6.1: Ризик проти повернення

У фінансах портфель означає загальні запаси акцій, облігацій та інших цінних паперів фізичної особи (або іншої організації, такої як траст або фонд).

Оскільки інвестор може вирішити, які цінні папери включити в свій портфель, іншими словами, оскільки вибір робиться, ми можемо застосувати метод економіки. Оптимальна теорія портфеля - це назва, дана застосуванню теорії поведінки споживачів для аналізу рішень про те, які активи володіти.

Важлива зупинка на нашому шляху показана на малюнку 6.1, початкове рішення обмеженої задачі оптимізації.

Малюнок 6.1: Вихідне рішення.

Джерело: RiskReturn.xls! Оптимальний вибір

На малюнку 6.1 є деякі дивні особливості, і ви не очікуєте, що зрозумієте це відразу. Мабуть, найдивніше, що криві обмеження бюджету та байдужості є похилими вгору. Оскільки ризик (на осі x) є поганим (не хорошим), агент замінює більше поганого на більше хорошого (повернення, на осі y) на криву байдужості.

Є також, однак, елементи, які звичні і зручні на малюнку 6.1. Існують екзогенні (зелені) і ендогенні (сині) змінні з метою. Існує обмеження і кілька кривих з виділеним дотиком, що, очевидно, є оптимальним рішенням. І ми можемо бачити звичайне MRS = умова нахилу нижче діаграми.

Звичайно, малюнок 6.1 - це лише початкове оптимальне рішення. Існує більше, ніж просто знайти початкове рішення. Ось чому Рисунок 6.1 є важливою зупинкою в нашій подорожі, але нам більше подорожувати. Ми хочемо дослідити, як змінюється оптимальне рішення, коли одна з екзогенних змінних змінюється, як однаково. Це називається порівняльним статичним аналізом.

Процедура, яка визначає Теорію поведінки споживачів, зрозуміла: обмеження, переваги, пошук початкового рішення, потім порівняльна статика, щоб зробити твердження про те, як ударна змінна впливає на змінну оптимального вибору. Ми зробимо розрахунок еластичності та інтерпретацію шоку. Короткий спосіб сказати все це - просто сказати, що ми збираємося зробити економічний аналіз вибору портфеля.

Але оскільки ми будемо говорити про прибутковість від активів, волатильність та фондовий ринок, давайте розглянемо деякі дані, щоб переконатися, що ми розуміємо деякі основні факти.

Повернення фондового ринку

КРОК Відкрийте книгу Excel RiskReturn.xls і прочитайте Інтро аркуш, а потім перейдіть до Лист даних.

Лист має доходи з індексу S&P 500, групи з 500 великих компаній, завантаженого з www.moneychimp.com/features/market_cagr.htm.

Ці дані використовуються для того, щоб показати, що віддача досить мінлива. У аркуші також пояснюється різниця між середнім арифметичним і геометричним.

КРОК Прочитайте пояснення в Лист даних, прокрутіть вниз, щоб побачити дані (аж до 1871), а потім натисніть кнопку.

Це розкриває більше матеріалу. Продовжуйте читати і натискати кнопки, поки не дійдете до кінця, а потім обов'язково натисніть кнопку.

Найважливішим є те, що ви розумієте мінливість прибутку S&P 500. Вони розгойдуються дико і несподівано, від неймовірних ривків 50% до приголомшливих втрат майже негативних 50%.

КРОК Подивіться у стовпцях A та B Інформаційного листа 1930-х років, під час Великої депресії. Прокрутіть повільно назад вгору, дивлячись на дані.

Волатильність на фондовому ринку, виміряна стандартним відхиленням, SD, майже 20%, є небажаною і незадовільною. Страх фінансової катастрофи і ризик втратити гроші знижує корисність.

Тоді чому люди вкладають свої гроші в активи, такі як S&P 500? Оскільки загальна річна прибутковість високанабагато вище, ніж безпечніші, менш волатильні активи. Для S&P 500 загальна річна прибутковість (як ви тепер знаєте, вимірюється середнім геометричним, GM або складеним річним темпом зростання, CAGR) становить близько 9% на рік.

