5.4: Економічний аналіз страхування

Чому люди купують страховку?

Якщо ви економіст, відповідь проста: тому що це робить їх краще. На думку економістів, люди вирішують проблему оптимізації, і виявляється, що ті, хто купує страховку, опиняються з більшим задоволенням, на вищій кривій байдужості, ніж якби вони не купували страховку.

Ми будемо використовувати модель ендаументу, щоб пояснити, як і чому страхування є оптимальним вибором. Ми побачимо ще одне застосування того, як вирішити проблему максимізації обмеженої корисності та виконати порівняльний статичний аналіз.

Але дійсно глибокий урок полягає в тому, що теорія поведінки споживачів дивно гнучка і може відповідати на питання з широкого кола проблем. У цьому розділі ми вивчили, чому люди економлять і позичають, віддають на благодійність, а тепер купують страховку.

Спочатку ми налаштуємо задачу зі звичайним обмеженням, кривими байдужості та початковим оптимальним рішенням (з MRS рівним умові нахилу). Наявність ризику, ймовірність того, що подія відбудеться, кидає криву в аналіз, але ми перетворимо речі в наші звичні рамки.

По-друге, зробимо порівняльну статику. Наприклад, ми виведемо криву попиту на страхування. Ми можемо вивчити вплив вищої премії, ціни страховки, на кількість затребуваних страховок. Ми шукаємо еластичність страховки преміум-класу.

Ендаумент-модель страхування

Є три частини кожної проблеми оптимізації. В даному випадку ми маємо наступне:

1. Мета: максимізувати задоволення (як представлено функцією корисності).

2. Ендогенні змінні: споживання в двох станах природи, хорошому і поганому; вибираючи суму страхування, ми контролюємо відразу дві змінні вибору.

3. Екзогенні змінні: початкові активи, потенційні втрати, ймовірність втрати, страхова премія та переваги перед державами природи.

Як завжди, ми починаємо з обмеження, потім звертаємося до налаштувань і нарешті використовуємо функцію обмеження та утиліти, щоб знайти початкове рішення.

КРОК Відкрийте книгу Excel Insurance.xls і прочитайте Введення аркуша, а потім перейдіть до таблиці обмежень.

Ідея полягає в тому, що у вас є актив, скажімо, ваш автомобіль або будинок, який може зазнати певної суми збитку від аварії, називається PotentialLoss, з відомою ймовірністю\(\pi\) (грецька буква, пі), що пошкодження відбувається. Спочатку потенційнийзбиток становить 10 000 доларів, що становить лише частку вартості будинку.

Ви можете купити K доларів страховки, це застрахованасума, заплативши ціну (звану премією)\(\gamma\) (грецька буква, гамма) за 100 доларів страхового покриття. При відкритті ви не купуєте жодної страховки.

Якщо ви купуєте страховку, то при нещасному випадку ви отримуєте відшкодування збитку. Ви можете купити страховку з кроком в 100 доларів, аж до PotentialLoss, в такому випадку ви будете повністю застраховані. Компроміс полягає в тому, що ви повинні заплатити за страховку заздалегідь, перш ніж ви знаєте, відбудеться нещасний випадок чи ні.

Після того, як ви вирішите, скільки страхування купити, є два можливі результати, відомі як стани природи: погані і хороші результати.

КРОК Натисніть на комірку B18, щоб побачити формулу вашого споживання в поганому результаті.

The ConsumptionBad результат означає, що аварія фактично сталася, залишивши ваше споживання як\(InitialAssets - PotentialLoss + K - \gamma K\). Ви віднімаєте збиток, який стався, і суму, яку ви заплатили за страховку (\(\gamma K\)), але ви додаєте суму K, яку вам виплачує страхова компанія, тому що ви постраждали від нещасного випадку. Ви могли б бути повністю охоплені, але вам не обов'язково бути. Ви вирішуєте, скільки страховку купити.

Ваше споживання в хорошому стані природи просто\(InitialAssets - \gamma K\). Ви не постраждаєте від нещасного випадку, але заплатити за страховку все одно доведеться.

КРОК Натисніть на клітинку B19, щоб побачити формулу хорошого результату.

