2.2: Події та випадкові величини

Last updated
Save as PDF

Page ID: 99327

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$$\newcommand{\bs}{\boldsymbol}$

Метою даного розділу є вивчення двох основних типів об'єктів, що входять до моделі випадкового експерименту. Якщо ви новий студент ймовірності, просто ігноруйте теоретико-вимірювальну термінологію і пропустіть технічні деталі.

Прогалини зразків

Набір результатів

Нагадаємо, що в випадковому експерименті результат неможливо передбачити з упевненістю, перш ніж експеримент буде запущений. З іншого боку:

Ми припускаємо, що ми можемо визначити фіксований набір$ S $, який включає всі можливі результати випадкового експерименту. Цей набір грає роль універсального набору при моделюванні експерименту.

Для простих експериментів$ S $ може бути саме набір можливих результатів. Найчастіше для складних експериментів$ S $ є математично зручний набір, який включає в себе можливі результати і, можливо, інші елементи, а також. Наприклад, якщо експеримент полягає в тому, щоб кинути стандартний штамп і записати рахунок, який відбувається, ми б дозволили$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, набір можливих результатів. З іншого боку, якщо експеримент полягає в тому, щоб захопити цикаду і виміряти її масу тіла (в міліграмах), ми могли б зручно взяти$S = [0, \infty)$, хоча більшість елементів цього набору неможливі (ми сподіваємося!). Проблема полягає в тому, що ми можемо не знати точно можливі результати. Чи може лампочка горіти без збоїв протягом тисячі годин? За тисячу днів? за тисячу років?

Часто результат випадкового експерименту складається з одного або декількох реальних вимірювань, і, таким чином,$ S $ складається з усіх можливих послідовностей вимірювань, підмножини$\R^n$ для деяких$n \in \N_+$. Більш загально, припустимо, що у нас$ S_i $ є$n$ експерименти, і це набір результатів для експерименту$ i \in \{1, 2, \ldots, n\} $. Тоді декартовий продукт$S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n$ - це природний набір результатів для складного експерименту, який складається з послідовного виконання$n$ експериментів. Зокрема, якщо ми маємо базовий експеримент з$S$ як набір результатів, то$S^n$ є природним набором результатів для складного експерименту, який складається з$n$ реплікацій основного експерименту. Аналогічно, якщо ми маємо нескінченну послідовність експериментів і$ S_i $ є сукупністю результатів для експерименту$ i \in \N_+ $, то$S_1 \times S_2 \times \cdots$ це природний набір результатів для складного експерименту, який складається з виконання заданих експериментів послідовно. Зокрема, набір результатів для складного експерименту, який складається з невизначеної реплікації базового експерименту, є$S^\infty = S \times S \times \cdots $. Це суттєвий особливий випадок, оскільки (класична) теорія ймовірностей базується на ідеї тиражування даного експерименту.

Події

Розглянемо ще раз випадковий експеримент з$ S $ набором результатів. Певні$ S $ підмножини називаються подіями. Припустимо, що$ A \subseteq S $ це задана подія, і що експеримент запущений, що призводить до результату$ s \in S $.

Якщо$ s \in A $ тоді ми говоримо, що$ A $ відбувається.
Якщо$ s \notin A $ тоді ми говоримо, що$ A $ не відбувається.

Інтуїтивно слід думати про подію як про осмислене твердження про експеримент: кожне таке твердження перетворюється на подію, а саме сукупність результатів, для яких твердження вірно. Зокрема,$S$ сама по собі подія; за визначенням вона завжди відбувається. З іншого боку, порожній набір також$\emptyset$ є подією; за визначенням вона ніколи не відбувається.

Для замітки з термінології нагадаємо, що математичний простір складається з безлічі разом з іншими математичними структурами, визначеними на множині. Прикладом, з яким ви можете бути знайомі, є векторний простір, який складається з множини (векторів) разом з операціями додавання та скалярного множення. У теорії ймовірностей багато авторів використовують термін вибірковий простір для набору результатів випадкового експерименту, але ось більш ретельне визначення:

Вибірковий простір експерименту - це те,$ (S, \mathscr S) $ де$ S $ знаходиться сукупність результатів і$ \mathscr S $ є сукупністю подій.

Подробиці

Іноді не кожна підмножина$S$ може бути дозволена як подія, але$ \mathscr S $ колекція подій повинна бути $ \sigma $-алгеброю, так що простір вибірки$ (S, \mathscr S) $ є вимірним простором. Аксіоми$\sigma$ -алгебри гарантують, що нові множини, які побудовані розумним чином із заданих подій, використовуючи множинні операції, самі по собі є дійсними подіями. Більшість вибіркових просторів, які зустрічаються з елементарною ймовірністю, поділяються на дві загальні категорії.

$ S $Дискретний:$ \mathscr S = \mathscr P(S) $ підраховується і є сукупністю всіх підмножин$ S $. При цьому простір вибірки$(S, \mathscr S)$ дискретний.
Евклідова:$S$ є вимірною підмножиною$\R^n$ для деяких$n \in \N_+$ і$\mathscr S$ є сукупністю вимірюваних підмножин$S$.

У (b) вимірювані підмножини$\R^n$ включають всі множини, що зустрічаються в обчисленні та в стандартних додатках теорії ймовірностей, і багато іншого крім того. Тим не менш, з технічних причин певні дуже дивні підмножини повинні бути виключені. Зазвичай$ S $ це множина, що визначається скінченним числом нерівностей за участю елементарних функцій.

Алгебра подій

Стандартна алгебра множин призводить до граматики для обговорення випадкових експериментів і дозволяє будувати нові події з заданих подій. У наступних результатах припустимо, що$ S $ це сукупність результатів випадкового експерименту, і що$A$ і$B$ є подіями.

$A \subseteq B$якщо і тільки в тому випадку, якщо виникнення$A$ має на увазі виникнення$B$.

Доказ

Нагадаємо, що$ \subseteq $ це відношення підмножини. Отже, за визначенням$ A \subseteq B $ означає, що$ s \in A $ має на увазі$ s \in B $.

$A \cup B$це подія, яка відбувається, якщо і тільки в тому випадку, якщо$A$ відбувається або$B$ відбувається.

Доказ

Нагадаємо, що$ A \cup B $ це союз$ A $ і$ B $. Так за визначенням,$ s \in A \cup B $ якщо і тільки якщо$ s \in A $ або$ s \in B $.

$A \cap B$це подія, яка відбувається тоді і тільки в тому випадку, якщо$A$ відбувається і$B$ відбувається.

Доказ

Нагадаємо, що$ A \cap B $ це перетин$ A $ і$ B $. Так за визначенням,$ s \in A \cap B $ якщо і тільки якщо$ s \in A $ і$ s \in B $.

$A$і$B$ неспільні, якщо і тільки тоді, коли вони є взаємовиключними; вони не можуть відбуватися в одному і тому ж ході експерименту.

Доказ

За визначенням,$ A $ і$ B $ непоєднуваний означає, що$ A \cap B = \emptyset $.

$A^c$це подія, яка відбувається, якщо і тільки якщо$A$ не відбувається.

Доказ

Нагадаємо, що$ A^c $ є доповненням$ A $, тому$ s \in A^c $ якщо і тільки якщо$ s \notin A $.

$A \setminus B$це подія, яка відбувається тоді і тільки в тому випадку, якщо$A$ відбувається і$B$ не відбувається.

Доказ

Нагадаємо, що$ A \setminus B = A \cap B^c $. Отже,$ s \in A \setminus B $ якщо і тільки якщо$ s \in A $ і$ s \notin B $.

