2.7: Вимірюйте пробіли

\( \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \)\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \)\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \)\( \newcommand{\bs}{\boldsymbol} \)\(\newcommand{\supp}{\text{supp}}\)

У цьому розділі ми обговорюємо позитивні проміри (які включають простори ймовірності) з більш просунутої точки зору. Розділи «Теорія вимірювань» та «Спеціальні множинні структури» у розділі «Основи» є важливими передумовами. З іншого боку, якщо вас не цікавлять мірно-теоретичні аспекти ймовірності, ви можете сміливо пропустити цей розділ.

Позитивна міра

Визначення

Припустимо, що\( S \) це безліч, що грає роль універсального набору для математичної теорії. Як ми вже зазначали раніше,\( S \) зазвичай поставляється з\( \sigma \)\( \mathscr S \) -алгеброю допустимих підмножин\( S \), так що\( (S, \mathscr S) \) це вимірний простір. Зокрема, це стосується моделі випадкового експерименту, де\( S \) знаходиться сукупність результатів і\( \mathscr S \)\( \sigma \) -алгебра подій, так що вимірний простір\( (S, \mathscr S) \) є зразковим простором експерименту. Міра ймовірності - це окремий випадок більш загального об'єкта, відомого як позитивна міра.

Позитивна міра на\((S, \mathscr S)\) - це функція\(\mu: \mathscr S \to [0, \infty] \), яка задовольняє наступним аксіомам:

1. \( \mu(\emptyset) = 0 \)
2. Якщо\(\{A_i: i \in I\}\) є обчислювальною, попарно неспільною колекцією множин в\(\mathscr S\) то\[\mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \sum_{i \in I} \mu(A_i)\]

Потрійний\((S, \mathscr S, \mu)\) - це міра простору.

Аксіома (b) називається лічильною адитивністю і є найважливішою властивістю. Міра набору, який складається з зліченного об'єднання нероз'єднаних частин, - це сума мір штук. Зауважте також, що оскільки терміни в сумі позитивні, немає проблем з порядком термінів у сумі, хоча, звичайно,\( \infty \) є можливим значенням.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Об'єднання чотирьох нероз'єднаних множин

Тож, можливо, термін вимірюваний простір для\( (S, \mathscr S) \) має трохи більше сенсу зараз - вимірний простір - це той, який може мати позитивну міру, визначену на ньому.

Припустимо, що\( (S, \mathscr S, \mu) \) це міра простору.

1. Якщо\( \mu(S) \lt \infty \) тоді\( (S, \mathscr S, \mu) \) є кінцевим виміром простору.
2. Якщо\( \mu(S) = 1 \) то\( (S, \mathscr S, \mu) \) це простір ймовірності.

Тож ймовірнісні заходи є позитивними заходами, але позитивні заходи важливі поза застосуванням до ймовірності. Стандартними мірами на евклідових просторах є всі позитивні міри: розширення довжини для вимірюваних підмножин\( \R \), розширення площі для вимірюваних підмножин\( \R^2 \), розширення обсягу для вимірюваних підмножин\( \R^3 \), і більш високі габаритні аналоги. Ми фактично побудуємо ці заходи в наступному розділі, присвяченому існуванню та унікальності. Крім того, міра підрахунку\( \# \) є позитивною мірою на підмножини множини\( S \). Ще більш загальні заходи, які можуть приймати позитивні та негативні значення, досліджуються в розділі «Розподіли».

Властивості

Наступні результати дають деякі прості властивості позитивної міри простору\( (S, \mathscr S, \mu) \). Докази по суті ідентичні доказів відповідних властивостей ймовірності, за винятком того, що міра множини може бути нескінченною, тому ми повинні бути обережними, щоб уникнути страшної невизначеної форми\( \infty - \infty \).

Якщо\( A, \, B \in \mathscr S \), то\( \mu(B) = \mu(A \cap B) + \mu(B \setminus A) \).

Доказ

Зверніть увагу на те\( B = (A \cap B) \cup (B \setminus A) \), що, і набори в союзі неспільні.

Якщо\( A, \, B \in \mathscr S \) і\( A \subseteq B \) тоді

1. \( \mu(B) = \mu(A) + \mu(B \setminus A) \)
2. \( \mu(A) \le \mu(B) \)

Доказ

Частина (а) випливає з попередньої теореми, так як\( A \cap B = A \). Частина (b) випливає з частини (а).

Таким чином,\( \mu \) є зростаючою функцією, відносно підмножини часткового порядку\( \subseteq \) on\( \mathscr S \) і звичайного порядку\( \le \) on\( [0, \infty] \). Зокрема, якщо\( \mu \) є кінцевою мірою, то\( \mu(A) \lt \infty \) для кожного\( A \in \mathscr S \). Зверніть увагу також, що якщо\( A, \, B \in \mathscr S \) і\( \mu(B) \lt \infty \) тоді\( \mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A \cap B) \). В особливому випадку\( A \subseteq B \), що, це стає\( \mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A) \). Зокрема, ці результати мають кінцеву міру і подібні до різницевих правил ймовірності. Якщо\( \mu \) є кінцевою мірою, то\( \mu(A^c) = \mu(S) - \mu(A) \). Це аналог правила комплементу по ймовірності, з але з\( \mu(S) \) заміною 1.

Наступний результат є аналогом нерівності Буля по ймовірності. Для загальної позитивної міри результат називають субадитивним властивістю.

Припустимо, що\( A_i \in \mathscr S \) для\( i \) в обчислювальному індексі безліч\( I \). Тоді\[ \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i \right) \le \sum_{i \in I} \mu(A_i) \]

Доказ

Доказ точно такий же, як і для нерівності Буля. Припустимо, що\( I = \N_+ \). Нехай\( B_1 = A_1 \) і\( B_i = A_i \setminus (A_1 \cup \ldots \cup A_{i-1}) \) для\( i \in \{2, 3, \ldots\} \). Потім\( \{B_i: i \in I\} \) це неспільна колекція наборів в\( \mathscr S \) з тим же союзом, що і\( \{A_i: i \in I\} \). Також\( B_i \subseteq A_i \) для кожного\( i \) так\( \mu(B_i) \le \mu(A_i) \). Звідси\[ \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i \right) = \mu\left(\bigcup_{i \in I} B_i \right) = \sum_{i \in I} \mu(B_i) \le \sum_{i \in I} \mu(A_i) \]

Для об'єднання множин з кінцевою мірою формула включення-виключення тримає, а доказ подібний до ймовірності.

Припустимо, що\(A_i \in \mathscr S\) для кожного\(i \in I\) куди\(\#(I) = n\), і що\( \mu(A_i) \lt \infty \) для\( i \in I \). Тоді\[\mu \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) = \sum_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \sum_{J \subseteq I, \; \#(J) = k} \mu \left( \bigcap_{j \in J} A_j \right)\]

Доказ

Доказ - за допомогою індукції\(n\). Доказ для\( n = 2 \) простий:\( A_1 \cup A_2 = A_1 \cup (A_2 \setminus A_1) \). Союз праворуч є неспільним, тому використовуючи адитивність і правило різниці,\[ \mu(A_1 \cup A_2) = \mu (A_1) + \mu(A_2 \setminus A_1) = \mu(A_1) + \mu(A_2) - \mu(A_1 \cap A_2) \] Припустимо тепер, що формула включення-виключення тримає для даного\( n \in \N_+ \), і розглянемо випадок\( n + 1 \). Тоді\[ \bigcup_{i=1}^{n + 1} A_i = \left(\bigcup_{i=1}^n A_i \right) \cup \left[ A_{n+1} \setminus \left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) \right] \] Як і раніше, набір в дужках і набір в квадратних дужках розмежовуються. Таким чином, використовуючи аксіому адитивності, правило різниці та розподільне правило, яке ми маємо\[ \mu\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i\right) = \mu\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) + \mu(A_{n+1}) - \mu\left(\bigcup_{i=1}^n (A_{n+1} \cap A_i) \right) \] За індукційною гіпотезою формула включення-виключення тримає для кожного об'єднання\( n \) множин праворуч. Застосування формули та спрощення дає формулу включення-виключення для\( n + 1 \) множин.

Теорема неперервності для збільшення множин має значення позитивної міри. Теорема неперервності для спадних подій також тримається, якщо множини мають скінченну міру. Знову ж таки, докази схожі на ті, що для міри ймовірності, за винятком міркувань нескінченної міри.

