11.3: Виведення функції витрат

Ми вирішили проблему мінімізації вхідних витрат, тому наступним завданням є порівняльний статичний аналіз. Ми зосередимось на шокуючому q (кількості, яку фірма повинна виробляти) та відстежуємо мінімальну загальну вартість. Взаємозв'язок між\(TC\mbox{*}\) і q називається функцією витрат.

Новизна тут полягає в тому, що нас не цікавить, як змінюються оптимальні значення ендогенних змінних, L і K, коли ми шокуємо q. Натомість ми зосереджуємось на цільовій функції, мінімальній загальній вартості та тому, як вона змінюється у міру зміни q.

Іншим важливим аспектом порівняльного статичного аналізу для проблеми мінімізації вхідних витрат є те, що, на відміну від корисності в теорії поведінки споживачів, загальна вартість може бути кардинально виміряна. Ми можемо порівняти загальні витрати різних фірм і виконати арифметику за загальною вартістю. Якщо мінімальний TC для\(q=10\) $40 і він піднімається до $45\(q=11\), коли, можна сказати, TC збільшився на 5 доларів. Оскільки TC є кардинальним, ми зможемо інтерпретувати і використовувати множник Лагрангея.

Як завжди, ми вивчимо обидва способи зробити порівняльну статику:

• Числові методи за допомогою комп'ютера: Розв'язувач Excel та майстер порівняльної статики.

• Аналітичні методи з використанням алгебри і числення: звичайний папір і олівець.

Чисельні методи отримання функції витрат

КРОК Відкрийте книгу Excel DerivingCostFunction.xls, прочитайте аркуш вступу та перейдіть до аркуша OptimalChoice.

Організація така ж, як і в робочій книзі InputCostMin.xls. Спосіб мінімізації витрат виробництва 100 одиниць продукції полягає у використанні близько 183,3 годин праці з 32,6 машинами, що коштує 464,38 доларів. Немає іншої комбінації L і K, яка робить 100 одиниць при меншій вартості.

Що буде, якщо фірмі потрібно виробляти більше, скажімо, 110 одиниць продукції?

КРОК Змініть комірку B18 на 110.

Графік оновлюється, показуючи новий (червоний) isoquant. Початкова комбінація не є життєздатним варіантом, оскільки вона не може виробляти 110 одиниць. Фірмі доводиться проводити повторну оптимізацію.

КРОК Запустіть Solver, щоб знайти нове оптимальне рішення.

Збільшення витрат, що мінімізують кількість робочої сили та капіталу, щоб виробляти вищу необхідну продукцію, а мінімальна загальна вартість зараз становить 513,39 доларів США. Шукаємо мінімальну загальну вартість. Ми хочемо знати найдешевший спосіб виробництва будь-якої даної продукції. Це називається функцією витрат.

Ми можемо показати порівняльний статичний аналіз на графіку ізоквант-ізокост або на графіку презентації, де ми будуємо графік\(TC\mbox{*}=f(q)\), в інших рівних випадках. Якби ми з'єднали точки дотику ізоквантів і ізокост, ми б отримали найменший витратний шлях розширення (LCEP).

Наша робота поки що виявила два моменти щодо функції LCEP та витрат: коли q = 100, TC = $464,38 і коли q = 100, TC = $513,39. Давайте використаємо майстер порівняльної статики, щоб отримати більше даних, щоб ми могли намалювати функції LCEP та витрат та зрозуміти, як вони пов'язані.

КРОК Поверніть комірку B18 до 100, а потім запустіть майстер порівняльної статики, застосовуючи 10 q ударів з кроком 10.

Лист CS1 показує, як повинні виглядати ваші результати. Лист CS1 включає два графіки, графік ізоквант-ізовартості з найменшим шляхом розширення витрат та функцію витрат, як показано на малюнку 11.10.

Малюнок 11.10: Виведення функції витрат.

Джерело: DerivingCostFunction.xls! CS1

Малюнок 11.10 повинен нагадувати про вас інші графіки, які ми намалювали, такі як криві Енгеля та попиту. Ліворуч, використовуючи відображення оптимального рішення задачі мінімізації вхідних витрат, ми показуємо, як різні q створюють набір точок дотику, що складають LCEP.