$(A \cap B^c) \cup (B \cap A^c)$це подія, яка відбувається тоді і лише тоді, коли відбувається одна, але не обидві з заданих подій.

Доказ

Події в союзі неспільні. Так для$ s $ є в даному випадку, якщо і тільки якщо або$ s \in A $ і$ s \notin B $, або$ s \in B $ і$ s \notin A $.

Нагадаємо, що подія в (10) є симетричною різницею$A$ і$B$, і іноді позначається$A \Delta B$. Ця подія відповідає виключному або, на відміну від звичайного союзу,$ A \cup B $ який відповідає інклюзивному або.

$(A \cap B) \cup (A^c \cap B^c)$це подія, яка відбувається тоді і лише тоді, коли відбувається обидві або жодна з заданих подій.

Доказ

Події в союзі неспільні. Таким$ s $ чином, в даному випадку якщо і тільки якщо або$ s \in A $ і$ s \in B $, або$ s \notin A $ і$ s \notin B $.

У додатку діаграми Венна спостерігайте за діаграмою кожної з 16 подій, які можна побудувати з$A$ і$B$.

Припустимо, що тепер$\mathscr{A} = \{A_i: i \in I\}$ це колекція подій для випадкового експерименту, де$I$ є обчислювальний набір індексів.

$ \bigcup \mathscr{A} = \bigcup_{i \in I} A_i $подія, яка відбувається тоді і лише тоді, коли відбувається хоча б одна подія у збірці.

Доказ

Зверніть увагу, що$ s \in \bigcup_{i \in I} A_i $ якщо і тільки якщо$ s \in A_i $ для деяких$ i \in I $.

$ \bigcap \mathscr{A} = \bigcap_{i \in I} A_i $подія, яка відбувається тоді і лише тоді, коли відбувається кожна подія у збірці:

Доказ

Зверніть увагу, що$ s \in \bigcap_{i \in I} A_i $ якщо і тільки якщо$ s \in A_i $ для кожного$ i \in I $.

$\mathscr{A}$є попарно неспільною колекцією тоді і лише тоді, коли події є взаємовиключними; максимум одна з подій може відбутися на заданому етапі експерименту.

Доказ

За визначенням,$ A_i \cap A_j = \emptyset $ для виразних$ i, \, j \in I $.

Припустимо, що тепер$(A_1, A_2, \ldots$) - це нескінченна послідовність подій.

$\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{i=n}^\infty A_i$це подія, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається нескінченно багато з заданих подій. Ця подія іноді називають граничним вищим$(A_1, A_2, \ldots)$.

Доказ

Зауважте, що$ s $ є в даному випадку тоді і тільки тоді, коли для кожного$ n \in \N_+ $ існує$ i \in \N_+ $ з$ i \ge n $ таким, що$ s \in A_i $. У свою чергу це означає, що$ s \in A_i $ для нескінченно багатьох$ i \in I $.

$\bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{i=n}^\infty A_i$це подія, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбуваються всі, але скінченно багато з заданих подій. Ця подія іноді називають граничним неповноцінним$(A_1, A_2, \ldots)$.

Доказ

Зауважте, що$ s $ знаходиться в даному випадку, якщо і тільки якщо існує$ n \in \N_+ $ таке, що$ s \in A_i $ для кожного$ i \in \N_+ $ з$ i \ge n $. У свою чергу, це означає, що$ s \in A_i $ для всіх, крім скінченно багатьох$ i \in I $.

Обмеження начальства і неповнолітніх більш детально розглянуті в розділі про зближення.

Випадкові величини

Інтуїтивно випадкова величина - це вимір інтересу в контексті експерименту. Прості приклади включають кількість голів при киданні монети кілька разів, суму балів при киданні пари кубиків, термін служби пристрою, схильного до випадкового стресу, вага людини, обраної з популяції. Ще багато прикладів наведено нижче в вправах нижче. Математично випадкова величина - це функція, визначена на множині результатів.

Функція$ X $$ S $ from in a set$ T $ є випадковою величиною для експерименту зі значеннями в$ T $.

Подробиці

Множина також$ T $ буде поставлятися з$ \sigma $ -алгеброю$ \mathscr T $ допустимих підмножин, так що$(T, \mathscr T)$ це вимірний простір, так само, як$ (S, \mathscr S) $. $ X $Функція повинна бути вимірною, припущення, яке гарантує, що значущі твердження за участю$ X $ визначають події. У наведеному нижче обговоренні всі$ T $ підмножини вважаються в$ \mathscr T $.

Ймовірність має свої позначення, сильно відрізняються від інших галузей математики. Як випадок, випадкові величини, навіть якщо вони є функціями, зазвичай позначаються великими літерами в кінці алфавіту. Використання літери біля кінця алфавіту покликане підкреслити думку про те, що об'єкт є змінною в контексті експерименту. Використання великої літери покликане підкреслити той факт, що це не звичайна алгебраїчна змінна, якій ми можемо привласнити певне значення, а скоріше випадкова величина, значення якої є невизначеною, поки ми не запустимо експеримент. Зокрема, коли ми запускаємо експеримент,$s \in S$ відбувається результат, і випадкова величина$X$ приймає значення$X(s) \in T$.

Рисунок$\PageIndex{1}$: Випадкова величина як функція, визначена на множині результатів.

Якщо$ B \subseteq T $, ми використовуємо позначення$ \{X \in B\} $ для зворотного зображення$ \{s \in S: X(s) \in B\} $, а не$ X^{-1}(B) $. Знову ж таки, позначення є більш природним, оскільки ми думаємо про змінну в експерименті.$ X $ Думайте$ \{X \in B\} $ як про твердження$ X $, що потім перекладається на подію$ \{s \in S: X(s) \in B\} $

Подія, визначена випадковою величиною — Малюнок$\PageIndex{2}$: Подія,$ \{X \in B\} $ що відповідає$ B \subseteq T $

Знову ж таки, кожне твердження про випадкову величину$ X $ зі значеннями в$ T $ перетворюється на зворотне зображення форми$ \{X \in B\} $ для деяких$ B \in \mathscr T $. Так, наприклад, якщо$ x \in T $ тоді$\{X = x\} = \{X \in \{x\}\} = \left\{s \in S: X(s) = x\right\}$. Якщо$X$ є дійсною випадковою величиною і$ a, \, b \in \R $ з$ a \lt b $ потім$\{ a \leq X \leq b\} = \left\{ X \in [a, b]\right\} = \{s \in S: a \leq X(s) \leq b\}$.

Припустимо, що$X$ це випадкова величина приймає значення в$T$, і що$A, \, B \subseteq T$. Тоді

$\{X \in A \cup B\} = \{X \in A\} \cup \{X \in B\}$
$\{X \in A \cap B\} = \{X \in A\} \cap \{X \in B\}$
$\{X \in A \setminus B\} = \{X \in A\} \setminus \{X \in B\}$
$A \subseteq B \implies \{X \in A\} \subseteq \{X \in B\}$
Якщо$A$ і$B$ нероз'єднані, то так$\{X \in A\}$ і$\{X \in B\}$.

Доказ

Це повторення того факту, що обернені зображення функції зберігають множинні операції; змінюється лише позначення (і простіше).

$s \in \{X \in A \cup B\}$якщо і тільки тоді і тільки$X(s) \in A \cup B$ якщо$X(s) \in A$ або якщо і тільки$X(s) \in B$ якщо$s \in \{X \in A\}$ або якщо і тільки$s \in \{X \in B\}$ якщо і тільки якщо$s \in \{X \in A\} \cup \{X \in B\}$.
Доказ точно такий же, як (а), з і заміною або.
Доказ також точно такий же, як і (а), але не замінюючи або.
Якщо$s \in \{X \in A\}$ то$X(s) \in A$ так$X(s) \in B$ і звідси$s \in \{X \in B\}$.
Це випливає з частини (b).

