2.2: Оцінка функції автоковаріації

Last updated
Save as PDF

Page ID: 97192

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі розглядається оцінка ACVF і ACF при відставанні$h$. Нагадаємо з рівняння (1.2.1), що оцінювач

\[ \hat{\gamma}(h)=\frac 1n\sum_{t=1}^{n-|h|}(X_{t+|h|}-\bar{X}_n)(X_t-\bar{X}_n), \qquad h=0,\pm 1,\ldots, \pm(n-1), \nonumber \]

може використовуватися як проксі-сервер для невідомого$\gamma(h)$. Як оцінювач для ACF$\rho(h)$,

\[ \hat{\rho}(h)=\frac{\hat{\gamma}(h)}{\hat\gamma(0)},\qquad h=0,\pm 1,\ldots,\pm(n-1), \nonumber \]

був ідентифікований. Деякі з теоретичних властивостей коротко$\hat{\rho}(h)$ зібрані в наступному. Їх не так очевидно вивести, як у випадку зразка середнього, і всі докази опущені. Зауважте також, що подібні заяви$\hat{\gamma}(h)$ тримаються також.

Оцінювач$\hat{\rho}(h)$, як правило, упереджений, тобто$E[\hat{\rho}(h)]\not=\rho(h)$. Однак він дотримується необмежувальних припущень, що\[ E[\hat{\rho}(h)]\to\rho(h)\qquad (n\to\infty). \nonumber \] Ця властивість називається асимптотичною неупередженістю.
Оцінювач$\hat{\rho}(h)$ узгоджується$\rho(h)$ за відповідним набором припущень, тобто$\mathrm{Var}(\hat{\rho}(h)-\rho(h))\to 0$ як$n\to\infty$.

У розділі 1.5 вже було встановлено, як зразок ACF$\hat{\rho}$ можна використовувати для перевірки, чи складаються залишки зі змінних білого шуму. Для більш загального статистичного висновку потрібно знати розподіл вибірки$\hat{\rho}$. Оскільки оцінка$\rho(h)$ базується лише на кількох спостереженнях для$h$ близьких до розміру вибірки$n$, оцінки, як правило, ненадійні. Як правило, наведене Box and Jenkins (1976),$n$ має бути принаймні 50 і$h$ менше або дорівнює n/4.

Теорема$\PageIndex{1}$

Для$m\geq 1$, нехай$\mathbf{\rho}_m=(\rho(1),\ldots,\rho(m))^T$ і$\mathbf{\hat{\rho}}_m=(\hat{\rho}(1),\ldots,\hat{\rho}(m))^T$, де$^T$ позначає транспонування вектора. За набором відповідних припущень він вважає, що

\[ \sqrt{n}(\mathbf{\hat{\rho}}_m-\mathbf{\rho}_m)\sim AN(\mathbf{0},\Sigma)\qquad (n\to\infty), \nonumber \]

де$\sim AN(0,\Sigma)$ означає приблизно нормально розподілені із середнім вектором$\mathbf{0}$ та коваріаційною матрицею,$\Sigma=(\sigma_{ij})$ заданою формулою Бартлетта

\[ \sigma_{ij}=\sum_{k=1}^\infty\big[\rho(k+i)+\rho(k-i)-2\rho(i)\rho(k)\big]\big[\rho(k+j)+\rho(k-j)-2\rho(j)\rho(k)\big]. \nonumber \]

Розділ укладено двома прикладами. Перший згадує результати, вже відомі незалежними, однаково розподіленими випадковими величинами, другий стосується авторегресійного процесу Прикладу (2.2.1).

Приклад$\PageIndex{1}$

Нехай$(X_t\colon t\in\mathbb{Z})\sim\mathrm{IID}(0,\sigma^2)$. Потім,$\rho(0)=1$ і$\rho(h)=0$ для всіх$h\not=0$. Отже, матриця коваріації$\Sigma$ задається

\[ \sigma_{ij}=1\quad\mbox{if $i=j$} \qquad and \qquad \sigma_{ij}=0\quad\mbox{if $i\not=j$}. \nonumber \]

Це означає, що$\Sigma$ це діагональна матриця. З огляду на теорему 2.2.1 він стверджує, що оцінювачі$\hat{\rho}(1),\ldots,\hat{\rho}(k)$ є приблизно незалежними та однаково розподіленими нормальними випадковими величинами із середнім 0 та дисперсією$1/n$. Це було покладено в основу методів 1 і 2 в розділі 1.6 (див. Також Теорему 1.2.1).

Приклад$\PageIndex{2}$

Перегляньте авторегресивний процес$(X_t\colon t\in\mathbb{Z})$ з Прикладу 2.1.1 с$\mu=0$. Поділ$\gamma(h)$ на$\gamma(0)$ врожайність, що

\[ \rho(h)=\phi^{|h|},\qquad h\in\mathbb{Z}. \nonumber \]

Тепер$\Sigma$ діагональні записи обчислюються як

\ почати {вирівнювати*}
\ сигма_ {ii} &=\ сума_ {k=1} ^\ інфти\ великий [\ рхо (k+i) +\ рхо (k-i) -2\ rho (i)\ rho (k)\ великий] ^2\\ [.2см]
&=\ сума {k=1} ^i\ phi^ {2i} (\ phi} {-k} -\ фі^k) ^2+\ sum_ {k=i+1} ^\ infty\ phi^ {2k} (\ phi^ {-i} -\ фі^i) ^2\ [.2см]
& =( 1-\ phi^ {2i}) (1+\ phi^2) (1-\ phi^2) ^ {-1} -2i\ phi} ^ {2i}.
\ end {вирівнювати*}