Справа на малюнку 11.10 показуємо лише мінімальні витрати на виробництво кожного рівня q, і приховуємо все інше. Це дозволяє виділити взаємозв'язок між ТК і q.

Два графіки на малюнку 11.10 дають зрозуміти, що джерелом функції витрат є оптимальне рішення задачі мінімізації витрат, оскільки q змінюється. Подібно до того, як криві попиту не виходять з повітря, а походять від максимізації корисності, функції витрат походять від мінімізації вхідних витрат.

Нас цікавить форма функції витрат. Це схоже на лінію, але чи дійсно вона лінійна? Щоб це з'ясувати, ми можемо побачити, чи має він постійний нахил. Якщо нахил змінюється, ми знаємо, що функція не лінійна.

КРОК У вашому аркуші CS знайдіть нахил у різних точках функції, обчисливши зміну ТК, розділену на зміну q.

Натисніть кнопку (біля осередку C9 на аркуші CS1), якщо ви застрягли або перевіряєте свою роботу. Зрозуміло, що нахил змінюється в міру зміни виходу. Це означає, що функція витрат нелінійна.

Аналітичні методи виведення функції витрат

Ми можемо використовувати метод Лагрангея, щоб знайти\(TC\mbox{*} = f(q)\). Ми залишимо q як букву замість числа, щоб рішення зменшеної форми включало q. Тоді ми можемо підключити будь-яке значення q, щоб знайти мінімальну вартість для цього q і легко намалювати графік функції витрат.

Рішення уважно стежить за роботою, яку ми зробили на початку цієї глави, але ми продовжуємо крок за кроком практикувати та підсилювати метод Лагрангея.

Проблема полягає\[\begin{gathered} %star suppresses line # \min\limits_{L,K}TC=2L+3K\\ \textrm{s.t. } q = L^{0.75}K^{0.2}\end{gathered}\] в тому, що перший крок - переписати обмеження так, щоб воно дорівнювало нулю. \[q - L^{0.75}K^{0.2}=0\]Другий крок полягає у формуванні лагрангейського шляхом додавання лямбда\(\lambda\), разів переписане обмеження до початкової цільової функції. Ми використовуємо надзвичайно велику L для функції Лагрангея, яка зовсім не пов'язана з L для праці. \[\begin{gathered} %star suppresses line # \min\limits_{L,K, \lambda}{\large\textit{L}}=2L+3K + \lambda (q- L^{0.75}K^{0.2})\end{gathered}\]Третім кроком до пошуку оптимального рішення є взяття похідної Лагрангея щодо кожної ендогенної змінної і встановлення кожної похідної на нуль (даючи нам умови першого порядку).

Четвертий, і останній, крок полягає в вирішенні цієї системи рівнянь для\(L\mbox{*}\)\(K\mbox{*}\), і\(\lambda \mbox{*}\). Переміщаємо терміни з лямбда в перших двох рівняннях в праву сторону, а потім ділимо перше рівняння на друге. Показники відміняють красиво (див. Розділ 11.1), і ми отримуємо\(L = 5.625K\). Це не рішення зменшеної форми, оскільки L не є функцією лише екзогенних змінних. Ми підставляємо цей вираз для L в третю умову першого порядку, щоб отримати оптимальний K, а потім оптимальний L, як показано нижче.

Нарешті, ми підставляємо оптимальні рішення для\(L\mbox{*}\) та\(K\mbox{*}\) у вихідну цільову функцію.

Цей вираз є функцією загальної вартості. Це дає найдешевшу вартість виробництва будь-якої заданої кількості продукції. Якщо q = 100, ТК = 464,38$. Не дивно, що це погоджується з нашими результатами за допомогою числових методів.

Зверніть увагу також, що функція витрат явно нелінійна. Він збільшується зі зростаючою швидкістю, оскільки показник на q більше одиниці (\(\frac{1}{0.95} \approx 1.05\)). Похідна ТК щодо q, нахилу, не є постійною, оскільки вона залежить від q. Якби показник дорівнював рівно 1, то нахил був би постійним, а ТК - лінією. Той факт, що цей показник лише трохи більше одного, пояснює, чому TC виглядає майже лінійним на малюнку 11.10.

