3.1: Вступ до процесів авторегресивного ковзного середнього (ARMA)
- Page ID
- 97229
У цьому розділі розглядаються авторегресивні процеси ковзної середньої. Вони відіграють вирішальну роль у визначенні моделей часових рядів для додатків. Як розв'язки стохастичних різницевих рівнянь з постійними коефіцієнтами і ці процеси мають лінійну структуру.
Визначення 3.1.1: Процеси ARMA
(а) Слабо стаціонарний процес\(X_t\colon t\in\mathbb{Z}\) називається авторегресивним ковзним середнім часовим рядом порядку\(p,q\), скорочено\(ARMA(p,q)\), якщо він задовольняє різницевим рівнянням
\ [\ почати {рівняння}\ мітка {ев:3.1.1}
x_t=\ Phi_1x_ {t-1} +\ ldots+\ phi_Px_ {t-p} +z_t+\ theta_1z_ {t-1} +\ ldots+\ theta_qz_ {t-q},
\ qquad
t\ in\ mathbb {Z},
\ кінець {рівняння}\ тег {3.1.1}\]
де\(\phi_1,\ldots,\phi_p\) і\(\theta_1,\ldots,\theta_q\) є реальними константами\(\phi_p\not=0\not=\theta_q\), і\((Z_t\colon t\in\mathbb{Z})\sim{\rm WN}(0,\sigma^2)\).
(б) Слабо стаціонарний стохастичний процес\(X_t\colon t\in\mathbb{Z}\) називається\(ARMA(p,q)\) часовим рядом із середнім,\(\mu\) якщо процес\(X_t-\mu\colon t\in\mathbb{Z}\) задовольняє системі рівнянь.
Більш стисле уявлення Equation\ ref {eq:3.1.1} можна отримати за допомогою оператора зворотного зсуву\(B\). З цією метою визначають авторегресивний поліном і поліном ковзного середнього за допомогою
\[ \phi(z)=1-\phi_1z-\phi_2z^2-\ldots-\phi_pz^p,\qquad z\in\mathbb{C}, \nonumber \]
і
\[ \theta(z)=1+\theta_1z+\theta_2z^2+\ldots+\theta_qz^q,\qquad z\in\mathbb{C}, \nonumber \]
відповідно, де\(\mathbb{C}\) позначає безліч комплексних чисел. Вставивши оператор зворотного зсуву в ці многочлени, рівняння в (3.1.1) стають
\ [\ почати {рівняння}\ мітка {еква:3.1.2}
\ phi (B) x_t=\ тета (B) z_t,\ qquad t\ in\ mathbb {Z}.
\ end {рівняння}\ tag {3.1.2}\]
Приклад 3.1.1 Рисунок 3.1 відображає реалізацію трьох різних авторегресивних ковзних середніх часових рядів на основі незалежних стандартних нормально розподілених\((Z_t\colon t\in\mathbb{Z})\). The left panel is an ARMA(2,2) process with parameter specifications \(\phi_1=.2\), \(\phi_2=-.3\), \(\theta_1=-.5\) and \(\theta_2=.3\). The middle plot is obtained from an ARMA(1,4) process with parameters \(\phi_1=.3\), \(\theta_1=-.2\), \(\theta_2=-.3\), \(\theta_3=.5\), and \(\theta_4=.2\), while the right plot is from an ARMA(4,1) with parameters \(\phi_1=-.2\), \(\phi_2=-.3\), \(\phi_3=.5\) and \(\phi_4=.2\) and \(\theta_1=.6\). The plots indicate that ARMA models can provide a flexible tool for modeling diverse residual sequences. It will turn out in the next section that all three realizations here come from (strictly) stationary processes. Similar time series plots can be produced in R using the commands
> arima22 =
arima.sim (список (порядок = c (2,0,2), ar=c (.2, -.3), ma=c (-.5, .3)), n = 100)
> arima14 =
arima.sim (список (порядок = c (1,0,4), ar=3, ma=c (-.2, -.3, .5, .2)), n = 100)
arima41 =
arima.sim (список (порядок = c (4,0,1), ar=c (-.2, -.3, .5, .2), ma=.6), n = 100)
Деякі особливі випадки, розглянуті в наступних двох прикладах, мають особливу актуальність при аналізі часових рядів.
Приклад 3.1.2 (Процеси AR) Якщо поліном ковзного середнього в (3.1.2) дорівнює одиниці, тобто якщо\(\theta(z)\equiv 1\), then the resulting \((X_t\colon t\in\mathbb{Z})\)is referred to as autoregressive process of order \(p\), AR\((p)\). These time series interpret the value of the current variable \(X_t\) as a linear combination of \(p\) previous variables \(X_{t-1},\ldots,X_{t-p}\) plus an additional distortion by the white noise \(Z_t\). Figure 3.1.2 displays two AR(1) processes with respective parameters \(\phi_1=-.9\) (left) and \(\phi_1=.8\) (middle) as well as an AR(2) process with parameters \(\phi_1=-.5\) and \(\phi_2=.3\). The corresponding R commands are
>ar1neg = arima.sim (список (порядок = c (1,0,0), ar = -.9), n = 100)
> ar1pos = arima.sim (список (замовлення = c (1,0,0), ar = .8), n = 100)
> ar2 = arima.sim (список (замовлення = c (2,0,0), ar=c (-.5, .3)), н=100)
Малюнок 3.3: Реалізації трьох процесів ковзного середнього.
