \infty} \tau_n = \sup\{\tau_n: n \in \N_+\}\).

Припустимо, що\( T = [0, \infty) \) і\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Якщо\((\tau_n: n \in \N_+)\) є послідовністю часу зупинки щодо\( \mathfrak{F} \), то кожне з наступних є часом зупинки щодо\( \mathfrak{F}_+ \):

1. \(\inf\left\{\tau_n: n \in \N_+\right\}\)
2. \(\liminf_{n \to \infty} \tau_n\)
3. \(\limsup_{n \to \infty} \tau_n\)

Доказ

1. Нехай\(\tau = \inf\left\{\tau_n: n \in \N_+\right\}\). Тоді\(\{\tau \ge t\} = \bigcap_{n=1}^\infty\{\tau_n \ge t\} \in \mathscr{F}_t\) для\(t \in T\). \(\tau\)Звідси і час\( \mathfrak{F}_+ \) зупинки щодо результату вище.
2. Нагадаємо, що\(\liminf_{n \to \infty} \tau_n = \sup\left\{\inf\{\tau_k: k \ge n\}: n \in \N_+\right\}\) і так це час зупинки щодо\( \mathfrak{F}_+ \) частини (а) і результат вище на супремумах.
3. Аналогічно зауважте, що\(\limsup_{n \to \infty} \tau_n = \inf\left\{\sup\{\tau_k: k \ge n\}: n \in \N_+\right\}\) і так це час зупинки відносно частини (а) і результат вище на супремумах.\( \mathfrak{F}_+ \)

Як простий наслідок, ми маємо наступні результати:

Припустимо, що\( T = [0, \infty) \) і\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це право безперервної фільтрації на\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Якщо\((\tau_n: n \in \N_+)\) є послідовністю часу зупинки відносно\( \mathfrak{F} \), то кожне з наступних є також час зупинки щодо\( \mathfrak{F} \):

1. \(\inf\left\{\tau_n: n \in \N_+\right\}\)
2. \(\liminf_{n \to \infty} \tau_n\)
3. \(\limsup_{n \to \infty} \tau_n\)

\(\sigma\)-Алгебра часу зупинки

Розглянемо ще раз загальне налаштування фільтрації\(\mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\}\) на просторі зразка\((\Omega, \mathscr{F})\), і припустимо, що\(\tau\) це час зупинки відносно\( \mathfrak{F} \). Ми хочемо визначити\(\sigma\)\(\mathscr{F}_\tau\) -алгебру подій до випадкового часу\(\tau\), аналогічно\( \sigma \) -алгебрі подій до фіксованого часу\(t \in T\).\(\mathscr{F}_t\) Ось відповідне визначення:

Припустимо, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація,\( (\Omega, \mathscr{F}) \) і\( \tau \) це час зупинки щодо\( \mathfrak{F} \). Визначте\( \mathscr{F}_\tau = \left\{A \in \mathscr{F}: A \cap \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \text{ for all } t \in T\right\} \). Тоді\( \mathscr{F}_\tau \) це\( \sigma \) -алгебра.

Доказ

Перший\(\Omega \in \mathscr{F}_\tau\) з тих пір\(\Omega \cap \{\tau \le t\} = \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t\), як для\(t \in T\). Якщо\(A \in \mathscr{F}_\tau\) тоді\(A^c \cap \{\tau \le t\} = \{\tau \le t \} \setminus \left(A \cap \{\tau \le t\}\right) \in \mathscr{F}_t\) для\(t \in T\). Нарешті, припустимо, що\(A_i \in \mathscr{F}_\tau\) для\(i\) в обчислювальному індексі набір\(I\). Тоді\(\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \cap \{\tau \le t\} = \bigcup_{i \in I} \left(A_i \cap \{\tau \le t\}\right) \in \mathscr{F}_t\) для\(t \in T\).

Таким чином,\(A\) відбувається подія,\(\mathscr{F}_\tau\) якщо ми можемо визначити, чи відбулося\(A\) і\(\tau \le t\) обидва, враховуючи нашу інформацію в той час\(t\). Якщо\(\tau\) постійний, то\(\mathscr{F}_\tau\) зводиться до відповідного члену вихідної фільтрації, яка явно має бути так, і є додатковою мотивацією для визначення.

