1.12: Спеціальні набори структур

\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)

Існує кілька інших типів алгебраїчних множинних структур, які слабкіші, ніж\( \sigma \) -алгебри. Вони не особливо важливі самі по собі, але важливі для побудови\( \sigma \) -алгебр та заходів на цих\( \sigma \) -алгебрах. Ви можете пропустити цей розділ, якщо вас не цікавлять питання існування та унікальності позитивних заходів.

Основна теорія

Визначення

У цьому розділі ми припускаємо, що\( S \) це множина і\( \mathscr{S} \) є непорожньою колекцією підмножин\( S \). Ось основні визначення, які нам знадобляться.

\( \mathscr{S} \)це \( \pi \)-система if\( \mathscr{S} \) замкнута під кінцевими перетинами: якщо\( A, \, B \in \mathscr{S} \) тоді\( A \cap B \in \mathscr{S} \).

Закриття під перетином - це явно дуже проста властивість, але\( \pi \) системи виявляються досить корисними, щоб заслужити ім'я.

\( \mathscr{S} \)це \( \lambda \)-система, якщо вона закрита під доповненнями та підрахунковими неспільними союзами.

1. Якщо\( A \in \mathscr{S} \) тоді\( A^c \in \mathscr{S} \).
2. Якщо\( A_i \in \mathscr{S}\) for\( i \) в обчислювальному\( I \) індексі встановити і\( A_i \cap A_j = \emptyset \) для\( i \ne j \) потім\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr{S} \).

\( \mathscr{S} \)це напівалгебра, якщо вона замкнута під перетином і якщо доповнення можуть бути записані як кінцеві, неспільні союзи:

1. Якщо\( A, \, B \in \mathscr{S} \) тоді\( A \cap B \in \mathscr{S} \).
2. Якщо\( A \in \mathscr{S} \) тоді існує скінченна, неспільна колекція\( \{B_i: i \in I\} \subseteq \mathscr{S} \) така, що\( A^c = \bigcup_{i \in I} B_i \).

Для нашої остаточної структури, нагадаємо, що\( (A_1, A_2, \ldots) \) послідовність підмножин\( S \) збільшується, якщо\( A_n \subseteq A_{n+1} \) для всіх\( n \in \N_+ \). Послідовність зменшується, якщо\( A_{n+1} \subseteq A_n \) для всіх\( n \in \N_+ \). Звичайно, це стандартні значення збільшення і зменшення щодо звичайного порядку\( \le \) на\( \N_+ \) і підмножини часткового порядку\( \subseteq \) на\( \mathscr{P}(S) \).

\( \mathscr{S} \)є монотонним класом, якщо він закритий при зростаючих об'єднаннях і спадних перехрестях:

1. Якщо\( (A_1, A_2, \ldots) \) є зростаючою послідовністю множин в\( \mathscr{S} \) то\( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathscr{S} \).
2. Якщо\( (A_1, A_2, \ldots) \) є спадною послідовністю множин в\( \mathscr{S} \) то\( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \in \mathscr{S} \).

Якщо\( (A_1, A_2, \ldots) \) збільшується послідовність множин, то ми іноді пишемо\( \bigcup_{n=1}^\infty A_n = \lim_{n \to \infty} A_n \). Аналогічно, якщо\( (A_1, A_2 \ldots) \) є спадною послідовністю множин ми іноді пишемо\( \bigcap_{n=1}^\infty A_n = \lim_{n \to \infty} A_n \). Причина цього позначення стане зрозумілою в розділі про збіжність у розділі про ймовірнісні простори. За допомогою цього позначення монотонний клас\( \mathscr{S} \) визначається умовою, що if\( (A_1, A_2, \ldots) \) є зростаючою або спадною послідовністю множин в\( \mathscr{S} \) то\( \lim_{n \to \infty} A_n \in \mathscr{S} \).

Основні теореми

Наша найважливіша структура набору,\( \sigma \) -алгебра, має всі властивості у визначеннях вище.

