2.1: Випадкові експерименти

\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)

Експерименти

Теорія ймовірностей базується на парадигмі випадкового експерименту; тобто експерименту, результат якого неможливо передбачити з упевненістю, перш ніж експеримент буде запущений. У класичній або частотній теорії ймовірностей ми також припускаємо, що експеримент може повторюватися нескінченно довго за фактично тих же умов. Повторення можуть бути в часі (як коли ми кидаємо одну монету знову і знову) або в просторі (як коли ми кидаємо купу подібних монет відразу). Припущення повторюваності важливо, оскільки класична теорія стосується довгострокової поведінки під час повторення експерименту. Навпаки, суб'єктивна або теорія ймовірності, заснована на переконаннях, стосується заходів переконання про те, що станеться, коли ми проведемо експеримент. З цієї точки зору, повторюваність є менш важливим припущенням. У будь-якому випадку повний опис випадкового експерименту вимагає ретельного визначення того, яка саме інформація про експеримент записується, тобто ретельного визначення того, що являє собою результат.

Термін параметр відноситься до невипадкової величини в моделі, яка після вибору залишається постійною. Багато моделей ймовірності випадкових експериментів мають один або кілька параметрів, які можуть бути скориговані відповідно до фізичного експерименту, який моделюється.

Суб'єкти ймовірності і статистики мають зворотну залежність свого роду. Ймовірно, почнемо з повністю заданої математичної моделі випадкового експерименту. Наша мета - виконувати різні обчислення, які допомагають нам зрозуміти випадковий експеримент, допомагають нам передбачити, що станеться, коли ми проведемо експеримент. У статистиці, навпаки, ми починаємо з неповністю заданої математичної моделі (один або кілька параметрів можуть бути невідомими, наприклад). Ми проводимо експеримент для збору даних, а потім використовуємо дані, щоб зробити висновки про невідомі фактори в математичній моделі.

Складні експерименти

Припустимо, що у нас є\(n\) експерименти\((E_1, E_2, \ldots, E_n)\). Ми можемо сформувати новий, складний експеримент, виконуючи\(n\) експерименти послідовно,\(E_1\) спочатку, а потім\(E_2\) і так далі, незалежно один від одного. Термін незалежний інтуїтивно означає, що результат одного експерименту не має ніякого впливу ні на один з інших експериментів. Ми зробимо термін математично точним пізніше.

Зокрема, припустимо, що у нас є базовий експеримент. Фіксоване число (або навіть нескінченна кількість) незалежних реплікацій базового експерименту - це новий, складний експеримент. Багато експериментів виявляються складними експериментами і, крім того, як зазначалося вище, (класична) теорія ймовірностей сама заснована на ідеї тиражування експерименту.

Зокрема, припустимо, що у нас є простий експеримент з двома результатами. Незалежні реплікації цього експерименту називають випробуваннями Бернуллі, названими на честь Якова Бернуллі. Це одна з найпростіших, але найважливіших моделей по ймовірності. Більш загально, припустимо, що у нас є простий експеримент з\(k\) можливими результатами. Незалежні реплікації цього експерименту називаються багатономіальними випробуваннями.

Іноді експеримент відбувається на чітко визначених стадіях, але залежним чином, в тому сенсі, що на результат даного етапу впливають результати попередніх етапів.

Експерименти вибірки

У більшості статистичних досліджень ми починаємо з популяції об'єктів, що цікавлять. Об'єктами можуть бути люди, мікросхеми пам'яті або гектари кукурудзи, наприклад. Зазвичай є одне або кілька числових вимірювань, що цікавлять нас - зріст і вага людини, термін служби мікросхеми пам'яті, кількість дощу, кількість добрив і урожайність акра кукурудзи.

Хоча наш інтерес викликає вся сукупність об'єктів, цей набір зазвичай занадто великий і занадто аморфний для вивчення. Замість цього ми збираємо випадкову вибірку об'єктів з населення і записуємо виміри, що цікавлять для кожного об'єкта вибірки.