Припустимо, що\( (A_1, A_2, \ldots) \) це послідовність множин в\( \mathscr S \).

1. Якщо послідовність збільшується, то\( \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) \).
2. Якщо послідовність зменшується і\( \mu(A_1) \lt \infty \) то\( \mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty A_i \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) \).

Доказ

1. Зверніть увагу, що якщо\( \mu(A_k) = \infty \) для деяких\( k \) то\( \mu(A_n) = \infty \) для\( n \ge k \) і\( \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \infty \). Таким чином, припустимо, що\( \mu(A_i) \lt \infty \) для кожного\( i \). Нехай\( B_1 = A_1 \) і\( B_i = A_i \setminus A_{i-1} \) для\( i \in \{2, 3, \ldots\} \). Потім\( (B_1, B_2, \ldots) \) йде нероз'ємна послідовність з тим же об'єднанням, що і\( (A_1, A_2, \ldots) \). Також,\( \mu(B_1) = \mu(A_1) \) і за правилом правильної різниці,\( \mu(B_i) = \mu(A_i) - \mu(A_{i-1}) \) для\( i \in \{2, 3, \ldots\} \). Звідси\[ \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \mu \left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i \right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(B_i) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \mu(B_i) \] Але\( \sum_{i=1}^n \mu(B_i) = \mu(A_1) + \sum_{i=2}^n [\mu(A_i) - \mu(A_{i-1})] = \mu(A_n) \).
2. Зверніть увагу,\( A_1 \setminus A_n \) що збільшується в\( n \). Отже, використовуючи результат безперервності для збільшення множин,\ begin {align}\ mu\ left (\ bigcap_ {i=1} ^\ infty a_i\ праворуч) & =\ му\ лівий [A_1\ setminus\ bigcup_ {i = 1} ^\ setminus a_i)\ праворуч] =\ му (A_1) -\ му\ лівий [\ bigcup_ {i = 1} ^\ infty (A_1\ setminus a_n)\ право]\\ & =\ му (A_1) -\ lim_ {n\ to\ infty}\ му (A_1\ setminus a_n) =\ му (A_1) -\ lim_ {n\ to\ infty}\ ліворуч [\ му (A_1) -\ му (a_n)\ право] =\ lim_ {n\ to\ infty}\ му (a_n)\ кінець {вирівняти}

Нагадаємо,\( (A_1, A_2, \ldots) \) що якщо збільшується,\( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \) позначається\( \lim_{n \to \infty} A_n \), а якщо\( (A_1, A_2, \ldots) \) зменшується,\( \bigcap_{i=1}^\infty A_i \) позначається\( \lim_{n \to \infty} A_n \). В обох випадках теорема неперервності має вигляд\( \mu\left(\lim_{n \to \infty} A_n\right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) \). Теорема неперервності для спадних подій не вдається без додаткового припущення скінченної міри. Простий контрприклад наведено нижче.

Наступний наслідок закону про включення-виключення дає умову для зліченної адитивності, яка не вимагає, щоб множини були неспільними, а лише те, що перехрестя мають міру 0. Результат використовується нижче в теоремі про завершення.

Припустимо, що\( A_i \in \mathscr S \) для кожного\( i \) в обчислювальному\( I \) індексі встановити і що\( \mu(A_i) \lt \infty \) для\( i \in I \) і\( \mu(A_i \cap A_j) = 0 \) для різних\( i, \, j \in I \). Тоді\[ \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i \right) = \sum_{i \in I} \mu(A_i) \]

Доказ

Будемо вважати, що\( I = \N_+ \). Бо\( n \in \N_+ \),\[ \mu\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n \mu(A_i) \] як безпосередній наслідок закону про включення виключення, за припущенням, що\( \mu(A_i \cap A_j) = 0 \) для виразних\( i, j \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Далі\( \bigcup_{i=1}^n A_i \uparrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i \) як\( n \to \infty \), а значить і теорема безперервності для збільшення подій,\( \mu\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) \to \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \) як\( n \to \infty \). З іншого боку,\( \sum_{i=1}^n \mu(A_i) \to \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i) \) як\( n \to \infty \) за визначенням нескінченного ряду невід'ємних членів.

Більше визначень

Якщо позитивна міра не є кінцевою, то наступне визначення дає наступне найкраще.

Простір міри\( (S, \mathscr S, \mu) \) є \( \sigma \)-скінченним, якщо існує обчислювальна колекція\(\{A_i: i \in I\} \subseteq \mathscr S\) з\( \bigcup_{i \in I} A_i = S \) і\( \mu(A_i) \lt \infty \) для кожного\( i \in I \).

Отже, звичайно, якщо\(\mu\) є кінцевою мірою на\((S, \mathscr S)\) то\(\mu\) є\(\sigma\) -скінченна, але не навпаки в цілому. З іншого боку, для\( i \in I \), нехай\( \mathscr S_i = \{A \in \mathscr S: A \subseteq A_i\} \). Тоді\( \mathscr S_i \) є\( \sigma \) -алгебра підмножин\( A_i \) і\( \mu \) обмежена до\( \mathscr S_i \) є кінцевою мірою. Суть цього (і причина визначення) полягає в тому, що часто приємні властивості скінченних мір можуть бути розширені на\( \sigma \) -кінцеві заходи. Зокрема,\( \sigma \) -кінцеві виміри простору відіграють вирішальну роль у побудові просторів вимірювання продукту, а також для завершення виміру простору, розглянутого нижче.

Припустимо, що\( (S, \mathscr S, \mu) \) це\( \sigma \) -кінцева міра простору.

1. Існує зростаюча послідовність, що задовольняє\( \sigma \) -скінченне визначення
2. Існує неспільна послідовність, що задовольняє\( \sigma \) -скінченному визначенню.

Доказ

Без втрати спільності ми можемо прийняти\(\N_+\) як індекс, встановлений у визначенні. Так існує\( A_n \in \mathscr S\) для\(n \in \N_+ \) таких, що\( \mu(A_n) \lt \infty \) для кожного\( n \in \N_+ \) і\( S = \bigcup_{n=1}^\infty A_n \). Доказ використовує деякі з тих самих хитрощів, які ми бачили раніше.

1. Нехай\( B_n = \bigcup_{i = 1}^n A_i \). Тоді\( B_n \in \mathscr S \) для\( n \in \N_+ \) і ця послідовність збільшується. Більш того,\( \mu(B_n) \le \sum_{i=1}^n \mu(A_i) \lt \infty \) для\( n \in \N_+ \) і\( \bigcup_{n=1}^\infty B_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n = S \).
2. Нехай\( C_1 = A_1 \) і нехай\( C_n = A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \) для\( n \in \{2, 3, \ldots\} \). Потім\( C_n \in \mathscr S \) для кожного\( n \in \N_+ \) і ця послідовність розмежовується. Більш того,\( C_n \subseteq A_n \) так\( \mu(C_n) \le \mu(A_n) \lt \infty \) і\( \bigcup_{n=1}^\infty C_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n = S \).

Наше наступне визначення стосується наборів, де концентрується міра, в певному сенсі.

Припустимо, що\((S, \mathscr S, \mu)\) це міра простору. Атом простору - це сукупність\(A \in \mathscr S\) з наступними властивостями:

1. \(\mu(A) \gt 0\)
2. Якщо\(B \in \mathscr S\) і\(B \subseteq A\) то або або\(\mu(B) = \mu(A)\) або\(\mu(B) = 0\).

Простір міри, який не має атомів, називається неатомним або дифузним.

У теорії ймовірностей нас часто особливо цікавлять атоми, які є однотонними множинами. Зауважте, що\( \{x\} \in \mathscr S \) є атомом тоді і тільки тоді\( \mu(\{x\}) \gt 0 \), оскільки єдиними\( \{x\} \) підмножинами є\( \{x\} \) самі і\( \emptyset \).

Конструкції

Існує кілька простих способів побудови нових позитивних заходів з існуючих. Як завжди, починаємо з вимірного простору\( (S, \mathscr S) \).

Припустимо, що\( (R, \mathscr R) \) це вимірний підпростір\( (S, \mathscr S) \). Якщо\( \mu \) є позитивним заходом,\( (S, \mathscr S) \) то\( \mu \)\( \mathscr R \) обмежується позитивним заходом на\( (R, \mathscr R) \). Якщо\( \mu \) є кінцевою мірою,\( (S, \mathscr S) \) то\( \mu \) є кінцевою мірою на\( (R, \mathscr R) \).