Інтерпретація точок від функції витрат

Коли ми вивели криву попиту з оптимізації «максимізувати корисність з урахуванням бюджетних обмежень», ми досліджували, що означає бути поза кривою попиту (див. Рис. 4.12). Ми дізналися, що точки ліворуч або праворуч від зворотної кривої попиту (з ціною на осі y) означають, що споживач не оптимізується, тобто споживач не вибирає точку дотику між кривою байдужості та бюджетним обмеженням.

Ми можемо провести такий же запит тут, задаючи це питання: Що означає бути поза функцією витрат?

На відміну від зворотної кривої попиту, де екзогенна змінна знаходиться на осі y, функція витрат графікується відповідно до звичайної математичної конвенції, з екзогенною змінною, вихід, на осі x. Таким чином, точки від кривої інтерпретуються вертикально вище або нижче функції витрат.

Що означає, якщо точка знаходиться вище кривої витрат? Малюнок 11.11 допомагає нам відповісти на це питання. Зліва - знайомий графік ізокванту/ізовартості. Найдешевший спосіб отримання одиниць потужності q0 - це комбінація L і K в точці з маркуванням\(TC\mbox{*}\). Графік праворуч від малюнка 11.11 показує, що\(TC\mbox{*}\) це точка на функції витрат на виході q0.

Малюнок 11.11: Розуміння точок функції витрат.

Точка Z, точка вище функції витрат, виявляє, що фірма виробляє рівень випуску q0 за загальною вартістю вище мінімальної загальної вартості. Це означає, що фірма вибирає вхідну суміш, яка не мінімізує витрати. Точка Z на графіку зліва від малюнка 11.11 повинна лежати на ізокосту вище тангенса ізокоста. Ми точно не знаємо, де точка Z знаходиться на графіку зліва (тому ми не знаємо, чи є технічна чи розподільна неефективність), але ми знаємо, що вона повинна бути десь на ізовартості, позначеній TCZ, яка має загальну вартість таку ж, як вартість виробництва точки Z (на графіку праворуч).

Точка Y з правого боку малюнка 11.11 знаходиться нижче функції витрат. Як ця точка може бути згенерована графіком зліва? Це не може. Існує ізовартість із загальною вартістю, рівною тій, що в точці Y, але вона нижче ізоквантної і, отже, недосяжна. Іншими словами, точка Y насправді не існує. Фірма не може виробляти q0 одиниць продукції за будь-яку ціну менше\(TC\mbox{*}\).

Інший спосіб мислення про ТК геометрично, полягає в тому, що над ТК є точки, але тільки порожній простір під ним. Звичайно, на друкованій сторінці, дошці або екрані комп'ютера є пробіл вище і нижче TC, і ви можете написати на ньому (так само, як і точка Y на малюнку 11.11), але це вводить в оману. Насправді нижче ТК немає нічого, повна порожнеча. Якби ви намагалися поставити там крапку, ваша рука пройшла б через папір!

Це має наслідки поза чистою теорією. Той факт, що нижче функції витрат немає точок, означає, що ми ніколи не повинні розміщувати лінію через хмару точок, щоб оцінити функцію витрат. Замість найменших квадратів підходу до оцінки функції витрат методи оцінки в стохастичній прикордонній літературі засновані на підгонці кривої навколо спостережуваних точок, як на малюнку 11.12.

Малюнок 11.12: Оцінка функції витрат.

Зміни у функції витрат

Ви дізналися у вступній економіці, що ціна викликає рух вздовж кривої попиту, але інші потрясіння (наприклад, збільшення доходу) змінюють попит, що призводить до зміни всієї кривої. Те ж саме відбувається і з функцією витрат. Зміна q призводить до переміщення по функції TC, але інші екзогенні змінні викликають зрушення функції витрат.

КРОК. Переходимо до листа CostFN.