Існує два основних типи відбору проб. Якщо ми проводимо вибірку з заміною, кожен предмет замінюється в населенні до наступного розіграшу; таким чином, один об'єкт може зустрічатися кілька разів у вибірці. Якщо проводити вибірку без заміни, об'єкти не замінюються в населенні. У розділі про моделі скінченної вибірки досліджується ряд моделей, заснованих на вибірці з кінцевої популяції.

Вибірка з заміною може розглядатися як складний експеримент, заснований на незалежних реплікаціях простого експерименту з малювання одного об'єкта з популяції і запису вимірювань, що цікавлять. І навпаки, складний експеримент, який складається з\(n\) незалежних реплікацій простого експерименту, зазвичай можна розглядати як експеримент з вибіркою зразків. З іншого боку, вибірка без заміни - це експеримент, який складається з залежних етапів, оскільки популяція змінюється з кожним розіграшем.

Приклади і застосування

Теорія ймовірностей часто ілюструється за допомогою простих пристроїв з азартних ігор: монети, кістки, карти, блешні, урни з кульками і так далі. Приклади, засновані на таких пристроях, є педагогічно цінними через свою простоту і концептуальну ясність. З іншого боку, було б жахливим сором, якби ви думали, що ймовірність полягає лише в азартних іграх та азартних іграх. Швидше, спробуйте розглядати проблеми, пов'язані з монетами, гральними кістками тощо, як метафори для більш складних та реалістичних проблем.

Монети та кубики

З точки зору ймовірності, важливим фактом про монету є просто те, що при киданні вона приземляється на тій чи іншій стороні. Монети в західних суспільствах, що датуються давниною, зазвичай мають голову видатної людини, вигравірувану з одного боку, а з іншого - щось менш важливе. У незахідних суспільствах монети часто не мали голови з обох боків, але мали чіткі гравюри з двох сторін, одна, як правило, важливіша за іншу. Тим не менш, орел і решка - це всюдисущі терміни, що використовуються в теорії ймовірностей, щоб відрізнити передню або аверсну сторону монети від задньої або зворотної сторони монети.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Аверс і зворотна сторони римської монети, близько 241 н.е., з Вікіпедії

Розглянемо монетний експеримент кидання монети\(n\) раз і запису рахунку (1 для голів або 0 для хвостів) за кожен кидок.

1. Визначте параметр експерименту.
2. Інтерпретувати експеримент як складний експеримент.
3. Інтерпретуйте експеримент як експеримент з вибіркою.
4. Інтерпретувати експеримент як випробування\(n\) Бернуллі.

Відповідь

1. Кількість монет\(n\) - параметр.
2. Експеримент складається з\(n\) самостійних тиражів простого експерименту кидання монети один раз.
3. Експеримент можна розглядати як вибір вибірки розміру\( n \) з заміною з популяції\(\{0, 1\}\).
4. Є два результати на кожному кидку, і кидки незалежні.

У моделюванні монети експеримент, безліч\(n = 5\). Виконайте симуляцію 100 разів і спостерігайте за результатами.

Кубики - це рандомізуючі пристрої, які, як і монети, датуються давниною і бувають різних розмірів і форм. Як правило, грані плашки мають вигравірувані на них цифри або інші символи. Знову ж таки, важливим фактом є те, що при киданні плашки вибирається унікальна грань (зазвичай особа вгору, але іноді і вниз). Докладніше про кістки див. Вступний розділ у розділі про азартні ігри.

Розгляньте експеримент з кубиками кидання\(k\) -односторонньої матриці (з гранями під номером 1 до\(k\)),\(n\) раз та записуючи бали за кожен кидок.

1. Визначте параметри експерименту.
2. Інтерпретувати експеримент як складний експеримент.
3. Інтерпретуйте експеримент як експеримент з вибіркою.
4. Визначте експеримент\(n\) як багатономіальні випробування.

Відповідь

1. Параметри - це кількість кубиків\(n\) і кількість граней\(k\).
2. Експеримент складається з\(n\) самостійних тиражів простого експерименту кидання однієї плашки.
3. Експеримент можна розглядати як вибір вибірки розміру\( n \) з заміщенням форми популяції\(\{1, 2, \ldots, k\}\).
4. Однакові\( k \) результати трапляються для кожної загибелі, кидки є незалежними.