Доказ

Припущення полягає в\( \mathscr R \) тому, що є\( \sigma \) -алгебра підмножин\( R \) і\( \mathscr R \subseteq \mathscr S \). Зокрема\( R \in \mathscr S \). Оскільки властивість адитивності\( \mu \) утримує для обчислювальної, неспільної колекції подій в\( \mathscr S \), вона тривіально тримає для обчислювальної, неспільної колекції подій в\( \mathscr R \). Нарешті, за рахунок збільшення властивості,\( \mu(R) \le \mu(S) \) так якщо\( \mu(S) \lt \infty \) тоді\( \mu(R) \lt \infty \).

Однак, якщо\(\mu\) є\(\sigma\) -кінцевим на\( (S, \mathscr S) \), це не обов'язково вірно, що\(\mu\) є\(\sigma\) -кінцевим на\( (R, \mathscr R) \). Контрприклад наведено нижче. Попередня теорема буде застосовуватися, зокрема, коли\( R = S \) так, що\( \mathscr R \) це\( \sigma \) під-алгебра\( \mathscr S \). Далі позитивна кратна позитивної міри дає ще одну позитивну міру.

Якщо\( \mu \) є позитивним заходом на\( (S, \mathscr S) \) і\( c \in (0, \infty) \), то також\( c \mu \) є позитивним заходом на\( (S, \mathscr S) \). Якщо\( \mu \) скінченний (\( \sigma \)-скінченний),\( c \mu \) то кінцевий (\( \sigma \)-скінченний) відповідно.

Доказ

Чітко\( c \mu: \mathscr S \to [0, \infty] \). Також\( (c \mu)(\emptyset) = c \mu(\emptyset) = 0 \). Next if\( \{A_i: i \in I\} \) є лічильним, неспільний колекція подій в\( \mathscr S \) потім\[ (c \mu)\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = c \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = c \sum_{i \in I} \mu(A_i) = \sum_{i \in I} c \mu(A_i) \] Нарешті, так як\( \mu(A) \lt \infty \) якщо і тільки якщо\( (c \mu)(A) \lt \infty \) для\( A \in \mathscr S \), властивості скінченності і\( \sigma \) -finiteness тривіально зберігаються.

Нетривіальна кінцева позитивна міра\( \mu \) практично подібна до міри ймовірності, і насправді може бути повторно масштабована в міру ймовірності\( \P \), як це було зроблено в розділі про Вимірювання ймовірності:

Припустимо, що\( \mu \) це позитивна міра на\( (S, \mathscr S) \) с\( 0 \lt \mu(S) \lt \infty \). Тоді\( \P \) визначається\( \P(A) = \mu(A) / \mu(S) \) for\( A \in \mathscr S \) є мірою ймовірності на\( (S, \mathscr S) \).

Доказ

\( \P \)є мірою за попереднім результатом, причому тривіально\( \P(S) = 1 \).

Суми позитивних заходів також є позитивними заходами.

Якщо\( \mu_i \) позитивна міра\( (S, \mathscr S) \) для кожного\( i \) в обчислювальному наборі індексу,\( I \) то\( \mu = \sum_{i \in I} \mu_i \) це також позитивна міра на\( (S, \mathscr S) \).

1. Якщо\( I \) є кінцевим і\( \mu_i \) є кінцевим для кожного,\(i \in I\) то\(\mu\) є кінцевим.
2. Якщо\( I \) є кінцевим і\(\mu_i\) є\( \sigma \) -скінченним для кожного,\( i \in I \) то\( \mu \) є\( \sigma \) -скінченним.

Доказ

Чітко\( \mu: \mathscr S \to [0, \infty] \). Перший\( \mu(\emptyset) = \sum_{i \in I} \mu_i(\emptyset) = 0 \). Далі якщо\( \{A_j: j \in J\} \) є рахунковим, неспільний збір подій в\( \mathscr S \) потім\[ \mu\left(\bigcup_{j \in J} A_j\right) = \sum_{i \in I} \mu_i \left(\bigcup_{j \in J} A_j\right) = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} \mu_i(A_j) = \sum_{j \in J} \sum_{i \in I} \mu_i(A_j) = \sum_{j \in J} \mu(A_j) \] Обмін сумами допустимий, оскільки терміни невід'ємні. Припустимо, що тепер\( I \) це скінченно.

1. Якщо\( \mu_i \) є кінцевим для кожного,\( i \in I \) то\( \mu(S) = \sum_{i \in I} \mu_i(S) \lt \infty \) так\( \mu \) є кінцевим.
2. Припустимо, що\( \mu_i \) є\( \sigma \) -кінцевим для кожного\( i \in I \). Тоді для кожного\( i \in I \) існує колекція\( \mathscr A_i = \{A_{i j}: j \in \N\} \subseteq \mathscr S \) така, що\( \bigcup_{j=1}^\infty A_{i j} = S \) і\( \mu_i(A_{i j}) \lt \infty \) для кожного\( j \in \N \). Бо\( j \in \N \), нехай\( B_j = \bigcap_{i \in I} A_{i,j} \). Тоді\( B_j \in \mathscr S \) для кожного\( j \in \N \) і\[ \bigcup_{j=1}^\infty B_j = \bigcup_{j=1}^\infty \bigcap_{i \in I} A_{i j} = \bigcap_{i \in I} \bigcup_{j=1}^\infty A_{i j} = \bigcap_{i \in I} S = S \] більш того,\[ \mu(B_j) = \sum_{i \in I} \mu_i(B_j) \le \sum_{i \in I} \mu_i(A_{i j}) \lt \infty \]\( \mu \) так\( \sigma \) -фініт.

У контексті останнього результату, якщо\(I\) є незліченно\(\mu_i\) нескінченним і є кінцевим для кожного\(i \in I\),\(\mu\) то не обов'язково\(\sigma\) -кінцевий. Контрприклад наведено нижче. У цьому випадку,\(\mu\) як кажуть, є \(s\)-finite, але у нас було достатньо визначень, тому ми не будемо продовжувати це. З властивостей масштабування та суми зверніть увагу, що позитивна лінійна комбінація позитивних мір є позитивною мірою. Наступний метод іноді називають зміною змінних.

Припустимо, що\( (S, \mathscr S, \mu) \) це міра простору. Припустимо, що\( (T, \mathscr T) \) це ще один вимірний простір, і\( f: S \to T \) це можна виміряти. Потім\( \nu \) визначається наступним чином - позитивна міра на\( (T, \mathscr T) \)\[ \nu(B) = \mu\left[f^{-1}(B)\right], \quad B \in \mathscr T \] Якщо\( \mu \) скінченна,\( \nu \) то кінцева.

Доказ

Чітко\(\nu: \mathscr T \to [0, \infty]\). Доказ простий, оскільки зворотні зображення зберігають усі встановлені операції. Спочатку\( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \) так\( \nu(\emptyset) = 0 \). Далі, якщо\( \left\{B_i: i \in I\right\} \) є обчислювальною, неспільною колекцією множин в\( \mathscr T \), то\( \left\{f^{-1}(B_i): i \in I\right\} \) є підрахунковим, неспільний колекція множин в\( \mathscr S \), і\( f^{-1}\left(\bigcup_{i \in I} B_i\right) = \bigcup_{i \in I} f^{-1}(B_i) \). Отже,\[ \nu\left(\bigcup_{i \in I} B_i\right) = \mu\left[f^{-1}\left(\bigcup_{i \in I} B_i\right)\right] = \mu\left[\bigcup_{i \in I} f^{-1}(B_i)\right] = \sum_{i \in I} \mu\left[f^{-1}(B_i)\right] = \sum_{i \in I} \nu(B_i) \] Нарешті, якщо\(\mu\) кінцевий,\(\nu\) то\(\nu(T) = \mu[f^{-1}(T)] = \mu(S) \lt \infty\) так скінченно.

