2.8: Існування та унікальність

\( \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \)\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \)\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \)\( \newcommand{\bs}{\boldsymbol} \)\( \newcommand{\length}{\text{length}} \)

Припустимо, що\( S \) це множина і\( \mathscr{S} \) a\( \sigma \) -алгебра підмножин\( S \), так що\( (S, \mathscr{S}) \) це вимірний простір. У багатьох випадках неможливо визначити позитивну міру\(\mu\) на\(\mathscr{S}\) явно, надавши формулу обчислень\(\mu(A)\) для кожного\(A \in \mathscr{S}\). Швидше, ми часто знаємо, як міра\(\mu\) повинна працювати на якомусь класі множин\(\mathscr{B}\), що генерує\( \mathscr{S} \). Тоді ми хотіли б знати, що\(\mu\) можна продовжити до позитивної міри\(\mathscr{S}\), і що це розширення є унікальним. Мета цього розділу - обговорити основні результати по даній темі. Щоб зрозуміти цей розділ, вам потрібно буде переглянути розділи «Теорія вимірювань» та «Структури спеціальних наборів» у розділі «Основи» та розділ «Вимірювання просторів» у цьому розділі. Якщо вас не цікавлять питання існування і унікальності позитивних заходів, можете сміливо пропускати цей розділ.

Основна теорія

Позитивні заходи щодо алгебр

Припустимо спочатку, що\( \mathscr A \) це алгебра підмножин\(S\). Нагадаємо, що це означає, що\( \mathscr A \) це сукупність підмножин, яка містить\(S\) і закривається під комплементами і скінченними союзами (а отже, і кінцевими перетинами). Ось наше перше визначення:

Позитивна міра on\(\mathscr A\) - це функція\( \mu: \mathscr A \to [0, \infty] \), яка задовольняє наступним властивостям:

1. \( \mu(\emptyset) = 0 \)
2. Якщо\( \{A_i: i \in I\} \) є обчислювальною, неспільною колекцією множин в\( \mathscr A \) і якщо\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr A \) тоді\[ \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \sum_{i \in I} \mu(A_i) \]

Очевидно, що визначення позитивної міри на алгебрі дуже схоже на визначення для a\( \sigma \) -алгебри. Якщо колекція множин в (b) скінченна, то\( \bigcup_{i \in I} A_i \) повинна бути в алгебрі\( \mathscr A \). Таким чином,\( \mu \) є кінцево добавка. Якщо колекція нескінченно нескінченна, то немає ніякої гарантії, що союз в\( \mathscr A \). Якщо це все ж, то\( \mu \) повинна бути добавка над цим збором. Враховуючи подібність, не дивно, що\( \mu \) розділяє багато основних властивостей позитивної міри на a\( \sigma \) -алгебрі, з доказами, які майже ідентичні.

Якщо\( A, \, B \in \mathscr A \), то\( \mu(B) = \mu(A \cap B) + \mu(B \setminus A) \).

Доказ

Зверніть увагу на те\( B = (A \cap B) \cup (B \setminus A) \), що, і множини в союзі знаходяться в\( \mathscr A \) алгебрі і є неспільними.

Якщо\( A, \, B \in \mathscr A \) і\( A \subseteq B \) тоді

1. \( \mu(B) = \mu(A) + \mu(B \setminus A) \)
2. \( \mu(A) \le \mu(B) \)

Доказ

Частина (а) випливає з попередньої теореми, так як\( A \cap B = A \). Частина (b) випливає з частини (а).

Таким чином\( \mu \) відбувається збільшення, щодо підмножини часткового порядку\( \subseteq \) на\( \mathscr A \) і звичайного порядку\( \le \) на\( [0, \infty] \). Зверніть увагу також, що якщо\( A, \, B \in \mathscr A \) і\( \mu(B) \lt \infty \) тоді\( \mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A \cap B) \). В особливому випадку\( A \subseteq B \), що, це стає\( \mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A) \). Якщо\( \mu(S) \lt \infty \) тоді\( \mu(A^c) = \mu(S) - \mu(A) \). Це звичні відмінності і доповнюють правила.

Наступний результат - субадитивна властивість для позитивної міри\( \mu \) на алгебрі\( \mathscr A \).

Припустимо, що\( \{A_i: i \in I \}\) це підрахункова колекція наборів в\( \mathscr A \) і що\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr A \). Тоді\[ \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i \right) \le \sum_{i \in I} \mu(A_i) \]

Доказ

Доказ так само, як і раніше. Припустимо, що\( I = \N_+ \). Нехай\( B_1 = A_1 \) і\( B_i = A_i \setminus (A_1 \cup \ldots \cup A_{i-1}) \) для\( i \in \{2, 3, \ldots\} \). Потім\( \{B_i: i \in I\} \) це неспільна колекція наборів в\( \mathscr A \) з тим же союзом, що і\( \{A_i: i \in I\} \). Також\( B_i \subseteq A_i \) для кожного\( i \) так\( \mu(B_i) \le \mu(A_i) \). Отже, якщо союз є в\( \mathscr A \) то\[ \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i \right) = \mu\left(\bigcup_{i \in I} B_i \right) = \sum_{i \in I} \mu(B_i) \le \sum_{i \in I} \mu(A_i) \]

Для скінченного об'єднання множин з кінцевою мірою формула включення-виключення тримає, і доказ подібний до того, що для міри ймовірності.