Клітини B23: B25 відображають, в якому стані природи ви опинитеся. Клітина B23 має формулу «=RAND ()». Це малює число з рівномірного розподілу на інтервалі [0,1].

КРОК Натисніть клавішу F9 на клавіатурі кілька разів, щоб зрозуміти, що функція RAND () Excel працює.

Кожен раз, коли ви натискаєте клавішу F9, Excel малює випадкове число від 0 до 1 в комірці B23. Намальоване число ніколи не менше нуля або більше одиниці.

Клітина B24 перетворює випадкову нічию в комірці над нею в нуль або один нуль означає, що аварія не сталася (хороший результат), і один означає, що він зробив (поганий результат). Він використовує оператор IF для відображення «1" (трапилася аварія), коли випадковий малюнок менше 0,01 (значення\(\pi\) в комірці B8).

Важко помітити, що щось дійсно відбувається в осередку B24, тому що ймовірність аварії настільки мала.

КРОК\(\pi\) Змініть на 50%, потім кілька разів натисніть F9. Ви повинні бути в змозі побачити комірку B24 фліп від 0 до 1 і назад, оскільки випадковий малюнок менше 0,5 і більше 0,5.

Зверніть увагу, що змінна FinalAssets, осередок B25, залежить від того, сталася аварія чи ні.

Далі, давайте купимо страховку, щоб побачити, що це робить з електронною таблицею.

КРОК Натисніть кнопку і встановіть комірку B13 на $1000. Це обійдеться вам в 10 доларів.

Зверніть увагу на значення для хорошого і поганого станів природи. Ви змінили обидва. Якщо трапиться аварія, ваше споживання становить 25 990 доларів, що на 990 доларів краще, ніж $25,000 за поганий результат, коли ви не купували страховку. Звичайно, хороший результат - $10 нижче (на $34 990) в хорошому результаті, тому що ви повинні платити за страховку навіть тоді, коли нещасний випадок не відбувається.

КРОК Натисніть кнопку. Клацніть OK до параметра «4" точки за замовчуванням і прочитайте кожне текстове поле, як воно з'являється. В кінці відображається рядок бюджету (див. Рис. 5.16).

Малюнок 5.16: Бюджетна лінія.

Джерело: Insurance.xls! Обмеження

Від початкового ендаументу (\(C_b, C_g\)без страховки) можна перейти вниз по бюджетній лінії, купивши страховку. Ви знижуєте споживання в хорошому стані природи (\(C_g\)знаходиться на осі y), але піднімаєте його в поганому стані природи (\(C_b\)знаходиться на осі х).

Умови торгівлі (нахил бюджетної лінії) визначаються гамою (страховою премією). Ухил бюджетної лінії є\(-\frac{\gamma}{1-\gamma}\), який з\(\gamma = 0.01\) є\(\frac{-1}{99}=0.01\) («01» продовжує повторюватися назавжди). Графік округляє нахил до п'яти знаків після коми.

Зміни початкових активів або потенційні збитки зміщують бюджетне обмеження. Однак ми зацікавлені в тому, щоб вивести криву попиту на страхування, тому ми шокуємо страхову премію (ціну страхування). Це призведе до повороту або повороту бюджетної лінії.

КРОК Змініть страхову премію до $1.20 за 100 доларів страхового покриття.

Ви бачите знайоме розгойдування (обертання за годинниковою стрілкою) від\(p_1\) збільшення. Покупець страхування був би розчарований у цьому шоці, оскільки її можливості споживання зменшуються.

Тепер, коли ми зрозуміли обмеження, переходимо до смаків агента. Ми моделюємо корисність як переваги над двома станами природи. Той факт, що існує ризик, в якому стані природи відбувається, ускладнює речі.

Замість того, щоб корисність просто залежить від кількості споживання в хороших і поганих результатах, ми включаємо очікування агента щодо шансів кожного результату. На щастя, наша звичайна функціональна форма Кобба-Дугласа може включати цю нову інформацію.