Як і у випадку із загальною функцією, результат у частині (a) має значення для об'єднання зліченної колекції підмножин, а результат у частині (b) тримає для перетину зчислюваної колекції підмножин. Ніяких нових ідей не задіяно, лише позначення складніше.

Часто випадкова величина приймає значення в$T$ підмножині$\R^k$ для деяких$k \in \N_+$. Ми могли б висловити таку випадкову величину, як$\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_k)$ де$X_i$ є реальна випадкова величина для кожного$i \in \{1, 2, \ldots, k\}$. У цьому випадку ми зазвичай називаємо випадковим вектором, щоб підкреслити його вищий розмірний характер.$\bs{X}$ Випадкова величина може мати ще більш складну структуру. Наприклад, якщо експеримент полягає у виборі$n$ об'єктів з населення і запису різних реальних вимірювань для кожного об'єкта, то результатом експерименту є вектор векторів:$\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ де$X_i$ вектор вимірювань для$i$ го об'єкта. Є й інші можливості; випадкова величина може бути нескінченною послідовністю або може бути встановленою. Конкретні приклади наведені в обчислювальних вправах нижче. Однак важливим моментом є просто те, що випадкова величина - це функція, визначена на множині результатів$S$.

Сам результат експерименту можна розглядати як випадкову величину. Зокрема, нехай$T = S$ і нехай$X$ позначають ідентифікувати функцію на$S$ так, що$X(s) = s$ для$s \in S$. Тоді тривіально$X$ є випадковою величиною, а події, які можуть бути визначені з точки зору$X$, - це просто початкові події експерименту. Тобто, якщо$ A $ подія тоді$ \{X \in A\} = A $. І навпаки, кожна випадкова величина ефективно визначає новий випадковий експеримент.

У загальному налаштуванні вище випадкова величина$X$ визначає новий випадковий експеримент з$ T $ новим набором результатів і підмножин$ T $ як нової колекції подій.

Подробиці

Технічно$ \sigma $ -алгебра$ \mathscr T $ буде новою колекцією подій.

Насправді, часто випадковий експеримент моделюється шляхом вказівки випадкових величин, що цікавлять, мовою експерименту. Потім математичне визначення випадкових величин визначає простір вибірки. Функція (або перетворення) випадкової величини визначає нову випадкову величину.

Припустимо, що$ X $ це випадкова величина для експерименту зі значеннями в$T$ і що$ g $ є функцією з іншого$ T $ множини$ U $. Тоді$ Y = g(X) $ є випадковою величиною зі значеннями в$ U $.

Подробиці

Технічно,$ T $ і$ U $ обидва поставляються з$\sigma$ -алгебрами допустимих підмножин$ \mathscr T $ і$ \mathscr U $, відповідно. Функція$ g $, як і функція$ X $, повинна бути вимірною. Це припущення гарантує, що$Y = g(X)$ є вимірюваною функцією з$S$ в$U$, а отже, є дійсною випадковою величиною.

Відзначимо, що$ g(X) = g \circ X $, як функції, склад$ g $ з$ X $. Але знову ж таки, мислення$ X $ і$ Y $ як змінні в контексті експерименту, позначення$ Y = g(X) $ набагато природніше.

Змінні індикатора

Для події$A$ індикаторна функція$A$ називається змінною індикатора$A$.

Значення цієї випадкової величини говорить нам,$A$ відбулася чи ні:\[ \bs{1}_A = \begin{cases} 1, & A \text{ occurs} \\ 0, & A \text{ does not occur} \end{cases} \] Тобто, як функція на$ S $,\[ \bs{1}_A(s) = \begin{cases} 1, & s \in A \\ 0, & s \notin A \end{cases} \]

Якщо$X$ є випадковою величиною, яка приймає значення 0 і 1, то$X$ є індикаторною змінною події$\{X = 1\}$.

Доказ

Зверніть увагу, що для$ s \in S $,$ X(s) = 1$ якщо$ s \in \{X = 1\} $ і$ X(s) = 0 $ інакше.

Нагадаємо також, що множинна алгебра подій переводиться в арифметичну алгебру індикаторних змінних.

Припустимо, що$A$ і$B$ є подіями.

$\bs{1}_{A \cap B} = \bs{1}_A \bs{1}_B = \min\left\{\bs{1}_A, \bs{1}_B\right\}$
$\bs{1}_{A \cup B} = 1 - \left(1 - \bs{1}_A\right)\left(1 - \bs{1}_B\right) = \max\left\{\bs{1}_A, \bs{1}_B\right\}$
$\bs{1}_{B \setminus A} = \bs{1}_B \left(1 - \bs{1}_A\right)$
$\bs{1}_{A^c} = 1 - \bs{1}_A$
$A \subseteq B$якщо і тільки якщо$\bs{1}_A \leq \bs{1}_B$

Результати в частині (а) поширюються на довільні перетину, а результати в частині (b) поширюються на довільні союзи. Якщо подія$ A $ має складний опис, іноді ми використовуємо$ \bs 1 (A) $ для індикаторної змінної скоріше це$ \bs 1_A $.

Приклади і застосування

Нагадаємо, що теорія ймовірностей часто ілюструється за допомогою простих пристосувань з азартних ігор: монети, кістки, карти, блешні, урни з кульками і так далі. Приклади, засновані на таких пристроях, є педагогічно цінними через свою простоту і концептуальну ясність. З іншого боку, пам'ятайте, що ймовірність полягає не тільки в азартних іграх та азартних іграх. Швидше, спробуйте розглядати проблеми, пов'язані з монетами, гральними кістками тощо, як метафори для більш складних та реалістичних проблем.

Монети та кубики

Основний експеримент з монетами складається з кидання монети$n$ раз і запису послідовності балів$(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ (де 1 позначає голови, а 0 позначає хвости). Цей експеримент є загальним прикладом випробувань$n$ Бернуллі, названих на честь Якова Бернуллі.

Розглянемо монету експериментуємо з$n = 4$, і нехай$Y$ позначимо кількість голів.

Дайте набір результатів$S$ у вигляді списку.
Дайте подію$\{Y = k\}$ у формі списку для кожного$k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

Відповідь

Щоб спростити позначення, ми представляємо результати трохи рядків, а не впорядкованих послідовностей.

$S = \{1111, 1110, 1101, 1011, 0111, 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011, 1000, 0100, 0010, 0001, 0000\}$
\ почати {вирівняти}\ {Y = 0\} & =\ {0000\}\\ {Y = 1\} & =\ {1000, 0100, 0010, 0001\}\\ {Y = 2\} & =\ {1100, 1010, 1001, 0101, 0011\}\\ {Y = 3\} & =\ {1110, 1101, 1011, 0111\}\\ {Y = 4\} & =\ {1111\}\ кінець {вирівнювання}

У моделюванні монети експеримент, безліч$n = 4$. Проведіть експеримент 100 разів і порахуйте кількість разів, що$\{Y = 2\}$ відбувається подія.

Тепер розглянемо загальний експеримент з монеткою,$n$ кинутою раз, і нехай$Y$ позначимо кількість голів.