У контексті останнього результату, якщо\(\mu\) є\(\sigma\) -finite on\((S, \mathscr S)\), це не обов'язково вірно, що\(\nu\) є\(\sigma\) -finite on\((T, \mathscr T)\), навіть якщо\(f\) один до одного. Контрприклад наведено нижче. Винос полягає в тому, що\(\sigma\) -кінцевість дуже\(\nu\) залежить від природи\(\sigma\) -алгебри\(\mathscr T\). Наш наступний результат показує, що легко явно побудувати позитивну міру на зліченно згенерованій\( \sigma \) -алгебрі, тобто\( \sigma \) -алгебрі, створеній лічильним розділом. Такі\( \sigma \) алгебри важливі для зустрічних прикладів і для отримання розуміння, а також тому, що з них можна побудувати багато\( \sigma \) -алгебр, які зустрічаються в додатках.

Припустимо, що\( \mathscr A = \{A_i: i \in I\} \) це лічильний розділ\( S \) на непорожні множини, і що\( \mathscr S = \sigma(\mathscr{A}) \),\( \sigma \) -алгебра, згенерована розділом. Для\( i \in I \), визначаємо\( \mu(A_i) \in [0, \infty] \) довільно. Для\( A = \bigcup_{j \in J} A_j \) де\( J \subseteq I \), визначити\[ \mu(A) = \sum_{j \in J} \mu(A_j) \] Тоді\( \mu \) є позитивною мірою на\( (S, \mathscr S) \).

1. Атоми міри - це множини виду\(A = \bigcup_{j \in J} A_j\) де\(J \subseteq I\) і де\(\mu(A_j) \gt 0\) для одного і тільки одного\(j \in J\).
2. Якщо\(\mu(A_i) \lt \infty\) для\(i \in I\) і\(I\) є кінцевим, то\(\mu\) є кінцевим.
3. Якщо\(\mu(A_i) \lt \infty\) для\(i \in I\) і\(I\) є зліченно\(\mu\) нескінченним, то є\(\sigma\) -скінченним.

Доказ

Нагадаємо, що кожен\( A \in \mathscr S \) має унікальне уявлення про форму\( A = \bigcup_{j \in J} A_j \) де\( J \subseteq I \). Зокрема,\( J = \emptyset \) в цьому поданні дає\( A = \emptyset \). Сума над порожнім набором індексів дорівнює 0, отже\( \mu(\emptyset) = 0 \). Далі припустимо, що\( \{B_k: k \in K\} \) це підрахункова, неспільна колекція наборів в\( \mathscr S \). Тоді існує неспільна\(\{J_k: k \in K\}\) колекція підмножин\(I\) таких, що\( B_k = \bigcup_{j \in J_k} A_j \). \[ \mu\left(\bigcup_{k \in K} B_k\right) = \mu\left(\bigcup_{k \in K} \bigcup_{j \in J_k} A_j\right) = \sum_{k \in k}\sum_{j \in J_k} \mu(A_j) = \sum_{k \in K} \mu(B_k) \]Звідси той факт, що терміни всі ненегативні означає, що нам не доведеться турбуватися про порядок підсумовування.

1. Знову ж таки, кожен\(A \in \mathscr S\) має унікальне уявлення\(A = \bigcup_{j \in J} A_j\), де\(J \subseteq I\). Підмножини\(A\), які\(\mathscr S\) знаходяться в знаходяться\(\bigcup_{k \in K} A_k\) тут\(K \subseteq J\). Звідси\(A\) є атом тоді і тільки якщо\(\mu(A_j) \gt 0\) для одного і тільки одного\(j \in J\).
2. Якщо\(I\) кінцевий, а\(\mu(A_i) \lt \infty\) потім\(\mu(S) = \sum_{i \in I} \mu(A_i) \lt \infty\),\(\mu\) так скінченно.
3. Якщо\(I\) обчислюється нескінченно і\(\mu(A_i) \lt \infty\) для\(i \in I\) цього\(\mathscr A\) задовольняє умову\(\mu\) для бути\(\sigma\) -скінченним.

Одним із найзагальніших способів побудови нових заходів із старих є теорія інтеграції щодо позитивної міри, яка досліджується у розділі «Розподіли». Побудова позитивних заходів більш-менш з нуля розглядається в наступному розділі «Існування і унікальність». Закриваємо цю дискусію простим результатом, який корисний для контрприкладів.

Припустимо, що простір міри\( (S, \mathscr S, \mu) \) має атом\( A \in \mathscr S \) с\( \mu(A) = \infty \). Тоді простір не\( \sigma \) -скінченний.

Доказ

\( \{A_i: i \in I\} \)Дозволяти бути підрахункова нероздільна колекція наборів\( \mathscr S \) у цих розділах\( S \). Потім\( \{A \cap A_i: i \in I\} \) перегородки\( A \). Так як\( \mu(A) = \sum_{i \in I} \mu(A \cap A_i) \), ми повинні мати\( \mu(A \cap A_i) \gt 0 \) для деяких\( i \in I \). Так як\( A \) це атом і з\( A \cap A_i \subseteq A \) цього випливає\( \mu(A \cap A_i) = \infty \). Отже, і тому\( \mu(A_i) = \infty \).

Вимірювання та топологія

Часто простори, що відбуваються за ймовірністю і стохастичними процесами, є топологічними просторами. Нагадаємо, що топологічний простір\( (S, \mathscr T) \) складається з\( S \) безлічі і топології\( \mathscr T \) на\( S \) (колекція відкритих множин). Топологія, а також теорія вимірювань відіграє важливу роль, тому природно, щоб ці два типи структур були сумісними. Ми вже бачили найважливіший крок у цьому напрямку: Нагадаємо\( \mathscr S = \sigma(\mathscr T) \), що\( \sigma \) алгебра, породжена топологією, - це \( \sigma \)Алгебра Бореля\( S \), названа на честь Еміля Бореля. Оскільки доповненням відкритого безлічі є замкнутий набір,\(\mathscr S\) є також\(\sigma\) -алгебра, що генерується колекцією замкнутих наборів. Крім того,\(\mathscr S\) містить лічильні перетину відкритих множин (\(G_\delta\)званих множинами) і підрахункові союзи замкнутих множин (званих \(F_\sigma\)множинами).

Припустимо, що\( (S, \mathscr T) \) це топологічний простір і нехай\(\mathscr S = \sigma(\mathscr T)\) буде Борель\(\sigma\) -алгебра. Позитивна міра\( \mu \) на\( (S, \mathscr S) \) - це міра Бореля,\((S, \mathscr S, \mu)\) а потім - простір вимірювання Бореля.

Наступне визначення стосується підмножини, на якій зосереджена міра Бореля, в певному сенсі.

Припустимо, що\((S, \mathscr S, \mu)\) це Борель вимірює простір. Опора\(\mu\) є\[\supp(\mu) = \{x \in S: \mu(U) \gt 0 \text{ for every open neighborhood } U \text{ of } x\}\] Набір\(\supp(\mu)\) закритий.

Доказ

Нехай\(A = \supp(\mu)\). Бо\(x \in A^c\), існує відкрите сусідство\(V_x\)\(x\) такого, що\(\mu(V_x) = 0\). Якщо\(y \in V_x\),\(V_x\) то також відкрите сусідство\(y\), значить\(y \in A^c\). Отже,\(V_x \subseteq A^c\) для кожного\(x \in A^c\) і так\( A^c \) відкрито.

Термін міра Бореля має різні визначення в літературі. Часто топологічний простір повинен бути локально компактним, Hausdorff, і з підрахунковою базою (LCCB). Тоді потрібна міра\( \mu \) Бореля, щоб мати додаткову умову, що\( \mu(C) \lt \infty \) вона\( C \subseteq S \) компактна. У цьому тексті ми використовуємо термін Борель заходи в цьому більш обмеженому сенсі.

Припустимо, що\((S, \mathscr S, \mu)\) це простір вимірювання Бореля, що відповідає топології LCCB. Тоді простір\(\sigma\) -скінченне.

Доказ

Оскільки топологічний простір локально компактний і має підрахункову базу,\(S = \bigcup_{i \in I} C_i\) де\(\{C_i: i \in I\}\) знаходиться підрахункова колекція компактних наборів. Так як\(\mu\) є мірою Бореля,\(\mu(C_i) \lt \infty\)\(\mu\) а значить і\(\sigma\) -кінцева.

Ось кілька інших визначень, які важливі для заходів Бореля, знову пов'язують топологію та вимірювання природними способами.

Припустимо ще раз, що\( (S, \mathscr S, \mu) \) це Борель виміряти простір.