Припустимо знову,\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) що фільтрація включена\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Виправте\(s \in T\) і визначте\(\tau(\omega) = s\) для всіх\(\omega \in \Omega\). Потім\(\mathscr{F}_\tau = \mathscr{F}_s\).

Доказ

Припустимо, що\(A \in \mathscr{F}_s\). Тоді\(A \in \mathscr{F}\) і для\(t \in T\),\(A \cap \{\tau \le t\} = A\) якщо\(s \le t\) і\(A \cap \{\tau \le t\} = \emptyset\) якщо\(s \gt t\). У будь-якому випадку,\(A \cap \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t\) а значить\(A \in \mathscr{F}_\tau\). І навпаки, припустимо, що\(A \in \mathscr{F}_\tau\). Потім\(A = A \cap \{\tau \le s\} \in \mathscr{F}_s\).

Зрозуміло, що якщо у нас є інформація\(\mathscr{F}_\tau\), доступна в, то ми повинні знати значення\(\tau\) самого себе. Це також вірно:

Припустимо знову, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація,\( (\Omega, \mathscr{F}) \) і\( \tau \) це час зупинки відносно\( \mathfrak{F} \). Потім\(\tau\) вимірюється по відношенню до\(\mathscr{F}_\tau\).

Доказ

Досить показати, що\(\{\tau \le s\} \in \mathscr{F}_\tau\) для кожного\(s \in T\). Для\( s, \, t \in T \),\[\{\tau \le t\} \cap \{\tau \le s\} = \{\tau \le s \wedge t\} \in \mathscr{F}_{s \wedge t} \subseteq \mathscr{F}_t\] отже\(\{\tau \le s\} \in \mathscr{F}_\tau\).

Ось інші результати, які пов'язують\( \sigma \) -алгебру часу зупинки з початковою фільтрацією.

Припустимо знову, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація,\( (\Omega, \mathscr{F}) \) і\( \tau \) це час зупинки відносно\( \mathfrak{F} \). Якщо\(A \in \mathscr{F}_\tau\) тоді за\(t \in T\),

1. \(A \cap \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t\)
2. \(A \cap \{\tau = t\} \in \mathscr{F}_t\)

Доказ

1. За визначенням,\(A \cap \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t\). Але\(\{\tau \lt t\} \subseteq \{\tau \le t\}\) і\(\{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t\). Звідси\(A \cap \{\tau \lt t\} = A \cap \{\tau \le t\} \cap \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t\).
2. аналогічно\(\{\tau = t\} \subseteq \{\tau \le t\}\) і\(\{\tau = t\} \in \mathscr{F}_t\). Звідси\(A \cap \{\tau = t\} = A \cap \{\tau \le t\} \cap \{\tau = t\} \in \mathscr{F}_t\)

\( \sigma \)Алгебра часу зупинки відносно фільтрації пов'язана з\( \sigma \) -алгеброю часу зупинки відносно більш тонкої фільтрації природним шляхом.

Припустимо, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) і\( \mathfrak{G} = \{\mathscr{G}_t: t \in T\} \) є фільтрації на\( (\Omega, \mathscr{F}) \) і\( \mathfrak{G} \) що тонше, ніж\( \mathfrak{F} \). Якщо\( \tau \) це час зупинки щодо\( \mathfrak{F} \) того\( \mathscr{F}_\tau \subseteq \mathscr{G}_\tau \).

Доказ

З наведеного вище результату також\( \tau \) є час зупинки щодо\( \mathfrak{G} \), тому твердження має сенс. Якщо\( A \in \mathscr{F}_\tau \) то для\( t \in T \)\( A \cap \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{G}_t \), так\( A \in \mathscr{G}_\tau \).

Коли впорядковано два зупинки часу, їх\( \sigma \) -алгебри також впорядковуються.

Припустимо, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \) і що\(\rho\) і\(\tau\) зупиняють час для\( \mathfrak{F} \) с\(\rho \le\tau\). Потім\(\mathscr{F}_\rho \subseteq \mathscr{F}_\tau\).

Доказ

Припустимо, що\(A \in \mathscr{F}_\rho\) і\(t \in T\). Зауважте, що\(\{\tau \le t\} \subseteq \{\rho \le t\}\). За визначенням,\(A \cap \{\rho \le t\} \in \mathscr{F}_t\) і\(\{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \). Значить\(A \cap \{\tau \le t\} = A \cap \{\rho \le t\} \cap \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t\), так\(A \in \mathscr{F}_\tau\).