Дайте набір результатів$S$ у декартовій формі продукту, і надайте кардинальність$S$.
Експрес$Y$ як функція на$S$.
Знайти$\#\{Y = k\}$ (як підмножина$S$) для$k \in \{0, 1, \ldots, n\}$

Відповідь

$S = \{0, 1\}^n$і$\#(S) = 2^n$.
$Y(x_1, x_2, \ldots, x_n) = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$. Набір можливих значень$\{0, 1, \ldots, n\}$
$\#\{Y = k\} = \binom{n}{k}$

Основний експеримент з кісток складається з кидання$n$ окремих$k$ -односторонніх кубиків (з гранями, пронумерованими від 1 до$k$) та запису послідовності балів$(X_1, X_2, \ldots, X_n)$. Цей експеримент є загальним прикладом$n$ багатономіальних випробувань. Особливий випадок$k = 6$ відповідає стандартним кубикам.

Розглянемо експеримент з кубиками зі$n = 2$ стандартними кубиками. $S$Позначимо сукупність результатів,$A$ подія, що перший бал$B$ матриці дорівнює 1, а подія, що сума балів дорівнює 7. Наведіть кожне з наступних подій у зазначеній формі:

$S$у декартовій формі продукту
$A$у формі списку
$B$у формі списку
$A \cup B$у формі списку
$A \cap B$у формі списку
$A^c \cap B^c$у формі присудка

Відповідь

$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^2$
$A = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)\}$
$B = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$
$A \cup B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$
$A \cap B = \{(1,6)\}$
$A^c \cap B^c = \{(x, y) \in S: x + y \ne 7 \text{ and } x \ne 1\}$

У симуляції кубиків експеримент, безліч$n = 2$. Проведіть експеримент 100 разів і порахуйте кількість разів, коли відбувається кожна подія в попередній вправі.

Розглянемо кубики експериментувати зі$n = 2$ стандартними кубиками, і нехай$ S $ позначимо набір результатів,$Y$ суму балів,$U$ мінімальний бал і$V$ максимальний бал.

Експрес$Y$ як функцію на$ S $ і дати набір можливих значень у вигляді списку.
Експрес$U$ як функцію на$ S $ і дати набір можливих значень у вигляді списку.
Експрес$V$ як функцію на$ S $ і дати набір можливих значень у вигляді списку.
Дайте множину можливих значень$(U, V)$ in присудка від

Відповідь

Зауважте, що$ S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^2 $. Наступні функції визначені на$ S $.

$Y(x_1, x_2) = x_1 + x_2$. Сукупність значень дорівнює$\{2, 3, \ldots, 12\}$
$U(x_1, x_2) = \min\{x_1, x_2\}$. Сукупність значень дорівнює$\{1, 2, \ldots, 6\}$
$V(x_1, x_2) = \max\{x_1, x_2\}$. Сукупність значень дорівнює$\{1, 2, \ldots, 6\}$
$\left\{(u, v) \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^2: u \le v\right\}$

Розглянемо ще раз експеримент з кубиками зі$n = 2$ стандартними кубиками, і нехай$ S $ позначимо набір результатів,$Y$ суму балів,$U$ мінімальний бал і$V$ максимальний бал. Дайте кожне з наступних підмножин$ S $, у формі списку.

$\{X_1 \lt 3, X_2 \gt 4\}$
$\{Y = 7\}$
$\{U = 2\}$
$\{V = 4\}$
$\{U = V\}$

Відповідь

$\{(1,5), (2,5), (1,6), (2,6)\}$
$\{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$
$\{(2,2), (2,3), (3,2), (2,4), (4,2), (2,5), (5,2), (2,6), (6,2)\}$
$\{(4,1), (1,4), (2,4), (4,2), (4,3), (3,4), (4,4)\}$
$\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$

У експерименті з кубиками встановлюйте$n = 2$. Виконати експеримент 100 разів. Підрахуйте кількість разів, коли відбулася кожна подія в попередній вправі.

У загальному експерименті з кісток з$n$ різними$k$ -односторонніми гральними кістками, нехай$Y$ позначимо суму балів,$U$ мінімальний бал і$V$ максимальний бал.

Дайте набір результатів$ S $ і знайдіть$ \#(S) $.
Експрес$Y$ як функцію on$ S $, і дати набір можливих значень у вигляді списку.
Експрес$U$ як функцію on$ S $, і дати набір можливих значень у вигляді списку.
Експрес$V$ як функцію on$ S $, і дати набір можливих значень у вигляді списку.
Дайте набір можливих значень$(U, V)$ in присудка від.

Відповідь

$S = \{1, 2, \ldots, k\}^n$і$\#(S) = k^n$
$Y(x_1, x_2, \ldots, x_n) = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$. Набір можливих значень$\{n, n + 1, \ldots, n k\}$
$U(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. Набір можливих значень є$\{1, 2, \ldots, k\}$.
$V(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \max\{x_1, x_2 \ldots, x_n\}$. Набір можливих значень$\{1, 2, \ldots, k\}$
$\left\{(u, v) \in \{1, 2, \ldots, k\}^2: u \le v\right\}$

Сукупність результатів випадкового експерименту залежить звичайно від того, яка інформація записана. Наступна вправа є ілюстрацією.

Експеримент складається з багаторазового кидання пари стандартних кубиків, поки сума двох балів не складе 5 або 7. Нехай$A$ позначимо подію, що сума дорівнює 5, а не 7 на кінцевому кидку. Експерименти такого типу виникають в іграх казино craps.

Припустимо, що пара балів за кожен кидок записується. Визначте набір результатів експерименту і опишіть$A$ як підмножину цієї множини.
Припустимо, що пара балів на фінальному кидку записана. Визначте набір результатів експерименту і опишіть$A$ як підмножину цієї множини.

Відповідь

Нехай$D_5 = \{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\}$,$D_7 = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$,$D = D_5 \cup D_7 $, і$ C = D^c $

$S = D \cup (C \times D) \cup (C^2 \times D) \cup \cdots$,$A = D_5 \cup (C \times D_5) \cup (C^2 \times D_5) \cup \cdots$
$S = D$,$A = D_5$

Припустимо, що кидаються 3 стандартних кубика і$(X_1, X_2, X_3)$ записується послідовність балів. Людина платить 1 долар, щоб грати. Якщо частина кубиків підійде 6, то гравець отримує її 1 долар назад, плюс $1 за кожні 6. В іншому випадку вона втрачає свій $1. Давайте$W$ позначимо чистий виграш людини. Це гра чак-а-удача і розглядається більш детально в розділі про Ігри Шанс.

Дайте набір результатів$S$ у декартовій формі продукту.
Експрес$W$ як функцію на$S$ і дати набір можливих значень у вигляді списку.

Відповідь

$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^3$
$W(x_1, x_2, x_3) = \bs{1}\left(x_1 = 6\right) + \bs{1}\left(x_2 = 6\right) + \bs{1}\left(x_3 = 6\right) - \bs{1}\left(x_1 \ne 6, x_2 \ne 6, x_3 \ne 6\right)$. Набір можливих значень$\{-1, 1, 2, 3\}$

Грати Chuck-a-luck експеримент кілька разів і подивитися, як ви робите.

В експерименті з монетами стандартний штамп прокатується, а потім монета кидається кількість разів, показаних на штампі. $\bs{X}$Записується послідовність балів монет (0 для хвостів, 1 для голів). Нехай$N$ позначають показник$Y$ штампу і кількість голів.

Дайте сукупність результатів$S$ в плані декартових повноважень і знайдіть$\#(S)$.
Експрес$N$ як функцію на$S$ і дати набір можливих значень у вигляді списку.
Експрес$Y$ як функцію на$S$ і дати набір можливих значень у вигляді списку.
Дайте випадок$A$, коли всі кидки призводять до голови у вигляді списку.