На аркуші відображається функція витрат, побудована на графіку з даних над ним. Дані в стовпцях L і M фактично є формулами для виразів зменшеної форми для\(L\mbox{*}\) і\(K\mbox{*}\). Стовпець N має мінімальну загальну вартість для тестової задачі і не зміниться, оскільки комірки є лише цифрами (тому вона позначена «Мертвий (початковий)»). Стовпець O, однак, має вираз зменшеної форми для\(TC\mbox{*}\) і буде оновлюватися, якщо буде змінено будь-який з базових параметрів (отже, мітка «Live»).

КРОК Клацніть на кілька комірок у стовпцях L, M, N та O, щоб побачити формули та значення.

Наводяться і заносяться в осередки загальні версії скорочених форм для виробничих функцій Кобба-Дугласа. Вирази виглядають складним (і їх нудно виводити), але виведення є простим: залиште кожну екзогенну змінну як букву і знайдіть оптимальне рішення для L\(\lambda\), K та загальної вартості.

Спочатку N і O однакові, оскільки значення екзогенних змінних ще не змінені. Давайте зробимо це зараз.

КРОК Змініть комірку B20, показник показника на L, на 0,8.

Ваш екран виглядає як малюнок 11.13. Збільшення продуктивності праці змістилося вниз по кривій загальної вартості. Це має сенс. Збільшення c зробило його дешевшим виробництво будь-якої даної продукції.

Малюнок 11.13: Загальна вартість зсувається вниз, коли продуктивність праці зростає.

Джерело: DerivingCostFunction.xls! Вартість FN

Ви можете експериментувати з іншими поштовхами до функції витрат. Змініть вхідні ціни, вхідні показники або A, щоб побачити, як змінюється функція витрат. Натисніть кнопку або ctrl-z (скасувати) після кожного судового розгляду. Підключіть те, що ви бачите на екрані, із застосованим ударом. Зміни в q не мають видимого ефекту, оскільки ви просто рухаєтеся по функції витрат.

Усний переклад\(\lambda \mbox{*}\)

Ми закінчуємо цю главу тим, що множник Лаграже\(\lambda \mbox{*}\) має корисну інтерпретацію в задачі мінімізації вхідних витрат. Ми побачимо, що це\(\lambda \mbox{*}\) дає простіший спосіб отримати функцію витрат, ніж рішення обмеженої проблеми мінімізації витрат з q як буквою та знахідкою\(TC\mbox{*} = f(q)\).

Ярлик функції витрат використовує той факт, що\(\lambda \mbox{*}\) дає миттєву швидкість зміни оптимального значення цільової функції, оскільки обмеження змінюється. Таким чином,\(\lambda \mbox{*}\) сигналізує про те, як розслаблення обмеження вплине на мету.

Для максимізації комунальних послуг ми могли б послабити обмеження, збільшивши дохід. Бюджетне обмеження у лагрангейців\(m - p_1x_1 - p_2x_2 = 0\) так, як m піднімається, споживач зможе досягти більшої максимальної корисності. Лагрангейський множник говорить нам, наскільки більше корисності отримується у міру збільшення доходу. На жаль, корисність порядкова, тому\(\lambda \mbox{*}\) не має корисної інтерпретації в теорії поведінки споживачів.

У обмеженій проблемі мінімізації вхідних витрат все по-іншому. Об'єктивною функцією в даному випадку є мінімальна сумарна вартість і вимірюється за кардинальною шкалою. Ми можемо безпосередньо спостерігати мінімальну загальну вартість та змістовно порівнювати, як вона змінюється всередині фірми та різних фірм. Це означає, що ми можемо застосувати інтерпретацію\(\lambda \mbox{*}\) до мінімізації вхідних витрат.

Обмеження у лагрангейців є\(q - f(L,K)\). Якщо ми змінюємо обмеження, маючи фірму виробляти ще одну одиницю продукції, ми знаємо, що загальна вартість зросте, коли ми перейшли до більш високого isoquant. Значення\(\lambda \mbox{*}\) говорить нам про те, наскільки мінімальна загальна вартість зросте.

Наприклад, при q = 100 в DerivingCostFunction.xls,\(\lambda \mbox{*}\) це близько $4.89. Підтвердити це можна числовими методами (використовуючи Розв'язувач Excel та отримання звіту про чутливість) або аналітичними методами, вирішуючи для\(\lambda \mbox{*}\) трьох умов першого порядку. Так чи інакше, ви отримаєте (майже точно) однакову відповідь.