1. \( \mu \)є внутрішнім регулярним, якщо\( \mu(A) = \sup\{\mu(C): C \text{ is compact and } C \subseteq A\} \) для\( A \in \mathscr S \).
2. \( \mu \)є зовнішнім регулярним, якщо\( \mu(A) = \inf\{\mu(U): U \text{ is open and } A \subseteq U\} \) для\( A \in \mathscr S \).
3. \( \mu \)є регулярним, якщо він є як внутрішнім регулярним, так і зовнішнім регулярним.

Прогалини мір, що відбуваються з ймовірністю та стохастичними процесами, як правило, є регулярними просторами Бореля, пов'язаними з топологіями LCCB.

Нульові множини та еквівалентність

Набори міри 0 у просторі мір виявляються дуже важливими саме тому, що ми часто можемо ігнорувати відмінності між математичними об'єктами на таких множинях. У цій дискусії ми припускаємо, що у нас є фіксований простір вимірювання\((S, \mathscr S, \mu)\).

Набір\(A \in \mathscr S\) дорівнює нулю, якщо\(\mu(A) = 0\).

Розглянемо вимірне твердження з\( x \in S \) як вільну змінну. (Технічно таке твердження є присудком на\( S \).) Якщо оператор істинний для всіх,\( x \in S \) крім нульового набору, ми говоримо, що оператор тримається майже скрізь на\( S \).\( x \) Ця термінологія часто використовується в теорії мір і фіксує важливість визначення.

Нехай\( \mathscr D = \{A \in \mathscr S: \mu(A) = 0 \text{ or } \mu(A^c) = 0\}\), колекція null і co-null множин. Тоді\( \mathscr D \) є\(\sigma\) під-алгебра\( \mathscr S \).

Доказ

Тривіально\( S \in \mathscr D \) з тих пір\(S^c = \emptyset\) і\(\mu(\emptyset) = 0\). Далі якщо\(A \in \mathscr D\) то\(A^c \in \mathscr D\) по симетрії визначення. Нарешті, припустимо, що\( A_i \in \mathscr D \) для\( i \in I \) де\( I \) є обчислювальним індексом набір. Якщо\( \mu(A_i) = 0 \) для кожного,\( i \in I \) то\( \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i \right) \le \sum_{i \in I} \mu(A_i) = 0 \) по субадитивним властивістю. З іншого боку, якщо\( \mu(A_j^c) = 0 \) для деяких\( j \in J \) то\( \mu\left[\left(\bigcup_{i \in I} A_i \right)^c\right] = \mu\left(\bigcap_{i \in I} A_i^c\right) \le \mu(A_j^c) = 0 \). У будь-якому випадку,\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr D \).

Звичайно,\(\mu\)\(\mathscr D\) обмежується не дуже цікаво, оскільки\(\mu(A) = 0\) або\(\mu(A) = \mu(S)\) для кожного\(A \in \mathscr S\). Наше наступне визначення - це тип еквівалентності між множинами в\(\mathscr S\). Щоб зробити це точним, нагадайте спочатку, що симетрична різниця між підмножинами\( A \) і\( B \) з\(S\) є\( A \bigtriangleup B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \). Це набір, який складається з точок в одному з двох наборів, але не обох, і відповідає ексклюзивному або.

\(A, \, B \in \mathscr S\)Множини еквівалентні if\(\mu(A \bigtriangleup B) = 0 \), і ми позначимо це за допомогою\( A \equiv B \).

При цьому\(A \equiv B\) якщо і тільки\(\mu(A \bigtriangleup B) = \mu(A \setminus B) + \mu(B \setminus A) = 0\) якщо і тільки якщо\(\mu(A \setminus B) = \mu(B \setminus A) = 0\). У згаданій вище термінології присудок твердження\[ x \in A \text{ if and only if } x \in B \] вірно практично для кожного\( x \in S \). Як випливає з назви, відношення\( \equiv \) насправді є співвідношенням еквівалентності на\( \mathscr S \) і, отже,\( \mathscr S \) розділяється на неспільні класи взаємно еквівалентних множин. Дві множини в одному класі еквівалентності відрізняються набором міри 0.

\( \equiv \)Відношення - це відношення еквівалентності на\( \mathscr S \). Тобто, для того\( A, \, B, \, C \in \mathscr S \),

1. \(A \equiv A\)(Рефлексивне властивість).
2. If\(A \equiv B\)\(B \equiv A\) then (симетрична властивість).
3. Якщо\(A \equiv B\) і\(B \equiv C\) то\(A \equiv C\) (перехідне властивість).

Доказ

1. Рефлексивне властивість є тривіальним з тих пір\(A \bigtriangleup A = \emptyset\).
2. Симетрична властивість також є тривіальним, оскільки\(A \bigtriangleup B = B \bigtriangleup A\).
3. Для перехідного властивості припустимо, що\( A \equiv B \) і\( B \equiv C \). Зверніть увагу\( A \setminus C \subseteq (A \setminus B) \cup (B \setminus C) \), що, а значить\( \P(A \setminus C) = 0 \). Симетричним аргументом,\( \P(C \setminus A) = 0 \).

Еквівалентність зберігається при стандартних операціях набору.

Якщо\( A, \, B \in \mathscr S \) і\( A \equiv B \) тоді\( A^c \equiv B^c \).

Доказ

Зверніть увагу, що\( A^c \setminus B^c = B \setminus A \) і\( B^c \setminus A^c = A \setminus B \), так\( A^c \bigtriangleup B^c = A \bigtriangleup B \).

Припустимо, що\( A_i, \, B_i \in \mathscr S \) і що\( A_i \equiv B_i \) для\( i \) в обчислювальному індексі набір\( I \). Тоді

1. \( \bigcup_{i \in I} A_i \equiv \bigcup_{i \in I} B_i \)
2. \( \bigcap_{i \in I} A_i \equiv \bigcap_{i \in I} B_i \)

Доказ

1. Зверніть увагу, що\[ \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \bigtriangleup \left(\bigcup_{i \in I} B_i\right) \subseteq \bigcup_{i \in I} (A_i \bigtriangleup B_i) \] Щоб побачити це, зверніть увагу, що якщо\( x \) знаходиться в наборі зліва, то або\( x \in A_j \) для деяких\( j \in I \) і\( x \notin B_i \) для кожного\( i \in I \), або\( x \notin A_i \) для кожного\( i \in I \) і\( x \in B_j \) для деяких\( j \in I \). У будь-якому випадку,\( x \in A_j \bigtriangleup B_j \) для деяких\( j \in I \).
2. Аналогічно\[ \left(\bigcap_{i \in I} A_i\right) \bigtriangleup \left(\bigcap_{i \in I} B_i\right) \subseteq \bigcup_{i \in I} (A_i \bigtriangleup B_i) \] Якщо\( x \) є в наборі зліва, то\( x \in A_i \) для кожного\( i \in I \) і\( x \notin B_j \) для деяких\( j \in I \), або\( x \in B_i \) для кожного\( i \in I \) або\( x \notin A_j \) для деяких\( j \in I \). У будь-якому випадку,\( x \in A_j \bigtriangleup B_j \) для деяких\( j \in I \)

В обох частинок доказ завершується тим, що загальна множина праворуч у відображених рівняннях дорівнює нулю:\[ \mu\left[\bigcup_{i \in I} (A_i \bigtriangleup B_i) \right] \le \sum_{i \in I} \mu(A_i \bigtriangleup B_i) = 0 \]

Еквівалентні набори мають однакову міру.

Якщо\( A, \, B \in \mathscr S \) і\(A \equiv B\) тоді\(\mu(A) = \mu(B)\).

Доказ

Зауважте ще раз, що\( A = (A \cap B) \cup (A \setminus B) \). Якщо\( A \equiv B \) тоді\( \mu(A) = \mu(A \cap B) \). Симетричним аргументом,\( \mu(B) = \mu(A \cap B) \).

Зворотне банально виходить з ладу, і контрприклад наведено нижче. Однак колекція нульових множин та колекція ко-нульових множин утворюють класи еквівалентності.

Припустимо, що\( A \in \mathscr S \).

1. Якщо\(\mu(A) = 0\) то\(A \equiv B\) якщо і тільки якщо\(\mu(B) = 0\).
2. Якщо\(\mu(A^c) = 0\) то\(A \equiv B\) якщо і тільки якщо\(\mu(B^c) = 0\).