Відповідь

$S = \bigcup_{n=1}^6 \{0, 1\}^n$,$\#(S) = 126$
$N(x_1, x_2, \ldots, x_n) = n$для$(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in S$. Набір значень є$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$Y(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n x_i$для$(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in S$. Набір можливих значень є$\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$A = \{1, 11, 111, 1111, 11111, 111111\}$

Запустіть моделювання експерименту з монетами 10 разів. Для кожного бігу дайте значення випадкових величин$\bs{X}$$N$, і$Y$ попередньої вправи. Підрахуйте кількість разів, коли$A$ відбувається подія.

В експерименті з монетами у нас є монета і дві різні кістки, скажімо, один червоний і один зелений. Спочатку монету кидають, а потім, якщо результат - голови, кидається червона плашка, в той час як якщо результат - хвости, то зелена плашка кидається. Оцінка монети$X$ та оцінка обраної матриці$Y$ записуються. Припустимо тепер, що червона плашка - це стандартна 6-стороння плашка, а зелена - 4-стороння.

Дайте набір результатів$S$ у вигляді списку.
Експрес$X$ як функція на$ S $.
Експрес$Y$ як функція на$ S $.
Дайте подію$\{Y \ge 3\}$ як підмножину$ S $ у формі списку.

Відповідь

$\{(0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)\}$
$X(i, j) = i$для$(i, j) \in S$
$Y(i, j) = j$для$(i, j) \in S$
$\{(0,3), (0,4), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)\}$

Запустіть експеримент з монетами 100 разів, з різними типами кубиків.

Моделі відбору проб

Нагадаємо, що багато випадкових експериментів можна розглядати як експерименти з вибіркою. Для загальної моделі скінченної вибірки ми починаємо з популяції$D$ з$m$ (відмінними) об'єктами. Відбираємо вибірку$n$ об'єктів з населення. Якщо вибірка проводиться випадковим чином, то ми маємо випадковий експеримент з вибіркою в якості основного результату. Таким чином, сукупність результатів експерименту є буквально сукупністю зразків; це історичне походження терміна sample space. Існує чотири загальні типи вибірки з кінцевої популяції, засновані на критеріях порядку та заміни. Нагадаємо наступні факти з розділу про комбінаторні структури:

Зразки розміру,$ n $ обрані з популяції з$ m $ елементами.

Якщо відбір проб йде з заміною і щодо порядку, то набір зразків - декартова потужність$D^n$. Кількість зразків -$m^n$.
Якщо відбір проб проводиться без заміни і щодо порядку, то набір зразків - це набір всіх перестановок розміру$n$ з$D$. Кількість зразків -$m^{(n)} = m (m - 1) \cdots [m - (n - 1)]$.
Якщо вибірка проходить без заміни і без урахування порядку, то набір зразків - це сукупність всіх комбінацій (або підмножин) розміру$n$ з$D$. Кількість зразків -$\binom{m}{n}$.
Якщо відбір проб йде з заміною і без урахування замовлення, то набір зразків - це набір всіх мультимножин розміру$n$ від$D$. Кількість зразків -$\binom{m + n - 1}{n}$.

Якщо ми вибірку з заміною, розмір вибірки$n$ може бути будь-яким натуральним цілим числом. Якщо ми проводимо вибірку без заміни, розмір вибірки не може перевищувати чисельність населення, тому ми повинні мати$n \in \{1, 2, \ldots, m\}$.

Основні експерименти з монетами та кістками - приклади вибірки з заміною. Якщо ми підкидаємо монету$n$ раз і записуємо послідовність балів (де, як зазвичай, 0 позначає хвости, а 1 позначає голови), то генеруємо впорядковану вибірку розміру$n$ з заміною з популяції$\{0, 1\}$. Якщо ми кидаємо$n$ (відмінні) стандартні кубики і записуємо послідовність балів, то генеруємо впорядковану вибірку розміру$n$ з заміною з популяції$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Припустимо, що проба проходить без заміни (найпоширеніший випадок). Якщо ми записуємо упорядкований зразок$\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$, то $\bs{W} = \{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$невпорядкований зразок є випадковою величиною (тобто функцією$\bs{X}$). З іншого боку, якщо ми просто запишемо невпорядкований зразок$\bs{W}$ в першу чергу, то ми не можемо відновити замовлений зразок. Зверніть увагу також, що кількість замовлених зразків розміру$n$ просто$n!$ разів перевищує кількість невпорядкованих зразків розміру$n$. Не існує такої простої залежності, коли вибірка з заміною. Це виявиться важливим моментом, коли ми вивчимо моделі ймовірностей на основі випадкових зразків, в наступному розділі.

Розглянемо вибірку розміру,$n = 3$ обраного без заміни з боку населення$\{a, b, c, d, e\}$.

Дайте$T$, набір невпорядкованих зразків у вигляді списку.
Дайте в формі списку набір всіх впорядкованих зразків, які відповідають невпорядкованому зразку$\{b, c, e\}$.
Зверніть увагу, що для кожного невпорядкованого зразка є 6 замовлених зразків.
Надайте кардинальність$S$, набір впорядкованих зразків.

Відповідь

$T = \left\{\{a,b,c\}, \{a,b,d\}, \{a,b,e\}, \{a,c,d\}, \{a,c,e\}, \{a,d,e\}, \{b,c,d\}, \{b,c,e\}, \{b,d,e\}, \{c,d,e\}\right\}$
$\{(b,c,e), (b,e,c), (c,b,e), (c,e,b), (e,b,c), (e,c,b)\}$
60

Традиційно в теорії ймовірностей урна, що містить кульки, часто використовується як метафора для кінцевої популяції.

Припустимо, що урна містить 50 (різних) куль. З урни вибирається зразок з 10 кульок. Знайти кількість зразків можна в кожному з наступних випадків:

Замовлені зразки з заміною
Замовлені зразки без заміни
Невпорядковані зразки без заміни
Невпорядковані зразки з заміною

Відповідь

$97\,656\,250\,000\,000\,000$
$37\,276\,043\,023\,296\,000$
$10\,272\,278\,170$
$62\,828\,356\,305$

Припустимо ще раз, що у нас є популяція$D$ з$m$ (відмінними) об'єктами, але припустимо, що тепер кожен об'єкт є одним з двох типів - тип 1 або тип 0. Такі популяції, як кажуть, дихотомні. Ось кілька конкретних прикладів:

Населення складається з осіб, кожен або чоловічий або жіночий.
Населення складається з виборців, кожен або демократ, або республіканець.
Населення складається з пристроїв, кожен або хороший, або несправний.
Населення складається з кульок, кожен або червоного або зеленого кольору.

Припустимо, що$D$ сукупність має об'єкти$r$ типу 1 і, отже, об'єкти$m - r$ типу 0. Звичайно, ми повинні мати$r \in \{0, 1, \ldots, m\}$. Тепер припустимо, що ми відбираємо вибірку розміру$n$ без заміни у населення. Зауважимо, що дана модель має три параметри: чисельність населення$m$, кількість об'єктів типу 1 у популяції$r$ та розмір вибірки$n$.

Нехай$Y$ позначимо кількість предметів типу 1 в зразку. Тоді

$\#\{Y = k\} = \binom{n}{k} r^{(k)} (m - r)^{(n - k)}$для кожного$k \in \{0, 1, \ldots, n\}$, якщо подія розглядається як підмножина$S$, набір упорядкованих зразків.
$\#\{Y = k\} = \binom{r}{k} \binom{m - r}{n - k}$для кожного$k \in \{0, 1, \ldots, n\}$, якщо подія розглядається як підмножина$T$, набір невпорядкованих зразків.
Вираз в (а) - це$n!$ раз вираз в (b).