Припустимо, що\(\{A_i: i \in I\}\) це кінцева колекція множин в\( \mathscr A \) де\(\#(I) = n \in \N_+\), і що\( \mu(A_i) \lt \infty \) для\( i \in I \). Тоді\[\mu \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) = \sum_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \sum_{J \subseteq I, \; \#(J) = k} \mu \left( \bigcap_{j \in J} A_j \right)\]

Теореми про неперервність тримаються для позитивної\( \mu \) міри алгебри\( \mathscr A \), так само, як і для позитивної міри на\( \sigma \) алгебрі, припускаючи, що відповідне об'єднання та перетин знаходяться в алгебрі. Докази так само, як і раніше.

Припустимо, що\( (A_1, A_2, \ldots) \) це послідовність множин в\( \mathscr A \).

1. Якщо послідовність збільшується, так що\( A_n \subseteq A_{n+1} \) для кожного\( n \in \N_+ \), і\( \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \in \mathscr A \), то\( \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) \).
2. Якщо послідовність зменшується, так що\( A_{n+1} \subseteq A_n \) для кожного\( n \in \N_+ \),\( \mu(A_1) \lt \infty \) і\( \bigcap_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr A \), то\( \mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty A_i \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) \).

Доказ

1. Зверніть увагу, що якщо\( \mu(A_k) = \infty \)\( \mu(A_n) = \infty \) для деяких\( k \) то для\( n \ge k \) і\( \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \infty \) якщо цей союз в\( \mathscr A \). Таким чином, припустимо, що\( \mu(A_i) \lt \infty \) для кожного\( i \). Нехай\( B_1 = A_1 \) і\( B_i = A_i \setminus A_{i-1} \) для\( i \in \{2, 3, \ldots\} \). Потім\( (B_1, B_2, \ldots) \) є нероздільна послідовність в\( \mathscr A \) з тим же союзом, що і\( (A_1, A_2, \ldots) \). Також,\( \mu(B_1) = \mu(A_1) \) і\( \mu(B_i) = \mu(A_i) - \mu(A_{i-1}) \) для\( i \in \{2, 3, \ldots\} \). Отже, якщо союз в\( \mathscr A \),\[ \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \mu \left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i \right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(B_i) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \mu(B_i) \] Але\( \sum_{i=1}^n \mu(B_i) = \mu(A_1) + \sum_{i=2}^n [\mu(A_i) - \mu(A_{i-1})] = \mu(A_n) \).
2. Зверніть увагу, що\( A_1 \setminus A_n \in \mathscr A \) і ця послідовність збільшується. Більш того,\( \bigcup_{n=1}^\infty (A_1 \setminus A_n) = \left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n \right)^c \cap A_1 \). Отже, якщо\( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \in \mathscr A \) тоді\( \bigcup_{n=1}^\infty (A_1 \setminus A_n) \in \mathscr A \). Таким чином, використовуючи результат безперервності для збільшення множин,\ begin {align}\ mu\ left (\ bigcap_ {i=1} ^\ infty a_i\ праворуч) & =\ му\ лівий [A_1\ setminus\ bigcup_ {i = 1\ infty (A_1\ setminus a_i)\ праворуч] =\ му (A_1) -\ му\ лівий [\ bigcup_ {i = 1} ^\ infty (A_1\ setminus a_n)\ право]\\ & =\ му (A_1) -\ lim_ {n\ to\ infty}\ му (A_1\ задмінус a_n) =\ му (A_1) -\ lim_ {n\ to\ infty} [\ му (A_1) -\ му (a_n)] =\ lim_ {n\ to\ infty}\ му (a_n)\ кінець {вирівняти}

Нагадаємо, що якщо\( (A_1, A_2, \ldots) \) послідовність збільшується, то визначаємо\( \lim_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n \), а якщо послідовність зменшується то визначаємо\( \lim_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty A_n \). Таким чином, висновок обох частин теореми безперервності є\[ \P\left(\lim_{n \to \infty} A_n\right) = \lim_{n \to \infty} \P(A_n) \] кінцева адитивність, а безперервність для зростаючих подій передбачає лічильну адитивність:

Якщо\( \mu: \mathscr A \to [0, \infty] \) задовольняє властивості нижче, то\( \mu \) це позитивна міра на\( \mathscr A \).

1. \( \mu(\emptyset) = 0 \)
2. \( \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \sum_{i \in I} \mu(A_i) \)якщо\( \{A_i: i \in I\} \) є кінцевою неспільною колекцією множин в\( \mathscr A \)
3. \( \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) \)якщо\( (A_1, A_2, \ldots) \) є зростаючою послідовністю подій в\( \mathscr A \) і\( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr A \).

Доказ

Все, що залишилося довести, - це additivitiy над незліченно нескінченною колекцією наборів,\( \mathscr A \) коли союз також знаходиться в\( \mathscr A \). Таким чином, припустимо, що\(\{A_n: n \in \N\} \) це неспільна колекція множин в\( \mathscr A \) с\( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathscr A \). Нехай\( B_n = \bigcup_{i=1}^n A_i \) для\( n \in \N_+ \). Потім\( B_n \in \mathscr A \) і\( \bigcup_{n=1}^\infty B_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n \). Отже, використовуючи скінченну адитивність та властивість безперервності, яку ми маємо\[ \P\left(\bigcup_{n = 1}^\infty A_n\right) = \P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right) = \lim_{n \to \infty} \P(B_n) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \P(A_i) = \sum_{i=1}^\infty \P(A_i) \]

Багато з основних теорем в теорії мір вимагають, щоб міра не була занадто далеко віддалена від кінцевої. Це призводить до наступного визначення, яке так само, як і для позитивної міри на\( \sigma \) -алгебру.

