11.1: Початкове рішення

Мінімізація вхідних витрат є однією з трьох проблем оптимізації, з якими стикається фірма. Він обертається навколо питання вибору найкращої комбінації входів, L і K, для отримання заданого рівня виходу, q.

Найкраща комбінація визначається як найдешевша. Ідея полягає в тому, що багато комбінацій L і K можуть виробляти заданий q. Ми хочемо знати обсяги робочої сили та капіталу, які слід використовувати для отримання заданої кількості продукції якомога дешевше.

Звичайно, ми відповідаємо на це питання налаштуванням та вирішенням задачі оптимізації; тоді ми робимо порівняльну статику. Оскільки існує обмеження (ми повинні виробляти заданий q), ми будемо використовувати метод Лагрангея.

Налаштування проблеми

Економічний підхід організовує проблеми оптимізації, відповідаючи на три питання:

1. Яка мета?

2. Які змінні вибору?

3. Що таке дані змінні?

Мета полягає в тому, щоб мінімізувати загальну вартість, ТК, яка є просто сумою суми сплаченої працівникам, WL, і суми, витраченої на оренду машин, кК.

Ендогенні змінні - L і K. Праця вимірюється годинами, а капітал - це кількість машин. Фірма може вирішити виробляти дану продукцію, будучи трудомісткою (використовуючи багато робочої сили та невеликий капітал), або приблизно рівні обсяги обох, або орендуючи багато машин та використовуючи невелику робочу силу.

Екзогенні змінні - це вхідні ціни, ставка заробітної плати (w) та ціна оренди капіталу (r). Ставка заробітної плати, або зарплата за короткий час, вимірюється в $/год, а ціна оренди капіталу - $/машина. Ми припускаємо, що фірма є ціноприймачем на ринках праці та капіталу, тому вона може орендувати стільки L і K, скільки хоче при заданих w і r. Сума для отримання, q, також є екзогенною змінною в цій задачі. Ми не розглядаємо, скільки повинно бути вироблено, але який найкращий спосіб виробляти будь-яку задану кількість продукції. Нарешті, також дається технологія фірми\(f(L, K)\), виробнича функція.

Оскільки фірма повинна виробляти певну кількість продукції, ми знаємо, що це обмежена проблема оптимізації. Наша робота в теорії поведінки споживачів зробила нас експертними у вирішенні такого роду проблем. Як ви побачите, аналіз схожий, але є деякі разючі відмінності.

Одна річ, яка не змінюється, - це наші рамки. Ми спочатку досліджуємо обмеження для визначення наших варіантів, потім зосереджуємося на меті (мінімізувати ТС), і, нарешті, об'єднаємо ці два, щоб знайти початкове оптимальне рішення.

Обмеження

Меню опцій, доступних фірмі, дається ізоквантом. Вона служить обмеженням, оскільки фірма вільна вибирати L і K за умови, що вона повинна виробляти присвоєний рівень випуску. Математично рівняння для обмеження - це просто виробнича функція,\(q = f(L, K)\).

КРОК Відкрийте книгу Excel InputCostMin.xls, прочитайте аркуш введення, а потім перейдіть до аркуша Isoquant, щоб побачити isoquant, відображений на малюнку 11.1.

Малюнок 11.1: Ізоквант з виробничої функції Кобба-Дугласа.

Джерело: InputCostMin.xls! Ізоквантний.

Як бюджетне обмеження в теорії споживчої поведінки дає нам можливості споживання, ізоквант надає фірмі можливі варіанти введення. Всі комбінації нижче і зліва від ізокванта виключені. Наприклад, немає можливості виробляти 100 одиниць випуску, утримуючи якість і все інше постійне, при комбінації L, K 100,20. Технологія просто не просунута або досить потужна, щоб зробити 100 одиниць випуску з 100 годинами роботи і 20 машинами.