Доказ

$\binom{n}{k}$кількість способів вибору координат (у впорядкованому зразку), куди будуть йти об'єкти типу 1,$r^{(k)}$ це кількість способів вибору перестановки об'єктів$k$ типу 1, а$(m - r)^{(n-k)}$ також кількість способів вибору перестановки об'єктів$n - k$ типу 0. Результат випливає з принципу множення.
$\binom{r}{k}$кількість способів вибору бойового призначення об'єктів$k$ типу 1 і$\binom{m - r}{n - k}$ кількість способів вибору комбінації об'єктів$n - k$ типу 0. Результат знову випливає з принципу множення.
Цей результат можна показати алгебраїчно, але комбінаторний аргумент краще. Для кожної комбінації розміру$n$ існують$n!$ перестановки цих об'єктів.

Партія з 50 компонентів складається з 40 хороших компонентів і 10 дефектних компонентів. Відбирається зразок з 5 компонентів, без заміни. Нехай$Y$ позначимо кількість дефектів у вибірці.

Давайте$S$ позначимо набір упорядкованих зразків. Знайти$\#(S)$.
Нехай$T$ позначають набір невпорядкованих зразків. Знайти$\#(T)$.
Як підмножина$T$, знайдіть$\#\{Y = k\}$ для кожного$k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

Відповідь

$254\,251\,200$
$2\,118\,760$
$\#\{Y = 0\} = 658\,008$,$\#\{Y = 1\} = 913\,900$,$\#\{Y = 2\} = 444\,600$,$\#\{Y = 3\} = 93\,600$,$\#\{Y = 4\} = 8\,400$,$\#\{Y = 5\} = 252$

Виконайте моделювання кульки і урни поекспериментуйте 100 разів для значень параметрів в останній вправі:$ m = 50 $,$ r = 10 $,$ n = 5 $. Зверніть увагу на значення випадкової величини$Y$.

Картки

Нагадаємо, що стандартна колода карт може бути змодельована декартовим набором творів,\[D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, j, q, k\} \times \{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}\] де перша координата кодує номінал або вид (туз, 2—10, валет, дама, король) і де друга координата кодує масть (трефи, діаманти, серця, лопати). Іноді ми представляємо карту як рядок, а не впорядковану пару (наприклад,$q \heartsuit$ а не$(q, \heartsuit)$ для королеви сердець).

Більшість карткових ігор припускають вибірку без заміни з колоди$D$, яка грає роль населення. Таким чином, базовий картковий експеримент складається з роздачі$n$ карт зі стандартної колоди без заміни; в цьому особливому контексті зразок карт часто називають рукою. Так само, як і в загальній моделі вибірки, якщо ми записуємо впорядковану руку$\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$$\bs{W} = \{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$, то невпорядкована рука є випадковою величиною (тобто функцією$\bs{X}$). З іншого боку, якщо ми просто запишемо невпорядковану руку$\bs{W}$ в першу чергу, то ми не можемо відновити впорядковану руку. Нарешті, нагадаємо, що$n = 5$ це покерний експеримент і$n = 13$ є мостовим експериментом. Більш детально гра в покер розглядається в розділі про азартні ігри.

Припустимо, що одна карта роздається зі стандартної колоди. Нехай$Q$ позначимо подію, що карта - королева і$H$ подія, що карта - серце. Наведіть кожне з наступних подій у вигляді списку:

$Q$
$H$
$Q \cup H$
$Q \cap H$
$Q \setminus H$

Відповідь

$Q = \{q \clubsuit, q \diamondsuit, q \heartsuit, q \spadesuit\}$
$H = \{1 \heartsuit, 2 \heartsuit, \ldots, 10 \heartsuit, j \heartsuit, q \heartsuit, k \heartsuit\}$
$Q \cup H = \{1 \heartsuit, 2 \heartsuit, \ldots, 10 \heartsuit, j \heartsuit, q \heartsuit, k \heartsuit, q \clubsuit, q \diamondsuit, q \spadesuit\}$
$Q \cap H = \{q \heartsuit\}$
$Q \setminus H = \{q \clubsuit, q \diamondsuit, q \spadesuit\}$

У картковому експерименті встановлюйте$n = 1$. Проведіть експеримент 100 разів і порахуйте кількість разів, коли відбувається кожна подія в попередній вправі.

Припустимо, що дві карти роздаються зі стандартної колоди і послідовність карт записується. Нехай$ S $ позначимо набір результатів, а нехай$Q_i$ позначимо подію, що та карта - ферзь і$H_i$ подія, для якої карта - серце$i \in \{1, 2\}$.$i$$i$ Знайдіть кількість результатів у кожній з наступних подій:

$S$
$H_1$
$H_2$
$H_1 \cap H_2$
$Q_1 \cap H_1$
$Q_1 \cap H_2$
$H_1 \cup H_2$

Відповідь

2652
663
663
156
51
51
1170

Розглянемо загальний картковий експеримент, в якому$n$ карти роздаються зі стандартної колоди, а впорядкована рука$\bs{X}$ записується.

Надайте кардинальність$S$, набір значень впорядкованої руки$ \bs{X} $.
Надайте кардинальність$T$, набір значень невпорядкованої руки$\bs{W}$.
Скільки впорядкованих рук відповідають даній невпорядкованій руці?
Явно обчислити числа в (a) і (b) коли$n = 5$ (покер).
Явно обчислити числа в (a) і (b) коли$n = 13$ (міст).

Відповідь

$\#(S) = 52^{(n)}$
$\#(T) = \binom{52}{n}$
$n!$
$311\,875\,200$,$2\,598\,960$
$3\,954\,242\,643\,911\,239\,680\,000$,$635\,013\,559\,600$

Розглянемо мостовий експеримент роздачі 13 карт з колоди і запису невпорядкованої руки. У найпоширенішій системі підрахунку очок туз коштує 4 бали, король 3 бали, дама 2 бали, а валет - 1 бал. Інші карти коштують 0 очок. $ S $Дозвольте позначити набір результатів$V$ експерименту і значення точки руки.

Знайти набір можливих значень$V$.
Знайдіть кардинальність події$\{V = 0\}$ як підмножини$ S $.

Відповідь

$\{0, 1, \ldots, 37\}$
$\#\{V = 0\} = 2\,310\,789\,600$

У картковому експерименті встановіть$n = 13$ і запустіть експеримент 100 разів. Для кожного пробігу обчислюйте значення кожної випадкової величини$V$ в попередній вправі.

Розглянемо покерний експеримент роздачі 5 карт з колоди. Знайдіть кардинальність кожної з подій нижче, як підмножина безлічі невпорядкованих рук.

$A$: подія, що рука - це фул-хаус (3 карти одного виду і 2 іншого виду).
$B$: подія, що рука має 4 виду (4 карти одного виду і 1 іншого виду).
$C$: якщо всі карти в руці знаходяться в одній масті (рука - флеш або стрит-флеш).

Відповідь

$\#(A) = 3744$
$\#(B) = 624$
$\#(C) = 5148$

Запустіть покерний експеримент 1000 разів. Зверніть увагу, скільки разів відбувалися події$A$$B$, і$C$ в попередньому вправі.

Розглянемо мостовий експеримент роздачі 13 карт зі стандартної колоди. Нехай$ S $ позначають набір невпорядкованих рук,$Y$ кількість сердець в$Z$ руці і кількість ферзів в руці.