Доказ

1. Припустимо, що\( \mu(A) = 0 \) і\( A \equiv B\). Потім\( \mu(B) = 0 \) за результатом вище. І навпаки, зверніть увагу, що\( A \setminus B \subseteq A \) і\( B \setminus A \subseteq B \) так, якщо\( \mu(A) = \mu(B) = 0 \) тоді\( \mu(A \bigtriangleup B) = 0 \) так\( A \equiv B \).
2. Частина (b) випливає з частини (а), а результат вище на доповненнях.

Ми можемо розширити поняття еквівалентності до вимірюваних функцій із загальним простором діапазону. Таким чином, припустимо, що\( (T, \mathscr T) \) це ще один вимірний простір. Якщо\( f, \, g: S \to T \) вимірювані, то\( (f, g): S \to T \times T \) вимірюється щодо звичайного добутку\( \sigma \) -алгебри\( \mathscr T \otimes \mathscr T \). Будемо вважати, що діагональ\( D = \{(y, y): y \in T\} \in \mathscr T \otimes \mathscr T \) встановлена, що практично завжди вірно в додатках.

\(f, \, g: S \to T\)Вимірювані функції еквівалентні, якщо\( \mu\{x \in S: f(x) \ne g(x)\} = 0 \). Знову пишемо\( f \equiv g \).

Подробиці

Зауважимо, що\(\{x \in S: f(x) \ne g(x)\} = \{x \in S: (f(x), g(x)) \in D\}^c \in \mathscr S\) за нашим припущенням, так визначення має сенс.

У термінології, розглянутій раніше,\( f \equiv g \) означає, що\( f(x) = g(x) \) практично скрізь на\( S \). Як і у випадку з вимірними множинами, відношення\( \equiv \) дійсно визначає відношення еквівалентності на колекції вимірюваних функцій від\(S\) до\(T\). Таким чином, колекція таких функцій розбита на неспільні класи взаємно еквівалентних змінних.

\( \equiv \)Відношення - це відношення еквівалентності на сукупності вимірюваних функцій від\(S\) до\(T\). Тобто, для вимірюваних\(f, \, g, \, h: S \to T\),

1. \(f \equiv f\)(Рефлексивне властивість).
2. If\(f \equiv g\)\(g \equiv f\) then (симетрична властивість).
3. Якщо\( f \equiv g\) і\(g \equiv h\) то\(f \equiv h\) (перехідне властивість).

Доказ

Частини (a) і (b) тривіально. Для (c) зверніть увагу, що\( f(x) = g(x) \) і\( g(x) = h(x) \) має\( f(x) = h(x) \) на увазі для\( x \in S \). Заперечення цього твердження дає\( f(x) \ne h(x) \) має на увазі\( f(x) \ne g(x) \) або\( g(x) \ne h(x) \). Таким чином\( g \equiv h \), так\[ \{x \in S: f(x) \ne h(x)\} \subseteq \{x \in S: f(x) \ne g(x)\} \cup \{ x \in S: g(x) \ne h(x)\} \] як\( f \equiv g \) і, два набори праворуч мають міру 0. Отже, так само і набір зліва.

Припустимо, агаом,\(f, \, g: S \to T\) які можна виміряти і що\(f \equiv g\). Тоді для кожного\(B \in \mathscr T\), набори\(f^{-1}(B) \equiv g^{-1}(B)\).

Доказ

Зауважте, що\( f^{-1}(B) \bigtriangleup g^{-1}(B) \subseteq \{x \in S: f(x) \ne g(x)\} \).

Таким чином, якщо\( f, \, g: S \to T \) вимірюються і\( f \equiv g \), то за попереднім результатом,\(\nu_f = \nu_g\) де\(\nu_f, \, \nu_g\) знаходяться заходи на\((T, \mathscr T)\) пов'язані з\( f \) і\( g \), як зазначено вище. Знову ж таки, зворотне провалюється з пристрастю.

Часто буває, що визначення для функцій підводить відповідне визначення множин, розглядаючи індикаторні функції множин. Так само і з еквівалентністю. У наступному результаті ми можемо взяти\(T = \{0, 1\}\) з собою\(\mathscr T\) колекцію всіх підмножин.

Припустимо, що\(A, \, B \in \mathscr S\). Тоді\(A \equiv B\) якщо і тільки якщо\(\bs{1}_A \equiv \bs{1}_B\).

Доказ

Зауважте, що\( \left\{x \in S: \bs{1}_A(x) \ne \bs{1}_B(x) \right\} = A \bigtriangleup B \).

Еквівалентність зберігається під складом. Для наступного результату припустимо, що\((U, \mathscr U)\) це ще один вимірний простір.

Припустимо\(f, \, g: S \to T\), що можна виміряти і\(h: T \to U\) що можна виміряти. Якщо\(f \equiv g\) тоді\(h \circ f \equiv h \circ g\).

Доказ

Зауважте, що\( \{x \in S: h[f(x)] \ne h[g(x)]\} \subseteq \{x \in S: f(x) \ne g(x)\} \).

Припустимо ще раз, що\( (S, \mathscr S, \mu) \) це міра простору. Давайте\( \mathscr V \) позначимо колекцію всіх вимірних реальних випадкових функцій з\( S \) в\( \R \). (Як завжди,\(\R\) дається Борель\(\sigma\) -алгебра.) З нашого попереднього обговорення теорії мір ми знаємо, що зі звичайними визначеннями додавання та скалярного множення\( (\mathscr V, +, \cdot) \) є векторним простором. Однак у теорії мір ми часто не хочемо розрізняти функції, які є еквівалентними, тому приємно знати, що векторна структура простору зберігається, коли ми ідентифікуємо еквівалентні функції. Формально, нехай\( [f] \) позначають клас еквівалентності генерується\( f \in \mathscr V \), і нехай\( \mathscr W \) позначають колекцію всіх таких класів еквівалентності. У модульних позначеннях,\( \mathscr W\) є\(\mathscr V \big/ \equiv \). Визначаємо додавання і скалярне множення\( \mathscr W \) на\[ [f] + [g] = [f + g], \; c [f] = [c f]; \quad f, \, g \in \mathscr V, \; c \in \R \]

\( (\mathscr W, +, \cdot) \)є векторним простором.

Доказ

Все, що нам потрібно показати, це те, що додавання та скалярне множення чітко визначені. Тобто ми повинні показати, що визначення не залежать від особливо представника класу еквівалентності. Потім інші властивості, що визначають векторний простір, успадковуються від\( (\mathscr V, +, \cdot) \). Таким чином ми повинні показати, що якщо\( f_1 \equiv f_2 \) і\( g_1 \equiv g_2 \), а якщо\( c \in \R \), то\( f_1 + g_1 \equiv f_2 + g_2 \) і\( c f_1 \equiv c f_2 \). Для першої задачі зверніть увагу на те, що\((f_1, g_1)\) і\((f_2, g_2)\) є вимірюваними функціями від\(S\) до\(\R^2\). (\(\R^2\)дається добуток\(\sigma\) -алгебра, яка також є\(\sigma\) алгеброю Бореля, що відповідає стандартній евклідовій тології). Більше того,\((f_1, g_1) \equiv (f_2, g_2)\) оскільки\[\{x \in S: (f_1(x), g_1(x)) \ne (f_2(x), g_2(x))\} = \{x \in S: f_1(x) \ne f_2(x)\} \cup \{x \in S: g_1(x) \ne g_2(x)\}\] Але функція\((a, b) \mapsto a + b\) з\(\R^2\) в\(\R\) вимірюється і, отже, від властивості композиції, з цього випливає\(f_1 + g_1 \equiv f_2 + g_2\). Друга проблема простіше. Функція\(a \mapsto c a\) з\(\R\) в\(\R\) вимірюється, тому знову вона follos від властивості композиції, що\(c f_1 \equiv c f_2\).

Часто ми не намагаємося використовувати спеціальні позначення для класу еквівалентності, пов'язаного з функцією. Швидше, розуміється, що еквівалентні функції представляють один і той же об'єкт. Простіри функцій у вимірному просторі вивчаються далі в розділі «Розподіли».

Завершення

Припустимо, що\( (S, \mathscr S, \mu) \) це міра пробіл і нехай\( \mathscr N = \{A \in \mathscr S: \mu(A) = 0\} \) позначає колекцію нульових множин простору. Якщо\( A \in \mathscr N \) і\( B \in \mathscr S \) є підмножиною\( A \), то ми знаємо, що\( \mu(B) = 0 \) так\( B \in \mathscr N \) само. Однак загалом можуть бути підмножини\( A \), яких немає в\( \mathscr S \). Це призводить природно до наступного визначення.

