18.3: Оптимальність Парето

Оцінка ефектів добробуту при загальній рівновазі така ж, як і при частковій рівновазі. Спочатку визначаємо рівноважне рішення, потім знаходимо оптимальне рішення, і в останню чергу порівнюємо рівновагу з оптимальним рішенням.

У попередньому розділі використовувався Edgeworth Box з ціновим вектором для пошуку початкового рішення рівноваги. Ми знаємо, що дефіцит і надлишки розгойдують цінову лінію туди-сюди, поки вона не врешиться там, де плани двох споживачів взаємосумісні.

У цьому розділі ми використовуємо Edgeworth Box для відображення оптимального рішення. Вектор цін знімається, оскільки ціни не грають ніякої ролі у визначенні оптимального рішення. Так само, як і при частковій рівновазі, ми логічно відокремлюємо рівновагу від оптимального рішення. Якщо двоє згодні, то ми знаємо, що маємо хороший результат.

Оптимальність

КРОК Відкрийте книгу Excel EdgeworthBoxParetoOpt.xls, прочитайте вступний лист, а потім перейдіть до аркуша EdgeWorthBox.

Робоча книга дуже схожа на аркуш EdgeWorthBox з попереднього розділу, за винятком того, що немає інформації про ціну або положення на ринку. Ми зараз не зацікавлені в ринках. Ми орієнтовані на визначення оптимального рішення.

Всезнаючий, всемогутній соціальний планувальник, OOSP, доручається визначити оптимальний розподіл, враховуючи початковий ендаумент.

За допомогою спеціальних повноважень OOSP ми можемо перерозподілити початковий ендаумент, як вважаємо за потрібне. Кожна точка в коробці - це розподіл, розподіляючи загальні суми двох товарів на А і В. Ми можемо довільно віддавати і брати від однієї людини до іншої, вибираючи будь-яку точку в коробці. Що нам робити?

На перший погляд може здатися, що ми хотіли б вирішити таку проблему оптимізації:

Іншими словами, ми могли б дати споживачам А і В кількості товарів 1 і 2, які максимізують суму окремих комунальних послуг з урахуванням загальної кількості наявних товарів.

Ця стратегія страждає від серйозної проблеми: ми не можемо проводити міжособистісні порівняння корисності. Це приводить нас до повного кола роботи, яку ми зробили на самому початку цієї книги в Теорії поведінки споживачів. Корисність порядкова, а не кардинальна. Допускаються монотонні перетворення (які зберігають рейтинг недоторканими) корисності. Утиліта не має сенсу з точки зору своїх одиниць.

Таким чином, проблема оптимізації, яка агрегує окремі утиліти, є недійсною. Немає сенсу говорити про те, що в утиліту B додана утиліта А для отримання загальної утиліти. Немає загальних одиниць, за допомогою яких можна вимірювати та додавати корисність. Ви можете також сказати, що ви додали три машини і чотири олівці і отримали сім столярів.

Існує, однак, спосіб судити і оцінити різні розподіли товарів для А і Б. Це великий внесок Парето в економіку добробуту.

Парето розробив логічні правила, які дозволяють обійти обмеження корисності. Його основна ідея полягала в тому, що ви можете порівняти два виділення з точки зору кращого чи гіршого, щоб ви могли робити заяви про одне виділення порівняно з іншим. Він винайшов новий словниковий запас для своїх правил і сьогодні ми використовуємо його ім'я, коли працюємо з цими правилами.

Парето знав, що ми не можемо додати корисність, але ми можемо порівняти два виділення і оголосити, який з них краще. Пройдемо на прикладі, використовуючи книгу Excel і малюнок 18.6.

З початкової точки ендаументу на малюнку 18.6 припустимо, ми вважаємо точку (30,15) для А і (10,25) для B.

Малюнок 18.6 відтворює те, що знаходиться на вашому екрані. Дві товщі криві байдужості, що проходять через початковий ендаумент, є відправною точкою. Вони являють собою орієнтир задоволення, з яким ми будемо порівнювати інші асигнування.