9% річна прибутковість фондового ринку набагато вища, ніж доступна з безпечного, стабільного активу, який приносить послідовну річну прибутковість, як казначейські векселі США. Клітинка H10 на аркуші Більше показує, що SD становить лише три процентні пункти. Мінливість виникає через те, що прибутковість змінюється з часом, але як тільки ви купуєте купюру казначейства США на певний проміжок часу, ви можете бути цілком впевнені, що вам заплатять. Але прямо під SD ми бачимо, що загальна річна прибутковість становить одну третину прибутковості фондового ринку.

Ключовим моментом є те, що фінансові ринки пропонують інвестору меню варіантів, від низького ризику, низької віддачі до високого ризику, високої прибутковості, і інвестор вибирає. Все, що нам потрібно зробити, це моделювати цей вибір як проблему оптимізації.

Оптимальна теорія портфоліо

Таблиці порівняння, змішування та обмеження в RiskReturn.xls демонструють, що інвестор може змішувати два активи, безризиковий та ризикований актив, щоб створити портфель, який має певну комбінацію ризику та прибутку.

Інвестор не може вибрати будь-яку комбінацію ризику та прибутку. Вони повинні залишатися в межах обмежень, накладених ринком. Ідея полягає в тому, що у вас є фіксована сума грошей, скажімо, 10 000 доларів, щоб розподілити між двома активами.

Безризиковий актив, скажімо, казначейський вексель США, має певну (практично кажучи) норму прибутковості, скажімо, 5% на рік, що нереально високо для нинішнього клімату. Таким чином, ви впевнені, що отримаєте 5% від $10,000, або $500, разом з початковими інвестиціями в $10,000 наприкінці року. Щороку інвестиції в розмірі 10 000 доларів гарантовано принесуть 500 доларів прибутку.

Ризиковий актив, скажімо, пайовий фонд акцій, має більшу віддачу, але і волатильність фактичної реалізованої прибутковості. Ми припустимо, що фактична прибутковість буде отримана з нормального розподілу, зосередженого на 12%, зі спредом 20%. Обидва ці значення трохи вище, ніж історичний досвід S&P 500 (в паспорті даних). Наші значення параметрів означають, що типова реалізована величина в нашому гіпотетичному світі складе близько 12%\(\pm\) 20% балів. Це також означає, що ви фактично втратите гроші (страждаючи негативною віддачею) приблизно чверть часу.

Але це занадто абстрактно. Щоб зрозуміти сенс цих параметрів, давайте попрацюємо над конкретною задачею з реальними цифрами і чітким відображенням того, що відбувається.

КРОК. Переходимо до листа порівняння.

Дзвоноподібна крива - це нормальний розподіл, з якого буде проводитися щорічна віддача. Центр і поширення контролюються в осередках А2 і С2.

Лист дозволяє запускати дві інвестиції один проти одного і показує, як волатильність впливає на річну прибутковість.

КРОК Натисніть кнопку.

Для безризикового активу клітини I3 та L3 показують 5% та 500 доларів. Іншими словами, якщо ви розміщуєте 10 000 доларів у безризиковий актив, це прибуток від цих інвестицій.

Ризиковий актив відрізняється. Клітини J4 і M4 показують число, яке взято з нормального розподілу зліва вашого екрана, зосереджене на 12 з SD 20. Таким чином, число в J4, ймовірно, буде близько 12, але може легко бути в діапазоні\(- 8\) до 32 (\(\pm 1\)SD від середнього) і приблизно 95% часу буде між\(-28\) і 52 (\(\pm 2\)SDs від 12).

КРОК. Натисніть кнопку кілька разів.

Ви можете наочно бачити, що тут відбувається. Прибутковість від безризикового активу завжди однакова, але ризикований актив відскакує.

Після того, як ви отримуєте більше одного року прибутковості, на дисплеї відображається більше інформації у стовпцях P:S, Ви можете побачити середнє арифметичне повернення, SD, точне геометричне середнє та його наближення.

КРОК Натисніть кнопку багато разів, не менше 20.

Зверніть увагу, що відбувається із середнім показником прибутковості ризикованого активу, коли ви продовжуєте додавати роки: Середня прибутковість сходиться до 12% (середня віддача від нормального розподілу в A2). Іншими словами, протягом тривалого часу ризикований актив перевершить безризиковий актив. Однак за будь-який рік ризикований актив може зробити досить погано. Подивіться на свій екран, щоб підтвердити, що це правда. Ви побачите деякі величезні втрати (і прибутки) так само, як реальні дані S&P 500.