Простір вимірювання\( (S, \mathscr S, \mu) \) є повним, якщо\( A \in \mathscr N \) і\( B \subseteq A \) має на увазі\( B \in \mathscr S \) (і, отже\( B \in \mathscr N \)).

Наша мета в цій дискусії - показати, що якщо\( (S, \mathscr S, \mu) \)\( \sigma \) - кінцева міра, яка не є повною, то вона може бути завершена. Тобто\( \mu \) може бути розширено до\( \sigma \) -algebra, яка включає всі множини в\( \mathscr S \) і всі підмножини нульових множин. Першим кроком є розширення співвідношення еквівалентності, визначеного в нашому попередньому обговоренні\( \mathscr P(S) \).

Для\( A, \, B \subseteq S \), визначити,\( A \equiv B \) якщо і тільки якщо існує\( N \in \mathscr N \) таке, що\( A \bigtriangleup B \subseteq N \). \( \equiv \)Відношення - це відношення еквівалентності на\( \mathscr{P}(S) \): Для\( A, \, B, \, C \subseteq S \),

1. \( A \equiv A \)(Рефлексивне властивість).
2. If\( A \equiv B \)\( B \equiv A \) then (симетрична властивість).
3. Якщо\( A \equiv B \) і\( B \equiv C \) то\( A \equiv C \) (перехідне властивість).

Доказ

1. Зверніть увагу, що\( A \bigtriangleup A = \emptyset \) і\( \emptyset \in \mathscr N \).
2. Припустимо, що\( A \bigtriangleup B \subseteq N \) де\( N \in \mathscr N \). Потім\( B \bigtriangleup A = A \bigtriangleup B \subseteq N\).
3. Припустимо, що\( A \bigtriangleup B \subseteq N_1 \) і\( B \bigtriangleup C \subseteq N_2\) де\( N_1, \; N_2 \in \mathscr N \). Потім\( A \bigtriangleup C \subseteq (A \bigtriangleup B) \cup (B \bigtriangleup C) \subseteq N_1 \cup N_2 \), і\( N_1 \cup N_2 \in \mathscr N \).

Таким чином, відношення еквівалентності\( \equiv \)\( \mathscr P(S) \) розділяється на взаємно неспільні класи еквівалентності. Дві множини в класі еквівалентності відрізняються підмножиною нульового множини. Зокрема,\( A \equiv \emptyset \) якщо і тільки\( A \subseteq N \) для деяких\( N \in \mathscr N \). Розширене відношення\( \equiv \) зберігається під операціями набору, так само, як і раніше. Наступним кроком є збільшення\( \sigma \) -алгебри\( \mathscr S \) шляхом додавання будь-якого набору, еквівалентного набору в\( \mathscr S \).

Нехай\( \mathscr S_0 = \{A \subseteq S: A \equiv B \text{ for some } B \in \mathscr S \} \). Тоді\( \mathscr S_0 \) є\( \sigma \) -алгебра підмножин\( S \), і насправді є\( \sigma \) -алгебра, породжена\( \mathscr S \cup \{A \subseteq S: A \equiv \emptyset\} \).

Доказ

Зверніть увагу, що якщо\( A \in \mathscr S \) тоді\( A \equiv A \) так\( A \in \mathscr S_0 \). Зокрема,\( S \in \mathscr S_0 \). Крім того,\( \emptyset \in \mathscr S \) так, якщо\( A \equiv \emptyset \) тоді\( A \in \mathscr S_0 \). Припустимо, що\( A \in \mathscr S_0 \) так\( A \equiv B \) для деяких\( B \in \mathscr S \). Потім\( B^c \in \mathscr S \) і\( A^c \equiv B^c \) так\( A^c \in \mathscr S_0 \). Далі припустимо, що\( A_i \in \mathscr S_0 \) для\( i \) в обчислювальному індексі набір\( I \). Тоді для кожного\( i \in I \) існує\( B_i \in \mathscr S \) таке, що\( A_i \equiv B_i \). Але потім\( \bigcup_{i \in I} B_i \in \mathscr S \) і\( \bigcup_{i \in I} A_i \equiv \bigcup_{i \in I} B_i \), так\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr S_0 \). Тому\( \mathscr S_0 \) є\( \sigma \) -алгебра підмножин\( S \). Нарешті, припустимо, що\( \mathscr T \) це\( \sigma \) -алгебра підмножин\( S \) і що\( \mathscr S \cup \{A \subseteq S: A \equiv \emptyset\} \subseteq \mathscr T \). Нам потрібно це показати\( \mathscr S_0 \subseteq \mathscr T \). Таким чином, припустимо, що\( A \in \mathscr S_0 \) Тоді існує\( B \in \mathscr S \) таке, що\( A \equiv B \). Але\( B \in \mathscr T \) і\( A \bigtriangleup B \in \mathscr T \) так\( A \cap B = B \setminus (A \bigtriangleup B) \in \mathscr T\). Крім того\( A \setminus B \in \mathscr T \), так\( A = (A \cap B) \cup (A \setminus B) \in \mathscr T \).

Останнім нашим кроком є поширення\( \mu \) до позитивної міри на збільшену\( \sigma \) -алгебру\( \mathscr S_0 \).

Припустимо, що\( A \in \mathscr S_0 \) так\( A \equiv B \) для деяких\( B \in \mathscr S \). Визначте\( \mu_0(A) = \mu(B) \). Тоді

1. \( \mu_0 \)чітко визначена.
2. \( \mu_0(A) = \mu(A) \)для\( A \in \mathscr S \).
3. \( \mu_0 \)є позитивним заходом на\( \mathscr S_0 \).

Простір вимірювання\( (S, \mathscr S_0, \mu_0) \) є повним і відомий як завершення\( (S, \mathscr S, \mu) \).

Доказ

1. Припустимо, що\( A \in \mathscr S_0 \) і те\( A \equiv B_1 \) і\( A \equiv B_2 \) де\( B_1, \, B_2 \in \mathscr S \). Потім\(B_1 \equiv B_2 \) так за результатом вище\( \mu(B_1) = \mu(B_2) \). Таким чином,\( \mu_0 \) чітко визначено.
2. Далі, якщо\( A \in \mathscr S \) то звичайно\( A \equiv A \) так\( \mu_0(A) = \mu(A) \).
3. Тривіально\( \mu_0(A) \ge 0 \) для\( A \in \mathscr S_0 \). Таким чином, нам просто потрібно показати лічильну властивість адитивності. Щоб зрозуміти докази, потрібно мати на увазі кілька фактів: функції\( \mu \) та\( \mu_0 \) узгодження\( \mathscr S \) (властивість (b)); еквівалентність зберігається при операціях множини; еквівалентні множини мають однакове значення під\( \mu_0 \) (властивість (a)). Оскільки простір міри\( (S, \mathscr S, \mu) \) є\( \sigma \) -скінченним, існує підрахункова неспільна\( \{C_i: i \in I\} \) колекція множин в\( \mathscr S \) такому, що\( S = \bigcup_{i \in I} C_i \) і\( \mu(C_i) \lt \infty \) для кожного\( i \in I \). Припустимо спочатку\( A \in \mathscr S_0 \), що, так що існує\( B \in \mathscr S \) с\( A \equiv B \). Тоді\[\mu_0(A) = \mu_0\left[\bigcup_{i \in I} (A \cap C_i)\right] = \mu\left[\bigcup_{i \in I} (B \cap C_i)\right] = \sum_{i \in I} \mu(B \cap C_i) = \sum_{i \in I} \mu_0(A \cap C_i)\] припустимо,\( (A_1, A_2, \ldots) \) що наступний, що послідовність попарно нез'єднаних множин в\( \mathscr S_0 \) так, що існує\( (B_1, B_2, \ldots) \) послідовність множин в\( \mathscr S \) такий, що\( A_i \equiv B_i \) для кожного\( i \in \N_+ \). Для\[ \mu_0\left[\bigcup_{n=1}^\infty (A_n \cap C_i)\right] = \mu_0\left[\bigcup_{n=1}^\infty (B_n \cap C_i)\right] = \mu\left[\bigcup_{n=1}^\infty (B_n \cap C_i)\right] = \sum_{in=1}^\infty \mu(B_n \cap C_i) = \sum_{n=1}^\infty \mu_0(A_n \cap C_i) \] фіксованого\( i \in I \), Наступна до останнього рівність використовує закон включення виключення, оскільки ми не знаємо (і це, ймовірно, неправда), що послідовність\( (B_1, B_2, \ldots) \) є неспільною. Використання включення-виключення є чому ми повинні бути\( (S, \mathscr S, \mu) \)\( \sigma \) -finite. Нарешті, використовуючи попередні відображені рівняння,\ begin {align*}\ mu_0\ left (\ bigcup_ {n=1} ^\ infty a_n\ праворуч) & =\ sum_ {i\ in I}\ mu_0\ left [\ bigcup_ {n=1} ^\ infty a_n\ праворуч)\ cap c_i\ right] =\ sum_ {i\ in Я}\ mu_0\ ліворуч (\ bigcup_ {n=1} ^\ infty a_n\ cap C_i\ праворуч)\\ & =\ sum_ {i\ in I}\ sum_ {n = 1} ^\ infty\ mu_0 (a_n\ cap C_i) =\ сума_ {n = 1} ^\ infty\ sum_ {i\ in I}\ mu_0 (a_n\ cap C_i) =\ sum_ {n=1} ^\ infty\ mu_0 (a_n)\ кінець {align*}

