12.2: Виведення кривої пропозиції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 82061

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Найважливіший порівняльний статичний аналіз проблеми максимізації вихідного прибутку фірми заснований на відстеження$q \mbox{*}$ (кількості поставленої) у міру зміни цін, за інших рівних напрямків. Це дає нам криву пропозиції фірми.

Важливо пам'ятати, що крива пропозиції має дві частини:

МЦ при Р$>$ хв АВК
Нуль в іншому випадку (правило вимкнення)

Як завжди, у нашому розпорядженні числові та аналітичні методи для порівняльного статичного аналізу, який генерує криву пропозиції. Перш ніж ми почнемо, ми покажемо, як Solver можна модифікувати, щоб впоратися з можливістю закриття та переглянути той факт, що це не срібна куля.

Вирішувач проблем

КРОК Відкрийте книгу Excel DerivingSupply.xls, прочитайте вступний лист, а потім перейдіть до аркуша OptimalChoice, щоб побачити реалізацію проблеми максимізації прибутку фірми ПК в короткостроковій перспективі.

Лист виглядає як лист OptimalChoice в робочій книзі OutputProfitMaxPCSR.xls (з попереднього розділу), але має кілька додаткових осередків.

Заяви IF у комірках C4 та C8 аркуша OptimalChoice - це зручний спосіб включити опцію відключення фірми.

КРОК Натисніть на C8, щоб виявити його формулу: = ЯКЩО (максимальний прибуток$>= -$ d, q, 0). Ми будемо використовувати цю осередок як правильне оптимальне рішення у всіх випадках, включаючи випадок відключення.

Легко помітити, що Solver був запущений, тому що$q \approx 10$ в осередку B8,$MR = MC$ так як$P=4$ і комірка B18 звіти$MC=4$. Цей q, однак, не є оптимальним рішенням, оскільки комірка B4 показує, що$\pi = - 15$ (використовуючи загальну угоду, що «()» позначають негативні числа). Цій фірмі було б краще взагалі не виробляти і страждати втрати$TFC= - 5$. Правило вимкнення говорить те ж саме, оскільки$P < AVC$ (осередок B15 - $5).

Хоча відповідь Solver неправильна (оскільки він знайшов вершину пагорба прибутку, яка нижча за перехоплення y$-TFC$), ми можемо додати крок до Solver, де ми перевіряємо саме цю ситуацію. Це те, що роблять клітини С8 і С4.

Вираз$max\_profit \geq -d$ використовується для перевірки того, чи відповідь Solver (внутрішнє рішення) має більший прибуток, ніж негативні загальні постійні витрати (кутове рішення). Якщо true, він зберігає рішення Розв'язувача; якщо false, оптимальним рішенням буде нуль (вимкнено).

Розв'язувач знайде найкращий з позитивних рівнів виводу в комірці B8 та оператор IF у комірці C8 перевіряє, щоб переконатися, що найкраще рішення (з q$>$ 0) краще, ніж вимкнення та нічого не виробляє (q = 0).

При P = 4 найкращий з усіх позитивних рівнів виведення, q = 10, забезпечує прибуток мінус 15 доларів. Клітини C4 і C8 показують, що виробництво нічого не дає більш високий прибуток (і менший збиток) мінус 5 доларів і є правильним оптимальним рішенням.

Хоча це поліпшення в порівнянні з ручною перевіркою відповіді Solver, є ще одна потенційна проблема з Solver в цьому додатку.

КРОК Щоб побачити проблему, встановіть P (осередок B12) на 7 і запустіть Solver.

Оптимальним q є приблизно 13.09, і фірма користується надприбутком. Клітини B4 = C4 і B8 = C8, оскільки відповідь Solver дає прибуток більше мінус TFC. Все добре.

КРОК Тепер встановіть комірку B8 = 1. Запустіть Solver з цього початкового значення.

Результат вирішувача катастрофічний! Що сталося?

КРОК Натисніть кнопку, щоб побачити, чому починаючи з q = 1 призводить Solver оману.

Пояснення на аркуші дає зрозуміти, що початкове або початкове значення може відігравати критичну роль при використанні числових методів. Ця задача максимізації прибутку має досить складну поверхню, що числовий алгоритм, такий як Solver, не може легко розрізнити локальні та глобальні оптимальні рішення. Простого виправлення не існує. Урок полягає в тому, що ви повинні знати проблему оптимізації, з якою ви маєте справу, і бути обережним інтерпретуючи відповіді, надані числовим алгоритмом.