Якщо\( \mathscr{S} \) a\( \sigma \) -алгебра, то\( \mathscr{S} \) це\( \pi \) -система, a\( \lambda \) -система, напівалгебра та монотонний клас.

Якщо\( \mathscr{S} \) це\( \lambda \) -система, то\( S \in \mathscr{S} \) і\( \emptyset \in \mathscr{S} \).

Доказ

Доказ такий же, як і для алгебри. Існує\( A \in \mathscr{S} \) так як\( \mathscr{S} \) не порожній. Звідси\( A^c \in \mathscr{S} \) і так\( S = A \cup A^c \in \mathscr{S} \). Нарешті\( \emptyset = S^c \in \mathscr{S} \).

Будь-який тип алгебраїчної структури на підмножині\( S \), що визначається чисто з точки зору закритих властивостей, зберігатиметься при перетині. Тобто ми матимемо результати, аналогічні тому, як\( \sigma \) -алгебри генеруються з більш базових множин, з абсолютно простими та анальгетичними доказами. У наступних двох теоремах термін система може означати\( \pi \) -system,\( \lambda \) -system або монотонний клас підмножин\( S \).

Якщо\( \mathscr{S}_i \) система для кожного\( i \) в\( I \) наборі індексів і\( \bigcap_{i \in I} \mathscr{S}_i \) непорожня, то\( \bigcap_{i \in I} \mathscr{S}_i \) це система того ж типу.

Умова, яка\( \bigcap_{i \in I} \mathscr{S}_i \) не є порожньою, є непотрібною для\( \lambda \) системи, за результатом вище. Тепер припустимо, що\( \mathscr{B} \) це непорожня колекція підмножин\( S \), вважається базовими множинами якогось роду. Тоді система, що генерується\( \mathscr{B} \), є перетином всіх систем, які містять\( \mathscr{B} \).

Система, що\( \mathscr{S} \)\( \mathscr{B} \) генерується, є найменшою системою\( \mathscr{B} \), що містить, і характеризується наступними властивостями:

1. \( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{S} \).
2. Якщо\( \mathscr{T} \) це система і\( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{T} \) тоді\( \mathscr{S} \subseteq \mathscr{T} \).

Однак зауважте, що попередні два результати не застосовуються до напівалгебр, оскільки напівалгебра не визначається чисто з точки зору властивостей замикання (умова on не\( A^c \) є властивістю закриття).

Якщо\( \mathscr{S} \) це монотонний клас і алгебра, то\( \mathscr{S} \) це\( \sigma \) -алгебра.

Доказ

Все, що потрібно, - це довести закриття під незліченними союзами. Таким чином, припустимо, що\( A_i \in \mathscr{S} \) для\( i \in \N_+ \). Тоді\( B_n = \bigcup_{i=1}^n A_i \in \mathscr{S} \) так як\( \mathscr{S} \) є алгебра. \( (B_1, B_2, \ldots) \)Послідовність збільшується, отже\( \bigcup_{n=1}^\infty B_n \in \mathscr{S} \), так як\( \mathscr{S} \) є одноманітним класом. Але\( \bigcup_{n=1}^\infty B_n = \bigcup_{i=1}^\infty A_i \).

За визначенням напівалгебра - це\( \pi \) -система. Що ще важливіше, напівалгебра може бути використана для побудови алгебри.

Припустимо, що\( \mathscr{S} \) це напівалгебра підмножин\( S \). Тоді колекція\( \mathscr{S}^* \) скінченних, неспільних спілок множин в\( \mathscr{S} \) є алгеброю.

