13.1: Початкове рішення

Нагадаємо, що основою фірми є виробнича функція. Входи, або фактори виробництва, як правило, робоча сила (L) і капітал (K) використовуються для отримання продукції, або продукту (q).

У попередніх розділах ми досліджували проблеми мінімізації вхідних витрат фірми та максимізації прибутку. Цей розділ повертається до вхідної сторони та працює над третьою проблемою оптимізації фірми: максимізація вхідного прибутку.

Ми продовжуємо працювати з абсолютно конкурентоспроможною (ПК) фірмою, але ми розширюємо припущення досконалої конкуренції на ринки введення. Таким чином, фірма не тільки є одним з багатьох продавців ідеально однорідного товару з вільним входом і виходом, вона також є одним з багатьох покупців робочої сили та капіталу. Наша фірма є вихідним і вхідним ціноприймачем.

Це означає, що наша фірма ПК вибирає лише кількість вхідних даних для найму, а не скільки платити за це. Якщо вона має ринкову владу, то фірма не тільки визначає, скільки наймати, але і отримує можливість вибрати вхідну ціну. У цьому випадку ми говоримо, що фірма має монопсонійну силу.

Хоча ви напевно чули про монополію, монопсонія може бути для вас новою. Вони схожі тим, що один продає (монополія), а інший купує (монопсонія), а це означає, що ціна (вихід або вхід) більше не є екзогенною. Класичним прикладом є єдина лікарня в маленькому місті, яка наймає медсестер. Інший приклад - великий роздрібний продавець коробки. Walmart настільки великий покупець, що вони мають монопсонійну силу. Вони можуть вести переговори з постачальниками і витягувати з них більш дешеві ціни. Зверніть увагу, що фірма може мати як монопольну, так і монопсонійну владу.

На курсі економіки праці ви вивчаєте, як фірми можуть скористатися можливістю встановлювати вхідні ціни для отримання більшого прибутку. Ми припускаємо цю можливість геть і залишитися з фірмою ПК, яка приймає ставку заробітної плати (w) та орендну ставку капіталу (r), як зазначено. Наша фірма ПК є настільки маленьким покупцем, що вона може найняти стільки L і K, скільки хоче на ходу w і r.

Налаштування проблеми

Кожна проблема оптимізації складається з трьох частин. Ось фреймворк для фірми ПК.

1. Мета: Максимізувати прибуток (\(\pi\)), яка дорівнює загальним доходам мінус загальні витрати. Щоб відрізнити вхідні дані від вихідної сторони, ми використовуємо терміни загальний дохід продукту (TRP) та загальна вартість фактора (TFacc). Ідея полягає в тому, що робоча сила та капітал використовуються для виготовлення продукту, який продається, тому ціна разів перевищує кількість вироблених одиниць - це TRP.

2. Ендогенні змінні: праця та капітал, у довгостроковій перспективі; лише L у короткостроковій перспективі.

3. Екзогенні змінні: ціна (продукту, Р), вхідні ціни (ставка заробітної плати та орендна ставка капіталу) та технологія (параметри у виробничій функції).

Як завжди, ми будемо працювати з виробничою функцією Кобба-Дугласа\(\alpha >0\), з\(\beta >0\), і\(\alpha + \beta < 1\). \[q=AK^\alpha L^\beta\]Виручка - це ціна випуску, помножена на вироблену продукцію,\(TR=Pq\). Ми замінюємо виробничу функцію на q у TR, щоб отримати загальний дохід продукту:\[TRP=PAK^\alpha L^\beta\] Одиниці TRP - долари (як і загальний дохід). Мова «дохідний продукт» вказує на те, що ми розглядаємо суму виручки ($), виробленої входами.

Витрати - це просто суми, витрачені на робочу силу і капітал,\(wL + rK\). Вони називаються сумарними факторними витратами.