Приклад 3.1.3 (MA Процеси) Якщо авторегресивний поліном в (3.1.2) дорівнює одиниці, тобто якщо\(\phi(z)\equiv 1\), then the resulting \((X_t\colon t\in\mathbb{Z})\) is referred to as moving average process of order \(q\), MA(\(q\))}. Here the present variable \(X_t\) is obtained as superposition of \(q\) white noise terms \(Z_t,\ldots,Z_{t-q}\). Figure (3.1.3) shows two MA(1) processes with respective parameters \(\theta_1=.5\) (left) and \(\theta_1=-.8\) (middle). The right plot is observed from an MA(2) process with parameters \(\theta_1=-.5\) and \(\theta_2=.3\). In R one may use
> ma1pos = arima.sim (список (замовлення = c (0,0,1), ma=.5), n = 100)
> ma1neg = arima.sim (список (замовлення = c (0,0,1), ma=-.8), n = 100)
> ma2 = arima.sim (список (замовлення = c (0,0,2), ma=c (-.5, .3)), н=100)
Для аналізу, майбутнього в наступних розділах, ми тепер вводимо процеси ковзного середнього нескінченного порядку\((q=\infty)\). Вони є важливим інструментом для визначення стаціонарних розв'язків різницевих рівнянь (3.1.1).
Визначення 3.1.2 Лінійні процеси
Стохастичний процес\((X_t\colon t\in\mathbb{Z})\) is called linear process or MA\((\infty)\) time series if there is a sequence \((\psi_j\colon j\in\mathbb{N}_0)\) with \(\sum_{j=0}^\infty|\psi_j|<\infty\) such that
\ [\ почати {рівняння}\ мітка {еква:3.1.3}
x_t=\ sum_ {j=0} ^\ infty\ psi_jz_ {t-j},\ qquad t\ in\ mathbb {Z},
\ end {рівняння}\ тег {3.1.3}\]
де\((Z_t\colon t\in\mathbb{Z})\sim{\rm WN}(0,\sigma^2)\).
Ковзне середнє часові ряди будь-якого порядку\(q\) є окремими випадками лінійних процесів. Просто виберіть\(j=1,\ldots,q\) і\(\psi_j=\theta_j\) встановіть,\(\psi_j=0\) якщо\(j>q\). Загальноприйнято вводити силовий ряд
\[ \psi(z)=\sum_{j=0}^\infty\psi_jz^j, \qquad z\in\mathbb{C}, \nonumber \]
для вираження лінійного процесу в терміні оператора зворотного зсуву. Дисплей (3.1.3) тепер можна переписати в компактному вигляді
\[ X_t=\psi(B)Z_t,\qquad t\in\mathbb{Z}. \nonumber \]
Маючи під рукою визначення цього розділу, у наступному розділі досліджуються властивості процесів ARMA, такі як стаціонарність та оборотність. Поточний розділ закритий, надаючи значення позначенню.\(X_t=\psi(B)Z_t\). Note that one is possibly dealing with an infinite sum of random variables. For completeness and later use, in the following example the mean and ACVF of a linear process are derived.
Приклад 3.1.4 Середнє і ACVF лінійного процесу
\((X_t\colon t\in\mathbb{Z})\)Дозволяти лінійний процес відповідно до визначення 3.1.2. Потім він стверджує, що
\[ E[X_t] =E\left[\sum_{j=0}^\infty\psi_jZ_{t-j}\right] =\sum_{j=0}^\infty\psi_jE[Z_{t-j}]=0, \qquad t\in\mathbb{Z}. \nonumber \]
Далі спостерігаємо також, що
\ почати {вирівнювати*}
\ гамма (h)
&=\ mathrm {Cov} (X_ {t+h}, x_t)\\ [.2см]
&= Е\ ліворуч [\ sum_ {j=0} ^\ infty\ psi_jz_ {t+h-j}\ sum_ {k = 0} ^\ infty\ psi_kz_ {t+h-j}\ sum_ {k=0} ^\ psi_kz_ {t+h-j} k}\ праворуч]\\ [.2см]
&=\ сигма^2\ sum_ {k=0} ^\ infty\ psi_ {k+h}\ psi_k<\ infty
\ end {align*}
за припущенням на послідовність\((\psi_j\colon j\in\mathbb{N}_0)\).