Міра\( \mu \) на алгебрі\( \mathscr A \) підмножин\( S \) є \( \sigma \)-скінченною, якщо існує послідовність множин\( (A_1, A_2, \ldots) \) в\( \mathscr A \) такому, що\( \bigcup_{n=1}^\infty A_n = S \) і\( \mu(A_n) \lt \infty \) для кожного\( n \in \N_+ \). Послідовність називається \( \sigma \)-скінченною послідовністю для\( \mu \).

Припустимо, що\( \mu \) це\( \sigma \) -скінченна міра на\( \mathscr A \) алгебрі підмножин\( S \).

1. Існує зростаюча\( \sigma \) -скінченна послідовність.
2. Існує неспільна\( \sigma \) -скінченна послідовність.

Доказ

Ми використовуємо ті ж хитрощі, якими користувалися раніше. Припустимо, що\( (A_1, A_2, \ldots) \) це\( \sigma \) -скінченна послідовність для\( \mu \).

1. Нехай\( B_n = \bigcup_{i = 1}^n A_i \). Тоді\( B_n \in \mathscr A \) для\( n \in \N_+ \) і ця послідовність збільшується. Більш того,\( \mu(B_n) \le \sum_{i=1}^n \mu(A_i) \lt \infty \) для\( n \in \N_+ \) і\( \bigcup_{n=1}^\infty B_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n = S \).
2. Нехай\( C_1 = A_1 \) і нехай\( C_n = A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \) для\( n \in \{2, 3, \ldots\} \). Потім\( C_n \in \mathscr A \) для кожного\( n \in \N_+ \) і ця послідовність розмежовується. Більш того,\( C_n \subseteq A_n \) так\( \mu(C_n) \le \mu(A_n) \lt \infty \) і\( \bigcup_{n=1}^\infty C_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n = S \).

Теореми про розширення та єдиність

Фундаментальна теорема про заходи стверджує, що позитивна,\( \sigma \)\( \mu \) -скінченна міра на\( \mathscr A \) алгебрі може бути однозначно розширена на\( \sigma(\mathscr A) \). Розширювальну частину іноді називають теоремою розширення Каратеодорі і називається на честь грецького математика Константіна Каратеодорі.

Якщо\( \mu \) позитивна,\( \sigma \) -кінцева міра на алгебрі\(\mathscr A\), то\( \mu \) може бути продовжена до позитивної міри на\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr A) \).

Доказ

Доказ складний, але ось широкий контур. По-перше, для\( A \subseteq S \), ми визначаємо обкладинку,\( A \) щоб бути зліченою колекцією\( \{A_i: i \in I\} \) наборів в\( \mathscr A \) такому, що\( A \subseteq \bigcup_{i \in I} A_i \). Далі ми визначаємо нову функцію набору\( \mu^* \), зовнішню міру, на всіх підмножині\( S \):\[ \mu^*(A) = \inf \left\{ \sum_{i \in I} \mu(A_i): \{A_i: i \in I\} \text{ is a cover of } A \right\}, \quad A \subseteq S \] Зовнішня міра задовольняє наступні властивості.

1. \( \mu^*(A) \ge 0 \)для\( A \subseteq S \), так\( \mu^* \) є ненегативним.
2. \( \mu^*(A) = \mu(A) \)для\( A \in \mathscr A \), так\( \mu^* \) розширюється\( \mu \).
3. Якщо\( A \subseteq B \) тоді\( \mu^*(A) \le \mu^*(B) \),\( \mu^* \) так збільшується
4. Якщо\( A_i \subseteq S \) для кожного\( i \) в обчислювальному індексі встановити\( I \) то\( \mu^*\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \le \sum_{i \in I} \mu^*(A_i) \), так\( \mu^* \) зліченно субдобавка.

Далі,\( A \subseteq S \) як кажуть, вимірюється, якщо\[ \mu^*(B) = \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \setminus A), \quad B \subseteq S \] Таким чином,\( A \) можна виміряти, якщо\( \mu^* \) є адитивним по відношенню до поділу\( B \) індукованого\( \{A, A^c\} \), для кожного\( B \subseteq S \). \( \mathscr{M} \)Дозволимо позначити колекцію вимірюваних підмножин\( S \). Доказ закінчується показом того\( \mathscr A \subseteq \mathscr{M} \), що,\( \mathscr{M} \) є\( \sigma \) -алгебра підмножин\( S \), і\( \mu^* \) є позитивною мірою на\( \mathscr{M} \). Звідси випливає, що\( \sigma(\mathscr A) = \mathscr{S} \subseteq \mathscr{M} \) і\( \mu^* \), отже, є мірою\( \mathscr{S} \), що поширюється\( \mu \)

Наша наступна мета - базовий результат унікальності, який служить доповненням до основного результату розширення. Але для початку потрібна ще одна варіація терміна \( \sigma \)-кінцева.

Припустимо, що\( \mu \) це міра на\( \sigma \)\( \mathscr{S} \) -алгебрі підмножин\( S \) і\( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{S} \). Тоді\( \mu \) є \( \sigma \)-finite на,\( \mathscr{B} \) якщо існує обчислювальна колекція\( \{B_i: i \in I\} \subseteq \mathscr{B} \) така, що\( \mu(B_i) \lt \infty \) для\( i \in I \) і\( \bigcup_{i \in I} B_i = S \).