Пояснення невдачі Solver передбачає мінімальну точку функції прибутку, і це дає можливість пояснити два корені в квадратичній формулі. Картинка, в даному випадку, дійсно коштує тисячі слів.

КРОК Натисніть кнопку.

Клітинка Z17 має інший корінь з квадратичної формули (обчислюється шляхом додавання замість віднімання квадратного кореневого члена). Обидва корені - це місця, де функція прибутку плоска (у верхньому правому графіку на аркуші). Зверніть увагу, як пунктирні лінії з максимальної та мінімальної точок прибутку призводять до точок, де граничний прибуток ($m \pi$) дорівнює нулю. Це два корені в квадратичній формулі.

Два корені також можна побачити на канонічному, нижньому лівому графіку як дві точки, де MR і MC перетинаються. Звичайно, ми дбаємо лише про корінь, який максимізує прибуток. Один із способів забезпечити$MR=MC$ максимальний прибуток - це переконатися, що$MC < MR$ зліва від перехрестя. Іншими словами, MC вирізає МР знизу.

Чисельні методи отримання кривої пропозиції

КРОК Встановіть комірку B8 назад на 10 і P = 4, так що Solver буде сходитися до локального макс$q = -15$.

КРОК Запустіть майстер порівняльної статики$P = 4$ з 0.05 розміром шоків 100 разів. Відстежуйте клітини C4 та C8 як ендогенні змінні. Ви можете сміливо ігнорувати попередження, яке ви використовуєте CSWiz для відстеження цих комірок, але не буде включати їх як змінні комірки в діалоговому вікні «Вирішувач».

Ваші результати будуть виглядати як ті, що в CS1 аркуші. Зверніть увагу, що за низькими цінами фірма нічого не виробляє. Це частина кривої пропозиції, де фірма закривається, щоб максимізувати прибуток.

Криву пропозиції та зворотні криві пропозиції можуть бути побудовані за допомогою даних CSWiz, як показано на малюнку 12.7 та аркуші CS1. Звичайно, хвіст проходить уздовж осі кількості аж до нуля. Так само, як і крива попиту,$q=f(P)$ є крива пропозиції і перевертання осей$P=f^{-1}(q)$, дає зворотну криву пропозиції.

Малюнок 12.7: Виведення кривих подачі та зворотної подачі.

Джерело: *DerivingSupply.xls! CS1*.

Малюнок 12.7 застосовує наше звичне графічне виклад. Крайня ліва діаграма - це основний графік, з якого створюються інші діаграми. Ми шокуємо П і відстежуємо$q \mbox{*}$. Це дає криву пропозиції.

На відміну від кривої попиту, однак, зверніть увагу, що крива пропозиції слідує за MC до тих пір, поки P не нижче AVC. Розрив знаходиться на мінімальному AVC. Рядок 32 аркуша CS1 показує, що перерва відбувається для цієї функції витрат між $4.90 і $4.95. Ціни нижче цього мінімального значення AVC призводять до того, що кількість не постачається, оскільки фірма закривається.

Для пошуку розриву можуть бути використані аналітичні методи. Спочатку отримаємо вираз для AVC. \[\begin{gathered} %star suppresses line # TC=0.04q^3 - 0.9 q^2 + 10 q + 5\\ TVC=0.04q^3 - 0.9 q^2 + 10 q\\ AVC=\frac{TVC}{q}=0.04q^2 - 0.9 q + 10 \end{gathered}\]Потім беремо похідну АВК щодо q і ставимо її рівною нулю, щоб знайти її мінімальну точку. \[\begin{gathered} %star suppresses line # \min\limits_{q} AVC=0.04q^2 - 0.9 q + 10\\ \frac{dAVC}{dq}=0.08q - 0.9 = 0\\ q \mbox{*} = \frac{0.9}{0.08}=11.25\end{gathered}\]Підключивши це мінімальне значення виводу до функції AVC, ми знаємо ціну, за якою починається розрив. \[AVC[q=11.25]=0.04[11.25]^2 - 0.9 [11.25] + 10=4.9375\]У аркуші CS1 розрив відбувається при зростанні ціни з $4,90 до $4,95. Наша аналітична робота говорить нам, що розрив рівно становить $4.9375. Будь-яка ціна нижче цієї дає оптимальний q нуль.