Доказ

Припустимо, що\( A, \, B \in \mathscr{S}^* \). Тоді існують кінцеві, неспільні колекції\( \{A_i: i \in I\} \subseteq \mathscr{S} \) і\( \{B_j: j \in J\} \subseteq \mathscr{S} \) такі, що\( A = \bigcup_{i \in I} A_i \) і\( B = \bigcup_{j \in J} B_j \). Звідси\[ A \cap B = \bigcup_{(i, j) \in I \times J} (A_i \cap B_j) \] Але\( \{A_i \cap B_j: (i, j) \in I \times J\} \) є кінцевою, неспільною колекцією наборів в\( \mathscr{S} \), так\( A \cap B \in \mathscr{S}^* \). Припустимо\( A \in \mathscr{S}^* \), так що існує кінцева, неспільна колекція\( \{A_i: i \in I\} \) така, що\( A = \bigcup_{i \in I} A_i \). Потім\( A^c = \bigcap_{i \in I} A_i^c \). Але\( A_i^c \in \mathscr{S}^* \) за визначенням напівалгебри, і ми просто показали,\( \mathscr{S}^* \) що закрита під скінченними перетинами, так\( A^c \in \mathscr{S}^* \).

Ми скажемо, що наша непорожня колекція\( \mathscr{S} \) закривається при правильному встановленому різниці, якщо\( A, \, B \in \mathscr{S} \) і\( A \subseteq B \) має на увазі\( B \setminus A \in \mathscr{S} \). Наступна теорема дає базовий зв'язок між\( \lambda \) -системами і монотонними класами.

Припустимо, що\( \mathscr{S} \) це непорожня колекція підмножин\( S \).

1. Якщо\( \mathscr{S} \) це\( \lambda \) -система, то\( \mathscr{S} \) є монотонним класом і закривається при належній різниці.
2. Якщо\( \mathscr{S} \) є монотонним класом, закривається при належній різниці набору, і містить\( S \), то\( \mathscr{S} \) є\( \lambda \) -system.

Доказ

1. Припустимо, що\( \mathscr{S} \) це\( \lambda \) -система. Припустимо, що\( A, \, B \in \mathscr{S} \) і\( A \subseteq B \). Потім\( B^c \in \mathscr{S} \),\( A \) і\( B^c \) розмежовуються, так\( A \cup B^c \in \mathscr{S} \). Але потім\( (A \cup B^c)^c = B \cap A^c = B \setminus A \in \mathscr{S} \). Отже\( \mathscr{S} \), закривається при правильному встановленій різниці. Далі припустимо, що\( (A_1, A_2, \ldots) \) це зростаюча послідовність множин в\( \mathscr{S} \). Нехай\( B_1 = A_1 \) і\( B_n = A_n \setminus A_{n-1} \) для\( n \in \{2, 3, \ldots\} \). Потім\( B_i \in \mathscr{S} \) для кожного\( i \in \N_+ \). Але послідовність\( (B_1, B_2, \ldots) \) неспільна і має такий же союз, як\( (A_1, A_2, \ldots) \). Звідси\( \bigcup_{i=1}^\infty A_i = \bigcup_{i=1}^\infty B_i \in \mathscr{S} \). Нарешті, припустимо, що\( (A_1, A_2, \ldots) \) це спадна послідовність множин в\( \mathscr{S} \). Потім\( A_i^c \in \mathscr{S} \) для кожного\( i \in \N_+ \) і\( (A_1^c, A_2^c, \ldots) \) збільшується. Звідси\( \bigcup_{i=1}^\infty A_i^c \in \mathscr{S} \) і тому\( \left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i^c\right)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr{S} \).
2. Припустимо, що\( \mathscr{S} \) це монотонний клас, закритий при правильному встановленому різниці, і\( S \in \mathscr{S} \). Якщо\( A \in \mathscr{S} \) то банально\( A \subseteq S \) так\( A^c = S \setminus A \in \mathscr{S} \). Далі припустимо, що\( A, \; B \in \mathscr{S} \) нероз'єднані. Потім\( A^c \in \mathscr{S} \) і\( B \subseteq A^c \), так\( A^c \setminus B = A^c \cap B^c \in \mathscr{S} \). Звідси\( A \cup B = (A^c \cap B^c)^c \in \mathscr{S} \). Нарешті, припустимо, що\( (A_1, A_2, \ldots) \) це неспільна послідовність множин в\( \mathscr{S} \). Ми просто показали, що\( \mathscr{S} \) закритий під скінченними, нероз'ємними союзами, так\( B_n = \bigcup_{i=1}^n A_i \in \mathscr{S} \). Але послідовність\( (B_1, B_2, \ldots) \) збільшується, а значить\( \bigcup_{n=1}^\infty B_n = \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr{S} \).