Але про що це нам говорить? Значення $4.89 означає, що якщо ми збільшимо випуск на нескінченно невелику суму, мінімальна загальна вартість зросте на $4.89 рази. Давайте використовувати Excel для роботи над цим.

КРОК Натисніть кнопку в аркуші CostFN і погляньте на виділену осередок з жовтим фоном (Р8). Натискаємо на неї і читаємо формулу.

Значення Р8 становить 4,99 дол. Це близько до\(\lambda \mbox{*}\) вартості $4.89, але не зовсім так само. Що відбувається?

КРОК. Перейдіть на аркуш CS1 і погляньте на виділену, жовто-фонову осередок (Е15) (при необхідності натисніть кнопку). Його вартість становить $4,90.

Це набагато ближче до\(\lambda \mbox{*}\) вартості $4.89. Чому? Оскільки зміна q набагато менша на аркуші CS1, ніж у аркуші CostFn. У міру наближення зміни q до нуля буде наближатися зміна\(TC\mbox{*}\) розділеного на зміну q\(\lambda \mbox{*}\).

КРОК Поверніться до аркуша CostFN і змініть осередок К8 з 200 на 110. Це відтворює значення аркуша CS1 для\(\lambda \mbox{*}\). Далі встановіть К8 на 101. Що ви бачите?

З K8 встановити на 101 так\(\Delta q = 1\)\(\frac{\Delta TC}{\Delta q} = \$4.89\), що, значення\(\lambda \mbox{*}\). Ну, насправді, не зовсім $4.89. Якби ми відображали більше десяткових знаків у P8 і обчислили значення\(\lambda \mbox{*}\) більше знаків після коми, два не погодяться. Але вони наблизилися б, чим менше ми зробили\(\Delta q\).

Звичайно, це не що інше, як демонстрація ідеї похідної. Якщо ви спантеличені тим, як\(\frac{\Delta TC}{\Delta q}\) може бути, що близько до CS1 аркуша (різниця\(\lambda \mbox{*}\) в один цент здається досить невеликою), враховуючи, що зміна q становить 10 одиниць (що навряд чи нескінченно мало), відповідь лежить у функції загальної вартості: Це просто не дуже пишні. Оскільки\(TC \mbox{*}\) слід майже (але не зовсім) пряма лінія, обчислюючи нахил від q = 100 до q = 110 близький до нахилу дотичної лінії при q = 100.

Мета роботи вище полягала в тому, щоб переконати вас в цьому\(\lambda \mbox{*} = \frac{dTC}{dq}\). Множник Лагрангея дає миттєву швидкість зміни мінімальної загальної вартості по відношенню до випуску продукції.

КРОК. Ви можете підтвердити твердження, що\(\lambda \mbox{*} = \frac{dTC}{dq}\) змінивши параметри в аркуші CostFN і стежачи за трояндою-фоном осередку H31. Він обчислює різницю між\(\lambda \mbox{*}\) H13 і\(\frac{dTC}{dq}\) в H30. Різниця завжди дорівнює нулю, тому що ці дві речі,\(\lambda \mbox{*}\) і\(\frac{dTC}{dq}\) рівнозначні.

Ви можете запитати: «Так що?» Іншими словами, що ми можемо зробити зі знанням цього\(\lambda \mbox{*} = \frac{dTC}{dq}\)? Багато. З одного боку, ми можемо легко вивести функцію витрат. Зрештою, швидкість зміни загальної вартості у міру зміни вихідної продукції є граничною вартістю (MC). Таким чином,\(\lambda \mbox{*} = \frac{dTC}{dq} = MC(q)\). Це означає, що ми можемо легко отримати загальну функцію витрат, просто\(\lambda \mbox{*}\) інтегруючи стосовно q.