Малюнок 18.6: Коробка Edgeworth для критеріїв Парето.

Джерело: EdgeworthBoxParetoOpt.xls! Край Worth Box 1.

З початкової точки ендаументу на малюнку 18.6 припустимо, що ми розглянемо комбінацію 30,15 для А і 10,25 для B.

КРОК Натисніть кнопку. Червона точка з'являється на цій координаті у полі разом із текстовим полем.

Чи краще в новій точці порівняно з початковим ендаументом? Як щодо B?

Як пояснює текстове поле, хоча криві байдужості для A та B не промальовані через червону точку, ми знаємо, що вони існують, оскільки карта байдужості щільнає криву байдужості через кожну точку поля. Якщо ми намалюємо криву байдужості для А через цю точку, і вона лежить над кривою байдужості, яка проходить через початкове обдарування, ми знаємо, що А віддає перевагу 30,15 початковому обдарованню.

Насправді криві байдужості виходять за рамки коробки в північно-східному напрямку для А та на південний захід для Б. поле просто показує загальні суми, доступні для обміну.

Той самий аргумент, який ми зробили для А, може бути зроблений для Б. Єдина хитрість для B полягає в тому, щоб пам'ятати, що ви інтерпретуєте коробку з верхнього, правого кута і задоволення B збільшується, оскільки криві байдужості рухаються далі від північно-східного кута в південно-західному напрямку.

Оскільки і A, і B краще на 30,15, ніж початковий ендаумент, ми знаємо, що розподіл 30,15 Парето перевершує початковий ендаумент. Ми також можемо перевернути твердження, щоб сказати, що початковий ендаумент Парето поступається точці 30,15.

Pareto Superior означає, що можна зробити принаймні одну людину кращою, не роблячи нікого ще гірше. Ми не пред'являємо жодних претензій щодо того, наскільки краще. Ми взагалі не використовуємо одиниці корисності. Це схоже на те, як ми вперше обговорювали задоволення в теорії поведінки споживачів. Ми попросили споживачів просто вибирати між однією комплектацією та іншою. Тут використовується та ж логіка.

Розглянемо ще один момент, який становить 30,10 для А і 10,30 для B.

КРОК Натисніть кнопку.

Як і раніше, на діаграмі розміщується червона крапка і з'являється текстове поле. Ми хочемо порівняти червону крапку з початковим ендаументом. А краще? Як щодо B?

Оскільки точка 30,10 краще для B, але гірше для A, то це виділення Парето Непорівнянне з початковим ендаументом, оскільки принаймні одна людина погіршується. Як тільки хоча б одна людина погіршується, вона видаляється як кандидат на оцінку.

Ми, звичайно, не можемо оцінити ці моменти, сказавши, що корисність B зростає більше, ніж падіння А, оскільки корисність є лише порядковою. За словами Парето, ми ніколи не можемо компромісувати невеликим зниженням задоволеності для однієї людини для великого виграшу задоволення для одного або багатьох людей, тому що ви не можете додати корисність.

Тепер, коли ми розуміємо Pareto Superior і Pareto Noncomparnable точки, ми можемо затінювати всі точки, які Парето перевершує початкове обдарування. Це називається лінзою з причин, які будуть очевидні через мить.

КРОК Натисніть кнопку.

Кожна точка в просторі між двома кривими байдужості, що проходять через початковий ендаумент, затінена червоним кольором, представляючи область точок Парето Superior. З зазвичай сформованими кривими байдужості, це об'єкт у формі лінзи.

Повертаємося до першого пункту, 30,15. Це, звичайно, всередині об'єктива, так що Парето перевершує початковий ендаумент, але чи є у нього якісь точки, які Парето перевершують його?

КРОК Натисніть кнопку, а потім кнопку 30,15.

Точка 30,15, як і початковий ендаумент, має цілий набір балів, які Парето перевершує його. Ці точки також утворюють лінзу, хоча і меншу, що лінза, утворена Парето Superior вказує на початкове наділення, які тягнуться від точки 30,15 до місця, де дві криві байдужості знову перетинаються.