Наступний результат - теорема єдиності. Доказом, як і інші, які ми бачили, використовує Динкіна\( \pi \) -\( \lambda \) теорема, названа на честь Євгена Динкіна.

Припустимо, що\( \mathscr{B} \) це\( \pi \) -система і що\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr{B}) \). Якщо\( \mu_1 \) і\( \mu_2 \) є позитивними заходами на\( \mathscr{S} \) і є\( \sigma \) -кінцеві на\( \mathscr{B} \), а якщо\( \mu_1(A) = \mu_2(A) \) для всіх\( A \in \mathscr{B} \), то\( \mu_1(A) = \mu_2(A) \) для всіх\( A \in \mathscr{S} \).

Доказ

Припустимо, що\( B \in \mathscr{B} \) і те\( \mu_1(B) = \mu_2(B) \lt \infty \). Нехай\( \mathscr{L}_B = \{A \in \mathscr{S}: \mu_1(A \cap B) = \mu_2(A \cap B) \} \). Тоді\( S \in \mathscr{L}_B \) з тих пір\( \mu_1(B) = \mu_2(B) \). Якщо\( A \in \mathscr{L}_B \) то\( \mu_1(A \cap B) = \mu_2(A \cap B) \) так\( \mu_1(A^c \cap B) = \mu_1(B) - \mu_1(A \cap B) = \mu_2(B) - \mu_2(A \cap B) = \mu_2(A^c \cap B) \) і звідси\( A^c \in \mathscr{L}_B \). Нарешті, припустимо, що\( \{A_j: j \in J\} \) це підрахункова, неспільна колекція подій в\( \mathscr{L}_B \). Потім\( \mu_1(A_j \cap B) = \mu_2(A_j \cap B) \) для кожного\( j \in J \) і, отже,\ почати {вирівняти}\ mu_1\ left [\ bigcup_ {j\ in J} a_J\ праворуч)\ шапка B\ справа] & =\ mu_1\ left (\ bigcup_ {j\ in J} (a_J\ cap B)\ праворуч) =\ sum_ {j\ in J}\ mu_1 (a_J\ cap B)\\ & =\ sum_ {j\ in J}\ mu_2 (a_J\ cap B) =\ mu_2\ ліворуч (\ bigcup_ {j\ in J} (a_J\ cap B)\ праворуч) =\ mu_2\ left [\ left (\ bigcup_ {j\ in J} a_J\ праворуч)\ cap B\ rigt]\ end {align} Отже\( \bigcup_{j \in J} A_j \in \mathscr{L}_B \), так і\( \mathscr{L}_B \) є\( \lambda \) -система. За припущенням,\( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{L}_B \) а значить\( \pi \) -\( \lambda \) теоремою,\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr{B}) \subseteq \mathscr{L}_B \).

Далі, за припущенням існує\( B_i \in \mathscr{B} \) з\( \mu_1(B_i) = \mu_2(B_i) \lt \infty \) для кожного\( i \in \N_+ \) і\( S = \bigcup_{i=1}^\infty B_i \). Якщо\( A \in \mathscr{S} \) тоді правило включення-виключення може бути застосовано до\[ \mu_k\left[\left(\bigcup_{i=1}^n B_i\right) \cap A \right] = \mu_k\left[\bigcup_{i=1}^n (A \cap B_i) \right] \] де\( k \in \{1, 2\} \) і\( n \in \N_+ \). Але формула включення-виключення має лише терміни форми\( \mu_k \left[ \bigcap_{j \in J} (A \cap B_j) \right] = \mu_k \left[ A \cap \left(\bigcap_{j \in J} B_j\right) \right] \) де\( J \subseteq \{1, 2, \ldots, n\} \). Але\( \bigcap_{j \in J} B_j \in \mathscr{B} \) так як\( \mathscr{B} \) це\( \pi \) -система, так і до попереднього пункту,\( \mu_1 \left[ \bigcap_{j \in J} (A \cap B_j) \right] = \mu_2 \left[ \bigcap_{j \in J} (A \cap B_j) \right] \). Потім випливає, що для кожного\( n \in \N_+ \)\[ \mu_1\left[\left(\bigcup_{i=1}^n B_i\right) \cap A \right] = \mu_2\left[\left(\bigcup_{i=1}^n B_i\right) \cap A \right] \] Нарешті, даючи\( n \to \infty \) і використовуючи теорему безперервності для збільшення множин дає\( \mu_1(A) = \mu_2(A) \).

Алгебра\( \mathscr A \) підмножин тривіально\( S \) є\( \pi \) -системою. Отже, якщо\( \mu_1 \) і\( \mu_2 \) є позитивними заходами на\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr A) \) і є\( \sigma \) -кінцевими на\( \mathscr A \), а якщо\( \mu_1(A) = \mu_2(A) \) для\( A \in \mathscr A \), то\( \mu_1(A) = \mu_2(A) \) для\( A \in \mathscr{S} \). На цьому друга частина фундаментальної теореми завершена.

Звичайно, результати цього підрозділу тримаються за ймовірнісні заходи. Формально міра ймовірності\( \P \) на алгебрі\( \mathscr A \) підмножин\( S \) є позитивною мірою на\( \mathscr A \) з додатковою вимогою, що\( \P(S) = 1 \). Міри ймовірності тривіально\( \sigma \) -скінченні, тому міра ймовірності\( \P \) на алгебрі\( \mathscr A \) може бути однозначно розширена на\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr A) \).