Наступна теорема відома як теорема монотонного класу, і пов'язана з математиком Полом Хальмосом.

Припустимо, що\( \mathscr{A} \) це алгебра,\( \mathscr{M} \) це монотонний клас, і\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{M} \). Потім\( \sigma(\mathscr{A}) \subseteq \mathscr{M} \).

Доказ

Спочатку давайте\( m(\mathscr{A}) \) позначимо монотонний клас, що генерується\( \mathscr{A} \), як визначено вище. Контур доказу полягає в тому, щоб показати, що\( m(\mathscr{A}) \) це алгебра, так що по (9),\( m(\mathscr{A}) \) є\( \sigma \) алгебра. Потім випливає, що\( \sigma(\mathscr{A}) \subseteq m(\mathscr{A}) \subseteq \mathscr{M} \). Щоб показати, що\( m(\mathscr{A}) \) це алгебра, ми спочатку показуємо, що вона закрита під доповнення, а потім під простим об'єднанням.

Оскільки\( m(\mathscr{A}) \) це монотонний клас, колекція також\( m^*(\mathscr{A}) = \{A \subseteq S: A^c \in m(\mathscr{A})\} \) є однотонним класом. Більш того,\( \mathscr{A} \subseteq m^*(\mathscr{A}) \) так випливає, що\( m(\mathscr{A}) \subseteq m^*(\mathscr{A}) \). Отже, якщо\( A \in m(\mathscr{A}) \) тоді\( A \in m^*(\mathscr{A}) \) так\( A^c \in m(\mathscr{A}) \). Таким чином\( m(\mathscr{A}) \) закривається під доповнення.

Нехай\( \mathscr{M}_1 = \{A \subseteq S: A \cup B \in m(\mathscr{A}) \text{ for all } B \in \mathscr{A}\} \). Тоді\( \mathscr{M}_1 \) це одноманітний клас і\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{M}_1 \) так\( m(\mathscr{A}) \subseteq \mathscr{M}_1 \). Далі нехай\( \mathscr{M}_2 = \{A \subseteq S: A \cup B \in m(\mathscr{A}) \text{ for all } B \in m(\mathscr{A})\} \). Тоді\( \mathscr{M}_2 \) також одноманітний клас. Нехай\( A \in \mathscr{A} \). Якщо\( B \in m(\mathscr{A})\) то\( B \in \mathscr{M}_1 \) і звідси\( A \cup B \in m(\mathscr{A}) \). Звідси\( A \in \mathscr{M}_2 \). Таким чином ми маємо\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{M}_2 \), так\( m(\mathscr{A}) \subseteq \mathscr{M}_2 \). Нарешті, давайте\( A, \, B \in m(\mathscr{A}) \). Потім\( A \in \mathscr{M}_2 \) так\( A \cup B \in m(\mathscr{A}) \) і тому\( m(\mathscr{A}) \) закривається під простий союз.

Як зазначається в (5), a\( \sigma \) -алгебра є одночасно і\( \pi \) -системою, і a\( \lambda \) -системою. Зворотне теж вірно, і є однією з головних причин вивчення цих структур.

Якщо\( \mathscr{S} \) це\( \pi \) -система і a\( \lambda \) -система, то\( \mathscr{S} \) це\( \sigma \) -алгебра.