Зрозуміло, що всякий раз, коли криві байдужості від A і B перетинаються в точці, наприклад, початковий ендаумент або 30,15, ми можемо знайти точки Парето Superior в об'єктиві з цієї відправної точки. Що відбувається, коли криві байдужості дотичні?

КРОК Натисніть (якщо потрібно) і кнопки.

Червона крапка показана на кривій байдужості для B, яка є дотичною до найвищої показаної кривої байдужості А. Цю точку дотику ми будемо називати між кривими байдужості точкою PO1. Ця точка PO1, очевидно, Парето перевершує початкове наділення, оскільки вона знаходиться всередині об'єктива.

Але є щось особливе в PO1. Він має властивість, яка містить ключову ідею Парето: Чи має PO1 якісь пункти Pareto Superior? Ні, це не так. Рух в будь-якому напрямку від точки ПО1 знижує чиєсь задоволення. Немає об'єктива з точки PO1.

Таким чином, ми говоримо, що PO1 - це оптимальна точка Парето, яка не має на нього вказує Парето Superior. Ви не можете зробити когось краще, не завдаючи шкоди комусь іншому. Оптимальні точки Парето - це те, де ми хочемо бути!

Важливо відзначити, що існує нескінченна кількість точок Парето Оптимальних. Де б криві байдужості не були дотичними, ми знаходимося в оптимальній точці Парето.

Множина всіх точок Парето Оптимальних називається кривою контракту. Мінімалістична версія кривої контракту для невідомої (але добре поведеної) пари службових функцій відображається на малюнку 18.7. Кілька кривих байдужості відображаються, але ви повинні розуміти, що кожна точка на кривій контракту є точкою дотику між двома кривими байдужості. Сторони коробки не позначені, але ви знаєте, як читати Edgeworth Box.

Малюнок 18.7: Крива контракту.

Окуляри Pareto Optimal особливо бажані, оскільки вони гарантують, що немає можливості поліпшити виділення, не завдаючи шкоди комусь. Іншими словами, враховуючи обмеження порядкової корисності, можна сказати, що ми віджали якомога більше виграшу, якщо знаходимося в оптимальній точці Парето. Таким чином, з будь-якого заданого початкового пожертвування OOSP хотів би перерозподілити два товари так, щоб розподіл знаходився на кривій контракту.

Одним з недоліків паретіанської рамки є те, що існує багато оптимальних точок Парето, починаючи з довільної, не-Парето Оптимальної точки. Немає можливості вибрати між оптимальними точками Парето.

Математично повинно бути зрозуміло, що точки Парето Оптимальні виникають тільки тоді, коли\(MRS_A = MRS_B\). Коли ця умова дотримується, дві криві байдужості дотичні. Це означає, що у нас є оптимальна точка Парето, і ми знаходимося на кривій контракту.

Оптимальність Парето з вирішувачем

Один із способів знайти оптимальні точки Парето - вирішити задачу оптимізації. Однак це не дурна, безглузда цільова функція «підсумувати комунальні послуги».

КРОК З аркуша EdgeWorthBox відкрийте Розв'язувач.

Діалогове вікно «Розв'язувач» має виглядати як малюнок 18.8. Зверніть увагу на\(UtilityB=Initial\_UtilityB\) обмеження. Ми збираємося максимізувати корисність А, не завдаючи шкоди B. Обмеження вимагає, щоб корисність B була такою ж, як початкова утиліта. Таким чином, Б буде байдужим між новим виділенням і початковим ендаументом.

Малюнок 18.8: Діалогове вікно параметрів розв'язання.

КРОК Натисніть, щоб знайти оптимальне рішення цієї проблеми.

Прокрутіть вниз (якщо потрібно), щоб побачити Edgeworth Box. Ми знаходимося на самому верху (з точки зору А) Парето Оптимальна точка. Ця точка знаходиться на кривій контракту.

Що робити, якщо ми провели той же аналіз, але максимізували корисність B за умови підтримки постійної корисності А? Це ще одна оптимальна точка Парето.