КРОК Натисніть кнопку і встановіть дисперсію на 6% (в С2). Неодноразово (багато разів) натисніть кнопку.

SD нормального розподілу контролює мінливість. Нижній SD робить нормальний розподіл набагато більш шиповим. Іншими словами, нічиї з розподілу набагато більш концентровані в середньому, і набагато рідше, що ви побачите значення далеко від центру розподілу.

Коли ви отримуєте один річний прибуток за іншим (продовжуйте отримувати більше прибутку), легко побачити, що прибуток набагато ближче до 12%. Ви рідко втратите гроші в середньому 12% і SD 6%.

У фінансах ризик позначається грецькою літерою сигма,\(\sigma\). У SD і\(\sigma\) є одне і те ж. Обидва представляють ризик як волатильність і відскік прибутковості, включаючи можливість негативної віддачі. Ризик поганий і небажаний. Чим менше ризик, тим краще.

Від чого залежить сума ризику в ризикованому активі? Це залежить від активу. Ми бачили, що S&P 500 має велику волатильність. З 1871 по 2019 рік він зазнав загальної річної прибутковості близько 9% при SD 18%. Лист More показав, що інші активи мають різну волатильність. Отже, інвестор отримує середні і SD параметри різних активів і вибирає, в що інвестувати.

Хоча ми використовували безризикові та ризиковані активи у таблиці порівняння, насправді вибір полягає не просто між безризиковим та ризикованим активом. Поєднувати їх можна в різних пропорціях.

Наприклад, ви можете розділити свої інвестиції та покласти 5000 доларів у безризиковий актив та 5000 доларів у ризикований актив. У цьому випадку ваша віддача буде на півдорозі між безризиковими та ризикованими активами:\[\frac{r_f + r_ m}{2} = 8.5\%\] Хоча прибутковість нижча, ніж використання лише ризикованого активу, ваш ризик, мінливість прибутковості також зменшиться вдвічі.

КРОК Перейдіть до листа змішування, щоб побачити цю ідею в дії.

Лист змішування збігається з таблицею порівняння, за винятком того, що він має смугу прокрутки в H1, щоб контролювати розподіл ваших 10 000 доларів США між двома активами.

КРОК Після того, як ви встановите значення смуги прокрутки (підійде будь-яке значення; виберіть той, який, на вашу думку, має для вас найбільше сенсу), натисніть кнопку багато разів.

Ви повинні побачити, що середня прибутковість вашої суміші (або портфеля) сходиться на прибутковість, яка знаходиться між безризиковими та ризикованими активами. Іншими словами, ви можете вибрати віддачу і ризик, який ви отримаєте. Ви повинні, однак, компромісити їх збільшою віддачею вимагає прийняття більшого ризику.

КРОК Експеримент. Використовуйте кнопку, щоб спробувати різні суміші та значення параметрів (комірки з жовтим фоном A2, C2 та F2).

Ви можете скопіювати аркуш Mix (клацніть правою кнопкою миші вкладку аркуша, виберіть Перемістити або Копіювати та позначте пункт Створити копію), якщо хочете порівняти різні сценарії. Чим більше ви експериментуєте, тим більше дізнаєтеся.

Ваша робота в таблицях Порівняння та змішування значно полегшує розуміння обмежень, оскільки ви переконалися, що є два активи, які можна змішати, щоб сформувати портфель з безперервним діапазоном ризиків та можливостей повернення. Це є обмеженням для інвестора. Він вільні вибирати комбінації ризику та прибутку, торгуючи більш високим ризиком для більшої віддачі.

КРОК. Перейдіть до листа обмежень.

Є дві ендогенні змінні, YourRisk і YouReturn, в осередках В14 і В15. Це ризик і віддача, які ви вибрали, іншими словами, єдину точку на бюджетній лінії. Однак ми можемо створити єдину змінну YourMix (як у таблиці Mix), яка контролює частку ваших інвестицій у два активи та значення ризику та повернення, які ви вибрали.

Зрозуміло, що ви можете змішувати безризикові та ризиковані активи в будь-якій комбінації від 0 до 100%. Нуль означає, що ви купуєте лише безризиковий актив, а 100% означає, що ви купуєте лише фондовий ринок.

Не плутайте екзогенну змінну Ринковий ризик з ендогенною змінною YourRisk. Ризиковість ризикованого активу, сигма, є екзогенною для агента. Але агент визначає, скільки ризику взяти і, отже, обраний обсяг ризику є ендогенним.