Фірма вибирає L і K для максимального прибутку. \[\begin{gathered} %star suppresses line # \max\limits_{L,K} \pi = PAK^\alpha L^\beta - (wL+rK)\end{gathered}\]

Пошук початкового рішення

Спочатку задачу вирішують за допомогою числових методів, а потім використовують аналітичний підхід.

КРОК Відкрийте книгу Excel InputProfitMax.xls і прочитайте вступний лист, а потім перейдіть до аркуша TwoVar, щоб побачити проблему, реалізовану в Excel.

Лист називається TwoVar, оскільки обидва входи є змінними вибору, що означає, що це довгострокова проблема максимізації прибутку. Як завжди, аркуш організований у кольорові компоненти задачі оптимізації, з цільовими, ендогенними та екзогенними клітинами.

КРОК Прочитайте опис фірми, пекарні та прокрутіть вниз до ендогенних змінних.

На відкритті лист має 500 годин найнятої праці та 100 одиниць капіталу в оренду, приносячи прибуток у розмірі 936 доларів. Це найкраще, що може зробити ця фірма? Клітини B48 і B49 показують граничний дохідний продукт праці і граничний фактор вартості. Наймаючи ще одну годину праці, доходи зростуть більше, ніж витрати, тому прибуток збільшуватиметься. Зрозуміло, тому ця пекарня не оптимізується.

КРОК Запустіть Solver, щоб знайти початкове рішення. Ваш екран повинен виглядати як рис. 13.1.

Малюнок 13.1: Початкове оптимальне рішення.

Джерело: InputProfitMax.xls! Два Вар.

Фірма наймає приблизно 1431 годин праці та орендує 153 машини (але натисніть на осередки B34 та B35, щоб побачити більше знаків після коми). Це дає максимально можливий прибуток трохи більше $1,900.

Зверніть увагу, що маржинальний дохід продукту та маржинальний фактор вартості клітинок тепер точно рівні 20 доларів за годину. Це не випадково. Рівномаргінальна умова максимізації вхідного прибутку полягає в тому, що\(MRP=MFC\). Оскільки фірма є постачальником вхідних цін\(MFC=w\) (так само, як і\(P=MR\) для фірми ПК), так це також правда, що\(MRP=w\) при оптимальному рішенні.

Нарешті, зверніть увагу на розбивку доходів фірми в рядках від 44 до 46. Частка праці (WL), частка капіталу (rK) та прибуток (що залишилося) складають 100%. Частки K і L, 75% і 20% дорівнюють\(\alpha\) і\(\beta\). Це збіг? Ні, це властивість функціональної форми Кобба-Дугласа. Показник вказує вам частку доходів, які отримає фактор.

Ми також можемо вирішити цю проблему за допомогою аналітичного підходу. Ми знаємо об'єктивну функцію і можемо підставляти в кожному з значень параметра. \[\begin{gathered} %star suppresses line # \max\limits_{L,K} \pi = PAK^\alpha L^\beta - (wL+rK)\\ \max\limits_{L,K} \pi = 2*30*K^{0.2} L^{0.75} - (2L+3K)\end{gathered}\]Далі беремо похідні по відношенню до L і K, ставимо їх рівними нулю і використовуємо алгебру для розв'язання двох систем рівнянь умов першого порядку.

Ми можемо перемістити 20 і 50 в праву сторону, і це відразу виявляє рівнограничні умови:\(MRP_L = w\) and \(MRP_K = r\).

We solve the first equation for L and substitute it into the second equation to solve for optimal K. We use the rule that \((x^a)^b = x^{ab}\) to solve for L.

Підставляємо вираз для L у другу умову першого порядку.

Обчислити оптимальний L з виразу для L. \[L \mbox{*}=2.25^4K^{0.8}=2.25^4[152.6842]^{0.8}=1431.414\] Compute maximum profits. \[\pi \mbox{*}=2*30*[152.6842]^{0.2}*[1431.414]^{0.75}-2*[1431.414]-3*[152.6842]=\$1908.55\] This analytical solution is extremely close to Excel’s solution. Practically speaking, as we would expect, the two solutions are the same.