Доказ

\( S \in \mathscr{S} \), А якщо\( A \in \mathscr{S} \) то\( A^c \in \mathscr{S} \) за визначенням а\( \lambda \) -системи. Таким чином, залишається лише показати закриття під незліченними союзами. Таким чином, припустимо, що\( (A_1, A_2, \ldots) \) це послідовність множин в\( \mathscr{S} \). Потім\( A_i^c \in \mathscr{S} \) для кожного\( i \in \N_+ \). Оскільки\( \mathscr{S} \) це теж\( \pi \) -система, то випливає, що для кожного\( n \in \N_+ \),\( B_n = A_n \cap A_1^c \cap \cdots \cap A_{n-1}^c \in \mathscr{S} \) (за домовленістю\( B_1 = A_1 \)). Але послідовність\( (B_1, B_2, \ldots) \) неспільна і має такий же союз, як\( (A_1, A_2, \ldots) \). Звідси\( \bigcup_{i=1}^\infty A_i = \bigcup_{i=1}^\infty B_i \in \mathscr{S} \).

Важливість\( \pi \) -систем і\( \lambda \) -систем частково випливає з \( \lambda \)теореми\( \pi \) Динкіна, наведеної далі. Названа на честь математика Євгена Динкіна.

Припустимо, що\( \mathscr{A} \) це\( \pi \) -система підмножин\( S \),\( \mathscr{B} \) є\( \lambda \) -система підмножин\( S \), і\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{B} \). Потім\( \sigma(\mathscr{A}) \subseteq \mathscr{B} \).

Доказ

Дозвольте\( \mathscr{L} \) позначати\( \lambda \) -систему, що генерується\( \mathscr{A} \). Тоді звичайно\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{L} \subseteq \mathscr{B} \). Бо\( A \in \mathscr{L} \), нехай\[ \mathscr{L}_A = \{B \subseteq S: B \cap A \in \mathscr{L}\}\] Ми покажемо, що\( \mathscr{L}_A \) це\( \lambda \) -система. Зверніть увагу, що\( S \cap A = A \in \mathscr{L}\) і тому\( S \in \mathscr{L}_A \). Далі припустимо, що\( B_1, \, B_2 \in \mathscr{L}_A \) і те\( B_1 \subseteq B_2 \). Потім\( B_1 \cap A \in \mathscr{L} \) і\( B_2 \cap A \in \mathscr{L} \) і\( B_1 \cap A \subseteq B_2 \cap A \). Звідси\( (B_2 \setminus B_1) \cap A = (B_2 \cap A) \setminus (B_1 \cap A) \in \mathscr{L} \). Звідси\( B_2 \setminus B_1 \in \mathscr{L}_A \). Нарешті, припустимо, що\( \{B_i: i \in I\} \) це підрахункова, неспільна колекція наборів в\( \mathscr{L}_A \). Тоді\( B_i \cap A \in \mathscr{L} \) для кожного\( i \in I \), а також\( \{B_i \cap A: i \in I\} \) є нероздільною колекцією. Тому,\( \bigcup_{i \in I} (B_i \cap A) = \left(\bigcup_{i \in I} B_i \right) \cap A \in \mathscr{L} \). Звідси\( \bigcup_{i \in I} B_i \in \mathscr{L}_A \).

Далі фіксуємо\( A \in \mathscr{A} \). Якщо\( B \in \mathscr{A} \) тоді\( A \cap B \in \mathscr{A} \), так\( A \cap B \in \mathscr{L} \) і звідси\( B \in \mathscr{L}_A \). Але\( \mathscr{L} \) це найменша\( \lambda \) -система містить\( \mathscr{A} \) так ми показали, що\( \mathscr{L} \subseteq \mathscr{L}_A \) для кожного\( A \in \mathscr{A} \). Тепер виправте\( B \in \mathscr{L}\). Якщо\( A \in \mathscr{A} \) тоді\( B \in \mathscr{L}_A \) так\( A \cap B \in \mathscr{L} \) і тому\( A \in \mathscr{L}_B \). Знову ж таки,\( \mathscr{L} \) це найменший\( \lambda \) -system, що містить\( \mathscr{A} \) так ми тепер показали, що\( \mathscr{L} \subseteq \mathscr{L}_B \) для кожного\( B \in \mathscr{L} \). Нарешті, давайте\( B, \, C \in \mathscr{L} \). Потім\( C \in \mathscr{L}_B \) і звідси\( B \cap C \in \mathscr{L} \). Тепер випливає, що\( \mathscr{L} \) це\( \pi \) -система, а також a\( \lambda \) -система, а значить, за теоремою вище,\( \mathscr{L} \) є сигма-алгеброю. Але\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{L} \) і значить\( \sigma(\mathscr{A}) \subseteq \mathscr{L} \).