Приклади і вправи

Як завжди, обов'язково спробуйте самі обчислювальні вправи і докази, перш ніж читати відповіді і докази в тексті. Нагадаємо, що дискретний простір вимірювань складається з лічильної множини, з\( \sigma \) -алгеброю всіх підмножин, і з мірою підрахунку\( \# \).

Контрприклади

Теорема неперервності для спадних подій може зазнати невдачі, якщо події не мають кінцевої міри.

Розглянемо\( \Z \) з підрахунком міру\( \# \) на\( \sigma \) -алгебрі всіх підмножин. Нехай\( A_n = \{ z \in \Z: z \le -n\} \) для\( n \in \N_+ \). Теорема безперервності не вдається\( (A_1, A_2, \ldots) \).

Доказ

Послідовність зменшується і\( \#(A_n) = \infty \) для кожного\( n \), але\( \# \left(\bigcap_{i=1}^\infty A_i\right) = \#(\emptyset) = 0 \).

Рівна міра, безумовно, не передбачає еквівалентних множин.

Припустимо, що\( (S, \mathscr S, \mu) \) це міра простору з властивістю, що існують неспільні множини\( A, \, B \in \mathscr S\) такі, що\( \mu(A) = \mu(B) \gt 0 \). Тоді\( A \) і\( B \) не рівнозначні.

Доказ

Зверніть увагу, що\( A \bigtriangleup B = A \cup B \) і\( \mu(A \cup B) \gt 0 \).

Для конкретного прикладу ми могли б взяти\( S = \{0, 1\} \) з підрахунком міри\( \# \) на\( \sigma \) -алгебру всіх підмножин, і\( A = \{0\} \),\( B = \{1\} \).

Властивість\( \sigma \) -finite не обов'язково успадковується простором підміри. Щоб поставити основу для контрприкладу,\( \mathscr R \) позначимо Борель\( \sigma \) -алгебру\( \R \), тобто\( \sigma \) -алгебру, породжену стандартною евклідової топологією. Існує позитивна міра\( \lambda \)\( (\R, \mathscr R) \), яка узагальнює довжину. Міра\( \lambda \), відома як міра Лебега, побудована в розділі про існування. Далі давайте\( \mathscr C \) позначимо\( \sigma \) -алгебру лічильних і співрахункових множин:\[ \mathscr C = \{A \subseteq \R: A \text{ is countable or } A^c \text{ is countable}\} \]\( \mathscr C \) Це\( \sigma \) -алгебра була показана в розділі про теорії мір в главі про основи.

\( (\R, \mathscr C) \)є підпростором\( (\R, \mathscr R) \). Більше того,\( (\R, \mathscr R, \lambda) \) є\( \sigma \) -кінцевим, але не\( (\R, \mathscr C, \lambda) \) є.

Доказ

Якщо\( x \in \R \), то синглтон\( \{x\} \) закритий і, отже, знаходиться в\( \mathscr R \). Підрахувальний набір - це зліченний союз синглтонів, так що якщо\( A \) підраховується тоді\( A \in \mathscr R \). Звідси випливає, що\( \mathscr C \subset \mathscr R \). Далі давайте\( I_n \) позначимо інтервал\( [n, n + 1) \) для\( n \in \Z \). Тоді\( \lambda(I_n) = 1 \) для\( n \in Z \) і\( \R = \bigcup_{n \in \Z} I_n \), так\( (\R, \mathscr R, \lambda) \) є\( \sigma \) -скінченно. З іншого боку,\( \lambda\{x\} = 0 \) for\( x \in R \) (так як набір є інтервалом довжини 0). Тому\( \lambda(A) = 0 \) він\( A \) підраховується, а\( \lambda(A) = \infty \) якщо\( A^c \) підраховується. Звідси випливає, що\( \R \) не можна записати як обчислювальне об'єднання множин в\( \mathscr C \), кожен з кінцевою мірою.

Сума скінченних мір не може бути\( \sigma \) -кінцевою.

\( S \)Дозволяти бути непорожнім, скінченним множиною з\( \sigma \)\( \mathscr S \) -алгеброю всіх підмножин. \( \mu_n = \# \)Дозволяти розраховувати міра на\( (S, \mathscr S) \) для\( n \in \N_+ \). Тоді\( \mu_n \) є кінцева міра для кожного\( n \in \N_+ \), але\( \mu = \sum_{n \in \N_+} \mu_n \) не\( \sigma \) -кінцева.

Доказ

Зверніть увагу, що\( \mu \) це тривіальна міра на\( (S, \mathscr S) \) даний\( \mu(A) = \infty \) якщо\( A \ne \emptyset \) (і звичайно\( \mu(\emptyset) = 0 \)).

Основні властивості

У наступних задачах,\( \mu \) є позитивним заходом на вимірюваний простір\( (S, \mathscr S) \).

Припустимо, що\( \mu(S) = 20 \) і що\(A, B \in \mathscr S\) з\(\mu(A) = 5\),\(\mu(B) = 6 \),\(\mu(A \cap B) = 2\). Знайдіть міру кожного з наступних наборів:

1. \(A \setminus B\)
2. \(A \cup B\)
3. \(A^c \cup B^c\)
4. \(A^c \cap B^c\)
5. \(A \cup B^c\)

Відповідь

1. 3
2. 9
3. 18
4. 11
5. 16

Припустимо, що\( \mu(S) = \infty \) і що\(A, \, B \in \mathscr S\) з\(\mu(A \setminus B) = 2\)\(\mu(B \setminus A) = 3\), і\(\mu(A \cap B) = 4\). Знайдіть міру кожного з наступних наборів:

1. \(A\)
2. \(B\)
3. \(A \cup B\)
4. \( A^c \cap B^c \)
5. \( A^c \cup B^c \)

Відповідь

1. 6
2. 7
3. 9
4. \(\infty\)
5. \(\infty\)

Припустимо, що\( \mu(S) = 10 \) і що\(A, \, B \in \mathscr S\) з\(\mu(A) = 3\)\(\mu(A \cup B) = 7\), і\(\mu(A \cap B) = 2\). Знайдіть міру кожного з наступних подій:

1. \(B\)
2. \(A \setminus B\)
3. \(B \setminus A\)
4. \(A^c \cup B^c\)
5. \(A^c \cap B^c\)

Відповідь

1. 6
2. 1
3. 4
4. 8
5. 3

Припустимо\( \mu(A) = 10 \), що\( A, \, B, \, C \in \mathscr S \) з\( \mu(B) = 12 \)\( \mu(C) = 15 \),\( \mu(A \cap B) = 3 \),\( \mu(A \cap C) = 4 \),,\( \mu(B \cap C) = 5 \), і\( \mu(A \cap B \cap C) = 1S \). Знайдіть ймовірності різних спілок:

1. \( A \cup B \)
2. \( A \cup C \)
3. \( B \cup C \)
4. \( A \cup B \cup C \)

Відповідь

1. 21
2. 23
3. 22
4. 28