Однак зазвичай ми починаємо з колекції, яка є більш примітивною, ніж алгебра. Наступний результат поєднує визначення з основною теоремою, пов'язаною з визначенням. Для підтвердження див. Розділ «Спеціальні набори конструкцій» у розділі «Фундаменти».

Припустимо, що\( \mathscr{B} \) це непорожня колекція підмножин\( S \) і нехай\[ \mathscr A = \left\{\bigcup_{i \in I} B_i: \{B_i: i \in I\} \text{ is a finite, disjoint collection of sets in } \mathscr{B}\right\} \] Якщо виконуються наступні умови, то\( \mathscr{B} \) є напівалгебра підмножин\( S \), а потім алгебра,\( \mathscr A \) що генерується\(\mathscr{B}\).

1. Якщо\( B_1, \, B_2 \in \mathscr{B} \) тоді\( B_1 \cap B_2 \in \mathscr{B} \).
2. Якщо\( B \in \mathscr{B} \) тоді\( B^c \in \mathscr A \).

Припустимо, що тепер ми знаємо, як міра\( \mu \) повинна працювати на\( \mathscr{B} \) напівалгебрі, яка генерує алгебру,\( \mathscr A \) а потім\( \sigma \) -алгебру\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr A) = \sigma(\mathscr{B}) \). Тобто ми знаємо\( \mu(B) \in [0, \infty] \) для кожного\( B \in \mathscr{B} \). Через властивість адитивності не виникає сумнівів щодо того, як ми повинні\( \mu \) поширюватися на\(\mathscr A\). Ми повинні мати\[ \mu(A) = \sum_{i \in I} \mu(B_i)\] якщо\(A = \bigcup_{i \in I} B_i\) для деяких кінцевих, неспільних\( \{B_i: i \in I\} \) колекція множин в\( \mathscr{B} \) (так що\( A \in \mathscr A \)). Однак ми не можемо привласнити\( \mu(B) \) значення\( B \in \mathscr{B} \) довільно. Наступна теорема розширення стверджує, що, за умови лише деяких істотних умов узгодженості, розширення\( \mu \) від напівалгебри\( \mathscr{B} \) до алгебри\( \mathscr A \) насправді виробляє міру\( \mathscr A \). Умови консистенції полягають в тому, що\( \mu \) кінцево добавка і зліченно субдобавка на\( \mathscr{B} \).

Припустимо, що\( \mathscr{B} \) це напівалгебра підмножин\( S \) і що\( \mathscr A \) є алгеброю підмножин\( S \) породжених\(\mathscr{B}\). Функція\( \mu: \mathscr{B} \to [0, \infty] \) може бути однозначно розширена до міри,\( \mathscr A \) якщо і тільки якщо\( \mu \) задовольняє наступним властивостям:

1. Якщо\( \emptyset \in \mathscr{B} \) тоді\( \mu(\emptyset) = 0 \).
2. Якщо\( \{B_i: i \in I\} \) є кінцевим, неспільний набір множин в\( \mathscr{B} \) і\( B = \bigcup_{i \in I} B_i \in \mathscr{B} \) потім\( \mu(B) = \sum_{i \in I} \mu(B_i) \).
3. Якщо\( B \in \mathscr{B} \) і\( B \subseteq \bigcup_{i \in I} B_i \) де\( \{B_i: i \in I\} \) є підрахункова колекція наборів,\( \mathscr{B} \) то\( \mu(B) \le \sum_{i \in I} \mu(B_i) \)

Якщо міра\( \mu \) на\( \mathscr A \) алгебрі\( \sigma \) -скінченна, то застосовується теорема розширення і теорема єдиності, тому\( \mu \) може бути розширена однозначно до міри на\( \sigma \) -алгебрі\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr A) = \sigma(\mathscr{B}) \). Цей ланцюжок розширень, починаючи з напівалгебри\( \mathscr{B} \), часто є тим, як будуються заходи.

Приклади і застосування

Простір продукту

Припустимо, що\( (S, \mathscr{S}) \) і\( (T, \mathscr{T}) \) є вимірними пробілами. Для декартової множини добутку нагадаємо\( S \times T \), що добуток\( \sigma \) -алгебра - це\[ \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} = \sigma\{A \times B: A \in \mathscr{S}, B \in \mathscr{T}\} \]\( \sigma \) -алгебра, породжена декартовими добутками вимірюваних множин, яку іноді називають вимірюваними прямокутниками.

Припустимо, що\( (S, \mathscr S, \mu) \) і\( (T, \mathscr T, \nu) \) є\( \sigma \) -скінченними мірними просторами. Тоді існує унікальна\( \sigma \) -кінцева міра\( \mu \otimes \nu \) на\((S \times T, \mathscr{S} \otimes \mathscr{T}) \) такий, що\[ (\mu \otimes \nu)(A \times B) = \mu(A) \nu(B); \quad A \in \mathscr{S}, \; B \in \mathscr{T} \] Вимірювати простір\( (S \times T, \mathscr{S} \otimes \mathscr{T}, \mu \otimes \nu) \) є продуктом вимірювання простору, пов'язаного з\( (S, \mathscr{S}, \mu) \) і\( (T, \mathscr{T}, \nu) \).