Пункти вище і праворуч від ізокванта здійсненні, але вони явно марнотратні. Іншими словами, фірма могла б виробляти 100 одиниць продукції з комбінацією L, K 250,50, але ізоквант говорить фірмі, що їй не потрібно стільки праці та капіталу, щоб зробити 100 одиниць. При 250,50 він міг рухатися прямо вниз до K = 10 і все ще виробляти q = 100 або прямо вліво (на горизонтальній лінії при K = 50), поки не потрапить на isoquant і використовувати набагато менше праці. Фірма також могла подорожувати в діагональному, південно-західному напрямку, поки вона не потрапила в isoquant, щоб заощадити на обох входах.

Кажуть, що точки від ізокванту на північний схід (наприклад, 250,50) є технічно неефективними. Неефективна частина говорить нам, що фірма не мінімізує загальну вартість на той момент; технічна описує той факт, що фірма не організовує свої входи, щоб максимізувати випуск. Іншими словами, фірма неправильно вирішує задачу інженерної оптимізації, представлену виробничою функцією. Виготовлення 100 одиниць продукції з 250 годин праці та 50 машин означає, що ви не отримуєте максимальну віддачу від своєї праці та капіталу. Економісти називають таку ситуацію технічно неефективною.

Оскільки фірма не може вибрати комбінацію нижче ізокванту, і вибирати комбінацію вище ізокванту марнотратно, ми знаємо, що відповідь повинна лежати на ізокванті.

КРОК Використовуйте смугу прокрутки поруч із коміркою B11, щоб побачити вхідні суміші, які фірма може вибрати. Коли ви змінюєте комірку B11, також змінюється і клітина нижче. Він має формулу, яка обчислює кількість K, необхідну для отримання необхідного результату, коли ви вибираєте значення для L.

Ідея цілком зрозуміла: фірма буде котитися навколо ізокванта в пошуках найкращого поєднання. Роллінг - це хороший вибір слова і зображення, щоб пам'ятати, фірма вільна вибирати точку високо вгору або згорнути вниз праворуч. Оскільки у нас немає вхідних цін, ми не можемо знайти оптимальне рішення лише з isoquant.

КРОК Змініть екзогенні змінні, щоб побачити, як впливає ізоквант. Збільшення A, c і d тягне ізоквант вниз. Це має сенс, враховуючи, що ці шоки все підвищення продуктивності, і фірмі знадобиться менше L і K, щоб зробити даний q = 100.

Зниження q має той же ефект, але це не шок продуктивності. Ви просто говорите фірмі, що вона не повинна виробляти стільки, скільки раніше, тому має сенс, що вона може використовувати менше робочої сили та капіталу.

Зверніть увагу, як обмеження для цієї проблеми мінімізації вхідних витрат є кривою, а не лінією, як це було для проблеми максимізації корисності. Математично це не має великого значення, але це вплине на графік, який ми малюємо, щоб показати початкове рішення.

Мета

Маючи обмеження в руці, ми готові моделювати мету. У цій задачі мета представлена серією ізокостових (рівноцінних) ліній.

Загальна вартість становить\(TC = wL+ rK\). Якщо ми вирішимо це рівняння для K (для того, щоб графікувати його в просторі L - K), отримаємо рівняння прямої:\[TC = wL + rK\]\[rK = TC - wL\]\[K = \frac{TC}{r} - \frac{w}{r}L\] K (або вісь y) перехоплюють є\(\frac{TC}{r}\) і нахил є\(- \frac{w}{r}\).

Isocosts спочатку трохи складно, тому що ви звикли бачити лінійне обмеження і набір кривих байдужості. Мінімізація вхідних витрат має криволінійне обмеження та набір лінійних ізовитрат. У рівнянні лінії вище ТК може приймати будь-яке значення. Таким чином, існує ізовартість для\(TC=\$500\) та інша форма\(TC=\$500.01\) та ізовартість для кожної окремої суми долара. Кожна точка L, K знаходиться на ізокосту, а точки L, K, які мають однаковий TC, знаходяться на одній ізовартості.

КРОК Перейдіть до аркуша Isocost, щоб побачити, як використовуються лінії ізокоста для пошуку оптимального рішення.

Кожна точка на певній лінії ізокост має точно таку ж загальну вартість. Отже, точка на малюнку 11.2 (і на вашому екрані) має вартість 500$ (так як 2 х 190 + 3 х 40 = 500).