Насправді більшість кубиків - це платонічні тверді речовини (названі на ім'я Платона, звичайно) з 4, 6, 8, 12 або 20 сторонами. Шестигранна матриця - це стандартна матриця.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Блакитні платонічні кістки

У симуляції кубиків експеримент, безліч\(n = 5\). Виконайте симуляцію 100 разів і спостерігайте за результатами.

В експерименті з монетами, стандартний штамп кидається, а потім монета кидається кількість разів, показаних на матриці. Записується послідовність балів монет (1 для голів і 0 для хвостів). Інтерпретувати експеримент як складний експеримент.

Відповідь

Перший етап складається з прокатки матриці, а другий етап складається з підкидання монети. Етапи залежні, оскільки кількість кидків залежить від результату кидка штампу.

Зауважте, що цей експеримент можна отримати шляхом рандомізації параметра\(n\) в базовому експерименті з монетами в (1).

Запустіть моделювання експерименту з монетами 100 разів і спостерігайте за результатами.

В експерименті з монетами підкидається монета. Якщо монета приземляється головами, кидається червона плашка, а якщо монета приземляється хвостами, кидається зелена плашка. Оцінка монет (1 для голів і 0 для хвостів) і оцінка померти записуються. Інтерпретувати експеримент як складний експеримент.

Відповідь

Перший етап складається з підкидання монети, а другий етап складається з прокатки матриці. Етапи залежні, оскільки різні кістки (які можуть вести себе по-різному) кидаються, залежно від результату кидання монети.

Запустіть моделювання експерименту з монетно-штампу 100 разів і спостерігайте за результатами.

Картки

Гральні карти, як монети і кістки, датуються давниною. З точки зору ймовірності важливим фактом є те, що гральна карта кодує ряд властивостей або атрибутів на передній частині карти, які приховані на зворотному боці карти. (Пізніше в цьому розділі ці властивості стануть випадковими величинами.) Зокрема, стандартна колода карт може бути змодельована декартовим набором добутків,\[ D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, j, q, k \} \times \{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit \} \] де перша координата кодує номінал або вид (туз, 2—10, валет, дама, король) і де друга координата кодує масть (трефи, діаманти, серця, лопати). Іноді ми представляємо карту як рядок, а не впорядковану пару (наприклад,\(q \heartsuit\) а не\((q, \heartsuit)\) для королеви сердець). Деякі інші властивості, отримані від двох основних, - це колір (алмази та серця червоні, трефи та піки чорні), обличчя (валети, королеви та королі мають обличчя, інші карти - ні) та порядок масті (від найменшого до вищого рангу:\( (\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit) \)).

Розглянемо картковий експеримент, який складається з\(n\) роздачі карт зі стандартної колоди (без заміни).

1. Визначте параметр експерименту.
2. Інтерпретувати експеримент як складний експеримент.
3. Інтерпретуйте експеримент як експеримент з вибіркою.

Відповідь

1. Параметр є\( n \), кількість розданих карт.
2. На кожному етапі ми витягуємо карту з колоди, але колода змінюється від одного розіграшу до іншого, тому етапи залежні.
3. Експеримент полягає у відборі вибірки розміру\( n \) з популяції\(D\), без заміни.

У моделюванні карткового експерименту, безліч\(n = 5\). Виконайте симуляцію 100 разів і спостерігайте за результатами.

Особливий випадок\(n = 5\) - експеримент з покеру, а\(n = 13\) особливий випадок - експеримент з мостом.

Відкрийте кожне з наступних, щоб побачити зображення карткової гри в деяких відомих картині.

1. Обман з тузом клубів Жоржа де ла Тур
2. Карти Шарпи Мікеланджело Карраваджо
3. Карткові гравці Поля Сезанна
4. Його станція і чотири тузи CM Кулідж
5. Ватерлоо від CM Кулідж

Моделі урн

Моделі урн часто використовуються, ймовірно, як прості метафори для вибірки з кінцевої популяції.