Доказ

Нагадаємо, що колекція\( \mathscr{B} = \{A \times B: A \in \mathscr{S}, B \in \mathscr{T}\} \) являє собою напівалгебру: перетин двох продуктових наборів - це ще один продуктовий набір, а доповненням продуктового набору є об'єднання двох нероз'ємних продуктових наборів. Визначаємо\( \rho: \mathscr{B} \to [0, \infty] \) по\( \rho(A \times B) = \mu(A) \nu(B) \). Умови узгодженості утримуються, тому їх\( \rho \) можна розширити до міри на алгебру,\( \mathscr A \) породжену\( \mathscr{B} \). Алгебра\( \mathscr A \) - це сукупність всіх скінченних, неспільних спілок добутків вимірюваних множин. Зараз ми покажемо, що\( \rho \) розширена міра\( \sigma \) -кінцева на\( \mathscr A \). Оскільки\( \mu \) є\( \sigma \) -скінченним, існує, зростаюча\( (A_1, A_2, \ldots) \) послідовність множин в\( \mathscr{S} \) з\( \mu(A_i) \lt \infty \) і\( \bigcup_{i = 1}^\infty A_i = S \). Аналогічно існує зростаюча\( (B_1, B_2, \ldots) \) послідовність множин в\( \mathscr{T} \) з\( \nu(B_j) \lt \infty \) і\( \bigcup_{j = 1}^\infty B_j = T \). Потім\( \rho(A_i \times B_j) = \mu(A_i) \nu(B_j) \lt \infty \), і так як набори збільшуються,\( \bigcup_{(i, j) \in \N_+ \times \N_+} A_i \times B_j = S \times T \). Стандартна теорема розширення та теорема єдиності теорема єдиності тепер застосовуються, тому їх\( \rho \) можна однозначно розширити на міру\( \sigma(\mathscr A) = \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \).

Нагадаємо, що для\( C \subseteq S \times T \), перетин\( C \) в першій координаті при\( x \in S \) є\( C_x = \{ y \in T: (x, y) \in C\} \). Аналогічно, перетин\( C \) у другій координаті при\( y \in T \) є\( C^y = \{ x \in S: (x, y) \in C\} \). Ми знаємо, що поперечні перерізи вимірюваного набору вимірювані. Наступний результат показує, що міри перерізів вимірюваної множини утворюють вимірювані функції.

Припустимо ще раз, що\( (S, \mathscr S, \mu) \) і\( (T, \mathscr T, \nu) \) є\( \sigma \) -скінченними мірними просторами. Якщо\( C \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \) тоді

1. \( x \mapsto \nu(C_x) \)є вимірюваною функцією від\( S \) до\( [0, \infty] \).
2. \( y \mapsto \mu(C^y) \)є вимірюваною функцією від\( T \) до\( [0, \infty] \).

Доказ

Доводимо part (a), оскільки, звичайно, доказ для частини (b) симетричний. Припустимо спочатку, що проміжні проміжки є кінцевими. \( \mathscr{R} = \{A \times B: A \in \mathscr{S}, B \in \mathscr{T}\} \)Дозвольте позначити набір вимірюваних прямокутників. Нехай\( \mathscr{C} = \{C \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T}: x \mapsto \nu(C_x) \text{ is measurable}\}\). Якщо\( A \times B \in \mathscr{R} \), то\( A \times B \in \mathscr{C} \), так як\( \nu[(A \times B)_x] = \nu(B) \bs{1}_A(x) \). Далі припустимо\( C \in \mathscr{C} \). Тоді\( (C^c)_x = (C_x)^c \), так\( \nu[(C^c)_x] = \nu(T) - \nu(C_x) \) і це вимірювана функція\( x \in S \). Звідси\( C^c \in \mathscr{C} \). Далі, припустимо, що\( \{C_i: i \in I\} \) це підрахункова, неспільна колекція наборів\( \mathscr{C} \) і нехай\( C = \bigcup_{i \in I} C_i \). Тоді\( \{(C_i)_x: i \in I\} \) є підрахункова, неспільна колекція наборів в\( \mathscr{T} \), і\( C_x = \bigcup_{i \in I} (C_i)_x \). Отже\( \nu(C_x) = \sum_{i \in I} \nu[(C_i)_x] \), і це вимірювана функція\( x \in S \). Звідси\( C \in \mathscr{C} \). Звідси випливає, що\( \mathscr{C} \) це\( \lambda \) -система, яка містить\( \mathscr{R} \), яка, в свою чергу, є\( \pi \) -системою. З Дінкінса випливає\(\pi\) -\(\lambda \) теорема, що\( \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} = \sigma(\mathscr{R}) \subseteq \mathscr{C} \). Таким чином\( \mathscr{C} = \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \).

Розглянемо тепер загальний випадок, коли проміжні проміжки\( \sigma \) -кінцеві. Існує обчислювальна, зростаюча послідовність множин\( C_n \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \) для\( n \in \N_+ \) with\( (\mu \otimes \nu)(C_n) \lt \infty \) for\( n \in \N_+ \). Якщо\( C \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \),\( C \cap C_n \) то збільшується в\( n \in \N_+ \), і\( C = \bigcup_{n=1}^\infty (C \cap C_n) \). Отже, для\( x \in S \),\( (C \cap C_n)_x \) збільшується в\( n \in \N_+ \) і\( C_x = \bigcup_{n=1}^\infty (C \cap C_n)_x \). Тому\( \nu(C_x) = \lim_{n \to \infty} \nu[(C \cap C_n)_x] \). Але\( x \mapsto \nu[(C \cap C_n)_x] \) це вимірна функція\( x \in S \) для кожного\( n \in \N_+ \) за попереднім аргументом, так\( x \mapsto \nu(C_x) \) це вимірна функція\( x \in S \).