Припустимо знову, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \), і що\(\rho\) і\(\tau\) зупиняють час для\( \mathfrak{F} \). Тоді кожна з наступних подій знаходиться в\(\mathscr{F}_\tau\) і в\(\mathscr{F}_\rho\).

1. \(\{\rho \lt \tau\}\)
2. \(\{\rho = \tau\}\)
3. \(\{\rho \gt \tau\}\)
4. \(\{\rho \le \tau\}\)
5. \(\{\rho \ge \tau\}\)

Доказ

Докази легко, коли\(T = \N\).

1. Нехай\(t \in T\). Тоді\[\{\rho \lt \tau\} \cap \{\tau \le t\} = \bigcup_{n=0}^t \bigcup_{k=0}^{n-1} \{\tau = n, \rho = k\}\] Але кожна подія в союзі є в\(\mathscr{F}_t\).
2. Аналогічно нехай\(t \in T\). Потім\[ \{\rho = \tau\} \cap \{\tau \le t\} = \bigcup_{n=0}^t \{\rho = n, \tau = n\} \] і знову кожна подія в союзі знаходиться в\(\mathscr{F}_t\).
3. Це випливає з симетрії, змінюючи ролі\(\rho\) і\(\tau\) частково (а).
4. Зауважте, що\(\{\rho \le \tau\} = \{\rho \lt \tau\} \cup \{\rho = \tau\} \in \mathscr{F}_\tau\).
5. Аналогічно, зверніть увагу, що\(\{\rho \ge \tau\} = \{\rho \gt \tau\} \cup \{\rho = \tau\} \in \mathscr{F}_\tau\).

Ми можемо зупинити фільтрацію під час зупинки. У наступному підрозділі ми зупинимо стохастичний процес таким же чином.

Припустимо, що\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) це фільтрація на\( (\Omega, \mathscr{F}) \), і\(\tau\) це час зупинки для\( \mathfrak{F} \). Для\( t \in T \) визначення\( \mathscr{F}^\tau_t = \mathscr{F}_{t \wedge \tau} \). Потім\( \mathfrak{F}^\tau = \{\mathscr{F}^\tau_t: t \in T\} \) відбувається фільтрація і грубіше, ніж\( \mathfrak{F} \).

Доказ

Випадковий час\( t \wedge \tau \) - це час зупинки для кожного\( t \in T \) з результатів вище, так само\( \mathscr{F}^\tau_t \) є\( \sigma \) під-алгебра\( \mathscr{F} \). Якщо\( t \in T \), то за визначенням,\( A \in \mathscr{F}^\tau_t \) якщо і тільки якщо\( A \cap \{t \wedge \tau \le r\} \in \mathscr{F}_r \) для кожного\( r \in T \). Але для\( r \in T \),\( \{t \wedge \tau \le r\} = \Omega \) якщо\( r \ge t \) і\( \{t \wedge \tau \le r\} = \{\tau \le r\} \) якщо\( r \lt t \). Отже,\( A \in \mathscr{F}^\tau_t \) якщо і тільки якщо\( A \cap \{\tau \le r\} \in \mathscr{F}_r \) для\( r \lt t \) і\( A \in \mathscr{F}_t \). Так, зокрема,\( \mathfrak{F}^\tau \) грубіше, ніж\( \mathfrak{F} \). Далі, припустимо\( s, \, t \in T \) з\( s \le t \), і що\( A \in \mathscr{F}^\tau_s \). Нехай\( r \in T \). Якщо\( r \lt s \) тоді\( A \cap \{\tau \le r\} \in \mathscr{F}_r \). Якщо\( s \le r \lt t \) потім\( A \in \mathscr{F}_s \subseteq \mathscr{F}_r \) і\( \{\tau \le r\} \in \mathscr{F}_r \) так ще раз\( A \cap \{\tau \le r\} \in \mathscr{F}_r \). Нарешті, якщо\( r \ge t \) тоді\( A \in \mathscr{F}_s \subseteq \mathscr{F}_t \). Звідси\( A \in \mathscr{F}^\tau_t \).