The Short Run

A slightly different version of the firm’s input profit maximization problem involves the short run when capital is not variable. By putting a bar over K, we highlight that capital is fixed. \[\max\limits_{L} \pi = PA\bar{K}^\alpha L^\beta - wL-r\bar{K})\] We do the analytical solution first this time and in general form. There is only one derivative (since there is only one choice variable) and one first-order condition.

КРОК Щоб побачити числову версію цієї задачі, перейдіть до аркуша OneVar.

Зверніть увагу, що існує тільки одна ендогенна змінна, L. Капітал був перенесений до екзогенного списку, оскільки ми знаходимося в короткостроковій перспективі.

Зверніть увагу також, що є два графіки. Кожен з них може бути використаний для представлення початкового рішення.

Нижче графіків можна побачити, що граничний дохідний продукт праці не дорівнює заробітній платі. Як відомо, це означає, що вам потрібно запустити Solver, оскільки фірма не оптимізує.

КРОК Запустіть Solver, щоб знайти початкове рішення. Ваш екран повинен виглядати як рис. 13.2.

Малюнок 13.2: Початкове оптимальне рішення в короткостроковій перспективі.

Джерело: InputProfitMax.xls! Один Вар.

Нижній графік показує, що оптимальне використання праці можна знайти там, де граничний дохідний продукт праці (крива) дорівнює заробітній платі (в $20/год). Це канонічний графік для задачі максимізації прибутку на стороні введення. Як і\(MR=MC\) на вихідній стороні, перетин двох граничних відносин миттєво виявляє оптимальне рішення.

Верхній графік - це інший спосіб перегляду точно такої ж проблеми. Він використовує виробничу функцію як обмеження (крива TRP) і відображаються три репрезентативні лінії ізоприбутку. Кожна лінія ізопрофіта показує комбінацію L і q, яка дає однаковий прибуток. Фірма намагається потрапити на найвищу ізоприбуток (на північний захід), дотримуючись обмеження. Він може котитися на кривій TRP (як він катається на ізокванті), поки не потрапить на ізопрофіт лінію, яка дотична до TRP.

Задача обмеженої оптимізації може бути записана так:\[\begin{gathered} %star suppresses line # \max\limits_{L,q} \pi = Pq - wL-r\bar{K}\\ \textrm{s.t. } q=A\bar{K}^\alpha L^\beta\end{gathered}\] для вирішення цієї проблеми можна застосувати метод Лагранжева. Природно, точно таке ж рішення виходить, якщо використовувати лагрангейський або більш поширений підхід безпосередньої підміни обмеження (виробничої функції) в функцію доходу.

Припустимо, ми хотіли перевірити, чи однакові аналітичні та числові результати. Потрібно оцінити вираз для оптимального L при значеннях параметрів в аркуші OneVar.

Вираз досить складний, що ввести його в клітинку, як ви б його написали, є поганою ідеєю. Скоріше за все, дужки можуть викликати плутанину. Краще створювати будиночки для кожної частини, потім заповнювати їх. Ось як.

КРОК Подивіться це коротке відео про те, як ввести складну формулу в Excel: vimeo.com/415967747.

Введення дужок у вигляді пар - хороша звичка розвиватися при роботі в електронній таблиці. Легко зробити порядок операцій помилки або отримати невідповідні дужки, якщо ви спробуєте ввести формулу, як на аркуші паперу.

КРОК Введіть формулу в осередок М28 (так само, як у відео), щоб потренуватися в будівництві будинків в формулах в Excel.

При цьому ви підтверджуєте, що аналітичні та числові методи дають практично однакову відповідь.

Інша короткочасна виробнича функція

Виробнича функція Кобба-Дугласа має багато переваг, включаючи те, що сума показників показує, чи збільшується повернення до масштабу, постійна або зменшується, якщо вони більші, рівні або менше одиниці. Однак, як тільки експоненти встановлені, функція може показувати лише ті повернення до масштабу.