КРОК Змініть B13 на 20%, 50% та 90%.

Коли ви змінюєте B13, червона крапка рухається на обмеженні. Ви можете поставити червону крапку куди завгодно уздовж лінії. При 50% ви встановлюєте свій ризик на 10% (це варіативність в портфелі 50/50) і YourReturn до 8.5% (на півдорозі між\(r_f\) і\(r_m\)).

Рівняння бюджетної лінії (похідне в таблиці обмежень)\[YourReturn = r_f + \frac{r_m - r_ f}{\sigma}YourRisk\] Ясно, що якщо ви виберете ризик нуль, то ваша віддача - це безризикова віддача. Це перехоплення y. Оскільки ви приймаєте більший ризик, ваша віддача зростає з нахилом, заданим\(\frac{r_m - r_ f}{\sigma}\)

Зверніть увагу, що комбінації під бюджетним обмеженням можливі, але не будуть обрані, оскільки більше прибутку завжди можна отримати з тим же ризиком, йдучи прямо вгору. Точки на північний захід від лінії більш бажані, але недосяжні.

Яка суміш найкраща, оптимальний вибір? Ми не можемо відповісти на це питання лише обмеженням. Це говорить нам лише про вибір, який ми можемо зробити. Щоб відповісти на питання, нам потрібно моделювати переваги.

Але перш ніж залишити обмеження, давайте вивчимо ефект зміни сигми, ринкового ризику. Це буде наша ударна змінна, коли ми зробимо порівняльний статичний аналіз.

Пам'ятайте, коли ви знизили SD до 6%, і це змусило мінливість ризикованого активу піти вниз? Це був бажаний шок. Що станеться з обмеженням, якби ми застосували цей шок? Перш ніж ми це зробимо, обміркуйте питання. У вас є відповідь? Давайте подивимося, як ви це зробили.

КРОК Зміна ринкового ризику, осередок B10, до 6.

Бюджетна лінія обертається вгору (проти годинникової стрілки) навколо перехоплення y. Це дає інвестору доступ до більш високої прибутковості з тим же ризиком або однаковою прибутковістю з меншим ризиком. Математично це також має сенс, оскільки ми опустили знаменник у схилі, тому термін нахилу збільшився, зробивши лінію крутішою.

КРОК Перейдіть до аркуша налаштувань, щоб побачити, як ми обробляємо ризик як поганий.

Наша звичайна функціональна форма Кобба-Дугласа може бути змінена, щоб відобразити погане\[U(YourRisk,YourReturn)=(30-YourRisk)^aYourReturn^b\] за допомогою простого налаштування: Розумний трюк тут - віднімання змінної з константи, яка була вибрана більшою за можливі значення змінної. Маючи константу, 30, що є більшим числом, ніж відповідний діапазон для Ризику (від нуля до 20), коли ми збільшуємо обрану суму YourRisk,\(30 – YourRisk\) падає. Це дає нам погане, тому що корисність падає, коли yourRisk зростає (для\(YourRisk < 30\)). YourReturn є хорошим, як ваш повернення зростає, так само і корисність.

На графіку показані три представницькі, похилі вгору криві байдужості. Інвестор отримує рівне задоволення поєднаннями ризику та прибутковості за єдиною кривою байдужості. Якщо інвестор бере на себе більший ризик, їй потрібно дати більше прибутку для компенсації.

КРОК Агент може вибрати будь-яку комбінацію ризику та прибутку, яка знаходиться на бюджетній лінії. Змініть В12 на 50.

На малюнку 6.2 показаний результат. На додаток до трьох оригінальних кривих байдужості з чорною крапкою, три нові криві відображаються разом з червоною крапкою. Чорна крапка - це початковий 75% вибір суміші, і вона створила Dead Utility 153,75 та Dead MRS близько 0,6833.

Малюнок 6.2: Карта байдужості інвестора,\(a=b=1\).

Джерело: RiskReturn.xls! Уподобання

Червона точка жива в тому сенсі, що вона залежить від значення B10. Діаграма відображає криву байдужості, яка проходить через значення суміші в B10, разом із кривою байдужості та іншою під нею.