Стохастичні процеси

Як завжди, найпоширеніша настройка - це коли у нас є стохастичний процес,\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) визначений на нашому просторі вибірки\( (\Omega, \mathscr{F}) \) та з простором стану\( (S, \mathscr{S}) \). Якщо\( \tau \) випадковий час, ми часто цікавимося державою\( X_\tau \) у випадковий час. Але є два питання. По-перше,\( \tau \) може прийняти значення нескінченності, в цьому випадку\( X_\tau \) не визначено. Звичайне рішення - ввести новий стан смерті\( \delta \), і визначити\( X_\infty = \delta \). \( \sigma \)Алгебра\( \mathscr{S} \) на\( S \) поширюється\( S_\delta = S \cup \{\delta\} \) природним шляхом, а саме\( \mathscr{S}_\delta = \sigma(S \cup \{\delta\}) \).

Інша наша проблема полягає\( X_\tau \) в тому, що ми, природно, очікуємо бути випадковою величиною (тобто вимірюваною), так само, як\( X_t \) і випадкова величина для детермінованого\( t \in T \). Більше того, якщо він\( \bs{X} \) адаптований до фільтрації\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \), то ми, природно, також\( X_\tau \) очікуємо бути вимірним щодо\( \mathscr{F}_\tau \), так само, як\( X_t \) вимірюється\( \mathscr{F}_t \) щодо детермінованого\( t \in T \). Але це не очевидно, та й насправді не відповідає дійсності без додаткових припущень. Зверніть увагу, що\( X_\tau \) це випадковий стан у випадковий час, і тому залежить від результату двома\( \omega \in \Omega \) способами:\(X_{\tau(\omega)}(\omega)\).

Припустимо, що\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) це стохастичний процес на вибірковому просторі\( (\Omega, \mathscr{F}) \) з простором стану\( (S, \mathscr{S}) \), і\( \bs{X} \) що можна виміряти. Якщо\( \tau \) є скінченним випадковим часом,\( X_\tau \) то можна виміряти. Тобто є випадковою величиною зі значеннями в\( S \).\( X_\tau \)

Доказ

Зверніть увагу, що\( X_\tau: \Omega \to S \) це склад функції\( \omega \mapsto (\omega, \tau(\omega)) \) від\( \Omega \) до\( \Omega \times T\) з функцією\((\omega, t) \mapsto X_t(\omega) \) від\( \Omega \times T \) до\( S \). Перша функція вимірюється, оскільки дві координатні функції є вимірними. Друга функція вимірюється за припущенням.

Цей результат є однією з головних причин визначення вимірюваного процесу в першу чергу. Іноді ми буквально хочемо зупинити випадковий процес у випадковий час\( \tau \). Як неважко здогадатися, це походження терміна час зупинки.

Знову припустимо, що\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) це стохастичний процес на просторі вибірки\( (\Omega, \mathscr{F}) \) з простором стану\( (S, \mathscr{S}) \), і\( \bs{X} \) це можна виміряти. Якщо\( \tau \) це випадковий час, то процес,\( \bs{X}^\tau = \{X^\tau_t: t \in T\} \) визначений for,\( t \in T \) є процесом,\( \bs{X} \) зупиненим на\( \tau \).\( X^\tau_t = X_{t \wedge \tau} \)

Доказ

Для кожного зверніть увагу\( t \in T \), що\( t \wedge \tau \) це кінцевий випадковий час, і, отже,\( X_{t \wedge \tau} \) вимірюється попереднім результатом. Таким чином,\( \bs{X}^\tau \) є чітко визначеним стохастичним\( (\Omega, \mathscr{F}) \) процесом на державному просторі\( (S, \mathscr{S}) \).

Коли початковий процес поступово вимірюється, так і зупинений процес.

Знову припустимо, що\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) це стохастичний процес на просторі зразка\( (\Omega, \mathscr{F}) \) з простором стану\( (S, \mathscr{S}) \), і\( \bs{X} \) це прогресивно вимірюється щодо фільтрації\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \). Якщо\( \tau \) це час зупинки щодо\( \mathfrak{F} \), то зупинений процес прогресивно\( \bs{X}^\tau = \{X^\tau_t: t \in T\} \) вимірюється щодо зупиненої фільтрації\( \mathfrak{F}^\tau \).

Оскільки\( \mathfrak{F} \) є більш тонким\( \mathfrak{F}^\tau \), випливає,\( \bs{X}^\tau \) що також прогресивно вимірюється щодо\( \mathfrak{F} \).