Малюнок 11.2: Три репрезентативні лінії ізокоста.

Джерело: InputCostMin.xls! Ізокост.

КРОК Натисніть кнопку, щоб побачити, як на цьому графіку представлена мета мінімізації витрат фірми.

Фірма може перейти до нової точки, вибравши іншу комбінацію L і K. Якщо нова точка має таку ж ТК $500, що і початкова точка, то вона буде на тій же $500 ізокост.

КРОК Збільште L на 30 і зменшіть K на 20, щоб ви опинилися в іншій точці на тій же лінії ізокоста $500.

Тепер ви знаєте, що всі точки на рядку TC = $500 ізокост поділяють однакову загальну вартість $500. Також очевидно, що нахил кожної лінії ізокосту - це\(- \frac{2}{3}\) так\(w=2\) і\(r=3\).

Оскільки фірма може вибрати вхідну суміш, вона може вибрати будь-яку комбінацію L і K, за умови, що обрана комбінація може виробляти задану кількість виходу. Фірма хоче найняти якомога менше ресурсів (щоб заощадити на витратах), але вона повинна відповідати виробничій цілі. Як він може вирішити цю проблему?

Початкове оптимальне рішення

У нас є обмеження (isoquant) і мета (дістатися до найнижчої isocost можливо), тому тепер ми об'єднаємо два, щоб знайти оптимальне рішення.

КРОК. Приступаємо до оптимальноговибору листа.

Початкове положення показує комбінацію L, K, яка коштує $482,81. Підтвердити це число можна як в осередку B7, так і на графіку (середня мітка для середньої лінії).

Ідея полягає в тому, щоб бути на найнижчій лінії ізовартості (тобто, той, що з найменшим перехопленням), який просто торкається isoquant, тому що це означає, що фірма буде мінімізувати загальну вартість виробництва заданого рівня випуску.

Зрозуміло, що вихідне положення не є оптимальним. Можна помітити, що ізокост перетинає ізокванту. Ця інформація також розкривається нахилом та інформацією TRS під графіком. TRS, який є нахилом ізокванта в точці, більше (в абсолютному значенні), ніж нахил лінії ізокосту в цій точці.

На початковій позиції фірма, як кажуть, страждає від алокативної неефективності, оскільки вона знаходиться на ізокванті, але вона не може вибрати суміш витрат, що мінімізують вхідні витрати. Оскільки він знаходиться на ізокванті, ми знаємо, що це технічно неефективно, він використовує комбінацію відкриття L і K, щоб отримати максимальний вихід. Проблема полягає в тому, що він використовує неправильну комбінацію входів у тому сенсі, що існує дешевший спосіб отримання даного виходу.

Ми знаємо, що існує два способи вирішення задач оптимізації: аналітично та чисельно. Оскільки у нас є Excel і проблема, реалізована на аркуші, ми починаємо з числового підходу.

КРОК Запустіть розв'язувач. Оптимальне рішення зображується канонічним графіком, показаним на малюнку 11.3.

Відповідь вирішувача, який є правильним, має фірму вибрати комбінацію L, K, ізовартість якої просто торкається isoquant. Немає більш дешевої комбінації, яка може виробляти 100 одиниць з існуючою технологією (дається виробничою функцією). Якби фірма пішла на ізовартість, яка була на один цент нижче, вона не могла орендувати достатньо L і K, щоб зробити 100 одиниць продукції.

Малюнок 11.3: Початкове оптимальне рішення.

Джерело: InputCostMin.xls! Оптимальний вибір, після запуску Solver.

Ми можемо підтвердити результат Solver, застосувавши метод Лагрангіана для вирішення цієї обмеженої задачі оптимізації.