Так само в короткостроковій перспективі, з фіксованим K, наша функціональна форма Кобба-Дугласа показала Закон зменшення віддачі, тому що\(\beta = 0.75\). Більш гнучка функціональна форма дозволить виробництву мати зростаючу та зменшувальну віддачу, оскільки додається більше робочої сили.

Як і кубічний многочлен, який ми використовували для функції загальної вартості, кубічна функціональна форма може дати нам S-подібну криву TRP. \[TRP=aL^3+bL^2+cL\]

КРОК Перейдіть до аркуша графіків, щоб побачити цю функціональну форму, реалізовану в наборі з чотирьох графіків, які можуть бути використані для представлення проблеми максимізації вхідного прибутку фірми (рис. 13.3).

Малюнок 13.3: Чотири графіки максимізації вхідного прибутку.

Джерело: InputProfitMax.xls! Графіки.

Вражає те, що ці графіки відображають чотири графіки, які ми використовували для опису проблеми максимізації прибутку на стороні випуску фірми. Два верхніх графіка показують загальний дохід і загальну вартість у верхньому лівому куті, а також загальний прибуток у верхньому правому куті. Нижні графіки відображають серію граничних та середніх кривих внизу ліворуч та граничного прибутку внизу праворуч.

Якщо ви уважно подивитеся, ви помітите, що речі трохи переключаються. Замість того, щоб загальна вартість була кривою (як це на вихідній стороні), це пряма лінія, оскільки загальна вартість коефіцієнта на стороні введення в короткостроковій перспективі є\(wL+ r\bar{K}\). З іншого боку, загальний дохід продукту (так названий, щоб відрізнити його від загального доходу на стороні випуску) є кривою (замість прямої лінії).

На відміну від канонічного графіка максимізації прибутку на вихідній стороні з U-подібними кривими MC, ATC та AVC та горизонтальною\(P = MR\) лінією, нижній лівий графік має горизонтальну лінію MFC, а функції MRP та ARP є криві, і вони перевернуті вниз головою.

Але є і ключові подібності. У грі діє рівномаргінальне правило:\(MFC=MRP\) розкриває використання робочої сили, яке максимізує прибуток. Також прямокутник\((ARP-AFC)L\) дає площу, яка дорівнює прибутку. Довжина прямокутника прибутку коливається від нуля до обраного обсягу найманої робочої сили. Висота - це різниця між середнім доходом продукту, ARP та середньою вартістю фактора, AFC. Площа цього прямокутника є прибутком, тому що\(ARP - AFC\) це прибуток на годину, тому множення на L, виміряне годинами, дає прибуток. Інший спосіб подумати про це полягає в тому, що множення L на ARP дає загальний дохід (оскільки\(L*TRP/L=TRP\)), а множення L на AFC дає загальні витрати (оскільки\(L*TFacC/L=TFacC\)). Віднімання прямокутника загальної вартості від загального прямокутника доходу залишає прямокутник прибутку.

Ще одна подібність між максимізацією вихідного та вхідного прибутку полягає в тому, що фірма має однакові чотири позиції прибутку.

КРОК На аркуші графіків натисніть на спадне меню (біля комірки Р4) і циклічно через всі позиції прибутку.

Як і у випадку з вихідною стороною, шок - це вихідна ціна. Як падає, так і максимальний прибуток.

Neg Profits, Contt Prod і Neg Profits, опції Shutdown показують, що фірма закриється, коли\(w>ARP\). Це аналогічно правилу\(P < AVC\) виключення. Слідкуйте за загальним прибутком у верхньому правому графіку, щоб побачити, що історія однакова фірма вирішує, чи негативний прибуток у кращому випадку з позитивних рівнів L краще, ніж наймати взагалі немає L.