Суміш 50% ризикованого краще, ніж 75% для цього інвестора, оскільки корисність зросла. Червона крапка знаходиться на вищій кривій байдужості. Зверніть увагу також, що MRS впав, наближаючись до нахилу бюджетної лінії. Це означає, що інвестор наближається до оптимального рішення.

КРОК Змініть В12 на 90.

Тепер вірно зворотне. Червона крапка знаходиться на нижній кривій байдужості, а MRS знаходиться далі від схилу.

КРОК Змініть показник на YourReturn в B19 на 4 і натисніть кнопку.

Криві байдужості тепер набагато лестіші. Що це означає?

КРОК Змініть В12 на 50 і 90.

Ми отримуємо різні результати, ніж раніше? Що відбувається?

Якщо\(b > a\), інвестор піклується більше про прибутковість, ніж ризик. Плоскі криві байдужості (з низьким MRS) означають, що вони готові прийняти великий ризик для трохи більшої віддачі. Ці преференції означають, що цей інвестор знайде оптимальне рішення з високим ризиком, високою прибутковістю комбінації.

КРОК Змініть B19 на 0.4 і натисніть кнопку. Вивчіть задоволення, вироблене сумішами 50% і 90%. Що ти дізнаєшся?

При низькому b (нижче, ніж a) цей інвестор більше стурбований ризиком. Вони консервативні, і їх оптимальне рішення буде лежати на низькому значенні суміші. Насправді ці преференції створюють кутове рішення, при цьому інвестор вкладає всі 10 000 доларів у безризиковий актив.

Уподобання не вірні чи неправильні. Якщо ви молоді і збираєте на пенсію, має сенс\(a < b\), що, але навіть тоді, якщо людина не любить ризик, це не дефект. Агресивний інвестор ні в якому сенсі не краще консервативного інвестора. Деякі люди люблять ризик, а інші не так, як деякі люди люблять брокколі або колір синій, а інші - ні.

Уподобання не задаються в камені. На них може впливати навколишнє середовище. Короткий часовий горизонт, наприклад, потреба в коштах для коледжу через рік, обертає карту байдужості, відображаючи інвестора, який є більш консервативним. Так само пенсіонери, як правило, стають більш консервативними і менш охоче приймати ризик.

З модельованими обмеженнями і перевагами ми готові знайти оптимальне рішення.

КРОК. Перейдіть до листа оптимальноговибору, щоб побачити числовий метод в дії.

Лист OptimalChoice відкривається при неефективному рішенні. MRS більше, ніж нахил бюджетної лінії, тому крива байдужості розрізає лінію. Агент повинен рухатися вниз по лінії, приймаючи меншу віддачу за менший ризик. Це підвищує задоволеність. Але як далеко вниз подорожувати?

КРОК Запустіть Solver, щоб знайти відповідь на це питання.

При оптимальному рішенні MRS дорівнює нахилу бюджетної лінії і агент знаходиться на найвищій досяжній кривій байдужості.

Для цього агента (з таким ставленням до ризику та прибутковості) та даного ринкового компромісу між ризиком та прибутковістю (захопленим рівнянням бюджетного обмеження) оптимальне рішення знайдено із поєднанням близько 39% коштів, вкладених у ризикований актив. Таким чином, оптимальний ризик прийняти є\(7 \frac{6}{7}\) і оптимальна віддача є\(7 \frac{3}{4}\).

За допомогою аналітичних методів ми можемо використовувати цього лагранжейця, щоб знайти оптимальний yourRisk (\(x_1\)) та yourReturn (\(x_2\)).

Спробуйте виконати цю проблему, і якщо ви застрягли, рішення подібної проблеми в аркуші запитань і відповідей знаходиться в папці «Відповіді».

Порівняльна статика

Як завжди, існує ряд порівняльних статичних вправ, які слід розглянути, і їх можна зробити за допомогою числових або аналітичних методів. Давайте вивчимо ефект збільшення сигми, кількість ризику, який ринок змушує вас нести в обмін на кращу продуктивність.

КРОК. В оптимальномувиборі листа збільште\(\sigma\) з 20 до 25. Що відбувається?

Рисунок 6.3 і ваш екран показує нову червону бюджетну лінію, яка оберталася за годинниковою стрілкою і вниз.

Малюнок 6.3: Збільшення сигми, Solver ще не запущено.

Джерело: RiskReturn.xls! Оптимальний вибір

Більш рівний нахил поганий для інвестора, оскільки можливості споживання були зменшені. Ринок говорить, що за задану суму прибутку ви повинні прийняти більший ризик. Як відреагує інвестор на цей шок?