Зверніть увагу, як ми використовували похідну, щоб знайти значення q, при якому швидкість зміни кривої AVC дорівнювала нулю. Це нижня частина U-подібної кривої AVC, і ціни нижче цього AVC призводять до закриття. Урок полягає в тому, що похідна - це інструмент, який має різноманітне використання.

Лист CS1 також обчислює цінову еластичність пропозиції в колонці E.

КРОК Прокрутіть вниз, щоб побачити порівняння нахилу та пружності за допомогою$\Delta$ та похідних підходів.

У цьому випадку два підходи не зовсім однакові, оскільки$q \mbox{*}$ є нелінійними в P. Лист має всі деталі на випадок, якщо ви хочете освіжити своє розуміння цієї концепції.

Аналітичні методи отримання кривої пропозиції

Для аналітичного підходу ми використовуємо іншу функцію витрат, щоб дати нам більше практики. \[TC(q)=q^2+20\]За допомогою цієї квадратичної функції витрат ми можемо налаштувати та вирішити проблему максимізації прибутку фірми ПК. Оскільки це цілком конкурентоспроможна фірма, ми знаємо, що ціна дається і, таким чином,$TR = Pq$. Тому задача оптимізації така:\[\max\limits_{q} \pi=Pq-(q^2+20)\] Ми продовжуємо, взявши похідну щодо q і встановивши її на нуль, а потім вирішуємо цю умову першого порядку для оптимального q. \[\frac{d \pi}{dq}=P-2q=0\]\[q \mbox{*}=\frac{1}{2}P\]Це і є функція харчування. Це дає кількість, що постачається фірмою за кожною заданою ціною. Наприклад, з$P = 20$,$q \mbox{*}$ = 10.

Зворотна крива подачі знаходить шляхом вираження рівняння як$P=f(q)$. \[P=2q \mbox{*}\]Функція харчування говорить нам, що$q \mbox{*}$ збільшується в півтора рази за кожне збільшення P. Розмір зміни P не має значення, оскільки$\frac{dq}{dP}$ є постійним.

Цінова еластичність пропозиції є$+1$. \[\begin{gathered} %star suppresses line # \frac{dq}{dP} = \frac{1}{2}\\ \frac{dq}{dP}\frac{q}{P} = \frac{1}{2}\frac{P}{\frac{1}{2}P}=1\end{gathered}\]Ми можемо обчислити цінову еластичність пропозиції від однієї точки до іншої. Ми знаємо, що в$P=20$,$q \mbox{*} = 10$. Якщо$P=30$,$q \mbox{*} = 15$. Зростання ціни на 50% призвело до 50% збільшення кількості, що постачається, тому еластичність цін на пропозицію є$+1$. Результат такий же, як і похідний підхід, оскільки$q \mbox{*}$ є лінійним у P.

Комп'ютерна фірма з квадратичною функцією витрат не закриється з будь-якою ціною, більшою за нуль. Побудувавши своє сімейство кривих витрат та графік оптимального рішення, ми можемо зрозуміти, чому. Починаємо з кривих витрат. Ми знаємо$TVC = 2q$ і$TFC = 20$. Тоді ми можемо знайти середню та граничну криві. \[\begin{gathered} %star suppresses line # ATC(q)=\frac{TC}{q}=\frac{q^2+20}{q}=q+\frac{20}{q}\\ AVC(q)=\frac{TVC}{q}=\frac{q^2}{q}=q\\ MC(q)=\frac{dTC}{dq}=\frac{d(q^2+20)}{dq}=2q\end{gathered}\]

КРОК Перейдіть до аркуша графіків, щоб побачити чотири графіки відображення оптимального рішення для цієї задачі.

Якщо$P = 20$, то$q \mbox{*} = 10$ і$\pi \mbox{*} = \$80$. Також очевидно, що немає позитивної ціни, за якою ця фірма закриється, оскільки AVC - це просто промінь з нахилом$+1$ від походження. Таким чином, ціна ніколи не може опуститися нижче AVC.

Зверніть увагу також, як є лише одна точка$MR=MC$, де, на відміну від двох перетинів, які ми бачили з функцією кубічних витрат. Квадратична функція витрат не може створити S-подібний TC, необхідний для того, щоб функція прибутку мала мінімальний прибуток внизу U-образної форми. Функція прибутку на верхньому правому графіку має одну вершину пагорба (де$m \pi = 0$).

Точки поза кривою пропозиції

Як ми зробили з кривою попиту (див. Рис. 4.12), ми можемо дослідити значення виходу з кривої пропозиції. Тлумачення досить схоже.