Урна містить\(m\) різні кульки, позначені від 1 до\(m\). Експеримент складається з вибору\(n\) кульок з урни, без заміни, і запису послідовності номерів куль.

1. Визначте параметри експерименту.
2. Інтерпретувати експеримент як складний експеримент.
3. Інтерпретуйте експеримент як експеримент з вибіркою.

Відповідь

1. Параметри - це кількість кульок\(m\) і розмір вибірки\(n\).
2. На кожному етапі малюємо кульку з урни, але вміст урни змінюється від одного розіграшу до іншого, тому етапи залежні
3. Експеримент полягає у відборі зразка розміру\( n \) з кульок в урні (населення), без заміни.

Розглянемо базову модель урни попередньої вправи. Припустимо, що\(r\) з\(m\) кульок червоні, а решта\(m - r\) кульки зелені. Визначте додатковий параметр моделі. Цей експеримент є метафорою для вибірки із загальної дихотомічної популяції

Відповідь

Параметри - це чисельність населення\(m\), розмір\(n\) вибірки та кількість червоних кульок\(r\).

У моделюванні урни експериментують, встановлюють\(m = 100\),\(r = 40\), і\(n = 25\). Проведіть експеримент 100 разів і спостерігайте за результатами.

Урна спочатку містить\(m\)\(r\) кульки;\(m - r\) червоні та зелені. З урни вибирається кулька і знімається, а потім замінюється\(k\) кульками такого ж кольору. Процес повторюється. Це відоме як модель урни Полі, названа на честь Джорджа Полі.

1. Визначте параметри експерименту.
2. Інтерпретувати випадок\(k = 0\) як експеримент з вибіркою.
3. Інтерпретувати випадок\(k = 1\) як експеримент з вибіркою.

Відповідь

1. Параметри - це чисельність населення\(m\), початкова кількість червоних\(r\) куль та кількість нових доданих куль\(k\).
2. Коли\(k = 0\), кожен витягнутий куля видаляється і нові кульки не додаються, тому експеримент полягає у виборі зразка розміру\( n \) з урни, без заміни.
3. Коли\(k = 1\), кожен намальований куля замінюється іншим кулькою того ж кольору. Так принаймні з точки зору кольорів кульок, експеримент рівнозначний вибору зразка розміру\( n \) з урни, з заміною.

Відкрийте образ картини «Алегорія Фортуни» Доссо Доссі. Імовірно молода людина вибрала лотерейні квитки з урни.

Експеримент з монетами Буффона

Монетний експеримент Буффона складається з кидання монети радіусом\(r \leq \frac{1}{2} \) на підлогу, покриту квадратними плитками довжиною сторони 1. Координати центру монети записуються, щодо осей через центр квадрата, паралельних сторонам. Експеримент названий на честь графа де Буффона.

1. Визначте параметр експерименту
2. Інтерпретувати експеримент як складний експеримент.
3. Інтерпретувати експеримент як експеримент вибірки.

Відповідь

1. Параметр - радіус монети\(r\).
2. Експеримент можна розглядати як вибір координат центру монети незалежно один від одного.
3. Експеримент еквівалентний вибору вибірки розміру 2 з популяції\(\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]\), з заміною.

У симуляції монетного експерименту Буффона, безліч\(r = 0.1\). Проведіть експеримент 100 разів і спостерігайте за результатами.

Надійність

У звичайній моделі конструктивної надійності система складається з\(n\) компонентів, кожен з яких або працює, або вийшов з ладу. Стани компонентів невизначені, а отже, визначають випадковий експеримент. Система в цілому також або працює, або вийшла з ладу, в залежності від станів компонентів і способу з'єднання компонентів. Наприклад, послідовна система працює тоді і тільки тоді, коли кожен компонент працює, тоді як паралельна система працює тоді і лише тоді, коли працює хоча б один компонент. Більш загально, \(k\)поза\(n\) системою працює, якщо принаймні\(k\) компоненти працюють.

Розглянемо\(k\) вийшла з\(n\) надійності модель.

1. Визначте два параметри.
2. Яке значення\(k\) дає система серії?
3. Яке значення\(k\) дає паралельна система?