Почнемо з того, що записуємо проблему, використовуючи значення параметрів з листа OptimalChoice. \[\begin{gathered} %star suppresses line # \min\limits_{L,K}TC=2L+3K\\ \textrm{s.t. } 100 = L^{0.75}K^{0.2}\end{gathered}\]Насамперед необхідно переписати обмеження так, щоб воно дорівнювало нулю. \[100 - L^{0.75}K^{0.2}=0\]Другий крок полягає у формуванні лагрангейського шляхом додавання лямбда\(\lambda\), разів переписане обмеження до початкової цільової функції. Ми використовуємо надзвичайно велику L для функції Лагрангея, яка зовсім не пов'язана з L для праці. \[\begin{gathered} %star suppresses line # \min\limits_{L,K, \lambda}{\large\textit{L}}=2L+3K + \lambda (100- L^{0.75}K^{0.2})\end{gathered}\]Третім кроком до пошуку оптимального рішення є взяття похідної Лагрангея щодо кожної ендогенної змінної і встановлення кожної похідної на нуль (даючи нам умови першого порядку).

Четвертий, і останній, крок полягає в вирішенні цієї системи рівнянь для\(L\mbox{*}\)\(K\mbox{*}\), і\(\lambda \mbox{*}\). Система трьох рівнянь містить відповідь, тобто значення L і K, які мінімізують ТК. Наше завдання полягає в тому, щоб за допомогою рівнянь знайти ці значення, які задовольняють трьом рівнянням.

Існує багато способів вирішення системи, але ми будемо використовувати той самий підхід, який ми використовували в Теорії поведінки споживачів. Зведемо систему з 3 до 2 до 1 рівняння і невідомого.

Переміщаємо терміни з лямбда в перших двох рівняннях в праву сторону, а потім ділимо перше рівняння на друге. З виробничою функцією Кобба-Дугласа легко працювати, оскільки показники L і K сумують -1 і 1 відповідно при застосуванні\(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\) правила.

Як видно вище, дана стратегія скасовує лямбда і дає вираз for\(L = f (K)\), яке в поєднанні з третім умовою першого порядку зводить систему до двох рівнянь з двома невідомими. \[\begin{gathered} %star suppresses line # L=5.625K \\ 100- L^{0.75}K^{0.2}\end{gathered}\]Підставляємо вираз для L в обмеження (третя умова першого порядку) і вирішуємо для\(K\mbox{*}\).

Потім, підставляючи\(K\mbox{*}\) назад в вираз for\(L = f (K)\), отримуємо\(L\mbox{*}\). \[\begin{gathered} %star suppresses line # L=5.625K \\ L=5.625[32.588] \\ L\mbox{*}=183.31\end{gathered}\]Підставляючи\(L\mbox{*}\) і\(K\mbox{*}\) в початкову цільову функцію, ми можемо обчислити мінімальні витрати на виробництво 100 одиниць. \[\begin{gathered} %star suppresses line # TC = 2L + 3K \\ TC = 2[183.1]+3[32.588] \\ TC\mbox{*}=\$464.38\end{gathered}\]Аналітичне рішення узгоджується з відповіддю Solver.

Робота, яку ми зробили, діливши перше рівняння на друге, дає рівномаргінальну умову, подібну до\(\frac{p_1}{p_2}\) правила MRS = від обмеженої максимізації корисності. При оптимальному рішенні у нас\[\frac{2}{3}=\frac{3.75K}{L}\] є Ліва сторона - коефіцієнт вхідної ціни, а права - TRS. Таким чином, при оптимальному рішенні ми знаємо, що коефіцієнт вхідної ціни повинен дорівнювати TRS. Це математичне твердження дотичності ми бачимо на малюнку 11.3.

Якщо ця рівномаргінальна умова не виконана, але фірма знаходиться на ізокванті (тобто технічно ефективна), то ми маємо алокативну неефективність. Якщо\(|TRS| > \frac{w}{r}\), то ізокост скорочує ізоквант, і фірма може знизити загальні витрати, скотившись вниз ізоквант. Реверс, звичайно, застосовується якщо\(|TRS| < \frac{w}{r}\).

КРОК Якщо ви цього ще не зробили, двічі клацніть всередині поля навколо комірки J25 і використовуйте смугу прокрутки, щоб показати, як графік ізокоста та ізокванта збігається з умовою TRS =\(\frac{w}{r}\) рівномаргінальний.