Знову припустимо, що\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) це стохастичний процес на просторі зразка\( (\Omega, \mathscr{F}) \) з простором стану\( (S, \mathscr{S}) \), і\( \bs{X} \) це прогресивно вимірюється відносно фільтрації\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) на\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Якщо\( \tau \) є кінцевим час зупинки відносно\( \mathfrak{F} \) то\( X_\tau \) вимірюється по відношенню до\( \mathscr{F}_\tau \).

Для багатьох випадкових процесів, перший раз, коли процес входить або потрапляє в набір станів, особливо важливий. У дискусії, що слідує\( T_+ = \{t \in T: t \gt 0\} \), нехай, набір позитивних часів.

Припустимо, що\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) це стохастичний процес на\( (\Omega, \mathscr{F}) \) з державним простором\( (S, \mathscr{S}) \). Для\( A \in \mathscr{S} \), визначте

1. \( \rho_A = \inf\{t \in T: X_t \in A\} \), Перший час входу в\( A \).
2. \( \tau_A = \inf\{t \in T_+: X_t \in A\} \), перший раз удару до\( A \).

Як завжди,\( \inf(\emptyset) = \infty \) так\(\rho_A = \infty\) якщо\(X_t \notin A\) для всіх\(t \in T\), так що в процес ніколи не входить\(A\), а\( \tau_A = \infty \) якщо\( X_t \notin A \) для всіх\( t \in T_+ \), то щоб процес ніколи не потрапив\( A \). У дискретний час легко помітити, що це зупинка часу.

Припустимо, що\( \{X_n: n \in \N\} \) це стохастичний процес на\( (\Omega, \mathscr{F}) \) з державним простором\( (S, \mathscr{S}) \). Якщо\( A \in \mathscr{S} \) то\(\tau_A\) і час\( \rho_A \) зупинки щодо природної фільтрації\( \mathfrak{F}^0 \).

Доказ

Нехай\( n \in \N \). Зауважте, що\(\{\rho_A \gt n\} = \{X_0 \notin A, X_1 \notin A, \ldots, X_n \notin A\} \in \sigma\{X_0, X_1, \ldots, X_n\}\). Аналогічно,\( \{\tau_A \gt n\} = \{X_1 \notin A, X_2 \notin A \ldots, X_n \notin A \} \subseteq \sigma\{X_0, X_1, \ldots, X_n\}\).

Так, звичайно, в дискретний час,\( \tau_A \) і\( \rho_A \) зупинки часу відносно будь-якої фільтрації,\( \mathfrak{F} \) до якої\( \bs{X} \) адаптується. Ви можете подумати, що\(\tau_A\) і завжди\( \rho_A \) повинні бути зупинкою разів, так як\(\tau_A \le t\) якщо і тільки якщо\(X_s \in A\) для деяких\( s \in T_+ \) з\(s \le t\), і\( \rho_A \le t \) якщо і тільки якщо\( X_s \in A \) для деяких\( s \in T \) з\( s \le t \). Здавалося б, ці події відомі, якщо дозволити спостерігати за процесом до часу\(t\). Проблема полягає в тому, що коли\(T = [0, \infty)\), це незліченні союзи, тому нам потрібно зробити додаткові припущення щодо стохастичного процесу\( \bs{X} \) або фільтрації\( \mathfrak{F} \), або обох.

Припустимо, що\( S \) має топологію LCCB, і\( \mathscr{S} \) це\( \sigma \) -алгебра множин Бореля. Припустимо також,\( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) що правий безперервний і має ліві межі. Потім\( \tau_A \) і\( \rho_A \) зупиняють час\( \mathfrak{F}^0_+ \) щодо кожного відкритого\( A \in \mathscr{S} \).

Ось ще один результат, який вимагає менше стохастичного процесу\( \bs{X} \), але більшої кількості фільтрації\( \mathfrak{F} \).

Припустимо, що\( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) це стохастичний процес\( (\Omega, \mathscr{F}) \), який прогресивно вимірюється щодо повної, правої безперервної фільтрації\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \). Якщо\( A \in \mathscr{S} \) тоді\( \rho_A \) і\( \tau_A \) зупиняються часи щодо\( \mathfrak{F} \).