Використовуються показники у функціональній формі Кобба-Дугласа для представлення переконань агента про ймовірність аварії. Є два спрощують припущення. Перший полягає в тому, що агент точно вимірює ймовірність втрати, а це означає, що ми можемо використовувати\(\pi\) як показник у функції корисності. Друге припущення використовує той факт, що існує лише два взаємовиключних результату, тому поганий результат відбувається з ймовірністю,\(\pi\) а хороший результат має ймовірність\(1-\pi\). Передбачається можливість часткової втрати.

Функція утиліти тоді\[U=C_b^\pi C_g^{1-\pi}\] Ідея, що стоїть за функцією утиліти, проста: чим вище ймовірність втрати, тим більше агент буде піклуватися про поганий результат. З точки зору карти байдужості, чим вище\(\pi\), тим крутіше криві байдужості. Це означає, що агент більше піклується про споживання в поганому стані природи, оскільки ризик зростає.

На відміну від Стандартної моделі, де показники в корисній функції Кобба-Дугласа можуть використовуватися для представлення змін у налаштуваннях, зміни в показнику не вказують на зміну переваг корисної функції з ризиком. Щоб отримати зміну налаштувань, нам потрібна зовсім інша функція утиліти.

Це виходить за рамки цієї книги, але є багато досліджень щодо вибору з випадковими результатами. Поле поведінкової економіки зародилося з відкриттям парадоксів, порушень транзитивності та інших невідповідностей, коли люди робили вибір, пов'язаний з випадковістю. Наша корисна функція Cobb-Douglas може бути записана як очікувана корисна функція, просто взявши природний журнал:\[ln U=\pi C_b + (1-\pi)C_g\] Ця функція відображає переваги, що відхиляються від ризику. Це відправна точка для моделювання ставлення та почуття до ризику та випадковості.

КРОК Перейдіть до аркуша налаштувань, щоб побачити реалізацію утиліти Cobb-Douglas функції.

Лист намагається дати новий спосіб розуміння того, як працює обмежена максимізація корисності. Він показує споживання в поганому і хорошому стані природи, $25 000 і $35 000 відповідно без страховки. Це початкова точка ендаументу.

За допомогою\(\pi = 1\%\), ми можемо обчислити рівень корисності для початкової комбінації споживання в поганих і хороших станах природи. Це показано в осередках D13 і E13. Ми також можемо обчислити MRS при початковому обдаруванні, що відображається в клітині G13 і H13.

Утиліта Dead and Live та MRS однакові, тому що ми знаходимося на початковому обдаруванні. Мертві клітини - це цифри. Вони не зміняться, коли ми змінимо комірки в стовпці B. Живі клітини містять формули. Вони будуть оновлюватися при зміні значень\(C_b, C+g\), і\(\pi\).

КРОК Задумайтеся і дайте відповідь на питання в осередку А6. Натисніть на коли будете готові. Те ж саме виконайте для В10.

Жива утиліта та клітинки MRS змінюються під час зміни комірок B13 та B14. Коли ви рухалися вниз від початкового пожертвування, корисність піднялася і MRS впав. Він наблизився до схилу, а значить, ми ближче до оптимального рішення.

Ми готові знайти початкове оптимальне рішення.

КРОК. Приступаємо до оптимальноговибору листа.

Лист OptimalChoice відтворює аркуш обмежень, але він додає карту байдужості до діаграми та відображає нахил бюджетної лінії та MRS внизу діаграми. Він також відображає корисність в осередку B20 від обраного споживання в двох станах природи.

Дійсно важко побачити, що відбувається з кривою байдужості при початковому ендаументі та нахилі бюджетної лінії.

КРОК Збільшити подвійним клацанням по осі y і зробити мінімальну межу 34800 і максимальну межу 35200.

Тепер ви можете чітко бачити, що коли MRS\(>\) нахил бюджетної лінії, бюджетна лінія скорочує криву байдужості. Рухаючись вниз по бюджетній лінії, ви можете досягти більш високого рівня задоволеності.

КРОК Введіть 5000 в осередок B13, щоб побачити, де стоїть агент при покупці 5000 доларів страховки.

Графік показує рух вниз по бюджетній лінії до більш високого рівня корисності. Ми ближче до оптимального рішення, але поки немає, тому що MRS не дорівнює нахилу бюджетної лінії.