Знайдіть кардинальність події$\{Y = y\}$ як підмножину$ S $ для кожного$y \in \{0, 1, \ldots, 13\}$.
Знайдіть кардинальність події$\{Z = z\}$ як підмножину$ S $ для кожного$z \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

Відповідь

$\#(Y = y) = \binom{13}{y} \binom{39}{13 - y}$для$y \in \{0, 1, \ldots, 13\}$
$\#(Z = z) = \binom{4}{z} \binom{48}{4 - z}$для$z \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$

Геометричні моделі

В експериментах, які ми розглядали досі, вибіркові простори були дискретними (так що набір результатів є кінцевим або незліченно нескінченним). У цьому підрозділі ми розглядаємо евклідові вибіркові простори, де множина результатів$S$ є неперервною в тому сенсі, що ми зрозуміємо пізніше. Розглянуті нами експерименти іноді називають геометричними моделями, оскільки вони передбачають вибір точки випадковим чином з евклідової множини.

Спочатку ми розглянемо експеримент з монетами Буффона, який полягає у$r \le \frac{1}{2}$ випадковому киданні монети радіусом на підлогу, покриту квадратними плитками довжини сторони 1. $(X, Y)$Координати центру монети записуються щодо осей через центр квадрата, в який приземляється монета. Експерименти Буффона більш детально вивчені в розділі про геометричні моделі і названі на честь Compte de Buffon

Малюнок$\PageIndex{3}$: Експеримент з монетами Буффона

В експерименті з монетами Буффона давайте$ S $ позначимо набір результатів,$A$ подія, що монета не торкається сторін квадрата, і нехай$Z$ позначимо відстань від центру монети до центру квадрата.

Опишіть$S$ як декартовий продукт.
Опишіть$A$ як підмножини$S$.
Опишіть$A^c$ як підмножини$S$.
Експрес$Z$ як функція на$S$.
Висловіть подію$\{X \lt Y\}$ як підмножини$S$.
Висловіть подію$\left\{Z \leq \frac{1}{2}\right\}$ як підмножини$S$.

Відповідь

$S = \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]^2$
$A = \left[r - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - r\right]^2$
$A^c = \left\{(x, y) \in S: x \lt r - \frac{1}{2} \text{ or } x \gt \frac{1}{2} - r \text{ or } y \lt r - \frac{1}{2} \text{ or } y \gt \frac{1}{2} - r\right\}$
$Z(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$для$(x, y) \in S$
$\{X \lt Y\} = \{(x, y) \in S: x \lt y\}$
$\{Z \lt \frac{1}{2}\} = \left\{(x, y) \in S: x^2 + y^2 \lt \frac{1}{4}\right\}$

Запустіть монетний експеримент Буффона 100 разів с$r = 0.2$. Для кожного запуску зверніть увагу на те, чи$A$ відбувається подія, і обчислити значення випадкової величини$Z$.

Точка$(X, Y)$ вибирається випадковим чином у круговій області радіуса 1 в$\R^2$ центрі на початку координат. Давайте$S$ позначимо сукупність результатів. $A$Позначимо подію, що точка знаходиться в області вписаного квадрата по центру координат, зі сторонами, паралельними осям координат. Нехай$B$ позначимо подію, що точка знаходиться в вписаному квадраті з вершинами$(\pm 1, 0)$,$(0, \pm 1)$.

Опишіть$S$ математично і накидайте набір.
Опишіть$A$ математично і накидайте набір.
Опишіть$B$ математично і накидайте набір.
ескіз$A \cup B$
ескіз$A \cap B$
ескіз$A \cap B^c$

Відповідь

$S = \left\{(x, y): x^2 + y^2 \le 1\right\}$
$A = \left\{(x, y): -\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \le y \le \frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$
$B = \left\{(x, y) \in S: -1 \le \left|x + y\right| \le 1, -1 \le \left|y - x\right| \le 1\right\}$

Надійність

У простій моделі структурної надійності система складається з$n$ компонентів, кожен з яких або працює, або вийшов з ладу. Стан компонента$i$ є індикатором випадкової величини$X_i$, де 1 означає робочий, а 0 означає збій. Таким чином,$\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ є вектором індикатора випадкових величин, який задає стани всіх компонентів, і тому сукупність результатів експерименту є$S = \{0, 1\}^n$. Система в цілому також або працює, або вийшла з ладу, в залежності тільки від станів компонентів і того, як компоненти з'єднані між собою. Таким чином, стан системи також є індикатором випадкової величини і є функцією$ \bs X $. Стан системи (працює або вийшов з ладу) як функція станів компонентів є структурною функцією.

Серійна система працює тоді і тільки тоді, коли кожен компонент працює. Стан системи - це\[U = X_1 X_2 \cdots X_n = \min\left\{X_1, X_2, \ldots, X_n\right\}\]

Паралельна система працює тоді і тільки в тому випадку, якщо працює хоча б один компонент. Стан системи - це\[V = 1 - \left(1 - X_1\right)\left(1 - X_2\right) \cdots \left(1 - X_n\right) = \max\left\{X_1, X_2, \ldots, X_n\right\}\]

Більш загально, $k$поза$n$ системою працює тоді і тільки тоді, коли принаймні$k$ з$n$ компонентів працюють. Зверніть увагу, що паралельна система - це 1 поза$n$ системою, а послідовна система -$n$ поза$n$ системою. $k$Поза$2 k$ системою є система правил більшості.

Стан$k$ виходу з$n$ системи є$ U_{n,k} = \bs 1\left(\sum_{i=1}^n X_i \ge k\right) $. Структурна функція також може бути виражена у вигляді полінома в змінних.

Явно дати стан системи$k$ з 3, як поліноміальну функцію складових станів$(X_1, X_2, X_3)$, для кожного$k \in \{1, 2, 3\}$.

Відповідь

$U_{3,1} = X_1 + X_2 + X_3 - X_1 X_2 - X_1 X_3 - X_2 X_3 + X_1 X_2 X_3$
$U_{3,2} = X_1 X_2 + X_1 X_3 + X_2 X_3 - 2 \, X_1 X_2 X_3$
$U_{3,3} = X_1 X_2 X_3$

У деяких випадках систему можна представити у вигляді графіка або мережі. Ребра представляють компоненти, а вершини - зв'язки між компонентами. Система функціонує тоді і тільки тоді, коли між двома позначеними вершинами є робочий шлях, який ми позначимо$a$ і$b$.

Знайдіть стан мостової мережі Уїтстона, показаний нижче, як функцію станів компонента. Мережа названа на честь Чарльза Уітстоуна.

Відповідь

Малюнок$\PageIndex{4}$: Мережа мостів Уїтстоун

Не кожна функція має$u: \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}$ сенс як структурна функція. Поясніть, чому такі властивості можуть бути бажаними:

$u(0, 0, \ldots, 0) = 0$і$s(1, 1, \ldots, 1) = 1$
$u$є зростаючою функцією, де$\{0, 1\}$ дається звичайне замовлення і$\{0, 1\}^n$ відповідне замовлення товару.
Для кожного$i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ існують$\bs{x}$ і$\bs{y}$ у$\{0, 1\}^n$ всіх координатах яких узгоджуються, крім$x_i = 0$ і$y_i = 1$, і$u(\bs{x}) = 0$ поки$u(\bs{y}) = 1$.