КРОК Запустіть розв'язувач, щоб дізнатися.

Ви побачите, що агент вибирає менший ризик і меншу віддачу. Яка пружність тут розглядається? Їх кілька. Існує сигма-еластичність yourRisk, сигма-еластичність YourReturn та еластичність сигми YourMix.

Звичайно, ці пружності також можна обчислити в точці, використовуючи похідну. Одна з вправ просить вас зробити саме це.

КРОК Спробуйте свої сили в обчисленні еластичності сигми вашогоризику від\(\sigma = 20\%\) до 25%. Перевірте свою відповідь в аркуші CSSIgma.

Звичайно, ці пружності також можна обчислити в точці, використовуючи похідну. Одна з вправ просить вас зробити саме це.

Оскільки зміна сигми - це зміна нахилу бюджетної лінії, ми можемо використовувати підхід розкладання Слуцького, щоб розбити загальний ефект на ефекти доходу та заміщення. Ця робота залишається для вас як вправу.

Розподіл активів - проблема оптимізації

Оптимальна теорія портфеля - це ще одне застосування теорії поведінки споживачів. Поворот тут полягає в тому, що один з варіантів, ризик, поганий. Агент не може ігнорувати ризик. Вона змушена приймати більший ризик, щоб забезпечити більшу віддачу.

Основні концепції теорії поведінки споживачів залишаються легко помітними: бюджетне обмеження, що описує можливості споживання, преференції, перекладені на карту байдужості, максимізація корисності з урахуванням бюджетного обмеження, а MRS дорівнює нахилу бюджетної лінії при оптимальному рішенні.

Мабуть, найголовніше, коли ми ставимо проблему як вибір, як розподілити активи між акціями, облігаціями та іншими фінансовими інструментами, ми твердо перебуваємо в землі економіки. Ця конкретна проблема оптимізації відрізняється від попередніх програм тим, що люди гостро зацікавлені в правильному отриманні оптимального рішення. На кону часто багато грошей, і помилки можуть виявитися дорогими (наприклад, з пенсійним портфелем).

Як економісти, ми як і раніше зацікавлені в порівняльній статиці. Зміна уподобань є важливою ударною змінною в цій програмі. Ми не хитаємо головою консервативному інвестору, який знаходить оптимальне рішення (враховуючи консервативні переваги) при низькому ризику, низькій точці прибутковості.

Вправи

1. Використовуйте рівняння, яке слід, щоб вирішити для yourRisk* (\(x_1\)) та yourReturn* (\(x_2\)) з точки зору екзогенних змінних. Покажіть свою роботу.

2. Використовуйте рішення зменшеної форми, щоб знайти еластичність сигми YourRisk в\(\sigma = 20\%\) (і значення інших екзогенних змінних з початкового положення аркуша OptimalChoice - натисніть кнопку, якщо це необхідно). Покажіть свою роботу.

3. Використовуйте інструменти малювання Word, щоб намалювати добре позначений графік, який відображає загальний обсяг, дохід та ефекти заміни для YourRisk. Зробіть ефект заміщення більшим, ніж протилежний ефект доходу.

4. Обчислити загальний, дохід, і ефекти заміни для YourRisk для зміни сигми від 20% до 25%. Покажіть свою роботу і опишіть свою процедуру.

Посилання

Епіграф зі сторінки 184 (9-е видання) класичної, відмінної книги про особисті фінанси та фондовий ринок. Випадкова прогулянка по Уолл-стріт Бертона Малкіеля була спочатку опублікована в 1973 році компанією WW. Norton & Company, а ^12-е видання вийшло в 2020 році. Це не одна з тих дурних книг зі схемою обіграти ринок. Малкіель тверезий і надійний. На сторінці 26 він каже:

Дозвольте мені чітко пояснити, що це не книга для спекулянтів; я не збираюся обіцяти вам багатства за ніч. Я не обіцяю вам чудес на фондовому ринку. Дійсно, субтитром для цієї книги цілком може бути «Розбагатіти повільно, але вірно книга».

Для більш глибокого аналізу фінансів за допомогою стилю презентації на основі Excel див Принципи фінансів з Excel Саймон Беннінга (Нью-Йорк: Oxford University Press, 2017. ^3-е видання).