Приклади та особливі випадки

Припустимо, що\( S \) є множиною і\( \mathscr{A} \) є кінцевим розділом\( S \). Потім\( \mathscr{S} = \{\emptyset\} \cup \mathscr{A} \) є напівалгебра підмножин\( S \).

Доказ

Якщо\( A, \, B \in \mathscr{A} \) тоді\( A \cap B = \emptyset \in \mathscr{S} \). Якщо\( A \in \mathscr{S} \) тоді\( A^c = \bigcup\{B \in \mathscr{A}: B \neq A \}\)

Евклідові простори

Наступний приклад особливо важливий, оскільки він буде використовуватися для побудови позитивних заходів на\( \R \). Нехай\[ \mathscr{B} = \{(a, b]: a, \, b \in \R, \; a \lt b\} \cup \{(-\infty, b]: b \in \R\} \cup \{(a, \infty): a \in \R \} \]

\( \mathscr{B} \)є напівалгеброю підмножин\( \R \).

Доказ

Зверніть увагу, що перетин двох інтервалів типу в\( \mathscr{B} \) - це ще один інтервал цього типу. Доповненням інтервалу такого типу є або інший інтервал цього типу, або об'єднання двох нероз'єднаних інтервалів даного типу.

З вищевикладеної теореми випливає, що\( \mathscr{A} \) колекція скінченних незв'язних спілок інтервалів в\( \mathscr{B} \) є алгеброю. Нагадаємо також, що\( \sigma(\mathscr{B}) = \sigma(\mathscr{A}) \) є Борель\( \sigma \) -алгебра\( \R \), названа на честь Еміля Бореля. Ми можемо узагальнити все це\( \R^n \) для\( n \in \N_+ \)

Колекція\( \mathscr{B}_n = \left\{\prod_{i=1}^n A_i: A_i \in \mathscr{B} \text{ for each } i \in \{1, 2, \ldots, n\} \right\} \) являє собою напівалгебру підмножин\( \R^n \).

Нагадаємо також, що\( \sigma(\mathscr{B}_n) \) це\( \sigma \) -алгебра бореля множин\( \R^n \).

Простір продукту

Приклади в цій дискусії важливі для побудови позитивних заходів щодо продуктових просторів.

Припустимо, що\(\mathscr S\) це напівалгебра підмножин множини\( S \) і\(\mathscr T\) це напівалгебра підмножин множини\( T \). Потім\[ \mathscr U = \{A \times B: A \in \mathscr S, B \in \mathscr T\} \] є напівалгебра підмножин\( S \times T \).

Доказ

1. Припустимо\( A \times B, \, C \times D \in \mathscr U \), що, щоб\( A, \, C \in \mathscr S \) і\( B, \, D \in \mathscr T \). Нагадаємо, що\( (A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) \). Але\( A \cap C \in \mathscr S \) і\( B \cap D \in \mathscr T \) так\( (A \times B) \cap (C \times D) \in \mathscr U \).
2. Припустимо, що\( A \times B \in \mathscr B \) так, що\( A \in \mathscr S \) і\( B \in \mathscr T \). Тоді\[ (A \times B)^c = (A^c \times B) \cup (A \times B^c) \cup (A^c \times B^c) \] існує скінченна, неспільна\( \{A_i: i \in I\} \) колекція множин в\( \mathscr S \) і скінченна, неспільна\( \{B_j: j \in J\} \) колекція множин в\( \mathscr T \) такому, що\( A^c = \bigcup_{i \in I} A_i\) і\( B^c = \bigcup_{j \in J} B_j \). Отже,\[ (A \times B)^c = \left[\bigcup_{i \in I} (A_i \times B)\right] \cup \left[\bigcup_{j \in J} (A \times B_j)\right] \cup \left[\bigcup_{i \in I} \bigcup_{j \in J} (A_i \times B_j)\right] \] всі набори продуктів у цьому союзі знаходяться в,\( \mathscr U \) а набори продуктів нез'єднані.