КРОК Запустіть Solver, щоб знайти оптимальне рішення.

Діалогове вікно «Розв'язувач» примітно тим, що немає обмежень. Те, як ми реалізували проблему в Excel, дозволило нам безпосередньо максимізувати корисну осередок, вибравши одну змінну, суму придбаної страховки. Однак ми все ще можемо використовувати канонічний графік теорії поведінки споживачів, щоб показати результат.

При оптимальному рішенні споживач вирішує купити 10 000 доларів страховки.

У поганому стані, якщо трапиться аварія, агент повністю покритий, так чи споживання $35 000? Ні, тому що агент повинен заплатити 100 доларів за страховку, тому споживання складе 34 900 доларів у поганому стані.

У хорошому стані, де немає аварії, споживання також становить 34 900 доларів. Це дивно. Страхування зняло ефект ризику. Споживання однакове в обох станах. Це крайній приклад диверсифікації.

Диверсифікація - це стратегія зниження ризику шляхом поширення вашого багатства на різні стани природи. Перемістивши 100 доларів з хорошого стану природи (купуючи страховку), агент має гарантований рівень корисності незалежно від того, чи трапиться нещасний випадок. Без страховки очікувана прибутковість становить 34 900 доларів, оскільки 99% х 35 000 доларів + 1% х 25 000 доларів = 34 900 доларів. Але агенту доводиться миритися з ризиком кожного 1 в 100 разів отримати $25 000. Диверсифікуючи, очікувана прибутковість однакова, 34 900 доларів, абсолютно без ризику.

Такий досконалий результатповного усунення ризикуспирається на те, що два стани природи прекрасно співвідносяться. У реальному світі, коли держави природи не ідеально корелюють (наприклад, фондовий ринок), диверсифікація може знизити ризик, зберігаючи однакову очікувану прибутковість, але вона не може повністю її усунути.

Ми знаємо, що люди купують страховку, тому що це підвищує задоволеність. Ця програма моделює вибір суми страхування, яка максимізує корисність з урахуванням бюджетних обмежень. Далі ми використовуємо модель, щоб вивести криву попиту на страхування.

Порівняльна статика

Процедура проста: ми варіюємо страхову премію (ціна страхування), незалежно від інших сторін\(\gamma\), і відстежувати оптимальну суму страхування, придбаного (K), щоб вивести криву попиту на страхування.

Використовуємо чисельні методи і залишаємо аналітичну роботу для вправ.

КРОК. У аркуші OptimalChoice\(\gamma\) змініть на $1,30 за 100 доларів страховки. Що відбувається?

Бюджетна лінія (відображається червоним кольором на екрані) стає крутіше. Агент потребує повторної оптимізації.

КРОК Запустіть Solver, щоб знайти нове оптимальне рішення.

Якщо ви не збільшували вісь y, як зазначено раніше, це важко побачити на графіку, але осередки під графіком підтверджують, що MRS дорівнює нахилу бюджетної лінії, коли агент купує 1847 доларів страховки.

Можна зробити висновок, що попит на страхування є похилим, коли премія зростає з $1,00 до $1,30, оскільки сума придбаного страхування знизилася з $10,000 до $1847. Це надзвичайно чуйний.

КРОК Обчислити цінову еластичність попиту. Перейдіть до аркуша CSGamma, щоб перевірити свою відповідь. Зверніть увагу, що Excel намагається допомогти при введенні формули, форматуючи результат як долари. Це невірно. Еластичність безрозмірна.

Лист CSGamma показує, що надбудова CSWiz була використана для вивчення впливу страхової премії на суму придбаного страхування. Гамма була збільшена на 0,1 (10 центів) з 10 поштовхами. Оптимальні\(K, \gamma K, C_b,\) і\(C_g\) відстежувалися в міру\(\gamma\) зміни. Лист включає в себе графік\(K \mbox{*} = f(\gamma)\), крива попиту на страхування.

Зверніть увагу на цікаву поведінку моделі у\(\gamma\) міру зростання: при $1,40 оптимальний K стає негативним. Це модель ендаументу. Коли преміальні ціни стають досить високими, агент переходить від покупки страховки до продажу страхування!