КРОК Поверніться на аркуш CS1 і маніпулюйте точкою від кривих подачі та зворотної подачі за допомогою смуги прокрутки в стовпці E.

На малюнку 12.8 показано, що знаходиться на вашому екрані, але в Excel можна перемістити червону крапку. Як ви робите, вибране q і прибуток для цієї кількості відображається.

Малюнок 12.8: Точки від кривої пропозиції.

Джерело: *DerivingSupply.xls! CS1*.

Прибуток максимізується, коли ви знаходитесь на кривій пропозиції. Зрозуміло, що крива пропозиції, як і крива попиту, має прихований третій вимір прибутку на пропозицію і корисність для попиту. На самій правій панелі показано гору і те, як ви наближаєтеся до вершини при оптимальному рішенні. Лінія хребта, що з'єднує вершини гір, є кривою пропозиції. Як і крива попиту, точки від кривої пропозиції пов'язані з нижчими значеннями цільової функції.

Зверніть увагу, як точка кривої рухається вертикально на графіку кривої пропозиції та горизонтально на графіку зворотної кривої пропозиції. Відбувається це тому, що ціна постійна (при P = 6,25). З ціною на осі х точки можуть бути вище або нижче кривої пропозиції. Точки від зворотної кривої подачі знаходяться праворуч або ліворуч, оскільки P знаходиться на осі y.

Нарешті, на зворотній кривій пропозиції неефективність виходу з кривої очевидна, оскільки вихідні рівні від зворотної кривої пропозиції означає, що фірма не вибирає точку, де$MR (= P) = MC$.

Крива пропозиції має батьків

Як і криві попиту та витрат, пропозиція походить від проблеми оптимізації. Знання того, звідки беруться ключові відносини, відокремлює вступний від більш просунутої економіки і є важливим аспектом оволодіння економічним способом мислення.

Крива пропозиції являє собою порівняльний статичний аналіз впливу на оптимальну кількість при зміні цін, в інших рівних випадках.

На відміну від кривої попиту, крива пропозиції має розрив, оскільки фірма закриється, якщо ціна опуститься нижче AVC. Крива пропозиції критично залежить від функції витрат фірми. Зворотна крива пропозиції просто MC вище AVC і нуль в іншому випадку. Фірма вибере той рівень випуску, де до тих$MR (=P) = MC$ пір, поки$P > AVC$.

Як і крива попиту, точки від кривої пропозиції інтерпретуються як неефективні рішення проблеми оптимізації. Хоча це можливо, жоден оптимізуючий агент не вибрав би точку від кривої пропозиції (або попиту).

Вправи

Що станеться з короткостроковою кривою пропозиції, якщо зарплати зростуть? Поясніть. Скористайтеся інструментами малювання Word, щоб створити графік із зображенням вашої відповіді.
Що станеться з зворотною короткостроковою кривою пропозиції, якщо зарплати зростуть? Поясніть. Скористайтеся інструментами малювання Word, щоб створити графік із зображенням вашої відповіді.
Що станеться з короткостроковою кривою пропозиції, якщо орендна ставка капіталу збільшується? Поясніть.
Що станеться з короткостроковою кривою пропозиції, якщо ціна (P) зростає? Поясніть.
Припустимо, що фірма не працює на короткостроковій кривій пропозиції, але в точці, де$MR = MC$. Використовуйте інструменти малювання Word, щоб намалювати функцію прибутку для цієї ситуації та позначити точку Z, яка відповідає передбачуваним умовам.

Посилання

Епіграф походить зі сторінки 92 англійського перекладу 1897 р. Досліджень Огюстена Курно з математичних принципів теорії багатства. Ця книга була спочатку опублікована французькою мовою в 1838 році. Це чудова робота, воістину далеко випереджаючи свій час.

Cournot (вимовляється coor—no) вирішує проблеми максимізації прибутку для різних ринкових структур, включаючи монополію, необмежену (сьогодні її називають досконалою) конкуренцією та проміжні випадки невеликої кількості фірм. Він використовує похідні та інтеграли з численними опорними цифрами, включаючи попит і пропозицію з ціною на осі х. Курно не був пов'язаний конвенцією Маршалла P на осі y, оскільки відомі графіки попиту та пропозиції Маршалла не з'являться до 1890 року.

Математична експозиція була просто поза досяжністю багатьох читачів у 1838 році, і книга нудилася в невідомості аж до підйому математики в економіці. Ви знову почуєте ім'я Курно в розділі Теорія ігор.