У наступному розділі, де ми вивчаємо інтеграцію щодо міри, ми побачимо\( C \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \), що для, вимір продукту\( (\mu \otimes \nu)(C) \) можна обчислити шляхом\( \nu(C_x) \) інтеграції щодо\( \mu \) або шляхом інтеграції\( \mu(C^y) \) щодо\( \nu \).\( x \in S \)\( y \in T \) Ці результати, узагальнюючі визначення міри продукту, є окремими випадками теореми Фубіні, названої на честь італійського математика Гвідо Фубіні.

За винятком більш складних позначень, ці результати поширюються абсолютно простим способом на добуток скінченного числа\( \sigma \) -скінченних мір просторів.

Припустимо, що\( n \in \N_+ \) і що\( (S_i, \mathscr S_i, \mu_i) \) це\( \sigma \) -кінцева міра простору для\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Нехай\( S = \prod_{i=1}^n S_i \) і нехай\( \mathscr S \) позначають відповідний твір\( \sigma \) -алгебру. Існує унікальна\( \sigma \) -кінцева міра\( \mu \) на\( (S, \mathscr{S}) \) задоволення\[ \mu\left(\prod_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n \mu_i(A_i), \quad A_i \in \mathscr{S}_i \text{ for } i \in \{1, 2, \ldots, n\} \] Простір вимірювань\( (S, \mathscr S, \mu) \) - це простір вимірювання добутку, пов'язаний із заданими просторами міри.

Міра Лебега

Наступне обговорення стосується нашого найважливішого та найважливішого застосування. Нагадаємо, що Борель\( \sigma \) -алгебра на\( \R \), названа на честь Еміля Бореля, - це\( \sigma \) алгебра,\( \mathscr{R} \) породжена стандартною евклідовою топологією на\( \R \). Аналогічно,\( \mathscr{R} = \sigma(\mathscr{I}) \) де\( \mathscr{I} \) є сукупність інтервалів\( \R \) (всіх типів — обмеженого та необмеженого, з будь-яким типом закриття, включаючи окремі точки та порожню множину). Далі нагадаємо, як визначається довжина інтервалу. Для\( a, \, b \in \R \) з\( a \le b \), кожен з інтервалів\( (a, b) \),\( [a, b) \),\( (a, b] \), і\( [a, b] \) має довжину\( b - a \). Для\( a \in \R \), кожен з інтервалів\( (a, \infty) \),\( [a, \infty) \),\( (-\infty, a) \),\( (-\infty, a] \) має довжину\( \infty \), як це робить\( \R \) сам. Стандартна міра на\( \mathscr{R} \) узагальнює вимірювання довжини для інтервалів.

Існує унікальна міра\( \lambda \) на\( \mathscr{R} \) такі, що\( \lambda(I) = \length(I) \) для\( I \in \mathscr{I} \). Міра\( \lambda \) - міра Лебега на\( (\R, \mathscr R) \).

Доказ

Нагадаємо, що\( \mathscr{I} \) це напівалгебра: Перетин двох інтервалів - це інший інтервал, а доповненням інтервалу є або інший інтервал, або об'єднання двох незв'язаних інтервалів. Визначте\( \lambda \)\( \mathscr{I} \) далі\( \lambda(I) = \length(I) \) за\( I \in \mathscr{I} \). Потім\( \lambda \) задовольняє умову консистенції і, отже,\( \lambda \) може бути розширена до міри на алгебру,\( \mathscr{J} \) породжену\( \mathscr{I} \), а саме колекцією скінченних, неспільних з'єднань інтервалів. Міра\( \lambda \) на\( \mathscr{J} \) явно\( \sigma \) -скінченна, оскільки\( \R \) може бути записана як незліченно нескінченне об'єднання обмежених інтервалів. Звідси застосовується стандартна теорема розширення та теорема єдиності, тому їх\( \lambda \) можна розширити до міри на\( \mathscr{R} = \sigma(\mathscr{I}) \).

Це ім'я на честь Анрі Лебега, звичайно. Оскільки\( \lambda \) є\( \sigma \) -скінченним,\( \sigma \) -алгебра множин Бореля\( \mathscr{R} \) може бути завершена щодо\( \lambda \).

Завершенням Бореля\( \sigma \)\( \mathscr R \) -алгебри щодо\( \lambda \) є Лебега\( \sigma \) -алгебра\( \mathscr R^* \).

Нагадаємо, що завершено означає\( A \in \mathscr{R}^* \), що якщо\( B \subseteq A \),\( \lambda(A) = 0 \) і, то\( B \in \mathscr{R}^* \) (і то\( \lambda(B) = 0 \)). Міра Лебега\( \lambda \) на\( \R \), або з\( \sigma \) алгеброю Бореля\( \mathscr{R} \), або її завершення\( \mathscr{R}^* \) є стандартною мірою, яка використовується для дійсних чисел. Інші властивості вимірювального простору\( (\R, \mathscr R, \lambda) \) наведені нижче, в обговоренні міри Лебега на\( \R^n \).

Бо\( n \in \N_+ \), давайте\( \mathscr R_n \) позначимо Борель\( \sigma \) -алгебру, відповідну стандартної евклідової топології на\( \R^n \), так що\( (\R^n, \mathscr R_n) \) це\( n \) -мірне евклідове вимірний простір. \( \sigma \)Алгебра\( \mathscr{R}_n \) - це також\( n \) -складна сила\( \mathscr{R} \), Борель\( \sigma \) -алгебра\( \R \). Тобто\( \mathscr{R}_n = \mathscr{R} \otimes \mathscr{R} \otimes \cdots \otimes \mathscr{R} \) (\( n \)раз). Це також\( \sigma \) -алгебра, породжена добутками інтервалів:\[ \mathscr{R}_n = \sigma\left\{I_1 \times I_2 \times \cdots I_n: I_j \in \mathscr{I} \text{ for } j \in \{1, 2, \ldots n\}\right\} \] Як і вище, давайте\( \lambda \) позначимо міру Лебега на\( (\R, \mathscr R) \).