Якщо цей параметр не дозволений, ви можете накласти обмеження в Excel, що K більше або дорівнює нулю. Тоді, з високими преміями, споживач знаходиться на розі рішення і не купує страховку.

Моделювання страхування за допомогою моделі ендаументу

Страхування - ще одне застосування моделі ендаументу в теорії поведінки споживачів. Були застосовані звичні ідеї: обмеження бюджету, переваги та MRS дорівнює нахилу бюджетної лінії при оптимальному рішенні. Крім того, дотримувався звичайний рецепт економічного підходу, знаходячи початковий оптимальний, а потім порівняльну статику.

Але у цього додатка дійсно є свої повороти і новинки. Ми використовували функціональну форму Кобба-Дугласа для моделювання задоволеності, де експоненти відображають ймовірності станів природи. Ми також використовували Excel Solver без обмежень бюджету через те, як ми реалізували проблему в Excel. Щоб було зрозуміло, цю проблему можна вирішити за допомогою методу Лагрангеана (див. Перше питання вправ), і ми могли б реалізувати модель «max U з урахуванням обмеження» в Excel. Ми отримали б, звичайно, таку ж відповідь.

вправи

1. Використовуйте аналітичні методи, щоб отримати загальне рішення зменшеної форми для\(K \mbox{*}\). Покажіть свою роботу.

   Хоча можна використовувати метод Лагрангеана, простіше максимізувати корисність безпосередньо, підставляючи в значення для кожного стану природи. \[\max\limits_{K}U=C_b^\pi C_g^{1-\pi }\]Ключовим є те, що споживання в хорошому і поганому стані природи залежить від K:\[C_b = InitialAssets - PotentialLoss + K - \gamma K\]\[C_g = InitialAssets - \gamma K\] Ми можемо просто замінити ці рівняння в функцію корисності і максимізувати це:\[\max\limits_{K}U=[InitialAssets - PotentialLoss + K - \gamma K]^\pi [InitialAssets - \gamma K]^{1-\pi}\]

2. Порівняйте аналітичний та числовий підходи, оцінюючи свою відповідь на питання 1 за початковими значеннями параметрів у аркуші OptimalChoice. (Натисніть кнопку, якщо потрібно.) Ти знаходиш це\(K \mbox{*} = \$10,000\)?

3. Скористайтеся зменшеною формою для K*, щоб знайти ймовірність втрати еластичності страхового попиту на рівні\(\pi\) = 1%. Покажіть свою роботу. Якщо ви не можете знайти зменшену форму, скористайтеся

4. Використовуйте Майстер порівняльної статики, щоб знайти ймовірність втрати еластичності страхового попиту від\(\pi = 1\%\) до 1,1%. Сфотографуйте свої результати, включаючи розрахунок еластичності.

5. Порівняйте свої відповіді в питаннях 3 і 4. Чи відрізняються ці еластичність? Чому чи чому ні?

Посилання

Епіграф - з першої сторінки «Основи страхової економіки» Жоржа Діонна та Скотта Харрінгтона, редакторів, опублікованих у 1990 році. Економіка страхування як організоване підполе досить молода, але стрімко розвивається. Він фокусується на економіці, ймовірності та інформатиці на прикладних проблемах у світі ризиків та страхування.

У своїй дико популярній Freakonomics: Rogue Economist досліджує приховану сторону всього (2005), Стівен Д. Левітт і Стівен Дж. Дубнер включають цей приклад зі світу страхових ринків:

В кінці 1990-х років ціна термінового страхування життя різко впала. Це представляло щось таємниче, бо занепад не мав очевидної причини. Інші види страхування, включаючи медичне та автомобільне покриття та домовласників, безумовно, не падали в ціні. Також не було ніяких радикальних змін серед страхових компаній, страхових брокерів або людей, які купують термін страхування життя. Так що ж сталося? Інтернет трапився. Навесні 1996 року Quotesmith.com став першим з декількох веб-сайтів, які дозволили клієнту порівняти протягом декількох секунд ціну термінового страхування життя, що продається десятками різних компаній. (с. 66)

На сайті freakonomics.com є подкасти та інші ресурси.