Відповідь

1. Параметрами є\(k\) і\(n\)
2. \(k = n\)дає серійну систему.
3. \(k = 1\)дає паралельну систему.

Модель надійності вище є статичною моделлю. Його можна розширити до динамічної моделі, припускаючи, що кожен компонент спочатку працює, але має випадковий час до відмови. Система в цілому також матиме випадковий час до відмови, який буде залежати від часу відмови компонента та структури системи.

Генетика

При звичайному статевому розмноженні генетичний матеріал дитини - це випадкове поєднання генетичного матеріалу батьків. Таким чином, народження дитини - це випадковий експеримент щодо таких результатів, як колір очей, тип волосся та багато інших фізичних рис. Нас часто особливо цікавить випадкова передача ознак і випадкова передача генетичних порушень.

Для прикладу розглянемо надмірно спрощену модель успадкованої ознаки, яка має два можливих стану (фенотипи), скажімо, рослина гороху, стручки якого або зелені, або жовті. Термін алель відноситься до альтернативних форм певного гена, тому ми припускаємо, що існує ген, який визначає колір стручка, з двома алелями:\(g\) для зеленого та\(y\) жовтого. Горохова рослина має два алелі для ознаки (по одному від кожного з батьків), тому можливі генотипи

• \(gg\), алелі для зелених стручків від кожного з батьків.
• \(gy\), алель для зелених стручків від одного з батьків і алель для жовтих стручків від іншого (ми зазвичай не можемо спостерігати, який батько сприяв, який аллель).
• \(yy\), алелі для жовтих стручків від кожного з батьків.

Генотипи\(gg\) і\(yy\) називаються гомозиготними, оскільки два алелі однакові, тоді як генотип\(gy\) називається гетерозиготним, оскільки два алелі різні. Як правило, один з алелів успадкованої ознаки є домінуючим, а інший рецесивним. Так, наприклад, якщо\(g\) є домінуючим алелем для кольору стручка, то рослина з генотипом\(gg\) або\(gy\) має зелені стручки, тоді як рослина з генотипом\(yy\) має жовті стручки. Гени передаються від батьків до дитини випадковим чином, тому кожна нова рослина - це випадковий експеримент щодо кольору стручка.

Стручковий колір в гороху був фактично одним з перших прикладів успадкованої ознаки, вивченої Грегором Менделем, який вважається батьком сучасної генетики. Мендель вивчав також забарвлення квіток (жовтий або фіолетовий), довжину стебел (короткі або довгі) і текстуру насіння (округлі або зморшкуваті).

Для іншого прикладу група \(ABO\)крові у людини контролюється трьома алелями:\(a\),\(b\), і\(o\). Таким чином, можливими генотипами є\(aa\)\(ab\),\(ao\),\(bb\),\(bo\) і\(oo\). Алелі\(a\) і\(b\) є домінантними і\(o\) є рецесивними. Таким чином, існує чотири можливі групи крові (фенотипи):

• Тип\(A\): генотип\(aa\) або\(ao\)
• Тип\(B\): генотип\(bb\) або\(bo\)
• Тип\(AB\): генотип\(ab\)
• тип\(O\): генотип\(oo\)

Звичайно, кров може бути набрана набагато більш великими способами, ніж проста\(ABO\) типізація. Резус-фактор (позитивний або негативний) - найвідоміший приклад.

Для нашого третього прикладу розглянемо спадковий розлад, пов'язаний із статтю у людини. Це розлад через дефект на Х-хромосомі (одна з двох хромосом, що визначають стать). Припустимо, що\(h\) позначає здоровий алель і\(d\) дефектний аллель для гена, пов'язаного з розладом. Жінки мають дві Х-хромосоми, і, як правило,\(d\) є рецесивними. Таким чином, жінка з генотипом\(hh\) є цілком нормальною щодо стану; жінка з генотипом\(hd\) не має розладу, але є носієм, оскільки вона може передати дефектний алель своїм дітям; а жінка з генотипом\(dd\) має розлад. Чоловік має тільки одну Х-хромосому (його інша статева хромосома, Y-хромосома, зазвичай не грає ніякої ролі в розладі). Чоловік з генотипом\(h\) нормальний, а людина з генотипом\(d\) має розлад. Прикладами пов'язаних із сексом спадкових розладів є дихроматизм, найпоширеніша форма дальтонізму та гемофілія, розлад кровотечі. Знову ж таки, гени передаються від батьків до дитини випадковим чином, тому народження дитини - це випадковий експеримент з точки зору розладу.