Деякі студенти хочуть заявити про точки в середині кривої контракту в об'єктиві як якось кращі, ніж дві крайні точки, але аналіз Парето не дозволяє таких відмінностей.

Крива контракту з Excel

КРОК. Переходимо до листа ContractCurve.

Він налаштований так само, як аркуш EdgeWorthBox, за винятком комірок початкового фонду A (B18 і B19) мають формулу, =ROUND (randomnv () * 38+1,0).

Ця формула дозволяє генерувати випадкові початкові пожертви, тоді ви можете використовувати Excel Solver, щоб знайти точку на кривій контракту з цього початкового пожертвування. Ви можете використовувати стратегії «Утиліта max A, зберігаючи постійну корисність B» або «корисність max B, зберігаючи постійну корисність А». У першому випадку ви знаходите найвищу криву байдужості A, яка є дотичною до кривої байдужості Б, яка проходить через початковий ендаумент. Ви робите зворотне, коли ви максимізуєте корисність B відповідно до кривої байдужості А, яка проходить через початкове обдарування.

КРОК Натисніть кнопку кілька разів, щоб перемістити початкову точку обдарування навколо коробки. Коли ви знайдете вподобану (не біда), знайдіть і запишіть точку на кривій контракту. Виконайте це кілька разів.

Ви є точками вибірки на кривій контракту, і це допоможе вам дізнатися, як працює оптимальність Парето. Чи можете ви виявити форму кривої контракту?

КРОК Змініть параметри А, встановивши Ca на 0.5. Вибіркові точки на кривій контракту (за допомогою того ж методу, що і на попередньому кроці). Який вплив це впливає на криву контракту?

Щоб побачити відповіді на ці два питання (але спочатку спробуйте відповісти на них самостійно), натисніть кнопку.

Перша фундаментальна теорема економіки добробуту

Не буде перебільшенням сказати, що ми досягли вершини цієї книги. Ми збираємося побачити вінцеве досягнення економічної теоріїдемонстрація впливу на добробут ринкової системи в загальних рівноважних рамках.

Маючи в руках критерії Парето, ми готові судити про розподіл ринку. Нагадаємо, що ринок використовує ціни для встановлення рівноважного рішення. Надлишки і дефіцит штовхають вектор ціни туди-сюди, поки він не осяде до свого рівноважного рішення. Що вже говорити про ринкове рішення?

Можна сказати, що це Парето Оптимально! Насправді, можна сказати, що починаючи з будь-якого початкового ендаументу, механізм розподілу ринку дає оптимальне рішення Парето. Це перша фундаментальна теорема економіки добробуту:

Якщо переваги добре поводяться, правильним рішенням рівноваги ринку є Pareto Optimal.

Малюнок 18.9 відтворює малюнок 18.5 для вашої зручності. Це канонічний графік аналізу загальної рівноваги і показує рішення рівноваги з робочої книги Edgeworth-BoxGE.xls. Ми знаємо, що маємо рівноважне рішення, оскільки існує єдина загальна точка дотику. Споживач А максимізує, вибираючи ту комбінацію, де він досягає найвищої кривої байдужості за умови обмеження. Споживач В робить те ж саме.

Малюнок 18.9: Оцінка розподілу ринку.

Джерело: EdgeworthBoxGE.xls! Край Worth Box 1 с\(\frac{p_1}{p_2}=1\).

Але відразу очевидно, враховуючи нашу роботу в цьому розділі, що розподіл ринку є Pareto Optimal. На нього немає пунктів Pareto Superior.

Ми можемо використовувати принцип рівності, щоб допомогти пояснити цей результат. Кожен споживач знаходить точку дотику, яка підпорядковується математичній умові,\(MRS = \frac{p_1}{p_2}\). З точки зору А, ми маємо\(MRS_A = \frac{p_1}{p_2}\). Аналогічно Б вибирає ту комбінацію де\(MRS_B = \frac{p_1}{p_2}\). Невідомі їм, вони закінчуються в точці, де\(MRS_A = MRS_B\).