Для\( n \in \N_+ \)\( n \) -fold сила\( \lambda \),\( \lambda_n \) позначається Лебега міра на\( (\R^n, \mathscr R_n) \). Зокрема,\[ \lambda_n(A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n) = \lambda(A_1) \lambda(A_2) \cdots \lambda(A_n); \quad A_1, \, \ldots, A_n \in \mathscr{R} \]

Спеціалізуючись далі, якщо\( I_j \in \mathscr{I} \) це інтервал для\( j \in \{1, 2, \ldots, n\} \) цього\[ \lambda_n\left(I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n\right) = \length(I_1) \length(I_2) \cdots \length(I_n) \] Зокрема,\( \lambda_2 \) розширює вимір площі на\( \mathscr{R}_2 \) і\( \lambda_3 \) розширює вимір обсягу на\( \mathscr{R}_3 \). Взагалі, іноді\( \lambda_n(A) \) називають \( n \)-мірним об'ємом\( A \in \mathscr{R}_n \). Як і в одновимірному випадку,\( \mathscr{R}_n \) можна завершити щодо\( \lambda_n \), по суті додаючи всі підмножини множин міри 0 до\( \mathscr{R}_n \). Завершена\( \sigma \) -алгебра - це\( \sigma \) -алгебра вимірюваних множин Лебега. Так як\( \lambda_n(U) \gt 0 \) якщо\( U \subseteq \R^n \) відкритий, підтримка\( \lambda_n \) є все з\( \R^n \). Крім того, міра Лебега має властивості регулярності, які стосуються наближення міри набору, знизу з мірою компактного набору, а зверху з мірою відкритої множини.

Вимірювання простору\( (\R^n, \mathscr R_n, \lambda_n) \) є регулярним. Тобто, для того\( A \in \mathscr R_n \),

1. \( \lambda_n(A) = \sup\{\lambda_n(C): C \text{ is compact and } C \subseteq A\} \), (внутрішня регулярність)
2. \( \lambda_n(A) = \inf\{\lambda_n(U): U \text { is open and } A \subseteq U\} \)(зовнішня регуляція).

Наступна теорема описує, як змінюється міра множини при певних основних перетвореннях. Це найважливіші властивості міри Лебега. Щоб налаштувати позначення, припустимо\( n \in \N_+ \), що\( A \subseteq \R^n \),\( x \in \R^n \),,\( c \in (0, \infty) \) і\( T \) це\( n \times n \) матриця. Визначити\[ A + x = \{a + x: a \in A\}, \quad c A = \{c a: a \in A\}, \quad TA = \{T a: a \in A\} \]

Припустимо, що\( A \in \mathscr R_n \).

1. Якщо\( x \in \R^n \) тоді\( \lambda_n(A + x) = \lambda_n(A) \) (інваріантність перекладу)
2. Якщо\( c \in (0, \infty) \) тоді\( \lambda_n(c A) = c^n \lambda_n(A) \) (властивість діалогу)
3. Якщо\( T \)\( n \times n \) матриця, то\( \lambda_n(T A) = |\det(T)| \lambda_n(A) \) (властивість масштабування)

Заходи Лебега-Стілтьєса на\( \R \)

Побудова міри Лебега на\( \R \) можна узагальнити. Ось визначення, яке нам знадобиться.

Функція\( F: \R \to \R \), яка задовольняє наступні властивості, є функцією розподілу на\( \R \)

1. \( F \)збільшується: якщо\( x \le y \) тоді\( F(x) \le F(y) \).
2. \( F \)суцільна справа:\( \lim_{t \downarrow x} F(t) = F(x) \) для всіх\( x \in \R \).

Так як\( F \) збільшується, межа зліва при\( x \in \R \) існує в\( \R \) і позначається\( F(x^-) = \lim_{t \uparrow x} F(t) \). Аналогічно\(F(\infty) = \lim_{x \to \infty} F(x) \) існує, як дійсне число або\( \infty \), і\(F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F(x) \) існує, як дійсне число або\( -\infty \).

Якщо\( F \) функція розподілу включена\( \R \), то існує\( \mu \) унікальна міра\( \mathscr{R} \), яка задовольняє\[ \mu(a, b] = F(b) - F(a), \quad -\infty \le a \le b \le \infty \]

Міра\( \mu \) називається мірою Лебега Стілтьєса, пов'язаної з\( F \), названа на честь Анрі Лебега та Томаса Жоаннеса Стілтьєса. Функції розподілу та пов'язані з ними заходи більш детально вивчені в розділі «Розподіли». Коли функція\( F \) приймає значення\( [0, 1] \), асоційована міра\( \P \) є мірою ймовірності, а функція\( F \) - функція розподілу ймовірностей\( \P \). Функції розподілу ймовірностей також вивчаються набагато детальніше (але з меншою технічністю) у розділі «Розподіли».

Зауважте, що функція ідентичності\( x \mapsto x \) для\( x \in \R \) є функцією розподілу, а міра, пов'язана з цією функцією, є звичайною мірою Лебега на\( \R \) побудованій у (15).