Цей результат поширюється абсолютно простим способом до добутку кінцевої кількості множин.

Припустимо, що\( n \in \N_+ \) і що\( \mathscr S_i \) є напівалгеброю підмножин множини\( S_i \) для\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Потім\[ \mathscr U = \left\{\prod_{i=1}^n A_i: A_i \in \mathscr S_i \text{ for all } i \in \{1, 2, \ldots, n\}\right\} \] є напівалгебра підмножин\( \prod_{i=1}^n S_i \).

Відзначимо, що напівалгебра добутків інтервалів в\( \R^n \) описаних вище є окремим випадком такого результату. Для добутку нескінченної послідовності множин результат трохи складніший.

Припустимо, що\( \mathscr S_i \) це напівалгебра підмножин множини\( S_i \) для\( i \in \N_+ \). Потім\[ \mathscr U = \left\{\prod_{i=1}^\infty A_i: A_i \in \mathscr S_i \text{ for all } i \in \N_+ \text{ and } A_i = S_i \text{ for all but finitely many } i \in \N_+\right\} \] є напівалгебра підмножин\( \prod_{i=1}^n S_i \).

Доказ

Доказ дуже схожий на попередні.

1. Припустимо\( B = \prod_{i=1}^\infty B_i \in \mathscr U \), що\( A = \prod_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr U \) і, так що\( A_i, \, B_i \in \mathscr S_i \) для\( i \in \N_+ \) і\( A_i = S_i \) для всіх, але скінченно багато\( i \in \N_+ \) і\( B_i = S_i \) для всіх, але скінченно багато\( i \in \N_+ \). Потім\( A \cap B = \prod_{i=1}^\infty (A_i \cap B_i) \). Крім того,\( A_i \cap B_i \in \mathscr S_i \) для\( i \in \N_+ \) і\( A_i \cap B_i = S_i \) для всіх, але скінченно багатьох\( in \in \N_+ \). Отже\( A \cap B \in \mathscr U \).
2. Припустимо\( A = \prod_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr U \), що, де\( A_i \in \mathscr S_i \)\( A_i = S_i \) за\( i \in \N_+ \) і за\( i \gt n \), для деяких\( n \in \N_+ \). Тоді\( A^c = \bigcup_{j=1}^n B_j \) де\[ B_j = A_1 \times \cdots \times A_{j-1} \times A_j^c \times S_{j+1} \times S_{j+2} \times \cdots, \quad j \in \{1, 2, \ldots, n\}\] зверніть увагу, що набори виробів в цьому союзі нестикуються. Але для кожного\( j \in \{1, 2, \ldots, n\} \) існує скінченна неспільна колекція\( \{C_{j,k}: k \in K_j\} \) така, що\( A_j^c = \bigcup_{k \in K_j} C_{j,k} \). Підставляючи і розподіляючи потім дає\( A^c \) як скінченне, неспільне об'єднання множин в\( \mathscr U \).

Зверніть увагу, що цей результат не відповідає дійсності\( \mathscr U = \left\{\prod_{i=1}^\infty A_i: A_i \in \mathscr S_i \text{ for all } i \in \N_+\right\}\). Загалом, доповнення множини в\( \mathscr U \) не може бути записано як кінцеве нероздільне об'єднання множин в\( \mathscr U \).