Точкові процеси

Існує ряд важливих процесів, які генерують випадкові точки в часі. Часто випадкові точки іменуються як прибуття. Ось кілька конкретних прикладів:

• раз, коли шматок радіоактивного матеріалу випромінює елементарні частинки
• раз, коли клієнти приходять в магазин
• раз, коли запити надходять на веб-сервер
• час відмови пристрою

Щоб формалізувати експеримент, ми можемо записати кількість прибуття протягом певного інтервалу часу, або ми можемо записати час послідовних прибуття.

Є й інші процеси, які виробляють випадкові точки в просторі. Наприклад,

• недоліки в шматку листового металу
• помилки в рядку символів (в комп'ютерній програмі, наприклад)
• родзинки в кексі
• помилки на сторінці
• зірки в області космосу

Знову ж таки, щоб формалізувати експеримент, ми могли б записати кількість точок в даній області простору.

Статистичні експерименти

У 1879 році Альберт Майкельсон побудував експеримент з вимірювання швидкості світла за допомогою інтерферометра. Набір даних про швидкість світла містить результати 100 повторень експерименту Майкельсона. Вивчіть набір даних і поясніть, загалом, мінливість даних.

Відповідь

Мінливість обумовлена вимірюванням та іншими експериментальними похибками поза контролем Майкельсона.

У 1998 році двоє студентів Університету Алабами в Хантсвіллі розробили наступний експеримент: придбати мішок M & Ms (зазначеного рекламованого розміру) і записати підрахунки для червоних, зелених, синіх, помаранчевих і жовтих цукерок, а також вага нетто (в грамах). Вивчіть дані M&M. встановити і пояснити, в загальному вигляді, мінливість даних.

Відповідь

Мінливість ваги обумовлена похибкою вимірювання з боку учнів та виробничими помилками з боку компанії. Мінливість кількості кольорів менш чітка і може бути обумовлена цілеспрямованою випадковістю з боку компанії.

У 1999 році два дослідники з Університету Белмонт розробили наступний експеримент: захопити цикаду в районі Середнього Теннессі та записати масу тіла (у грамах), довжину крила, ширину крила та довжину тіла (у міліметрах), стать та тип виду. Набір даних цикади містить результати 104 повторень цього експерименту. Дослідіть дані цикади та поясніть загалом мінливість даних.

Відповідь

Мінливість вимірювань тіла обумовлена відмінностями в трьох видах, всілякими екологічними факторами та помилками вимірювань дослідниками.

6 червня 1761 року Джеймс Шорт зробив 53 виміри паралакса сонця, заснованих на транзиті Венери. Дослідіть Короткий набір даних та поясніть загалом мінливість даних.

Відповідь

Мінливість обумовлена вимірюванням та іншими експериментальними похибками поза контролем Шорта.

У 1954 році було проведено два масових польових випробування в спробі визначити ефективність нової вакцини, розробленої Йонасом Салком для профілактики поліомієліту. В обох випробуваннях групі лікування дітей давали вакцину, тоді як контрольна група дітей не була. Виміряли захворюваність на поліомієліт в кожній групі. Дослідіть набір даних випробувань поліомієліту та поясніть загалом базовий випадковий експеримент.

Відповідь

Основний випадковий експеримент полягає в тому, щоб спостерігати, чи відповідає дана дитина в групі лікування або контрольній групі з поліомієлітом протягом певного періоду часу. Імовірно, нижча частота поліомієліту в групі лікування порівняно з контрольною групою буде свідченням того, що вакцина була ефективною.