Крім того, як ми побачимо, коли ми вирішимо проблему максимізації вихідного прибутку, ми зазвичай хочемо граничного доходу та граничних витрат, тому знаючи, що це\(\lambda \mbox{*} = \frac{dTC}{dq}\) може бути справжнім ярликом. Якщо у нас є\(\lambda \mbox{*}\), то нам не доведеться виводити,\(TC\mbox{*} = f(q)\) а потім брати похідну, щоб отримати MC.

Функція витрат має батьків

Цей розділ включав деякі складні ідеї, але ми закінчуємо визначенням пріоритетів речей. Немає сумнівів, що найважливіша ідея полягає в тому, що функція витрат має джерело і не з'являється нізвідки. Це фіксується на малюнку 11.10Функція витрат виводиться шляхом проведення порівняльного статичного аналізу на задачі мінімізації вхідних витрат.

Хоча нас часто цікавить реакція ендогенної змінної на шок, порівняльна статика в задачі мінімізації вхідних витрат зосереджена на тому, як на об'єктивну функцію, мінімальну загальну вартість, впливає шокуючий q. Мінімальна загальна вартість як функція q є функцією витрат.

Пояснюючи, що означає бути вище або нижче функції витрат з точки зору графіка isoquant—isocosts, ми підкреслили ідею, що функція витрат показує найдешевший спосіб отримання будь-якого даного результату. Хороший спосіб запам'ятати це - обміркувати вражаючий факт, що немає місця нижче функції витрат, а це означає, що неможливо виробляти даний вихід дешевше, ніж найдешевший спосіб.

Зміни інших параметрів, крім вихідних, призводять до зміни всієї функції витрат, оскільки мінімальна загальна вартість залежить від усіх екзогенних змінних. Якщо q змінюється, рухаємося по функції витрат; інші потрясіння зміщують ТК.

Нарешті, ми пояснили математично складну ідею:\(\lambda \mbox{*}\) надає інформацію про швидкість зміни оптимального значення цільової функції у міру ослаблення обмеження. Ця інтерпретація множника Лагрангея застосовується для кожної обмеженої задачі оптимізації.

Ми не застосовували цю інтерпретацію в теорії поведінки споживачів, оскільки корисність (об'єктивна функція) не може бути кардинально виміряна. За старих часів, коли вважалося корисність кардинально вимірювалася в утилітах,\(\lambda \mbox{*}\) була гранична корисність грошей. \(\lambda \mbox{*}\)підкаже вам швидкість зміни максимальної корисності, якби ви дали споживачеві нескінченно малий приріст доходу.

Оскільки загальна вартість безпосередньо спостерігається і піддається підрахунку, її\(\lambda \mbox{*}\) можна правильно інтерпретувати як граничну вартість,\(\frac{dTC}{dq}\). Це дає ярлик функції витрат і MC.

Вправи

1. З виробничою функцією та екзогенними змінними w = 2, r = 3 використовуйте Excel для створення графіка функції витрат для тих же значень q, що і на аркуші CS1.\(q = L^{0.75} K^{0.5}\) Скопіюйте та вставте графік у документ Word.

2. Як функція витрат, яку ви щойно отримали, відрізняється від тієї, що в аркуші CS1? Яка змінна відповідає за генерацію цієї різниці?

3. З функцій витрат на аркуші CS1 та запитання 1, що ви можете зробити висновок про функції витрат, похідні від виробничих функцій Кобба-Дугласа?

4. Якщо хтось вирішує проблему мінімізації вхідних витрат і виявить, що\(\lambda \mbox{*}\) = 50, що це означає?

Посилання

Епіграф зі сторінки 333 Ганса Штале, «Вимірювання функцій статистичних витрат: оцінка деяких останніх внесків», Американський економічний огляд, Том 32, № 2, частина 1 (червень 1942 р.), с. 321—333, www.jstor.org/stable/1803513. У 1942 році Steehle був оптимістичним, що прогрес у статистиці та зборі даних дозволить економістам оцінити функції витрат для конкретних галузей. На жаль, справедливо сказати, що мрія Стахле про відкриття гнучких функціональних форм залишається нездійсненою. Емпірична робота над функціями витрат зазвичай виявляє, що фірми стикаються з лінійними (або майже лінійними) загальними витратами (що дають горизонтальні середні та граничні витрати) у великих діапазонах випуску.