Порівняння споживача та фірми

Малюнок 11.3 має разючу схожість з канонічним графіком, який використовується в Теорії поведінки споживачів, а аналітична робота також містить сильну схожість, але є деякі критичні відмінності між проблемами оптимізації споживача та фірми. На малюнку 11.4 представлено порівняння пліч-о-пліч, щоб виділити контрасти між ними.

Малюнок 11.4: Порівняння проблем оптимізації споживачів та фірми.

Має сенс використовувати знання і навички, отримані з теорії поведінки споживачів, але не потрапляти в помилкове почуття безпеки. Проблема мінімізації вхідних витрат має свої особливості та термінологію.

Мінімізація витрат - одна з трьох проблем

Теорія фірми фактично являє собою сукупність трьох взаємопов'язаних задач оптимізації. Початкове рішення проблеми мінімізації витрат фірми зосереджує увагу на найдешевшій комбінації входів для отримання заданого рівня випуску продукції.

Ми можемо застосувати ті самі методи, які ми використовували для вирішення проблеми максимізації корисності споживача. Канонічний графік схожий на стандартний графік з Теорії поведінки споживачів, але, як показує малюнок 11.4, існують суттєві відмінності між максимізацією корисності та мінімізацією витрат.

Однією з важливих подібностей є подальше використання порівняння співвідношення ціни з нахилом кривої для визначення того, чи було знайдено оптимальне рішення. У разі обмеженої проблеми мінімізації витрат фірма вибере ту комбінацію входів, де TRS =\(\frac{w}{r}\). Якщо ця умова не виконується, напрямок нерівності (> або <) говорить нам, яким шляхом фірма повинна рухатися, щоб знайти мінімальну загальну вартість.

Тепер, коли ми розуміємо проблему мінімізації витрат фірми і знайшли початкове рішення, ми готові зробити наступний крок порівняльного статичного аналізу. Економічний підхід невблаганний і одноманітний. Ми застосовуємо однакові рамки до кожної проблеми. Через практику і повторення ви навчитеся мислити, як економіст.

Вправи

1. Лист запитань і відповідей просить вас змінити r на 30 і використовувати Solver, щоб знайти початкове рішення. Знайдіть початкове рішення цієї ж задачі за допомогою аналітичних методів і порівняйте два результати. Вони однакові? Покажіть свою роботу.

2. Функція виробництва фіксованих пропорцій,\(q = min\{\alpha L, \beta K\}\) аналогічна ідеальному доповнює корисність функціональної форми. Припустимо\(\alpha = \beta = 1\), w = 10, r = 50, а q = 100. Знайти\(L\mbox{*}\),\(K\mbox{*}\), і\(TC\mbox{*}\). Покажіть свою роботу. Використовуйте інструменти малювання Word, щоб намалювати графік оптимального рішення.

3. З огляду на квазілінійну виробничу функцію\(q = \sqrt{L}+K\), а вхідні ціни r = 2, а w = 5, знайти найдешевший спосіб отримання 1000 одиниць продукції. Використовуйте аналітичні методи і покажіть свою роботу.

4. Налаштуйте проблему в питанні 3 в Excel і використовуйте Solver, щоб знайти оптимальне рішення. Зробіть знімок екрана рішення на вашій електронній таблиці та вставте його в документ Word.

5. Чи можуть ізокванти перетинатися? Поясніть, чому чи чому ні.

Посилання

Епіграф зі сторінки 1044 історії економічного аналізу Джозефа Шумпетера (опублікований у 1954 році, незабаром після його смерті). Ця класика простежує інтелектуальну історію економіки від Аристотеля до 20 століття. Шумпетер розглядає теорії і бачення таких гігантів, як Адам Сміт і Карл Маркс, а також неймовірну кількість філософів і економістів, які не будуть вам знайомі.

Рагнар Фріш, зарахований Шумпетером з винаходом терміна isoquant, мав вміння винаходити слова, наприклад, макроекономіка та економетрика. На щастя, «гнучкість замінної вартості» не зачепилася. Норвезька, Фріш була частиною виключно сильної кількісної та емпіричної традиції в скандинавській економіці, яка залишається живою донині.