Щороку з 1969 по 1972 рік в США проводилася лотерея, щоб визначити, хто буде призваний на військову службу. По суті, лотерея була моделлю кулі та урни і стала відомою, оскільки багато хто вважав, що процес був недостатньо випадковим. Дослідіть набір даних лотереї у В'єтнамі та спекулюйте про те, як можна судити про ступінь випадковості.

Відповідь

Це складна проблема, але, мабуть, в досить випадковій лотереї не можна було б очікувати побачити дати в тому ж місяці, згруповані занадто тісно один до одного. Отже, спостереження за такою кластеризацією було б свідченням того, що лотерея не була випадковою.

Детерміновані та ймовірнісні моделі

Можна стверджувати, що деякі з розглянутих вище прикладів за своєю суттю є детермінованими. У киданні монети, наприклад, якщо ми знаємо початкові умови (за участю положення, швидкість, обертання тощо), сили, що діють на монету (гравітація, опір повітря тощо), і склад монети (форма, щільність маси, центр маси і т.д.), то закони фізики повинні дозволити нам точно передбачити, як монета приземлиться. Це вірно в технічному, теоретичному сенсі, але помилково в цілком реальному сенсі. Монети, кістки та багато більш складних і важливих систем хаотичні в тому сенсі, що цікавлять результати залежать дуже чутливим чином від початкових умов та інших параметрів. У таких ситуаціях цілком може бути неможливо коли-небудь знати початкові умови і сили досить точно використовувати детерміновані методи.

Наприклад, в експерименті з монетами, навіть якщо ми позбавимо більшу частину складності реального світу, ми все одно залишаємося з по суті випадковим експериментом. Джозеф Келлер у своїй статті «Імовірність голів» детерміновано проаналізував підкидання монети під низкою ідеальних припущень:

1. Монета являє собою ідеальне коло і має незначну товщину
2. Центром ваги монети є геометричний центр.
3. Монета спочатку головами вгору і дається початкова швидкість вгору\(u\) і кутова швидкість\(\omega\).
4. У польоті монета обертається навколо горизонтальної осі по діаметру монети.
5. У польоті монета управляється тільки силою тяжіння. Всі інші можливі сили (опір повітря або вітер, наприклад) нехтуються.
6. Монета не відскакує і не котиться після посадки (як це може бути, якщо вона приземляється в піску або бруду).

Звичайно, мало хто з цих ідеальних припущень справедливі для реальних монет, кинутих людьми. Нехай\(t = u / g\) де\(g\) - прискорення сили тяжіння (у відповідних одиницях). Зверніть увагу, що\(t\) просто має одиниці часу (у секундах) і, отже, не залежить від того, як вимірюється відстань. Масштабований параметр\(t\) фактично представляє час, необхідний для досягнення монети своєї максимальної висоти.

Келлер показав, що області простору параметрів,\((t, \omega)\) де монета приземляється або головою вгору, або хвостами вгору, розділені кривими\[ \omega = \left( 2n \pm \frac{1}{2} \right) \frac{\pi}{2t}, \quad n \in \N \]. Параметр\(n\) - це загальна кількість оборотів в кидку. Графік деяких з цих кривих наведено нижче. Найбільший регіон, в лівому нижньому кутку, відповідає тому випадку, коли монета не завершить навіть одне обертання, і тому, звичайно, приземляється головами вгору, так само, як і почалася. Наступна область відповідає одному обертанню, при цьому монета приземляється хвостами вгору. Взагалі регіони чергуються між головами і хвостами.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Регіони голів і хвостів

Важливим моментом, звичайно, є те\(\omega\), що навіть для помірних значень\(t\) і криві дуже близькі один до одного, так що невелика зміна початкових умов може легко змістити результат від голів до хвостів вгору або навпаки. Як зазначається в статті Келлера, імовірніст і статистик Персі Діаконіс експериментально визначив, що типовими значеннями початкових умов для реального кидання монети є\(t = \frac{1}{4}\) секунди і\(\omega = 76 \pi \approx 238.6\) радіани в секунду. Ці значення відповідають\(n = 19\) оборотам в метанні. Звичайно, ця точка параметра знаходиться далеко за межами області, показаної на нашому графіку, в регіоні, де криві вишукано близькі один до одного.