З'єднання між входом і виходом просте. Фірма вимикається\(w > ARP\), коли ми можемо помножити на L, щоб дати\(wL > TRP\). Але wL і TRP - це TVC і TR на вихідній стороні. Ділимо обидва на q і отримуємо\(AVC>P\), що таке ж\(P<AVC\), як і звичайна сторона виходу Shutdown Rule. Крім того,\(wL > TRP\) версія Правила відключення підтримує твердження про те, що доходи повинні покривати змінні витрати фірми на виробництво.

Основні моменти максимізації вхідного прибутку

На цьому етапі ви можете страждати від повторюваного стресового синдромуми, здається, переходимо до одних і тих же ідей. Це важливий рівень, якого потрібно досягти в освоєнні економічного способу мислення. Звід знань з економіки ґрунтується на профільній методології оптимізації та порівняльної статики. Фреймворк використовується знову і знову і знову.

Як і кожна проблема оптимізації, проблема максимізації прибутку на стороні введення може бути організована в цілі, ендогенні та екзогенні змінні. Ця задача має канонічний графік (з МФЦ і MRP в якості ключових елементів) і рівномаргінальне правило\(MFC = MRP\).

Тому що фірма є постачальником вхідних цін,\(MFC=w\). Це означає, що кожна додаткова година праці додає w до загальної вартості. Якби фірма була монопсонією, це не було б правдою, і проблема оптимізації була б складнішою.

Нарешті, оскільки проблема максимізації вхідного прибутку є зворотною стороною проблеми максимізації прибутку на вихідній стороні, не повинно дивуватися, що ми можемо представити початкове рішення з набором чотирьох графіків. Паралелізм проходить через весь шлях до правила завершення роботи, де\(w>ARP\) еквівалентно\(P < AVC\). Ми знову підкреслимо зв'язки між вхідною та вихідною стороною в наступному розділі.

Вправи

1. Використовуйте аркуш TwoVar для обчислення довгострокової бета-еластичності\(L \mbox{*}\) від бета = 0,75 до бета-версії = 0,74. Покажіть свою роботу.

2. У аркуші питань і відповідей питання 4 просить вас знайти короткострокову бета-еластичність\(L \mbox{*}\) від бета = 0,75 до бета-0.74. Файл InputProfitMaxA.doc в папці «Відповіді» показує, що відповідь близько 28. Поясніть, чому короткострокова еластичність (яка, за загальним визнанням, досить велика) набагато менша, ніж довгострокова еластичність, яку ви обчислили в попередньому питанні.

3. Використовуйте Excel для налаштування та вирішення (звичайно, за допомогою Solver) обмеженої версії проблеми максимізації вхідного прибутку на аркуші OneVar. Зробіть знімок екрана свого рішення (включаючи комірку обмеження) та вставте його у свій документ Word.

4. На аркуші графіків виберіть Neg Profits, Shutdown випадок. Чи підтримує верхній, правий графік правило\(w>ARP\) завершення роботи? Поясніть.

Посилання

Епіграф від Джона Палмера на thesportseconomist.com/what-is-the-marginal-revenue-product-of-barry-bonds вказує на два шляхи для подальшого читання: спортивна економіка та блоги.

Світи економіки і спорту все частіше переплітаються. Є курси, конференції, журнали, присвячені економіці спорту. Класичний документ про бейсбол див. Саймона Роттенберга «Ринок праці бейсболістів», Журнал політичної економії, Том 64, № 3 (червень 1956), стор. 242—258, www.jstor.org/stable/1825886.

Існує, звичайно, багато блогів, присвячених економіці. На marginalrevolution.com та cafehayek.com часто інформативні та розважальні. Щодо макроекономіки, див. Грег Манкіу на gregmankiw.blogspot.com та Бред ДеЛонг на delong.typepad.com. Джон Кокрейн дасть вам вільну перспективу ринку на johnhcochrane.blogspot.com плюс, The Grumpy Economist - це чудове ім'я для блогу.