Відповідь

Це означає, що якщо всі компоненти вийшли з ладу, значить, система вийшла з ладу, а якщо всі компоненти працюють, значить, система працює.
Це означає, що якщо той чи інший компонент буде змінений з збійного на робочий, то система також може перейти від збійного до працюючого, але не з робочого в збій. Тобто система може тільки поліпшуватися.
Це означає, що кожен компонент має відношення до системи, тобто існує конфігурація, в якій зміна компонента$i$ з невдалого на робочий змінює систему з невдалої на працюючу.

Щойно обговорювана модель є статичною моделлю. Ми можемо розширити його до динамічної моделі, припускаючи,$i$ що компонент спочатку працює, але має випадковий час до відмови$T_i$, приймаючи значення для кожного$i \in \{1, 2, \ldots, n\}$.$[0, \infty)$ Таким чином, основним результатом експерименту є випадковий вектор часу відмови$(T_1, T_2, \ldots, T_n)$, і тому сукупність результатів є$[0, \infty)^n$.

Розглянемо динамічну модель надійності для системи зі структурною функцією$u$ (дійсну в розумінні попередньої вправи).

Стан компонента$i$ на час$t \ge 0$ є$X_i(t) = \bs{1}\left(T_i \gt t\right)$.
Стан системи на час$t$ є$X(t) = s\left[X_1(t), X_2(t), \ldots, X_n(t)\right]$.
Час виходу системи з ладу є$T = \min\{t \ge 0: X(t) = 0\}$.

Припустимо, що у нас$X$ є два пристрої і що ми записуємо$(X, Y)$, де час відмови пристрою 1 і$Y$ час відмови пристрою 2. Обидві змінні приймають значення в інтервалі$[0, \infty)$, де одиниці знаходяться в сотнях годин. Намалюйте кожну з наступних подій:

Сукупність результатів$S$
$\{X \lt Y\}$
$\{X + Y \gt 2\}$

Відповідь

$ S = [0, \infty)^2 $, Перший квадрант координатної площини.
$ \{X \lt Y\} = \{(x, y) \in S: x \lt y\} $. Це область нижче діагональної лінії$ x = y $.
$ \{X + Y \gt 2\} = \{(x, y) \in S: x + y \gt 2 $. Це область вище (або праворуч) лінії$ x + y = 2 $.

Генетика

Будь ласка, зверніться до обговорення генетики в розділі про випадкові експерименти, якщо вам потрібно переглянути деякі визначення в цьому розділі.

Нагадаємо спочатку, що група крові АВО у людини визначається трьома алелями:$a$,$b$, і$o$. Крім того,$o$ є рецесивними$a$ і$b$ є домінуючими.

Припустимо, що людина вибирається навмання і реєструється його генотип. Надайте кожному з наступних у вигляді списку.

Сукупність результатів S
Подія, що людина є типом$A$
Подія, що людина є типом$B$
Подія, що людина є типом$AB$
Подія, що людина є типом$O$

Відповідь

$S = \{aa, ab, ao, bb, bo, oo\}$
$A = \{aa, ao\}$
$B = \{bb, bo\}$
$AB = \{ab\}$
$O = \{oo\}$

Припустимо, далі, що колір стручка у певного виду рослини гороху визначається геном з двома алелями:$g$ для зеленого і$y$ для жовтого, і що$g$ є домінуючим.

Припустимо, що зібрані$n$ (виразні) рослини гороху і реєструється послідовність генотипів забарвлення стручків.

Дайте набір результатів$S$ у декартовій формі продукту і знайдіть$\#(S)$.
Нехай$N$ позначимо кількість рослин зеленими стручками. Знайти$\#(N = k)$ (як підмножина$ S $) для кожного$k \in \{0, 1, \ldots, n\}$.

Відповідь

$S = \{gg, gy, yy\}^n $,$\#(S) = 3^n$
$\binom{n}{k} 2^k$

Далі розглянемо спадковий розлад, пов'язаний із статтю у людей (наприклад, дальтонізм або гемофілія). Нехай$h$ позначають здоровий алель і$d$ дефектний алель для гена, пов'язаного з розладом. Нагадаємо, що$d$ є рецесивним для жінок.

Припустимо, що у$n$ жінок проводиться вибірка і реєструється послідовність генотипів.

Дайте набір результатів$S$ у декартовій формі продукту і знайдіть$\#(S)$.
$N$Позначимо кількість жінок, які повністю здорові (генотип$hh$). Знайти$\#(N = k)$ (як підмножина$ S $) для кожного$k \in \{0, 1, \ldots, n\}$.

Відповідь

$S = \{hh, hd, dd\}^n$,$\#(S) = 3^n$
$\binom{n}{k} 2^{n-k}$

Радіоактивні викиди

Викид елементарних частинок із зразка радіоактивного матеріалу відбувається випадковим чином. Припустимо, що час випромінювання$i$ ї частинки є випадковою величиною, що$T_i$ приймає значення в$(0, \infty)$. Якщо ми виміряємо ці часи прибуття, то основний вектор результату є$(T_1, T_2, \ldots)$ і таким чином набір результатів є$S = \{(t_1, t_2, \ldots): 0 \lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots\}$.

Виконати моделювання гамма-експерименту в однокроковому режимі для різних значень параметрів. Дотримуйтесь часу прибуття.

Тепер$N_t$ позначимо кількість викидів в інтервалі$(0, t]$. Тоді

$N_t = \max\left\{n \in \N_+: T_n \le t\right\}$.
$N_t \ge n$якщо і тільки якщо$T_n \le t$.

Виконати моделювання експерименту Пуассона в однокроковому режимі для різних значень параметрів. Спостерігайте за заїздами в зазначений часовий проміжок.

Статистичні експерименти

У базовому експерименті з цикадою фіксується цикада в районі Середнього Теннессі та реєструються такі вимірювання: маса тіла (у грамах), довжина крила, ширина крила та довжина тіла (у міліметрах), тип виду та стать. Набір даних цикади дає результати 104 повторень цього експерименту.

Визначте набір результатів$ S $ для базового експерименту.
Нехай$F$ буде подія, що цикада жіноча. Опишіть$F$ як підмножини$ S $. Визначте, чи$F$ зустрічається для кожної цикади в наборі даних.
Нехай$V$ позначимо відношення довжини крила до ширини крила. Обчислити$V$ для кожної цикади.
Дайте набір результатів для складного експерименту, який складається з 104 повторень базового експерименту.

Відповідь

Для роду нехай 0 позначають самку і 1 самець, для видів нехай 1 позначають тредекулу, 2 тредецим, і 3 тредекасіні.

$S = (0, \infty)^4 \times \{0, 1\} \times \{1, 2, 3\}$
$F = \{(x_1, x_2, x_3, x_4, y, z) \in S: y = 0\}$
$S^{104}$

В базовому експерименті M&M купується мішок M&Ms (зазначеного розміру) і реєструються такі виміри: кількість червоних, зелених, синіх, жовтих, помаранчевих і коричневих цукерок, а також вага нетто (в грамах). Набір даних M&M дає результати 30 повторень цього експерименту.

Визначте набір результатів$ S $ для базового експерименту.
Нехай$A$ буде подія, що в пакетику міститься не менше 57 цукерок. Опишіть$A$ як підмножини$ S $.
Визначте, чи$A$ зустрічається для кожного мішка в наборі даних.
Нехай$N$ позначимо загальну кількість цукерок. Обчислити$N$ для кожного мішка в наборі даних.
Дайте набір результатів для складного експерименту, який складається з 30 повторень базового експерименту.

Відповідь

$S = \N^6 \times (0, \infty)$
$A = \{(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6, w) \in S: n_1 + n_2 + \cdots + n_6 \gt 57\}$
$S^{30}$