Іншими словами, звертаючи увагу на ціни та оптимізуючи, рівновага, породжена обмінними споживачами, одночасно генерує оптимальне рішення Парето. Існує невидимий аспект руки в тому сенсі, що споживачі не знають і не дбають про Pareto Optimality.

Гуси літають за V-образним малюнком понад тисячі миль шляхом протягування опору вітру зводиться до мінімуму шляхом вирівнювання одного себе під кутом до гусака попереду, замість того, щоб літати безпосередньо позаду або поруч з побратимом гусака. Гуси абсолютно не підозрюють, що вони породжують V-подібний візерунок. Споживачі на ринку так само, як гуси, вони абсолютно не знають, що вони вирішують набагато більшу проблему оптимізації.

Гуси також синхронізують биття крила, оскільки вони користуються перевагами висхідної тяги. Якщо ви спостерігаєте за зграєю, схоже, вони координують своє плескання. Це було виявлено нещодавно (див. Португалія та ін., 2014) і є чудовим прикладом того, як економісти бачать ринкову систему.

З кожним агентом, дотримуючись простого правила, система виробляє візерунок. Що стосується ринку, то неймовірним результатом є те, що розподіл ринку є Pareto Optimal.

Чого ми не можемо сказати про розподіл ринку?

Ми звичайно не можемо сказати, що це справедливо. Ринок буде подрібнюватися до оптимальної точки Парето з будь-якого початкового пожертвування. Логіка Парето приймає початкове обдарування, як дано. Що робити, якщо A починається з набагато більше, ніж B? Що робити, якщо ринок не цінує ресурси B? Критерії Парето не мають про це нічого сказати. Економісти намагалися включити справедливість в аналіз добробуту, але консенсусу мало.

Якщо є перша теорема, має бути друга теорема, чи не так?

Якщо переваги добре поводяться, то належним чином функціонує

ринок може досягти будь-якої точки Pareto Optimal

якщо передбачений відповідний початковий ендаумент.

Друга фундаментальна теорема говорить, що ви можете використовувати ринок для досягнення будь-якого оптимального розподілу Парето, тобто будь-якої точки на кривій контракту. Все, що вам потрібно зробити, це встановити початковий ендаумент належним чином, а потім нехай ринок працює своєю магією.

Останні дві проблеми в аркуші питань і відповідей просять вас показати, що Друга фундаментальна теорема працює.

Те, що ринки генерують оптимальні рішення Парето, є справді фундаментальною ідеєю

Цей розділ знаменує собою кінець довгого треку. Ми почали з теорії споживчої поведінки і дізналися, що споживачі максимізують задоволення за умови бюджетного обмеження. Важливе розширення цієї базової моделі використовує початковий фонд замість грошового доходу.

У моделі Pure Exchange ми поєднуємо двох оптимізуючих споживачів у коробці Edgeworth. Їх взаємодія призводить до рівноважного рішення.

Використовуючи критерії Парето, ми можемо порівняти виділення та визначити, які з них є Парето Оптимальними. Це виділення, які не мають балів Pareto Superior. Набір всіх точок Парето Оптимальних формує криву контракту.

Студенти борються з терміном Парето оптимальність. Його визначення, що немає ніякого способу зробити когось краще, не завдаючи шкоди комусь іншому, може стати безліччю слів з невеликим реальним значенням. Ось найважливіша ідея: Pareto Optimality означає відсутність відходів. Розподіл в оптимальній точці Парето не може бути покращений (не завдаючи шкоди комусь). Таким чином, оптимальність Парето означає, що ми маємо неперевершене розподіл.

Перша фундаментальна теорема економіки добробуту робить потужну заяву, оскільки вона говорить про те, що належним чином функціонуючий ринок дає оптимальний розподіл Парето. Це дуже бажаний результат.

Це також шокує, оскільки окремі споживачі поняття не мають, що беруть участь у вирішенні проблеми розподілу ресурсів. Кожен споживач просто максимізує корисність з урахуванням бюджетних обмежень. Як і гуси, які літають у V, кожен споживач реагує на сигнал (у випадку споживача - ціни), а потім взаємодія виробляє координацію.

Зверніть увагу, що робота тут нічого не говорила про інновації чи технологічні зміни. Насправді аналіз передбачає постійну технологію і ніяких нових продуктів. Аналіз є повністю статичним і базується виключно на здатності ринку досягти оптимального рішення Парето з точки зору розподілу вже вироблених товарів в чистій біржовій економіці.

Вам може бути цікаво, якщо всі рівноваги в коробці Edgeworto Optimal? Абсолютно ні. Наступний розділ показує, як ринок може вийти з ладу.

Вправи

1. Чому критерії Парето не дають єдиної точки, яка є найкращим розподілом?

2. Що повинно бути правдою щодо показників у службових функціях Кобба-Дугласа для споживачів A та B для генерації лінійної кривої контракту? Опишіть свою процедуру і поясніть свою відповідь.

3. Використовуйте інструменти малювання Word, щоб намалювати Edgeworth Box з добре поведеними уподобаннями та точкою Z, де\(MRS_A > MRS_B\). Поясніть, чому точка Z не є Парето Оптимальним.

4. Крива контракту (з Ca = 0,5) може бути перетворена в межу можливостей корисності, як показано на малюнку 18.10. Де буде точка Z (з попереднього питання) на цьому графіку? Поясніть, чому.

   Малюнок 18.10: Кордон можливостей корисності.

Посилання

Епіграф зі сторінки 36 Вільфредо Парето «Підйом і падіння еліт: застосування теоретичної соціології» (спочатку опублікований італійською мовою в 1901 році, перекладено англійською мовою в 1968 році і опублікований як м'яка обкладинка в 1991 і 2000 роках). На задній куртці говорить:

Ось у короткому та чіткому обрисі основні ідеї, за якими Парето згодом став відомим... Цей тонкий обсяг є більш читабельним і дисциплінованим, ніж більшість пізніших розробок, і служить також вступом до політичної соціології Парето... Іронія Парето проявляється в його нападі на еліти, які стають гуманітарними та ніжними, а не жорсткими.

Більшість економістів знають Парето завдяки його роботі над корисністю, загальною теорією рівноваги та ідеєю оптимальності Парето, але Парето розчарувався «чистою економікою» (що ми б назвали сьогодні економічною теорією) і звернувся до соціології. Найвідоміша його соціологічна робота - «Розум і суспільство» (спочатку опублікована в 1916 році і вперше перекладена англійською мовою в 1935 році), в якій він пояснює, як циркуляція еліт рухає історією.

Див. Вінсент Тарассіо, Методологічний підхід Парето до економіки (опублікований в 1968 році) для порівняння поглядів Парето на сферу застосування та метод економіки, особливо на відміну від Альфреда Маршалла. У той час як Маршалл розглядав математику як мову, здатну перекласти так, щоб нематематики могли зрозуміти, Парето вважав, що «математика дозволяє виразити відносини між фактами, які неможливо з іншими засобами або звичайною мовою» (Тарасціо, стор. 106, виноска опущена). Парето не бачив необхідності перекладати сильно математичні документи для «літературних економістів». Багато ідей Парето щодо оптимізації та рівноваги були представлені у прозовій формі Філіпом Уікстідом, «Здоровий глузд політичної економії» (вперше опублікований у 1910 році) та доступні в Інтернеті за адресою www.econlib.org/Library/Wicksteed/Wickcs.html.

На гусей, що літають в V і координації плескають, см Стівен Дж. Португалія, Tatjana Y. Hubel, Йоханнес Фріц, Стефані Хіз, Даніела Троб, Бернхард Воелкл, Стівен Хейлс, Алан М. Вілсон і Джеймс R. Usherwood (2014), «Upwash експлуатації та уникнення вниз шляхом фазування клаптя в польоті формування ібіс,» Природа, 505, стор. 399—402, www.nature.com/articles/nature12939. У моєму відео «Невидима рука та ринкова система», у вільному доступі за адресою vimeo.com/econexcel/invisiblehand, є кліп авторів, що пояснюють, як це роблять гуси.